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分层作业
13.2.1 三角形的概念
参考答案
判断线段能否构成三角形
1． D
2．B
选取线段构成三角形
4. 16 或17
5. 2，5，6（或3，5，6）
求第三边取值范围
5.A
6.
8
3 < 𝑎< 4
利用三角形三边关系化简绝对值
7.A
8. 3𝑎−2𝑏−𝑐
等腰三角形边长与周长
9.12
10. 3cm或5cm
11.（1）解：设该等腰三角形的底边长为a cm，
∵该等腰三角形的腰长是底边的3 倍，
∴腰长为3𝑎 cm，
题型05
题型04
题型03
题型02
题型01
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又∵等腰三角形的周长是28cm，
∴3𝑎+ 3𝑎+ 𝑎= 28，
解得：𝑎= 4，
∴3𝑎= 12，
此时该等腰三角形的三边长分别为12cm,12cm,4cm，
∵12 + 4 > 12，满足构成三角形的条件，
∴该三角形各边的长分别是12cm,12cm,4cm；
（2）不妨假设能能围成一边是6cm的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①该等腰三角形的腰长是6cm时，设底边长为𝑥 cm，
∵等腰三角形的周长是28cm，
∴6 + 6 + 𝑥= 28，
解得：𝑥= 16，
此时该等腰三角形的三边长分别为6cm, 6cm,16cm，
∵6 + 6 < 16，不满足构成三角形的条件，
∴此种情况不存在；
②当该等腰三角形的底边长是6cm时，设腰长为𝑦 cm，
∵等腰三角形的周长是28cm，
∴𝑦+ 𝑦+ 6 = 28，解得：𝑦= 11，
此时该等腰三角形的三边长分别为11cm,11cm,6cm，
∵6 + 11 > 11，满足构成三角形的条件，
综上所述：能围成一个底边长6cm腰长为11cm的等腰三角形，该等腰三角形的另两边长分别为11cm，11cm.
三角形的稳定性
12.B
13.A
利用三角形三边关系解决综合问题
14.（1）解：根据题意，得8 −4 < 𝑥< 8 + 4，
∴4 < 𝑥< 12，
∵x 为奇数，
∴x 的值为5 或7 或9 或11．
（2）解：边长分别为4，8，x（单位：cm）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形，
题型07
题型06
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∴𝑥= 4或𝑥= 8，
当𝑥= 4时，三边长为4，8，4，
由于4 + 4 = 8，不满足三角形的三边关系，故舍去；
当𝑥= 8时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系，
∴这个等腰三角形的周长为4 + 8 + 8 = 20(cm)．
15（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶的三边长为a，b，c，且𝑎= 3，𝑏= 4，
∴𝑏−𝑎< 𝑐< 𝑏+ 𝑎，即4 −3 < 𝑐< 4 + 3，
∴1 < 𝑐< 7；
（2）解：∵在（1）的条件下，c 为奇数，
∴𝑐= 3或5，
当𝑐= 3时，△𝐴𝐵𝐶的周长= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 3 + 4 + 3 = 10，
当𝑐= 5时，△𝐴𝐵𝐶的周长= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 3 + 4 + 5 = 12，
综上所述，△𝐴𝐵𝐶的周长为10 或12．
16.（1）解：∵𝑎，𝑏，𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶的三边，𝑎+ 𝑏= 3𝑐−2，𝑎−𝑏= 2𝑐−6，
∴{ 3𝑐−2 > 𝑐
|2𝑐−6| < 𝑐
解得：2 < 𝑐< 6；
（2）∵△𝐴𝐵𝐶的周长为18，𝑎+ 𝑏= 3𝑐−2，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 4𝑐−2 = 18，
解得𝑐= 5．
含参等腰三角形
17. 解：若2𝑥为腰长，则三边长为2𝑥, 2𝑥, 𝑥+ 6，列方程得：
2𝑥+ 2𝑥+ (𝑥+ 6) = 28，
解得𝑥= 4.4，
此时三边长为8.8,8.8,10.4，
∵8.8 + 8.8 > 10.4，满足三边关系，此时底边长为10.4；
若𝑥+ 6为腰长，则三边长为2𝑥, 𝑥+ 6, 𝑥+ 6，列方程得：
2𝑥+ 2(𝑥+ 6) = 28，
解得𝑥= 4，
此时三边长为8,10,10，
∵8 + 10 > 10，满足三边关系，此时底边长为8；
若2𝑥= 𝑥+ 6，即已知两边都是腰，
题型08
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解得𝑥= 6，此时两腰长均为12，
则底边长为28 −12 −12 = 4，
三边长为12,12,4，
∵12 + 4 > 12，满足三边关系，此时底边长为4；
综上，底边长度可以为8或10.4或4．
18.解：若2𝑥−1=𝑥+ 1，则x=2，则三边为3,3,4，符合条件，周长为10；
若2𝑥−1=3𝑥−2，则x=1，则三边为1，1，2 无法构成三角形.
