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13.2 三角形有关的线段
课标要点
1.探索并说明（或证明）三角形任意两边之和大于第三边，能运用该关系判断三条线段
能否构成三角形，或已知两边求第三边的取值范围。
2.理解三角形中线、高线、角平分线的概念，能画出任意三角形（锐角、直角、钝角）
的中线、高线、角平分线。
3.了解三角形重心的概念（三角形三条中线交于一点即重心）。
4.了解三角形的稳定性及其在生产生活中的简单应用。
学习重难点
重点：
1.三角形三边关系的理解与运用（判断、求取值范围）。
2.三角形高、中线、角平分线的概念及画法（特别是钝角三角形高的位置）。
3.三角形稳定性的直观认识及应用举例。
难点：
1.钝角三角形高的画法与前两高的位置辨析,钝角三角形中，两条高落在三角形外部，
学生容易画错或找不到垂足。
2.三边关系中"任意"二字的理解及逆向应用,已知两边长求第三边取值范围时，易忽略
需同时满足三个不等式（或忘记用"两边之差＜第三边＜两边之和"）。
3.用符号语言规范表述中线、角平分线、高等比例关系与等量关系
第十三章
三角形
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知识点一 三角形的三边关系
1．三角形三边满足的条件
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边
符号语言：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐶 ；𝐵𝐶+ 𝐴𝐵> 𝐴𝐶；𝐴𝐶+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐵
𝐴𝐵−𝐴𝐶> 𝐵𝐶;𝐵𝐶−𝐴𝐵> 𝐴𝐶;𝐵𝐶−𝐴𝐶> 𝐴𝐵
方法指导：
即学即练
．．．．
1． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6
B．2，5，8
C．3，5，7
D．9，2，2
【答案】C
【知识点】构成三角形的条件
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断即可，只需比较较短两边的和与最长边的大小即
可快速判断．
【详解】解：选项A：3 + 3 = 6，等于第三边，不能组成三角形；
选项B：2 + 5 = 7 < 8，和小于第三边，不能组成三角形；
选项C：3 + 5 = 8 > 7，满足三边关系，能组成三角形；
选项D：2 + 2 = 4 < 9，和小于第三边，不能组成三角形
2．下列各组线段，无法构成三角形的是（ ）
A．5,7,9
B．2𝑛, 3𝑛, 4𝑛ሺ𝑛> 0ሻ
C．𝑚+ 1, 𝑚+ 2, 𝑚+ 3ሺ𝑚> 0ሻ
D．6,8,15
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】只需比较较小两条边的和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形．
【详解】解：A、∵ 5 + 7 = 12 > 9，∴ 可以构成三角形.
B、∵ 𝑛> 0，2𝑛+ 3𝑛= 5𝑛> 4𝑛，∴ 可以构成三角形.
特别提醒
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成
三角形;若不满足，则不能构成三角形.
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C、∵ 𝑚> 0，ሺ𝑚+ 1ሻ+ ሺ𝑚+ 2ሻ= 2𝑚+ 3 > 𝑚+ 3，∴ 可以构成三角形.
