文档内容
13.3.2 等腰三角形的判定 教学设计
一、教学目标：
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.
二、教学重、难点：
重点：理解和运用等腰三角形的判定定理.
难点：利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
三、教学过程：
复习回顾
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合
一”)
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC和一个
底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
知识精讲
思考：已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?猜想：AB=AC
如图，在△ABC中，∠B=∠C.
作△ABC的角平分线AD.
=∠ =∠
{∠1 2 ¿{∠B C
¿¿¿¿
在△BAD与△CAD中，
∴ △BAD≌△CAD (AAS)
∴ AB=AC
等腰三角形判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”).
定理应用格式：
∵ ∠B=∠C
∴ AB=AC
典例解析
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角
形.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.分析：要证明 AB=AC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C 与
∠1，∠2的关系.
证明：∵ AD∥AC
∴ ∠1=∠B (_______________________)
∠2=∠C (_______________________)
又∵ ∠1=∠2
∴ ∠B=∠C
∴ AB=AC (____________)
【针对练习】求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角
三角形.
1
已知：如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD= AB. 求证：△ABC是直角三角形.
2
1
证明：∵ CD是AB边上的中线，且CD= AB
2
∴ AD=CD=BD
∴ ∠A=∠ACD，∠B=∠BCD
∵ ∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°
∴ ∠ACD+∠BCD=90° 即∠ACB=90°
∴ △ABC是直角三角形.
思考1：已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所
作的三角形都全等吗？已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使AB=a，AB边上的高为h.
思考2：如果已知是等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作
几个？
例2. 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：
1.作线段AB=a；
2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；
3.在MN上取一点C，使DC=h；
4.连接AC，BC.
例3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与
CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
【点睛】“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于
在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
【针对练习】如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什
么？
解：△BED是等腰三角形. 理由如下：
∵ △BC′D与△BCD关于直线BD对称
∴ △BC′D≌△BCD
∴ ∠C′BD=∠CBD
又∵ AD∥BC
∴ ∠ADB=∠CBD
∴ ∠ADB=∠C′BD
∴ EB=ED
即△BED是等腰三角形.
例4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点 O.过O作EF∥BC交AB
于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴EF=EO+FO＝BE+CF.
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
【点睛】判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化
思想，解决问题.
例5.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点 D在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF，
BD=CE.求证: ABC是等腰三角形.
△证明:如图，过点D作DG//AE交BC于点G.
∴∠GDF=∠CEF
在△GDF和△CEF中，
∴△GDF≌△CEF(ASA)
∴GD=CE
又∵BD=CE
∴BD=DG
∴∠DBG=∠DGB
∵DG//AC
∴∠DGB=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠A=55°，∠B=65° B.∠A=75°, ∠B=30°
C.∠A=40°，∠B=80° D.∠A=60°，∠B=50°
2.如图(2)，OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD等于( )
A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm3.如图(3)，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
则图中等腰三角形的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于点O，给出下列4个
条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.从中选择2个条件，其中能判
定△ABC为等腰三角形的组合有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
5.在△ABC中，若∠B=∠C，AB=6cm，则AC=_____cm;
6.如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的中线,且 AD=4cm，则
BC=_____cm.7.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D.请你添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形，你添加
的条件是__________(除AB=AC外).
8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A、B是两格点，若C也是图中的
格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是______.
9.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB. 求证：OC=OD.
10.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等
腰三角形.11.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证:AD=CD.
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是
E、F.求证: ABC是等腰三角形.
△
【参考答案】
1. B
2. A
3. B
4. D
5. 6
6. 8
7. BD=CD8. 4
9.证明：∵AB∥DC
∴∠A=∠C，∠B=∠D
又∵OA=OB
∴∠A=∠B
∴∠C=∠D
∴OC=OD
10.解：∵ 在△BCD中，∠C=72°，∠DBC=36°
∴ ∠1=180°-36°-72°=72°
又∵ ∠1是△ABD的外角
∴ ∠2=∠1-∠A=36°
∴ ∠ABC=∠2+∠DBC=72°
因此，由∠ABC=∠C=72°，得△ABC是等腰三角形；由∠1=∠C=72°，得△BCD是等腰三角
形；
由∠2=∠A=36°，得△ABD是等腰三角形.
11. 证明:连接AC.
∵AB=BC
∴∠BAC=∠BCA
又∵∠BAD=∠BCD
∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠BCD=∠BCA+∠ACD
∴∠CAD=∠ACD
∴AD=CD
12.证明:AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵D是BC的中点
∴BD=CD在Rt BDE和Rt CDF中
△ △
∴Rt BDE≌Rt CDF(HL)
∴∠B=∠C
△ △
∴AB=AC 即△ABC是等腰三角形.
四、教学反思：
