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13.2 与三角形有关的线段
知识点一 三角形三边的关系
文字语言：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边．
符号语言：如图，a+b>c 或a+c>b 或b+c>a，|a-b|<c 或|b-c|<a 或|a-c|<b.
理论依据：两点之间，线段最短．
归纳总结
一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；
如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
拓展延伸
三边关系的运用：①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围．
特别提醒
两边之和等于第三边时，三点共线，不能构成三角形.
知识点二 三角形的稳定性
性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性．
应用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等．
拓展延伸
1.四边形不具有稳定性.
2.多边形加固问题
核心方法：将多边形分割成三角形，使其获得稳定性。
规律推导：
多边形
至少加木条数
分成三角形数
四边形（4 边）
1 根
2 个
五边形（5 边）
2 根
3 个
第十三章
三角形
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六边形（6 边）
3 根
4 个
n 边形
n − 3 根
n − 2 个
原理：过n 边形的一个顶点可以作 (n−3) 条对角线，将多边形分成 (n−2) 个三角形.
特别提醒
稳定性 ≠ 牢固：稳定性是数学概念（边长确定→形状唯一），不是物理上的"结不结实"
四边形不稳定 ≠ 无用：稳定性和不稳定性各有利用价值，不能简单说哪个更好
加固方法不唯一：加木条的方式有多种，但"至少"需要的根数是确定的
复合图形要分析：遇到复杂图形时，需判断其中是否包含三角形结构，或是否可分割为三角形
知识点三 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线.
文字语言：如图，画△ABC 的边BC 的中点D，连接AD，所得线段AD 叫作△ABC 的中线.
符号语言：①AD 是△ABC 的边BC 上的中线；
②点D 是边BC 的中点；
③BD=CD=
1
2BC.
拓展延伸
重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
中线模型：中线分得的三角形面积相等.
特别提醒
中线分周长两部分一定不相等（除非是等边三角形）.
等腰三角形需分类讨论中线是腰上还是底边上.
知识点四 三角形的角平分线
定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作
三角形的角平分线.
文字语言：如图，画△ABC 的∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边BC 于点D，所得线段AD 叫作△ABC
的角平分线.
符号语言：①AD 是△ABC 的角平分线；
②AD 平分∠BAC，交BC 于点D；
③∠1=∠2=
1
2∠BAC.
拓展延伸
内心：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点，这个交点叫
三角形的内心.
特别提醒
三角形的角平分线是线段
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角平分线不平分对边（除非等腰），而是按比例分
知识点五 三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条
边上的高.
文字语言：如图，从△ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD 叫
作△ABC 的边BC 上的高线.简称三角形的高.
符号语言：①AD 是△ABC 的边BC 上的高；
②AD⊥BC 于点D.
归纳总结
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三条高的位
置
三条高都在三
角形内部
有两条高恰好是它
的两条直角边，另
一条高在三角形内
部
有两条高在三角形外
部，另一条高在三角
形内部
三条高的交
点
三条高交于三
角形内部一点
三条高交于三角形
的直角顶点
三条高没有交点，但
三条高所在的直线交
于三角形外一点
拓展延伸
垂心：三角形的三条高所在直线交于一点，这个交点叫三角形的垂心.
易错点 1 利用三边关系判断时，忽略“较短两边之和大于最长边”
错例：认为用长度分别为 4cm、5cm、9cm 的三条线段可以围成一个三角形
错因：学生只验证了其中一组“两边之和大于第三边”（如 4 + 9 > 5），便草率得出结论，没有完
全掌握三角形三边关系的判定逻辑，忽略了必须满足任意两边之和都大于第三边
规避方法：在判断三条线段能否构成三角形时，无需列出三个不等式。最简捷的方法是先排序，再比
较：只要把“较短的两条线段的和”与“最长线段”进行比较即可。若较短两边之和大于最长边（4
+ 5 = 9，等于第三边，不满足大于的条件），则不能围成三角形
易错点 2 确定第三边的取值范围公式的误区
错例：主观任选两边代入公式判断
错因：忘记a≤b 的假设，公式中b 是较长边，a 是较短边，差值才为正
易错点 3 等腰三角形已知两边求周长时，未分类讨论或未验证三边关系
错例：已知一个等腰三角形的两边长分别为 4 和 8，求得该等腰三角形的周长为 4 + 4 + 8 = 16
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错因：题目未明确指明哪条是腰、哪条是底，学生直接默认 4 为腰，忽略了分类讨论；且在得出结
果后，没有用三边关系进行检验（4 + 4 = 8，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形）
规避方法：遇到等腰三角形已知两边求边长或周长的问题，必须分两种情况讨论（4 为腰或8 为
腰），并逐一用三边关系进行检验，舍去不能构成三角形的情况。本题中，腰只能为 8，底为 4，正
确周长为 8 + 8 + 4 = 20
易错点 4 钝角三角形"高"的画法有误
错例：误认高在三角形内部致错
错因：从顶点出发，必须延长对边再作垂线
题型一：构成三角形的条件
方法技巧
1.快速判断法（最常用）：只需验证较短两边之和是否大于最长边。若成立，其余
两组不等式必然成立，无需逐一验证。
2.差值法：验证任意两边之差是否小于第三边。
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．8，8，8
B．5，6，12
C．4，4，8
D．3，4，8
【答案】A
【详解】解：A.∵8 + 8 = 16 > 8，满足任意两边之和大于第三边，∴能组成三角形；
B.∵5 + 6 = 11 < 12，不满足三边关系，∴不能组成三角形；
C.∵4 + 4 = 8，不满足三边关系，∴不能组成三角形；
D.∵3 + 4 = 7 < 8，不满足三边关系，∴不能组成三角形．
2．用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是（ ）
A．2cm，4cm，5cm
B．4cm，5cm，6cm
C．5cm，12cm，13cm
D．3cm，3cm，7cm
【答案】D
【分析】利用较小两边之和大于第三边即可判断能否构成三角形．
【详解】解：A.因为2 + 4 = 6 > 5，满足三边关系，能构成三角形，所以选项A 不符合题意；
B.因为4 + 5 = 9 > 6，满足三边关系，能构成三角形，所以选项B 不符合题意；
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C.因为5 + 12 = 17 > 13，满足三边关系，能构成三角形，所以选项C 不符合题意；
D.因为3 + 3 = 6 < 7，不满足三边关系，不能构成三角形，所以选项D 符合题意．
3．下面的图中，三条线段首尾相接能围成三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据图形和构成三角形的条件进行判断即可．
