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12.3.1 角的平分线的性质
夯实基础篇
一、单选题：
1．用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如右，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：从角平分线的作法得出，
AFD与△AED的三边全部相等，
△则△AFD≌△AED．
故选A．
【分析】利用三角形全等的判定证明．
2．如图，在 中， ， 是 的角平分线， 于点E，若
， .则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD是△ABC中∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DE=DC，
∴BD=4cm，BC=6cm，∴DC=BC-BD=6-4=2cm，
∴DE=2cm.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DC，由线段的构成得
DC=BC-BD，把已知条件代入计算即可求解.
3．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么
AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm.
故答案为：B.
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案.
4．如图，直线a、b、c表示互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
则可供选择的站址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故答案为：D．
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可知三个内角的平分线交点、任意两外角的
平分线交点均可，共四处。
5．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE
的周长为（ ）
A．17 B．18 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ED=CD，
在Rt ADE和△RtADC中，
△
，
∴Rt ADE≌Rt ADC（HL），
△ △∴AC=AE，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=AB-AC+BC=（13-5）+12=20.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质得到ED=CD，从而BC=BD+CD=DE+BD=12，即可求得△BDE的周长.
6．如图， 是 的角平分线， ， ， ， 分别是垂足，若
， ，则 的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴
即AC= ．
故选：A．
【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，又
由 ，△ABD的面积是△ACD的2倍，所以可得 ，即可求得答案．
7．如图，在 中， 平分 ，与 交于点D， 于点E，若
， 的面积为5，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∵ ，
∴DF=2，
∵ 平分 ，
∴DE=DF=2
故答案为：C．
【分析】过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，根据三角形面积公式求出DF的长，再根据角平
分线的性质即可得出DE的长．二、填空题：
8．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并
且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在
.
【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出工厂的位置应在∠BAC的平分线上，且到
A相距1cm的地方。
9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， ，DE=2，AB=4，则AC
的长是 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE=2
又∵ + =7
∴
∴AB+AC=7又∵AB=4
∴AC=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得DF=DE=2，然后用 + 列
出方程求解即可。
10．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，
则DE＝ cm．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DF⊥BC于F，
设DE为x，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=x，
∴ ×AB×DE+ ×BC×DF=15，即4.5x+3x=15，
解得，x=2cm，故答案为2．
【分析】作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到DE=DF=x，根据三角形的面积公式
列出方程，解方程即可．
11．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点
△
M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交边BC
于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是 .
【答案】30
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E.
又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积 AB•DE 15×4＝30.
故答案为：30.
【分析】 过点D作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝CD=4，进而
根据三角形的面积计算方法算出答案.
12．如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，交 于点 ，
， ，则 的面积为 .【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S = BC•EF= ×5×2=5.
BCE
△
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.
13．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=20cm，则
△DEB的周长为 cm．
【答案】20
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠ECD
∵DE⊥BC于E，
∴∠DEC=∠A=90°，
在△ACD与△ECD中，∵ ，
∴△ACD≌△ECD(ASA)，
∴AC=EC，AD=ED，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∴BE=DE，
∴△DEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=20cm，
故答案为：20.
【分析】根据平分线性质结合三角形全等判断易证△ACD≌△ECD(ASA)，从而得到AC=EC，
AD=ED，根据题意可得∠B=45°，从而得到BE=DE，再对线段进行等量替换可求出答案。
14．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为
18，OD=4，则△ABC的面积是 ．
【答案】36
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=4，
同理OF=OD=4，
ABC的面积= ×AB×4+ ×AC×4+ ×BC×4=36．
△【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=4和
OF=OD=4，根据三角形面积公式计算即可．
三、解答题：
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，求证：
BD＝DF.
【答案】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E ，AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∠FCD
＝∠DEB＝90o，在△CDF和△EDB中 ，∴△CDF≌△EDB（SAS），∴BD＝DF
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD＝DE，然后利用SAS判断出
△CDF≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，即可得出结论。
16．如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周长为20，
求△ABC的面积．
【答案】解: 过P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵PA是∠BAC的角平分线 ∴PD=PF=5 同理PE=PD=5 ∴S =S +S +S = × (AB×DP+BC×EP+AC×FP) = ×5×(AB+BC+AC) =50
ABC ABP BCP ACP
△ △ △ △
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】过P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，由角平分线的性质，可得PE=PD=PF=5,然后，
将使用三角形面积公式求出三角形APB, 三角形CPB, 三角形APC的面积，然后求和即可发现做的思
路.
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；
（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.