若𝑥+ 1=3𝑥−2，则x=
3
2，则三边为
5
2，
5
2，2，符合条件，周长为7；
综上该等腰三角形的周长为10 或7.
1．C
2.7
3.（1）解：设等腰三角形底边长为𝑥cm，则腰长为3𝑥cm，根据题意，得
𝑥+ 3𝑥+ 3𝑥= 21，
解方程，得𝑥= 3，
所以三角形三边长为3，9，9．
（2）若底边长为5cm，设腰长为𝑥cm，根据题意，得𝑥+ 𝑥+ 5 = 21，
解方程，得𝑥= 8，
若腰长为5cm，设底边长为𝑥cm，根据题意，得
𝑥+ 5 + 5 = 21，
解方程，得
𝑥= 11，
由于5 + 5 < 11，可知5cm为腰长不能构成周长21cm的等腰三角形．
所以三角形另外两边长都是8cm．
（3）∵等腰三角形的腰长为𝑎cm，
∴等腰三角形的底边长为(21 −2𝑎)cm，由{ 21 −2𝑎> 0
21 −2𝑎< 2𝑎
，得{
𝑎<
21
2
𝑎>
21
4
，
∴𝑎的取值范围为：
21
4 < 𝑎<
21
2 ．
4.解： （1）设腰长为𝑥, 底边长为𝑦, 则
{2𝑥+ 𝑦= 18
3𝑥= 2𝑦+ 6
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解得：{𝑥= 6
𝑦= 6
所以三角形的三边长分别为：6,6,6.
（2）设腰长为𝑥, 则底边长为𝑥+ 3或𝑥−3,
当腰长为𝑥, 底边长为𝑥+ 3时，则2𝑥+ 𝑥+ 3 = 12,
∴𝑥= 3, 此时三角形不存在，舍去，
当腰长为𝑥, 底边长为𝑥−3时，则2𝑥+ 𝑥−3 = 12,
∴𝑥= 5,
所以三角形的三边分别为：5𝑐𝑚, 5𝑐𝑚, 2𝑐𝑚，此时三角形存在，
（3）设腰长为𝑥, 底边长为𝑦，𝑥, 𝑦都为整数，则
2𝑥+ 𝑦= 8,
∴𝑥= 4 −
1
2 𝑦,
而{ 𝑦＞0
2𝑥＞𝑦
所以：0＜𝑦＜4，且𝑦是2 的倍数，
∴𝑦= 2, 𝑥= 3,
所以三角形的三边长为：3,3,2.
5.（1）∵第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3 倍少6cm，则第二条边长为(3𝑥−6)cm，
∴第三边长为44 −𝑥−(3𝑥−6) = 50 −4𝑥，
（2）已知三角形的三边长分别为𝑥, 3𝑥−6,50 −4𝑥，
①当𝑥= 3𝑥−6，
解得𝑥= 3，则底边长为50 −4 × 3 = 38，
∵3 + 3 = 6 < 38，
此情况不存在，
②当𝑥= 50 −4𝑥，
解得𝑥= 10，则底边长为3𝑥−6 = 30 −6 = 24，
∵10 + 10 = 20 < 24，
此情况不存在，
③当3𝑥−6 = 50 −4𝑥，
解得𝑥= 8，则底边长为𝑥= 8，两腰的长分别为18，
综上所述，若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长分别为8,18,18；
（3）依题意，{
𝑥≤3𝑥−6
𝑥≤50 −4𝑥
𝑥+ (3𝑥−6) > (50 −4𝑥)
(50 −4𝑥) + 𝑥> 3𝑥−6
解得7 < 𝑥<
28
3
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1.C
2. 2 < 𝐴𝐶< 3
3.
27
4 ≺𝑚≺9
4． 解：∵𝑏: 𝑐= 4: 3，
∴设𝑏= 4𝑥，𝑐= 3𝑥 (𝑥> 0)，
∴这个三角形的周长𝐶= 7𝑥+ 5，
由三角形三边关系定理得到：𝑏−𝑐< 𝑎< 𝑏+ 𝑐，
∴4𝑥−3𝑥< 5 < 4𝑥+ 3𝑥 ，
∴
5
7 < 𝑥< 5 ，
∴5 < 7𝑥< 35，
∴10 < 7𝑥+ 5 < 40 ，
∴10 < 𝐶< 40．
1．B
2．C
3．9