【详解】解：A．两条较短线段之和等于最长的线段，不能构成三角形；
B．两条较短线段之和大于最长的线段，能构成三角形；
C．两条较短线段之和小于最长的线段，不能构成三角形；
D．两条较短线段之和小于最长的线段，不能构成三角形．
4．下面长度的三条线段不可以围成三角形的是（ ）
A．三条线段一样长
B．三条线段的长度之比是6: 2: 2
C．三条线段的长度分别是2𝑎、3𝑎、4𝑎
D．三条线段的长度分别为3cm、7cm、8cm
【答案】B
【详解】解：A.设三条线段的长都为𝑥(𝑥> 0)，
则𝑥+ 𝑥> 𝑥，满足三角形的三边关系，可以围成三角形；
B.设三条线段的长度分别为6𝑘，2𝑘，2𝑘(𝑘> 0)，
则2𝑘+ 2𝑘= 4𝑘< 6𝑘，不满足三角形的三边关系，不可以围成三角形；
C.由题意可知，𝑎> 0，
则2𝑎+ 3𝑎= 5𝑎> 4𝑎，满足三角形的三边关系，可以围成三角形；
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D.3 + 7 = 10 > 8，满足三角形的三边关系，可以围成三角形．
5．如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置
剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边． 若将一根小棒剪成两段，这
两段之和等于原小棒长度． 若原小棒长度小于另一根小棒长度，则两段之和小于第三边，无法围成三角
形．
【详解】解： A 选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比下面那根小棒还长，不符合三角形的三边关
系，无法围成三角形，不符合题意；
B 选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围
成三角形，不符合题意．
C 选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角
形，不符合题意；
D 选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角
形的三边关系，可以围成三角形，符合题意；
故选：D．
6．已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别是a，b，c，化简|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑎−𝑏+ 𝑐|的结果为（ ）
A．2𝑎−2𝑏
B．2𝑏−2𝑎
C．2𝑐
D．−2𝑐
【答案】C
【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项
即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，
根据三角形三边关系，可得𝑏+ 𝑐> 𝑎，𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∴𝑎−𝑏−𝑐= 𝑎−(𝑏+ 𝑐) < 0，𝑎−𝑏+ 𝑐= (𝑎+ 𝑐) −𝑏> 0，
∴|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑎−𝑏+ 𝑐|
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= (𝑏+ 𝑐−𝑎) + (𝑎−𝑏+ 𝑐)
= 𝑏+ 𝑐−𝑎+ 𝑎−𝑏+ 𝑐
= 2𝑐．
题型二：确定第三边的取值范围
方法技巧
1.找出已知两边，设其长度为a 和b（不妨设a≤b）。
2.直接套公式：第三边c 的取值范围为b - a <c<a + b.
1．已知三角形的三边长分别为3，a，7，则a 的取值范围是（ ）
A．4 < 𝑎< 10
B．3 < 𝑎< 7
C．𝑎> 4
D．𝑎< 10
【答案】A
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，𝑎，7，
∴根据三角形三边关系可得7 −3 < 𝑎< 7 + 3，
化简得4 < 𝑎< 10．
2．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 3，则𝐴𝐶长可能为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出𝐴𝐶的取值范围，即可判断
选项．
【详解】∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 3，
∴𝐵𝐶−𝐴𝐵< 𝐴𝐶< 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，
∴3 −2 < 𝐴𝐶< 3 + 2，即1 < 𝐴𝐶< 5．
选项中：只有B 符合．
3．如图，点A 是直线l 上一点，以直线外一点O 为圆心，𝑂𝐴长为半径画弧，交直线l 另一点于B，若
𝑂𝐴= 3cm，则𝐴𝐵的长不可能是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．5cm
D．6cm
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【答案】D
【分析】本题主要考查三角形构成条件，根据𝑂𝐴和𝑂𝐵即可求得𝐴𝐵的范围．
【详解】解：由题意得，点O、A 和B 构成三角形，
则𝑂𝐴−𝑂𝐵< 𝐴𝐵< 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵，
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 3，
∴0 < 𝐴𝐵< 6，
故选：D．
4．已知一个三角形的两边𝑎，𝑏满足(𝑎−3)2 + |6 −𝑏| = 0，则此三角形的第三边可能为（ ）
A．2
B．6
C．9
D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了非负性的性质，三角形三边关系的应用，先由非负性的性质求出𝑎，𝑏，再由三角
形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵(𝑎−3)2 + |6 −𝑏| = 0，(𝑎−3)2 ≥0，|6 −𝑏| ≥0，
∴(𝑎−3)2 = |6 −𝑏| = 0，
∴𝑎−3 = 0，6 −𝑏= 0，
∴𝑎= 3，𝑏= 6，
∴𝑏−𝑎= 6 −3 = 3 <第三边的长< 𝑏+ 𝑎= 6 + 3 = 9，
∴四个选项中，只有B 选项中的数符合题意，
故选：B．
5．学校劳动基地有一块用篱笆围成的三角形菜地，其平面图如图所示，其中篱笆𝐵𝐶、𝐶𝐷完好，其长度分
别为12m,6m，另一篱笆𝐵𝐷部分破损，仅剩4m篱笆𝐴𝐵可用，现要重新将这三角形菜地围好，则在破损的
篱笆𝐴𝐷之间补接的新篱笆的长度可能为（ ）
A．2m
B．4m
C．16m
D．20m
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关
键．设在篱笆𝐴𝐵上接上新的篱笆长度为𝑥m，由𝐵𝐶−𝐶𝐷< 𝐴𝐵+ 𝑥< 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷，求出𝑥的取值范围，即可
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解答．
【详解】解：设在篱笆𝐴𝐵上接上新的篱笆长度为𝑥m，
根据题意得：𝐴𝐵= 4m，𝐵𝐶= 12m，𝐶𝐷= 6m，
∵𝐵𝐶−𝐶𝐷< 𝐴𝐵+ 𝑥< 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷，即6 < 4 + 𝑥< 18，
∴2 < 𝑥< 14，
∴在篱笆𝐴𝐵上接上新的篱笆的长度可以为4m．
故选：B．
6．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则
第三根小棒的长度可以是（ ）
A．3
B．3 或4
C．4 或5
D．6
【答案】C
【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得3 < 𝑥< 17，再由图中挡板高度进一步确定
3 < 𝑥≤5，然后结合选项即可解答．
【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7，
