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13.3.1.1 三角形的内角
【学习目标】
1. 掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
2. 能运用三角形内角和定理解决三角形中角度的计算问题，包括已知两角求第三角、已知内角比例关
系列方程求解等。
【学习重点】
1. 三角形内角和定理的内容与证明；
2. 运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。
【学习难点】
1. 三角形内角和定理的证明思路（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角）；
2. 辅助线的引入与作用理解。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1. 获得三角形内角和为180°的方法有测量法、折叠法、剪拼法、几何证明法。
2.几何证明三角形内角和为180°的辅助线做法的思路是利用平行线把三个角转化到一个平角中。
【课堂探究】
探究一、三角形内角和
【引导回顾】问1.三角形按角可以分为哪几类？
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
问2.三角尺的三个角之和是多少？
30°+60°+90°= 180°
45°+45°+90°= 180°
问3.任意三角形的内角和都是180°吗？
大胆猜想：三角形三个内角的和是个定值为180°
1.测量法
【方法一：测量法】
1. 发放实验记录单，指导学生操作：
（1）画一个任意三角形ABC；
（2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C 的度数；
（3）计算三个角的和，记录在表格中；
（4）换不同形状的三角形重复实验。
2. 展示学生的实验数据，提问：观察这些数据，你发现了什么？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
2. 折叠法
【方法二：折叠法】
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1. 演示操作步骤：
（3）观察折叠后的形状。
2. 提问：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
3.剪拼法
【方法三：剪拼法】
1. 演示操作步骤：
（1）画三角形ABC，标出三个内角；
（2）沿边剪下三个角；
（3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形。
2. 播放剪拼法动态动画，提问：三个角拼成了一个什么角？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
【教师总结】
1、测量法操作简单、数据直观，但由于测量存在误差，结果都接近180°，但不一定精确等于180°。
2、剪拼法直观展示了三个角可以拼成一个平角，但操作过程会破坏纸片，且拼接时的微小偏差可能影响
判断。
3. 折叠法，不破坏纸片，可重复，但折叠需较精准：
三种方法都验证了我们的猜想：三角形的内角和等于180°，且和三角形的形状、大小无关。但这都是实验
得出的结果，要说明“所有三角形的内角和都是180°”，还需要严格的数学证明。有什么科学严谨的方法来
论证了？
3.几何证明法
【过渡提问】我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想
一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补）
【引导思路】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。
怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。
问1:观察图象∠1 和∠2 之间有什么关系, ∠3 和∠4 之间有什么关系？
∠1 和∠2 是内错角，且∠1=∠2；∠3 和∠4 是同位角，且∠3=∠4；
问2.直线a和直线b有何特殊位置关系?
a//b
你发现了证明的思路吗？
（1）将三角形的三个角向内折叠；
（2）使三个角的顶点重合于一点；
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【证法1：过顶点作平行线】
已知：如图△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
证法1.证明：过点C 作直线l∥AB。
∵l∥AB，
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），
∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
【证法2：拓展】还可以过点A 作BC 的平行线，或者延长BC 构造平行线，思路都是一样的：利用平行
线把三个角转化到一个平角中。
思考教师的问题，联想平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，或者内错角相等。
观察教师的作图，理解“过C 作AB 的平行线”的作用：把∠A 和∠B 分别“移”到∠C 的旁边，和∠C 组成平
角。
证法2：过点A作l∥BC，
∴∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法3：过点A作l∥BC，
∴∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠B+∠BAD=180.(两直线平行,同旁内角相等)
∵∠BAD=∠BAC+∠1=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
证法4：过边BC上一点D作l∥AB， m∥AC
∴∠B=∠1,∠C=∠2,∠A=∠3,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠4=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
【强调】为了证明需要添加的线叫“辅助线”，我们用虚线表示。
【归纳定理】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
典例分析
【例1】基础应用
（1）在△ABC 中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A 的度数为 60° 。
（2）在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B= 50° 。
（3）求出下列各图形中x 的值
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x=70 x=60 x=30 x=50
规律与方法：8 字模型中： ∠A+∠B=∠C+∠D
【小结】已知两角求第三角，直接用内角和定理列式计算。
【例2】（1）在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。
（2）在△ABC 中，∠A=
1
2∠B=
1
6∠C，求三个内角的度数。
（3）在△ABC 中，∠A-∠B=15°，∠B-∠C=30°，求∠A、∠B、∠C 的度数。
（4）在△ABC 中， ∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数
解：设∠A=2x°，∠B=3x°，∠C=4x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即2x+3x+4x=180,解得x=20，
∴∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°
解：设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=6x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即x+2x+6x=180,解得x=20，
∴∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°
解：设∠A=(x+60)°，∠B=(x+30)°，∠C=x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即x+60+x+30+x=180,解得x=30，
∴∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°
解：设∠A=3x°，∠B=x°，∠C=(x+15)°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即3x+x+(x+15)=180,解得x=33，
∴∠A=99°，∠B=33°，∠C=48°
【引导】这类题设中给了三个角的数量关系，我们可以用什么方法解决？（方程思想：设未知数，利用
“三个角和为180°”列方程）
规律与方法：已知三角形的三个内角之间的关系求内角的度数，可利用方程思想来解决，其中三角形内角
和为180°就是等量关系.
