13.3.1三角形的内角（分层作业）（答案版）数学新教材人教版八年级上册_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新《8上数学•同步备课资料合集》（新教材人教）

 
 
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分层作业 
13.3.1.1 三角形的内角 
参考答案 
 
已知两角求第三个角 
1．C  
2. (1)60°；(2)80°； 
利用方程思想求解三角形内角 
3.B  
4.解（1）∵∠A＝
1
2∠B＝
1
3∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A. 
由三角形内角和定理，得∠A＋2∠A＋3∠A＝180°， 
解得∠A＝30°. 
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°， 
∴50° + ∠𝐵+ 50° + ∠𝐵= 180°， 
解得，∠𝐵= 40°， 
∴∠𝐶= 50° + 40° = 90°， 
∴∠𝐴= 50°,∠𝐵= 40°, ∠𝐶= 90°． 
利用平行线求三角形内角度数 
5.B  
6.B  
7.B  
题型03 
题型02 
题型01 
 
 
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利用三角板求三角形内角度数 
8.D  
9.C  
翻折问题中求三角形内角度数 
10.B  
11.C 
12.B  
利用整体思想求三角形内角度数 
13. 100° 
14．∠1 + ∠2 = 85° 
15. 76°/76 度 
三角形内角和实际应用 
16.B  
17.（1）解：根据题意，得∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐴𝐵= 80°，∠𝐸𝐵𝐶= 20°，𝐷𝐴∥𝐵𝐸． 
∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐴= 180°． 
∴∠𝐸𝐵𝐴= 180° −∠𝐷𝐴𝐵= 180° −80° = 100°， 
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐸𝐵𝐶= 100° + 20° = 120°． 
（2）解：∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐴𝐵= 80°， 
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵−∠𝐷𝐴𝐶= 80° −60° = 20°， 
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐵𝐶= 180° −20° −120° = 40°． 
 
三角形内角和综合应用 
18. 80°/80 度 
19.解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°， 
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°,∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐶𝐵𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 35°， 
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90° −∠𝐴= 60°， 
题型08 
题型07 
题型06 
题型05 
题型04 
 
 
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∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐷= 20°， 
∴∠𝐶𝐹𝐵= 180° −∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐶𝐵𝐹= 125°. 
 
1．C  
2． A  
3. 40°或100° 
4.30° 
5.三角形三个内角为50 度、50 度、80 度或44 度、68 度、68 度或20 度、20 度、140 度． 
6.（1）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −70° −30° = 80°， 
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， 
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 80° = 40°， 
在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 180° −30° −40° = 110°， 
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高， 
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， 
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° −∠𝐶= 90° −30° = 60°， 
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 60° −40° = 20°； 
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −𝛼−𝛽， 
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， 
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (180° −𝛼−𝛽) = 90° −
𝛼+𝛽
2 ， 
在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 180° −𝛽−(90° −
𝛼+𝛽
2 ) = 90° +
𝛼−𝛽
2 ， 
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高， 
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， 
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° −∠𝐶= 90° −𝛽， 
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= (90° −𝛽) −(90° −
𝛼+𝛽
2 ) =
𝛼−𝛽
2 ． 
7.（1）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°， 
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 21°，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 24°， 
∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°， 
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝑃= 135°； 
（2）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线， 
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵， 
 
 
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∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°， 
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝑃 
= 180° −1
2 ∠𝐴𝐵𝐶−1
2 ∠𝐴𝐶𝐵 
= 180° −1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) 
= 180° −1
2 (180° −∠𝐴) 
= 90° + 1
2 ∠𝐴 
= 90° + 1
2 × 80° 
= 130°； 
（3）解：∵𝐵𝑄，𝐶𝑄分别是∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑁的角平分线， 
∴∠𝐶𝐵𝑄=
1
2 ∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑄=
1
2 ∠𝐵𝐶𝑁， 
∵∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶， 
∴∠𝐶𝐵𝑄=
1
2 ∠𝐴+
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑄=
1
2 ∠𝐴+
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶， 
∵∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐵𝐶𝑄+ ∠𝑄= 180°， 
∴
1
2 ∠𝐴+
1
2 ∠𝐴+
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) + ∠𝑄= 180°， 
∴∠𝐴+
1
2 (180° −∠𝐴) + ∠𝑄= 180°， 
∴∠𝑄= 90° −
1
2 ∠𝐴； 
（4）解：∵𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐵𝑄是∠𝐶𝐵𝑀的角平分线， 
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑄=
1
2 ∠𝐶𝐵𝑀， 
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= 180°， 
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀) = 90°， 
∴∠𝑄𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90°， 
由（3）知∠𝑄= 90° −
1
2 ∠𝐴， 
∴∠𝐸+ ∠𝑄= 90°， 
∴∠𝐸=
1
2 ∠𝐴， 
∵在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，∠𝑄𝐵𝐸= 90°， 
∴∠𝑄，∠𝐸都是锐角， 
∴分四种情况讨论： 
①∠𝑄= 3∠𝐸， 
∴90° −
1
2 ∠𝐴= 3 ×
1
2 ∠𝐴， 
∴2∠𝐴= 90°， 
 
 
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∴∠𝐴= 45°； 
②∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝐸， 
∴3 ×
1
2 ∠𝐴= 90°， 
∴∠𝐴= 60°； 
③∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝑄， 
∴3 (90° −
1
2 ∠𝐴) = 90°， 
∴270° −1.5∠𝐴= 90°， 
∴∠𝐴= 120°， 
④∠𝐸= 3∠𝑄， 
∴3 (90° −
1
2 ∠𝐴) =
1
2 ∠𝐴， 
解之得：∠𝐴= 135°， 
综上可知：∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°． 
 
 
1．A 
2． 15°或65° 
3． 80° 
4．（1）解：（1）在△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐸= 60°，∠𝐷= 20°， 
则∠𝐹= 180° −∠𝐸−∠𝐷= 100°， 
∴∠𝐹最大，∠𝐷最小，且∠𝐹= 5∠𝐷， 
∴△𝐷𝐸𝐹为“5 倍角三角形”， 
故答案为：100°，5； 
（2）①解：∵∠𝐶= 44°， 
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180° −44° = 136°， 
∵∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐵𝐶的角平分线相交于点𝐷， 
∴∠𝐷𝐴𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐷𝐵𝐴=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶， 
∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴=
1
2 (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) =
1
2 × 136° = 68°， 
∴∠𝐴𝐷𝐵= 180° −(∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴) = 180° −68° = 112°， 
②∵△𝐴𝐵𝐷为“4 倍角三角形”， 
∴∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐴𝐵𝐷或∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐷， 
 
 
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当∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐴𝐵𝐷时，∠𝐴𝐵𝐷= 28°， 
当∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐷时，∠𝐵𝐴𝐷= 28°，则∠𝐴𝐵𝐷= 180° −112° −28° = 40°， 
综上所述，∠𝐴𝐵𝐷的度数为28°或40°． 
 
 
 
1．C 
2．B 
3．直角