设第三根小棒的长度是x，
若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知10 −7 < 𝑥< 10 + 7，即3 < 𝑥< 17，
由图中挡板高度为5，则3 < 𝑥≤5，
结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4 或5，即C 选项符合题意．
题型三：等腰三角形中的三边关系及其他应用
方法技巧
1. 先分类讨论哪两边相等。
2. 逐一验证各边范围。
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3. 最后判断三边是否符合三角形构成条件。
1．等腰三角形的两边长分别为6和13，则它的周长为（ ）
A．32
B．25
C．25或32
D．25或19
【答案】A
【分析】分腰长为6、腰长为13两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长．
【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为6和13，
∴分两种情况讨论：
①当腰长为6时，三边长为6，6，13，
∵6 + 6 = 12 < 13，
∴不能构成三角形；
②当腰长为13时，三边长为13，13，6，
∵13 + 6 > 13，
∴能构成三角形，周长为13 + 13 + 6 = 32．
2．图1 是圆规实物图，图2 是其示意图，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，以点A 为支撑点，铅笔芯端点B 绕点A 旋转作出
圆，若圆的半径𝐴𝐵= 10 cm，则𝑂𝐴的长不可能是（ ）
A．12cm
B．8cm
C．6cm
D．5cm
【答案】D
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求结论．
【详解】解：根据三角形的三边关系可知𝐴𝐵< 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵，
又∵𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝐴𝐵= 10 cm，
∴2𝑂𝐴> 10，即𝑂𝐴> 5，
∴选项D 不符合要求．
3．等腰三角形的周长为25cm，其中一边长9cm，则其腰长为（ ）
A．8cm或9cm
B．8cm
C．9cm
D．以上都不对
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【答案】A
【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论9cm为腰长和9cm为底边长的情况，计算后根据三角形三边关
系验证能否构成三角形即可．
【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当9cm为腰长时
∵等腰三角形周长为25cm
∴底边长为25 −9 × 2 = 7cm
∵9 + 9 > 7，9 + 7 > 9，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为9cm；
情况2：当9cm为底边长时，
∵等腰三角形周长为25cm
∴腰长为
25−9
2
= 8cm
∵8 + 8 > 9，8 + 9 > 8，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为8cm，
综上，腰长为8cm或9cm．
4．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座
双坡式房屋的剖面图，其中𝐴𝐵段与𝐴𝐶段长度相等，经测量，𝐵𝐶段的长为8m，则𝐴𝐵段的长可能为（ ）
A．3m
B．3.5m
C．4m
D．5m
【答案】D
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 8，进而求解即
可．
【详解】根据题意得，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 8
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∴2𝐴𝐵> 8
∴𝐴𝐵> 4
∴𝐴𝐵段的长可能为5m．
故选：D．
5．如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶如图所示放置，当△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形时，𝐴𝐶的长为（ ）
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A．3
B．4
C．3 或4
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可．
【详解】解：∵当△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形时，
①当𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 3，在△𝐴𝐶𝐷中，2 −2 < 3 < 2 + 2，
在△𝐴𝐵𝐶中，3 −3 < 4 < 3 + 3，
∴此时𝐴𝐶= 3；
②当𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4，在△𝐴𝐶𝐷中，2 −2 < 4 = 2 + 2，不符合三边关系，
∴此种情况舍去；
综上，𝐴𝐶的长为3．
故选：A．
6．已知△𝐴𝐵𝐶的周长为12，且各边长均为整数，那么这样的等腰△𝐴𝐵𝐶有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为𝑥，则底长为12 −
2𝑥，根据题意列出不等式组求出𝑥的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为𝑥，则底长为12 −2𝑥，
则{2𝑥> 12 −2𝑥
2𝑥< 12
，
解得3 < 𝑥< 6，
∵各边长均为整数，
∴𝑥= 4或5，
∴这样的等腰△𝐴𝐵𝐶有2个，
故选：B．
题型四：三角形的稳定性与四边形的不稳定性及应用
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方法技巧
三角形稳定性的本质是三边长度确定则形状大小唯一确定，四边形的不稳定性
是指边长确定后形状仍可改变；应用技巧的核心在于“需要固定用三角形，需要活动
用四边形”，多边形加固至少需加(n−3)（n 为边数）根木条。
看到"加固""不变形""固定形状"等关键词 → 联想到三角形的稳定性。
看到"伸缩""活动""折叠""可调节"等关键词 → 联想到四边形的不稳定性。
1．关于三角形的稳定性，下列说法正确的是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．四边形也具有稳定性
C．所有多边形都具有稳定性
D．稳定性在生活中有害无益
【答案】A
【分析】本题考查三角形的稳定性性质．三角形是唯一具有稳定性的多边形，其他多边形如四边形不具有
稳定性，稳定性在生活中有广泛应用．
【详解】三角形是唯一具有稳定性的多边形，
故选：A．
2．下列正多边形中，具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：根据三角形和多边形（边数大于3）的性质可知，
只有三角形具有稳定性．
3．2026 年乡村振兴新建户外光伏遮阳棚，安装工人在棚体支架之间加装一根斜向支撑杆，让整个棚架不
易变形、更加稳固．这里用到的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短
D．平行线间的距离处处相等
【答案】B
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【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：A.是线段长度的性质，故选项不符合题意；
B.在棚体支架之间加装一根斜向支撑杆，是利用三角形的稳定性，故选项符合题意；
C.是点到直线距离的性质，故选项不符合题意；
D.是平行线的性质，故选项不符合题意．