【例3】综合应用（角平分线）
如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。
【思路引导】先在△ABC 中求∠BAC 和∠B 的和，再在△ABD 中用内角和定理求∠ADB。
解：∵∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，
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∴∠BAD=
1
2 ∠BAC=20 °.
在△ABD中，∠ADB=180°–∠B –∠BAD
∴∠ADB =180°–75°–20°=85°.
【例4】实际应用（方位角）
如图是A、B、C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B
岛的北偏西40°方向。求从C 岛看A、B 两岛的视角∠ACB 的度数。
【思路引导】结合方位角求出∠CAB 和∠ABC，再用内角和定理求∠ACB；也可以过C 作AD 的平行线，
利用平行线的性质求解。
法一：解：∵∠CAB=∠BAD － ∠CAD，
又∵ ∠BAD=80°， ∠CAD=50°，
∴∠CAB=80° － 50°=30°.
∵AD//BE，∴∠ BAD+∠ ABE=180°.
∴∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°,
∠ABC=∠ABE －∠EBC=100°－40°=60°，
在△ABC中，∠ACB =180°－∠ABC －∠CAB =180°－60°－30°=90°.
方法二：解：由题意可得：
∠DAC=50°， ∠DAB=80°， ∠CBE=40°
过点C作CF//AD
∵ CF//AD, AD//BE，
∴ CF//BE，
∴∠BCF＝∠CBE ＝40 °, ∠ACF＝∠DAC ＝50 °,
∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF ＝50 ° ＋40 ° ＝90 °
变式训练
1. 如图，在△ABC 中，∠A=46°，CE 是∠ACB 的平分线，B、C、D 在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，
求∠B 的度数。
解：∵FD//EC, ∠D=42°
∴∠BCE=∠D=42°
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠BCE=84°
∵∠B=180°−∠ACB−∠A=50° ,∠A=46°
∴∠B=180°−84°−46°=50°
2. 如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 平分∠ABC，求∠BDC 的度数。
解：∵∠C＝∠ABC=2∠A，∴设∠A=x°，则∠C＝∠ABC= 2x°
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C =180°，
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∴x+2x+2x=180，解得x=36.即∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝
1
2 ∠ABC＝
1
2 ×72°＝36°
∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=180°－36°－72°=72°
3. 轮船从B 处沿南偏东30°方向航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达
点C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，求∠A 的度数。
解：根据题意画出图形，得∠1＝∠2＝30°
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°＋60°＝90°
∵∠CBA＝75°－30°＝45°，
∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.
【课堂总结】
【课堂练习】
1. 在△ABC 中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C 的度数为（D ）
A. 20° B. 60° C. 80° D. 100°
2. 如图，△ABC 平移后得到△DEF，∠A=55°，∠B=45°，则∠DFE 的度数是_80°___。
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为____50°_____
4. 一个内角为30°的直角三角板与两条平行线l₁和l₂相交，已知∠1=50°，则∠2 的度数为_70°__。
4. 如图，AC 和BD 相交于点O，∠A=20°，∠B=40°，则∠C+∠D 的度数为_60°___。
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5. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线BE、CD 相交于点F，已知∠ABC=52°，∠A=60°，求
∠BFC 的度数。
解：∵∠ABC＝52°，∠A＝60°，
∴∠ACB＝68°.
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC＝
1
2 ∠ABC＝26°，∠FCB＝
1
2 ∠ACB＝34°.
∴∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝120°.
7.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A 岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的
北偏东30°方向，求从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB的度数.
解：由题意，得∠DAC＝50°.∠DAB＝80°
∴∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝30°.
∵AD//BE，∴∠DAB＋∠ABE＝180°.
∴∠ABE＝180°－∠DAB＝100°.
又∵∠CBE＝30°，
∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝130°.
由三角形内角和定理，得∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝20°.
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