【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∴△ABC的面积等于24，
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
∵S =S +S ，
ACB ACD ADB
△ △ △
∴S = AC•CD+ AB•DE，
ACB
△
又∵AC=8，AB=10，
∴24= ×8×CD+ AB•DE
∴DE= ；
（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，
∴AB=AC+EB，
∵AC=AF+CF，CF=BE
∴AB=AF+2EB．
故答案为：AB=AF+2EB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【解析】【分析】（1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，则有
∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据S =S +S 即可求得DE．
ACB ACD ADB
△ △ △
（3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+EB，AC=AF+CF即可证得．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角
形，则S ︰S ︰S 等于（ ）
ABO BCO CAO
△ △ △
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，
∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC
∴OD=OF，同理OD=OE
∴OD=OE=OF
∵S ABO= ，S AOC= ，S BOC=
△ △ △
∴S ︰S ︰S = ∶ ∶ =AB：BC：AC=2：3：4
ABO BCO CAO
△ △ △
故答案为：C。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，根据三角形的面积计算方法分
别表示出三个三角形的面积，则三个三角形的面积之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。
2．如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF=DH，
在Rt DEF和Rt DGH中，
△ △
，
∴Rt DEF≌Rt DGH（HL），
∴S △EDF =S GDH =3△，
△ △
同理Rt ADF≌Rt ADH，
△ △
∴S =S =
ADF ADH
△ △
∴S = ，
AED
△
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用
“HL”证明Rt DEF和Rt DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S =S ，然后根据
EDF GDH
△ △
△ △S =S 列出方程求解即可.
ADF ADH
△ △
3．如图所示，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论:
①AD平分∠CDE；②∠BAC = ∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC = 4BE，则S = 8S .其中
ABC BDE
△ △
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分
线的定义
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE.
∵∠C=90°， DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°.
∵AD=AD，∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，
∴①AD平分∠CDE ，正确.
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误.
∵BE+AE=AB，AE=AC，AC=4BE，
∴AB=5BE，AE=4BE，
∴S =5S ，S =4S ，
ADB BDE ADC BDE
△ △ △ △
∴S =9S ，④错误.
ABC BDE
△ △
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，
∴②∠BAC=∠BDE正确.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的概念以及性质可得∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，然后可证△DAC≌△DAE，
根据全等三角形的性质可判断①的正误；无法推出∠BDE=60°，进而可判断③的正误；由线段的和差关系可
推出AB=5BE，AE=4BE，利用三角形的面积公式不难判断④的正误；根据同角的余角相等可判断②的
正误.
二、填空题：
4．如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，
则∠CAP＝ ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=(x−40)°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x°−(x°−40°)−(x°−40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt PFA和Rt PMA中，
PA=P△A △
PM=PF，
∴Rt PFA≌Rt PMA(HL)，
∴∠△FAP=∠PA△C=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判
定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
5．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若
MN=2，S PMN=2，S OMN=7．则△MON 的周长是 ；
△ △
【答案】11
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，∴PF=PG=PE，
∵S = ·MN·PF=2，MN=2，
PMN
△
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
△∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S =S = ×（2+2+7）= ，
OPG OPE
△ △
即S = ·OG·PG= ，
OPG
△
∴OG= ，
∴C =OM+ON+MN，
MON
△
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2× ，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由
三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S = ·OG·PG= 得OG=
OPG
△
，由三角形周长和等量代换可得答案.
6．如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，
PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S ＝S ＋S .
PAC MAP NCP
△ △ △
【答案】①②③④
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
，
又∵ ， ，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
，
，
同理： ，
，
，
， ，
，
，
，②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断
①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出
∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任
意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角
平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得
S =S ，S =S ，据此判断④.
APD APM CPD CPN
△ △ △ △
三、解答题：
7．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证
DE=DF．
【答案】证明： 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，
DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°-
180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中 ，
∴△EMD≌△FND（AAS），∴DE=DF．
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】本题要证明DE=DF，由图得我们并不能证明△AED≌△AFD，所以我们要再根据题
意找技巧。题意中AD是角平分线，我们知道角平分线到角的两边的距离相等，所以我们做辅助线
DM⊥AB，DN⊥AC（DM=DN），这样我们找到了一组边相等；我们再来看题意中
∠EAF+∠EDF=180°，我们还没用到，所以根据这个题意，再结合四边形内角和是360度，我们得出
∠MED+∠AFD=360°-180°=180°；又因为∠AFD+∠NFD=180°，所以∠MED=∠NFD。所以，利用
AAS我们得证三角形全等。8．已知：如图，D为 外角 平分线上一点，且 ， 于点M.
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）求证： .
【答案】（1）解：如图所示，过点D作DE⊥AC于E，
∵CD是∠ACM的角平分线，DE⊥AC，DM⊥BC，
∴DE=DM=1，
∴ ；
（2）证明：∵DE⊥AC，DM⊥BC，
∴∠DEA=∠DEC=∠DMB=90°，
∵AD=BD，DE=DM，
∴Rt DEA≌Rt DMB（HL），
∴AE△=BM， △
∵∠DEC=∠DMC=90°，DE=DM，DC=DC
∴Rt DEC≌Rt DMC（HL），
∴EC△=CM， △
∴AC=AE+EC=BM+CM.
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AC于E，由角平分线的性质可得DE=DM=1，然后根据三角形
的面积公式进行计算；
（2）由垂直的概念可得∠DEA=∠DEC=∠DMB=90°，证明Rt DEA≌Rt DMB，得到AE=BM，证
明Rt DEC≌Rt DMC，得到EC=CM，据此证明. △ △
△ △