4．劳动实践课上，小明用4 根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳
定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可．
【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A 选项符合题意；
对于B 选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边𝐴𝐵,𝐴𝐷固定住，所以𝐵,𝐶,𝐷三点也是相对固定的，所
以B 选项不符合题意；
对于C 选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边𝐵𝐶,𝐶𝐷固定住，所以𝐴,𝐵,𝐷三点也是相对固定的，所
以C 选项不符合题意；
对于D 选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D 选项不符合题意．
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5．如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案．
【详解】∵三角形具有稳定性，
∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，
∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条），
∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2 条，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
题型五：根据三角形中线求周长或边长
方法技巧
根据三角形中线求三边长度的核心方法是利用“中线平分对边”（ BD=DC ）和
“中线分周长”（两部分周长差等于另两边之差）建立方程，并结合三边关系验证解的
合理性。
解题步骤：1.设未知数：设边长或中线分线段。
2.利用中线性质：BD=DC，写出两部分周长表达式。
3.列方程：根据周长和或差列方程组。
4.解方程：求出各边长。
5.验证：必须用三边关系检验（任意两边之和 > 第三边），不成立则舍去。
1．如图，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 10，若△𝐴𝐵𝐷的周长比△𝐶𝐵𝐷的周长多2，则𝐵𝐶的长为．（ ）
A．5
B．7
C．8
D．12
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【答案】C
【分析】根据中线的定义解题．
【详解】解：∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长比△𝐶𝐵𝐷的周长多2，
∴𝐶△𝐴𝐵𝐷−𝐶△𝐶𝐵𝐷
= (𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷) −(𝐵𝐶+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷)
= 𝐴𝐵−𝐵𝐶
= 10 −𝐵𝐶，
∴10 −𝐵𝐶= 2，
解得𝐵𝐶= 8．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，其中𝐴𝐵= 27，𝐵𝐶= 16，则△𝐴𝐵𝐷与△𝐵𝐶𝐷的周长差是
（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】A
【分析】本题考查了中线的性质，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据中线的性质得到𝐴𝐷= 𝐶𝐷，再利用周长作差即可．
【详解】解：∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷，△𝐵𝐶𝐷的周长= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷与△𝐵𝐶𝐷的周长差= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷−(𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷) = 𝐴𝐵−𝐵𝐶= 27 −16 = 11，
故选：A．
3．如图，𝐵𝐷、𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条中线，若𝐶𝐷=
1
4 𝐵𝐶，𝐵𝐸=
1
3 𝐵𝐶= 4，则△𝐴𝐵𝐶的周长是（ ）
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A．45
B．35
C．26
D．22
【答案】C
【分析】根据题意可得𝐵𝐶= 3𝐵𝐸= 12，再求出𝐶𝐷=
1
4 𝐵𝐶= 3，利用三角形中线的定义可得𝐴𝐵, 𝐴𝐶的长，
即可求得△𝐴𝐵𝐶的周长．
【详解】解：∵𝐵𝐸=
1
3 𝐵𝐶= 4，
∴𝐵𝐶= 3𝐵𝐸= 12，
∴𝐶𝐷=
1
4 𝐵𝐶= 3，
∵𝐵𝐷、𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条中线，
∴𝐴𝐵= 2𝐵𝐸= 8, 𝐴𝐶= 2𝐶𝐷= 6，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长是𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 26．
4．在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，中线𝐶𝐷将这个三角形的周长分为12 和15 两个部分，则这个等腰三角形
的底边长为（ ）
A．7
B．7 或11
C．10
D．8 或10
【答案】B
【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系．
【详解】解：如图，设等腰△𝐴𝐵𝐶的腰长𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑦，底边长𝐵𝐶= 𝑥，
∵𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷=
𝑦
2，
分两种情况：情况①当{𝐴𝐶+ 𝐴𝐷= 12
𝐵𝐶+ 𝐵𝐷= 15
时，{
𝑦+
𝑦
2 = 12
𝑥+
𝑦
2 = 15
解得{ 𝑦= 8
𝑥= 11
，
∵8 + 8 > 11，
∴能构成三角形；
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情况②当{𝐴𝐶+ 𝐴𝐷= 15
𝐵𝐶+ 𝐵𝐷= 12
时，{
𝑦+
𝑦
2 = 15
𝑥+
𝑦
2 = 12
解得{𝑦= 10
𝑥= 7
，
∵10 + 10 > 7，
∴能构成三角形．
综上，底边长为7 或11．
题型六：根据三角形中线求面积
方法技巧
中线平分面积：中线将三角形分成等底的两个三角形，高相同 → 面积相等。
关键操作方法：每加一条中线，三角形面积每次减半，层层递推。
1．如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，若△𝐴𝐵𝐶的面积为24，则△𝐴𝐵𝐸的面积为（ ）
A．12
B．8
C．6
D．4
【答案】C
【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为24，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，
∵𝐸为𝐴𝐷的中点，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐷
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐷𝐵𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 6．
2．如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中边𝐵𝐶上的中线，𝐸、𝐹分别是𝐴𝐵、𝐴𝐷的中点，若△𝐴𝐶𝐷的面积为12 cm2，则△
𝐷𝐸𝐹的面积是（ ）
