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13.3.1.1 三角形的内角
【学习目标】
1. 掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
2. 能运用三角形内角和定理解决三角形中角度的计算问题，包括已知两角求第三角、已知内角比例关
系列方程求解等。
【学习重点】
1. 三角形内角和定理的内容与证明；
2. 运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。
【学习难点】
1. 三角形内角和定理的证明思路（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角）；
2. 辅助线的引入与作用理解。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1. 获得三角形内角和为180°的方法有
2.几何证明三角形内角和为180°的辅助线做法的思路是 。
【课堂探究】
探究一、三角形内角和
【引导回顾】问1.三角形按角可以分为哪几类？
问2.三角尺的三个角之和是多少？
问3.任意三角形的内角和都是180°吗？
1.测量法
【方法一：测量法】
1. 发放实验记录单，指导学生操作：
（1）画一个任意三角形ABC；
（2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C 的度数；
（3）计算三个角的和，记录在表格中；
（4）换不同形状的三角形重复实验。
2. 展示学生的实验数据，提问：观察这些数据，你发现了什么？
2. 折叠法
【方法二：折叠法】
1. 演示操作步骤：
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（3）观察折叠后的形状。
2. 提问：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？
3.剪拼法
【方法三：剪拼法】
1. 演示操作步骤：
（1）画三角形ABC，标出三个内角；
（2）沿边剪下三个角；
（3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形。
2. 播放剪拼法动态动画，提问：三个角拼成了一个什么角？
3.几何证明法
【过渡提问】我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想
一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补）
【引导思路】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。
怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。
问1:观察图象∠1 和∠2 之间有什么关系, ∠3 和∠4 之间有什么关系？
问2.直线a和直线b有何特殊位置关系?
你发现了证明的思路吗？
【证法1：过顶点作平行线】
已知：如图△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
（1）将三角形的三个角向内折叠；
（2）使三个角的顶点重合于一点；
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典例分析
【例1】基础应用
（1）在△ABC 中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A 的度数为_________。
（2）在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B=______。
（3）求出下列各图形中x 的值
【例2】（1）在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。
（2）在△ABC 中，∠A=
1
2∠B=
1
6∠C，求三个内角的度数。
（3）在△ABC 中，∠A-∠B=15°，∠B-∠C=30°，求∠A、∠B、∠C 的度数。
（4）在△ABC 中， ∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数
【例3】综合应用（角平分线）
如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。
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【例4】实际应用（方位角）
如图是A、B、C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B
岛的北偏西40°方向。求从C 岛看A、B 两岛的视角∠ACB 的度数。
变式训练
1. 如图，在△ABC 中，∠A=46°，CE 是∠ACB 的平分线，B、C、D 在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，
求∠B 的度数。
2. 如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 平分∠ABC，求∠BDC 的度数。
3. 轮船从B 处沿南偏东30°方向航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达
点C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，求∠A 的度数。
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【课堂总结】
【课堂练习】
1. 在△ABC 中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C 的度数为（ ）
A. 20° B. 60° C. 80° D. 100°
2. 如图，△ABC 平移后得到△DEF，∠A=55°，∠B=45°，则∠DFE 的度数是____。
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为_________
4. 一个内角为30°的直角三角板与两条平行线l₁和l₂相交，已知∠1=50°，则∠2 的度数为___。
4. 如图，AC 和BD 相交于点O，∠A=20°，∠B=40°，则∠C+∠D 的度数为____。
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线BE、CD 相交于点F，已知∠ABC=52°，∠A=60°，求
∠BFC 的度数。
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7.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A 岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的
北偏东30°方向，求从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB的度数.
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
