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13.3.2 三角形的外角 （导学案）
【学习目标】
1. 理解三角形外角的概念，能在图形中识别三角形的外角。
2. 掌握三角形外角的两条主要性质，并能运用其进行简单的计算和推理。
【学习重点】
三角形外角的概念及三角形外角的性质。
【学习难点】
1. 准确理解“不相邻”的含义；
2. 运用三角形内角和定理及平角定义推证三角形外角性质。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
定义：三角形的 与另一边的 组成的角，叫做三角形的外角。
构成外角的三个条件：
② 角的顶点是 ；
②角的一边是 ；
③ 角的另一边是
性质1（互补）：三角形的一个外角与它相邻的内角 。
性质2（核心）：三角形的一个 等于与它 。
性质3（大小关系）：三角形的一个 大于任何一个与它 。
【课堂探究】
情景导入
观看视频《初识外角》
提出问题：正如龙王所说形可变，但外角与内角必遵循一定的天道法则，这节课就让我们一起去探究
一下内角与外角之间的奥秘吧
新知探究
一、三角形的外角
1. 定义建构： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
2. 辨析条件：强调构成外角的三个要素：
①__________________；
②___________________；
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③____________________________.
3. 数量认知：引导学生观察图形，得出一个三角形有6 个外角，每个顶点处有2 个对顶角相等的外
角。
思考：问1.延长线段𝐴𝐶至𝐸，以点𝐶为顶点新增的角有哪些？
问2.这两个新增角是∆𝐴𝐵𝐶的外角吗？为什么？
问3.由上可知，以𝐶为顶点的∆𝐴𝐵𝐶的外角有几个？
问4.以𝐶为顶点的∆𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷和外角∠𝐵𝐶𝐸之间有什么关系？
问5.你还能画出∆𝐴𝐵𝐶的其他外角吗？
结论
（1）每一个三角形都有6 个外角．
（2）每一个顶点相对应的外角都有2 个，且这2 个角为对顶角.
【针训一】
1.下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
2．如图，下列说法错误的是( )
A．∠𝐴𝐷𝐶是△𝐴𝐵𝐷的一个外角，也是△𝐴𝐷𝐶的一个内角
B．∠𝐴𝐸𝐵是△𝐴𝐸𝐵的一个内角，也是△𝐴𝐸𝐹的一个内角
C．∠𝐴𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐹的一个内角，也是△𝐴𝐸𝐹的一个内角
D．∠𝐶是△𝐴𝐵𝐶的一个内角，也是△𝐴𝐷𝐶的一个内角
二、 三角形的外角的性质
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问6. △𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷与其相邻的
问7. △𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷与其不相邻的两内角(∠𝐴，∠𝐵)有什么关系？
你能证明这个的结论吗？
如图，在∆𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐷为∆𝐴𝐵𝐶的外角
求证：∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵
三角形内角和定理的推论
三角形的一个______等于与它_______的两个内角的_____
几何语言
∵_______________.
∴________________.
问8. ∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐴或∠𝐵有怎样的数量(大小)关系？
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结论：三角形的一个________大于任何一个与它________的内角
针训二、
1.判断题：
(1)一个三角形有三个外角。（ ）
(2)三角形的每个顶点处都有两个外角。（ ）
(3)三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
(5)三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐴𝐶上（不与端点重合），连接𝐵𝐷．则∠1，∠2，∠3的大小关系是
（ ）
A．∠1 < ∠2 < ∠3
B．∠3 < ∠1 < ∠2
C．∠3 < ∠2 < ∠1
D．∠2 < ∠1 < ∠3
3.如图，根据图形回答问题
(1)∠1=_______+___ ______
(2)∠2=_______+_________
(3)∠2_______ ∠3
4.求下列各图中∠𝛼的度数
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典例分析
例1.如图，已知△𝐴𝐵𝐶的角平分线为𝐴𝐷，若∠𝐵= 50°，∠𝐶= 30°，求∠𝐴𝐷𝐵的度数．
例2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝60°，𝐵𝐷，𝐶𝐸分别是𝐴𝐶，𝐴𝐵上的高，𝐻是𝐵𝐷与𝐶𝐸的交点，求∠𝐵𝐻𝐶
的度数．
例3.如图，∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐶𝐵𝐹，∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的三个外角，它们的和是多少？
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变式训练
1.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 50°，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷的平分线𝐵𝐸交𝐴𝐶的延长线
于点E，点F 为𝐴𝐶延长线上的一点，连接𝐷𝐹．
(1)求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
(2)若∠𝐹= 20°，求证：𝐵𝐸//𝐷𝐹．
2.𝐴𝐵和𝐴𝐶相交于点𝐴， 𝐵𝑂和𝐶𝑂相交于点𝑂，
(1)已知∠𝐵= 10°，∠𝐶= 20°,∠𝐵0𝐶= 110°，求∠𝐴的度数.
(2)探究∠𝐵𝑂𝐶与∠𝐵、∠𝐶、∠𝐴的关系．
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3.(1)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵．若∠𝐴= 80°，则∠𝑃=__________°；
(2)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵．请探索∠𝐴与∠𝑃之间的数量关系
(3)如图②，𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑀平分外角∠𝐴𝐶𝐷，请探索∠𝐴与∠𝑀之间的数量关系
(4)如图③，𝐵𝑁平分外角∠𝐸𝐵𝐶，𝐶𝑁平分外角∠𝐹𝐶𝐵．请探索∠𝐴与∠𝑁之间的数量关系；
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【课堂总结】
【课堂练习】
1.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,点𝐷在𝐶𝐵的延长线上,∠𝐴＝70°,∠𝐴𝐵𝐷＝120°，则∠𝐶等于()
A．40° B．50° C．60° D．70°
2.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,点𝐷，𝐸分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上，𝐹为𝐵𝐶延长线上的一点,若∠𝐴= 70°,∠𝐴𝐶𝐹=
140°， 𝐷𝐸//𝐵𝐹，则∠𝐴𝐸𝐷= __ ．
3．如图，点𝐷，𝐸分别在线段𝐵𝐶，𝐴𝐶上，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸.若∠𝐴＝35°，∠𝐵＝25°，∠𝐶＝50°，则∠1
的大小为____．
4.将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠COB 的度数是________
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5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝30°，∠𝐴𝐶𝐵＝80°，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷的平分线𝐵𝐸交𝐴𝐶的延长线于点
𝐸.求∠𝐶𝐵𝐸和∠𝐸的度数．
6.如图，已知𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的延长线上一点，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点𝐸，∠𝐴＝35°，∠𝐴𝐶𝐷＝83°.
(1)求∠𝐵的度数；
(2)若∠𝐷＝42°，求∠𝐴𝐹𝐸的度数．
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