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A．6 cm2
B．3 cm2
C．1.5 cm2
D．1 cm2
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的中线，△𝐴𝐶𝐷的面积为12cm2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 12cm2，
∵点E 是线段𝐴𝐵的中点，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 6cm2，
∵点F 是线段𝐴𝐷的中点，
∴𝑆△𝐷𝐸𝐹=
1
2 𝑆△𝐴𝐸𝐷= 3cm2．
3．如图，△𝐴𝐵𝐶为休闲公园，拟从顶点𝐴向路边𝐵𝐶修一条小路𝐴𝐷，使两块绿地△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐷𝐶的面积相
等，供老年人分区休憩聊天，则小路𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．高
B．角平分线
C．中线
D．不能确定
【答案】C
【详解】解：∵从顶点𝐴向路边𝐵𝐶修一条小路𝐴𝐷，使两块绿地△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐷𝐶的面积相等，
∴小路𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线．
4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知点D，E，F 分别为边𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐶𝐸的中点，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8，则阴影部分的面积为
（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】A
【分析】由点𝐹是𝐶𝐸的中点，所以△𝐵𝐸𝐹的底是△𝐵𝐸𝐶的底的一半，△𝐵𝐸𝐹高等于△𝐵𝐸𝐶的高；同理，
𝐷、𝐸、分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷的中点，进一步利用三角形的等积变换可解答．
【详解】解：∵点𝐹是𝐶𝐸的中点，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹=
1
2 𝑆△𝐵𝐸𝐶，
∵𝐷、𝐸、分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷的中点，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷，𝑆△𝐸𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐷𝐶，
∴𝑆△𝐸𝐵𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，且𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹= 2，
即阴影部分的面积为2．
题型七：重心的概念
方法技巧
定义法：三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
判断关键：重心一定在三角形内部，无论三角形是锐角、直角还是钝角三角
形。
1．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定
是三角形的（ ）
A．到三个顶点距离相等的点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条角平分线的交点
【答案】B
【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答.
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【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点，
∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点.
2．把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（ ）
A．点𝐴
B．点𝐵
C．直线𝐴𝐵上
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连
的直线上．
【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点𝐴与物体最下端𝐵所连接的直线上，
∴薄板状物体的重心位置在直线𝐴𝐵上．
故选：C．
3．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C 围成△
𝐴𝐵𝐶，白棋D，E，F，G 在△𝐴𝐵𝐶中，则正好与△𝐴𝐵𝐶的重心位置重合的白棋是（ ）
A．𝐷
B．𝐸
C．𝐹
D．𝐺
【答案】D
【分析】确定三边中线的交点即可得出答案．
【详解】解：由图可知△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶、𝐵𝐶边上的中线交于点G，
即正好与△𝐴𝐵𝐶的重心位置重合的白棋是G．
4．跳高运动是一项集速度、力量、爆发力、技巧和胆识于一体的田径项目，它的魅力不局限于跳得高矮
的表层较量，更藏在运动员腾跃横杆时，精准降低身体重心的智慧与艺术之中．如下图，当运动员采用
“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好，最合理的解释是（ ）
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A．“跨越式”过横杆时运动员重心最低
B．“滚式”过横杆时运动员重心最低
C．“背越式”过横杆时运动员重心最低
D．三种方式过横杆时运动员重心相同
【答案】C
【分析】本题考查几何图形的重心概念，把运动员的身体抽象成几何图形是解题关键．
把运动员的身体视为几何图形，找出三种姿势的重心，然后判断重心与横杆的相对位置．
【详解】解：越过相同高度的横杆时，运动员所需提升的重心高度越小，则越过的横杆更高，成绩更好，
选项A，过杆时，身体像一个“直角梯形”，重心在身体内部，明显高于横杆，重心不是最低；
选项B，过杆时，身体像一个“斜置的长方形”，重心在横杆上方，重心不是最低；
选项C，过杆时，身体呈“弓形”，此时重心落在弓形的外部、横杆的下方，重心最低；
选项D，三种方式过横杆时运动员重心不相同．
故选：C．
题型八：三角形角平分线的定义
方法技巧
定义法：在三角形中，一个内角的角平分线与对边相交，这个角的顶点与交点
之间的线段，叫做三角形的角平分线。
判断关键：角的平分线是射线（无限延伸），三角形的角平分线是线段（从顶
点到对边交点）。
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则（ ）
A．𝐵𝐷= 𝐶𝐷
B．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
C．∠𝐵= ∠𝐶
D．∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线．
根据角平分线的定义求解即可．
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【详解】解：∵𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，故D 选项符合题意．
故选D．
2．如图，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐷折叠，使点𝐵落在边𝐴𝐶上的点𝐵′处，则𝐴𝐷一定是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．中线
B．高线
C．角平分线
D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
由折叠性质可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵′𝐴𝐷结合角平分线定义，即可得到答案．
【详解】解：由折叠性质可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵′𝐴𝐷，
结合角平分线定义，𝐴𝐷一定是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．
故选：C．
3．如图所示，∠1 = ∠2,∠3 = ∠4，下列结论中错误的是（ ）
A．𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线
B．𝐶𝐸是△𝐵𝐶𝐷的角平分线
C．∠3 =
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
D．𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线
【答案】D
【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析．
【详解】解：A.由∠1 = ∠2，得𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，故本选项正确，不符合题意；
B.由∠3 = ∠4得：𝐶𝐸是△𝐵𝐶𝐷的角平分线，故本选项正确，不符合题意；
C.由∠3 = ∠4得：∠3 =
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，故本选项正确，不符合题意；
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D.由∠3 = ∠4得：𝐶𝐸是△𝐵𝐶𝐷的角平分线，故本选项错误，符合题意；
题型九：画三角形的高
方法技巧
画三角形高的核心技巧可概括为：找准顶点与对边，过顶点作垂线，垂足在对
边上（或延长线上），锐角全在内、直角边即高、钝角两高在外。
标准画法步骤：1.选顶点：确定从哪个顶点画高。
2.找对边：明确该顶点的对边是哪条。
3.作垂线：用三角尺（或量角器），从顶点向对边所在直线作垂线。
4.标垂足：在垂足处标上直角符号（小方块 ⊥）。
5.画线段：从顶点到垂足的线段就是高。
实操技巧（用三角尺）：
1.三角尺靠边法：将三角尺的一条直角边紧贴对边，沿另一条直角边从顶点画
线。
2.移动三角尺：如果顶点离对边较远，先沿对边滑动三角尺，直到直角边经过
顶点，再画线。
3.钝角三角形延长法：对边不够长时，先用直尺延长对边（画虚线），再用三
角尺作垂线。
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐷⊥𝐴𝐵交𝐴𝐶于𝐷点，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于𝐸点，𝐴𝐹⊥𝐵𝐶交𝐶𝐵的延长线于𝐹
点．下列线段中，𝐵𝐶边上的高是（ ）
A．𝐴𝐸
B．𝐴𝐹
C．𝐵𝐷
D．𝐶𝐷
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高．在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之
间的线段叫做三角形的高，简称为高．直接利用三角形高的定义分析得出答案．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边上的高是𝐴𝐹，
故选：B．
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2．如图，在钝角三角形𝐴𝐵𝐶中，下面关于作△𝐴𝐵𝐶高的方法描述正确的是（ ）
A．找到𝐴𝐵边中点𝐸，连接𝐶𝐸，则𝐶𝐸是高
B．作∠𝐴的平分线与边𝐵𝐶交于𝐷点，𝐴𝐷是高
C．延长线段𝐵𝐴，过点𝐶向𝐵𝐴延长线作垂线，交点为𝐷，线段𝐶𝐷是高
D．𝐴𝐵就是𝐵𝐶边上的高
【答案】C
【分析】本题主要考查了作三角形的高，熟练掌握三角形高线的作法，是解题的关键．根据三角形高线的
作法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．找到𝐴𝐵边中点𝐸，连接𝐶𝐸，则𝐶𝐸是中线，故A 不符合题意；
B．作∠𝐴的平分线与边𝐵𝐶交于𝐷点，𝐴𝐷是角平分线，故B 不符合题意；
C．延长线段𝐵𝐴，过点𝐶向𝐵𝐴延长线作垂线，交点为𝐷，线段𝐶𝐷是高，故C 符合题意；
D．因为∠𝐵≠90°，所以𝐴𝐵不是𝐵𝐶边上的高，故D 不符合题意．
故选：C．
3．用三角板作△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可．
【详解】解：A.可以作△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，此选项符合题意；
B.不是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，此选项不符合题意；
小学
初中
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C.不是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，此选项不符合题意；
D.是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的高，不是边𝐵𝐶上的高，此选项不符合题意；
故选：A．
4．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，
则线段𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断𝐴𝐷、𝐵𝐶垂直关系即可．
【详解】解：A.𝐶𝐷= 𝐵𝐷，𝐴𝐵≠𝐴𝐶，所以线段𝐴𝐷不是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高；
B.𝐶𝐷= 𝐵𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，则𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，所以线段𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高；
C.𝐶𝐷= 𝐵𝐷，𝐴𝐵≠𝐴𝐶，所以线段𝐴𝐷不是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高；
D.𝐴𝐷与𝐵𝐶不垂直，所以线段𝐴𝐷不是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高；
故选：B．
题型十：与三角形的高有关的计算问题
方法技巧
1.定义法：根据不同三角形高的画法，结合其他角求解
2.直接面积公式法：已知面积 + 底边，关键公式为h=2𝑆
𝑎
3.等积法：已知一条高，求另一条高，关键公式为aha =bhb
1．如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶, 𝐴𝐶= 5, 𝐵𝐶= 12,𝐴𝐵= 13，则点𝐶到𝐴𝐵的距离为（ ）
A．
65
12
B．4
C．
60
13
D．6
【答案】C
【分析】利用直角三角形的两种面积表示方法，通过列等式求出点𝐶到𝐴𝐵的距离．
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【详解】解：设点𝐶到𝐴𝐵的距离为ℎ．
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 ⋅𝐴𝐶⋅𝐵𝐶．
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 ⋅𝐴𝐵⋅ℎ，
∴
1
2 × 5 × 12 =
1
2 × 13 × ℎ．
∴5 × 12 = 13 × ℎ．
∴ℎ=
60
13．
2．如图，直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵= 3，若△𝐴𝐵𝐶的面积为8，△𝐵𝐶𝐷的面积为20，则线段𝐶𝐷的长度是（ ）
A．5
B．6
C．6.5
D．7.5
【答案】D
【分析】设直线𝐴𝐵与𝐶𝐷之间的距离为h，由题意易得𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅ℎ=
3
2 ℎ= 8，𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅ℎ= 20，
然后问题可求解．
【详解】解：设直线𝐴𝐵与𝐶𝐷之间的距离为h，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵= 3，△𝐴𝐵𝐶的面积为8，△𝐵𝐶𝐷的面积为20，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅ℎ=
3
2 ℎ= 8，𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅ℎ= 20，
∴ℎ=
16
3 ，
∴
16
3 𝐶𝐷= 40，
∴𝐶𝐷= 7.5．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 7，𝐴𝐸为𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸= 6，P 为𝐴𝐵上一动点，则𝑃𝐶的最小值
为（ ）
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A．
21
4
B．
28
3
C．
48
7
D．7
【答案】A
【分析】由题意可知当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，𝐶𝑃的值最小，再根据等面积法求出𝐶𝑃的长即可．
【详解】解：如图，当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，𝐶𝑃的值最小，
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝑃=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸，
∴𝐶𝑃=
𝐵𝐶⋅𝐴𝐸
𝐴𝐵
=
7×6
8 =
21
4 ．
4．已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐵𝐴𝐷= 65°，∠𝐶𝐴𝐷= 20°，则∠𝐵𝐴𝐶=（ ）
A．85°
B．95°
C．85°或95°
D．45°或85°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高线，解题关键是涉及到三角形的高的时候，注意分情况考虑．分高𝐴𝐷在△
𝐴𝐵𝐶内部和外部两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①如图1，当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶的内部时，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 65° + 20° = 85°；
②如图2，当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶的外部时，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 65° −20° = 45°．
综上所述，∠𝐵𝐴𝐶的度数为45°或85°．
故选：D．
5．已知点𝑂(0,0)，𝐴(2,4)．点B 在y 轴上，且𝑆△𝑂𝐴𝐵= 8，则点B 的坐标是（ ）
A．(8,0)
B．(0, −8)
C．(4,0)或(−4,0)
D．(0,8)或(0,−8)
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【答案】D
【分析】点B 在y 轴上，先设出B 点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设点B 的坐标为(0,𝑛) ，则𝑂𝐵= |𝑛|．
∵点𝐴坐标为(2,4)，点𝑂和𝐵都在y 轴上，△𝑂𝐴𝐵中，底𝑂𝐵对应的高为点𝐴到y 轴的距离，即高为|𝑥𝐴| = 2．
又∵𝑆△𝑂𝐴𝐵= 8，
∴
1
2 × |𝑛| × 2 = 8，
化简得|𝑛| = 8，
∴𝑛= 8或𝑛= −8，
∴点𝐵的坐标为(0,8)或(0, −8)．
题型十一：三角形中线、角平分线、高线综合辨析
方法技巧
三角形中线、角平分线、高线综合辨析的核心在于：中线看“中点”、角平分线看
“等角”、高线看“垂直”；三者仅在等腰三角形底边或等边三角形中重合，其余情况互
不重合，解题时务必紧扣定义严格区分。
1．三角形的角平分线、中线、高都是（ ）
A．线段
B．射线
C．直线
D．射线或线段
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的角平分线、中线及高线，熟练掌握三角形的角平分线、中线及高线的定义
是解题的关键；根据三角形的角平分线、中线和高的定义，它们都是线段，然后问题可求解．
【详解】解：由三角形的角平分线是顶点到对边的线段，平分内角；三角形的中线是顶点到对边中点的线
段；三角形的高是顶点到对边（或对边延长线）的垂足之间的线段；可知三角形的角平分线、中线、高都
是线段；
故选：A．
2．下列结论正确的是（ ）
A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部
B．三角形的重心是三角形三条中线的交点
C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部
D．直角三角形的三条高的交点在斜边上
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【答案】B
【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高，根据定义和性质判断各选项即可，掌握相关概念及性质
是解题的关键．
【详解】解：A、任何三角形的角平分线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意；
B、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；
C、任何三角形的中线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意；
D、直角三角形的三条高交于直角顶点，不在斜边上，原选项结论错误，不符合题意；
故选：B．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，从顶点𝐴引出三条线段𝐴𝐷、𝐴𝐸、𝐴𝐹，其中：𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸是角平分线，
𝐴𝐹是𝐵𝐶边上的中线．下列说法错误
．．的是（ ）
A．𝐵𝐹= 𝐹𝐶
B．∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸
C．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
D．𝐴𝐵= 𝐵𝐶
【答案】D
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐹是𝐵𝐶边上的中线．
∴𝐵𝐹= 𝐹𝐶，故A 正确，
∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，故B 正确，
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，故C 正确，
没有条件判断𝐴𝐵= 𝐵𝐶，故D 错误，
故选：D．
4．在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片𝐴𝐵𝐶，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形
的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线
和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是
（ ）
A．小高
B．小雪
C．小琪
D．小嘉
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【答案】C
【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答
案．
【详解】解：如图，
过𝐴折叠三角形纸片，使𝐴𝐶与𝐴𝐵重合，此时折痕即是过点𝐴的角平分线，经过了一次折叠；
先折出𝐵𝐶中点，再过中点和𝐴折叠三角形纸片，折痕即是过点𝐴的中线，经过了两次折叠；
过𝐴折叠三角形纸片，使𝐵𝐶在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点𝐴的高线，经过了一次折
叠；
∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确，
故选：C．
5．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以
清晰地观察到线段𝐴𝐷在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则𝐴𝐷依次
是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．角平分线、中线、高线
B．角平分线、高线、中线
C．中线、角平分线、高线
D．高线、中线、角平分线
【答案】B
【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的
定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图1 得，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵′𝐴𝐷，
∴𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线；
由图2 得，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′，
∵∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180°，
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即2∠𝐴𝐷𝐵= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线；
由图3 得，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线；
∴综上所述，𝐴𝐷依次是△𝐴𝐵𝐶的角平分线、高线、中线．
题型十二：三角形中线、角平分线、高线综合计算
方法技巧
三角形中线、角平分线、高线综合计算的核心策略为：高线用面积桥接，中线
用平分面积法求长，角平分线用定义法，综合题则通过同一三角形定义或面积不变
列等式求解。
1．如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线．若△𝐴𝐵𝐶的面积为30,𝐵𝐷= 5，则△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上的
高是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．
3
2
【答案】B
【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】解：∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶, 𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
设△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上的高为ℎ，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为30, 𝐵𝐷= 5，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝐵𝐷· ℎ=
1
2 × 5ℎ=
1
4 × 30，
∴ℎ= 3.
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是中线，𝐴𝐷= 4，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 24，则𝐵𝐸的长为（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【分析】根据𝐴𝐷= 4和𝑆△𝐴𝐵𝐶= 24求出𝐵𝐶，根据𝐴𝐸是中线即可求解．
【详解】解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷= 24, 𝐴𝐷= 4，
∴𝐵𝐶= 12，
∵𝐴𝐸是中线，
∴𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐶= 6．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷= 2𝐴𝐷，𝐶𝐸= 𝐷𝐸，若△𝐶𝐵𝐷的面积为120cm2，则图中△𝐴𝐵𝐸的面积等于
（ ）cm2
A．60
B．80
C．90
D．120
【答案】C
【分析】用三角形中线平分面积的性质以及等高三角形面积比等于底边比的性质，分别求出△𝐵𝐷𝐸和△
𝐴𝐷𝐸的面积，相加即可得到△𝐴𝐵𝐸的面积．
【详解】解：∵𝐶𝐸= 𝐷𝐸，
∴ 𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐶𝐵𝐷=
1
2 × 120cm2 = 60cm2，
∵𝐵𝐷= 2𝐴𝐷，即𝐴𝐷=
1
2 𝐵𝐷，
∴ 𝑆△𝐴𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 × 60cm2 = 30cm2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 60cm2 + 30cm2 = 90cm2．
4．如图△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐶= 8，𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐷是𝐵𝐶边的中
线，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶于点E，下列结论正确的有（ ）个
①𝐸𝐹为△𝐴𝐸𝐵中𝐴𝐸边上的高
②线段𝐴𝐵、𝐴𝐷、𝐴𝐶中，线段𝐴𝐶的长度最短
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③若∠𝐴𝐹𝐸= 54°，则∠𝐵𝐸𝐶= 54°
④D 到𝐴𝐵的距离为2.4．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由三角形的高的含义可判断①，由垂线段最短可判断②，由平行线的性质结合三角形的角平分线
的含义可判断③，由等面积法可判断④，从而可得答案．
【详解】解：𝐸𝐹不是△𝐴𝐸𝐵中𝐴𝐸边上的高．故①不符合题意；
线段𝐴𝐵、𝐴𝐷、𝐴𝐶中，线段𝐴𝐶的长度最短，理由垂线段最短．故②符合题意；
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 54°，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 27°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 63°．故③不符合题意；
如图作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于H．
由
1
2 𝐴𝐵· 𝐷𝐻+
1
2 𝐴𝐶· 𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶· 𝐵𝐶，
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边的中线，
∴
1
2 𝐴𝐵· 𝐷𝐻=
1
2 𝐴𝐶· 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐶= 8，
∴10𝐷𝐻=
1
2 × 6 × 8，
解得𝐷𝐻= 2.4，故④符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线，中线，高的含义，垂线段最短，熟记概念并灵
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活运用是解本题的关键．