D、∵ 6 + 8 = 14 < 15，不满足三边关系，∴ 无法构成三角形．
3．长为100cm,70cm, 50cm, 30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法．
【答案】2
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．
首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．
【详解】解：有两种选法，理由如下：
根据题意分为四种情况：100cm, 70cm, 50cm；100cm, 70cm,30cm；100cm,30cm,50cm；
30cm, 70cm, 50cm．
在第一种情况中：50 + 70 = 120 > 100，能构成三角形；
在第二种情况中：30 + 70 = 100，不能构成三角形；
在第三种情况中：30 + 50 = 80 < 100，不能构成三角形；
在第四种情况中：30 + 50 = 80 > 70，能构成三角形；
综上，从长为100cm,70cm,50cm,30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法．
故答案为：2．
知识点二 三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
即学即练
．．．．
1． 北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共
设计了112 对224 根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（ ）．
特别提醒
怎样判断一个图形是否具有稳定性
从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个
图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性
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A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性及应用
【详解】解：∵斜拉桥的斜拉索、桥塔和桥面构成了三角形结构，
∴设计斜拉索所运用的几何原理是三角形的稳定性．
2．列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．活动衣架
B．拉杆
C．三脚架
D．太阳能热水器
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【详解】解：A．没有应用到三角形的稳定性，故该选项符合题意，
B．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意，
C．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意，
D．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意．
3． 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形具有稳定性、多边形不具有稳定性解答即可．
【详解】解：A、四边形具有不稳定性，不符合题意；
B、三角形具有稳定性，符合题意；
C、四边形不具有稳定性，不符合题意；
D、长方形不具有稳定性，不符合题意．
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知识点三 三角形中线、角平分线、高线
一、高
1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。
★三角形的高是线段，而垂线是直线
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高(已知)
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 或∠𝐴𝐷𝐵= 90°或∠𝐴𝐷𝐶= 90° (三角形高的定义)
2.三角形的面积𝑆=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐶𝐹=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐸
可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”
3.等底,等高的三角形面积相等
4.等底不等高的三角形面积之比等于高之比；
5.等高不等底的三角形面积之比等于底之比.
二、中线
1、定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。
★三角形的中线是线段
几何语言：
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的中线(已知)
∴AD = DB =
1
2 𝐴𝐵 (三角形中线的定义)
2、∵𝐶∆𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷,𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝐶∆𝐴𝐵𝐷−𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差
3、中线分面积
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸,𝑆∆𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 𝐶𝐷× 𝐴𝐸,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐷
结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分
4.拓展推论：如图AD, BE, CF 分别为▲ABC 边BC, AC, AB 边上的中线，
则（1）𝑺∆𝑨𝑶𝑬= 𝑺∆𝑨𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑫= 𝑺∆𝑪𝑶𝑬= 𝑺∆𝑪𝑶𝑫
（2）𝑺∆𝑨𝑶𝑪= 𝑺∆𝑩𝑶𝑪= 𝑺∆𝑨𝑶𝑩
（3）𝐴𝑂= 2𝑂𝐷,𝐵𝑂= 2𝑂𝐸,𝐶𝑂= 2𝑂𝐹任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点
又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2 倍）
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三、角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的
角平分线.
★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的平分线(已知)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶(三角形角平分线的定义)
∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷
四、三角形的中线、角平分线、高的数量和位置
即学即练
．．．．
1． （24-25 八年级上·重庆大足·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、中线𝐵𝐸相交于点𝑂，则① 𝐴𝑂
是△𝐴𝐵𝐸的角平分线；② 𝐵𝑂是△𝐴𝐵𝐷的中线；③ 𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的中线；④ 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，其中结论正
确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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【答案】C
【知识点】根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义
【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可．
【详解】解：①∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴𝐴𝑂平分∠𝐵𝐴𝐸，
∴𝐴𝑂是△𝐴𝐵𝐸的角平分线，原说法正确；
②∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，中线是顶点与对边中点的连线，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶，
∴𝑂不是𝐴𝐷的中点，
∴𝐵𝑂不是△𝐴𝐵𝐷的中线，原说法错误；
③∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶，
∴𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的中线，原说法正确；
④∵𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的中线，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，原说法正确，
∴有3个是正确的．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐹，𝐵𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶边上的中线．已知𝐴𝐸= 2，𝐴𝐹= 3，且△𝐴𝐵𝐶的周长为
15，𝐵𝐶边上的高为3.96，求△𝐴𝐵𝐶的面积．
【答案】9.9
【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题
【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得BC，再用三角
形面积公式即可的解．
【详解】解：∵𝐶𝐹，𝐵𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶边上的中线，𝐴𝐸= 2，𝐴𝐹= 3，
∴𝐴𝐵= 2𝐴𝐹= 2 × 3 = 6，
𝐴𝐶= 2𝐴𝐸= 2 × 2 = 4．
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为15，
∴𝐵𝐶= 15 −6 −4 = 5，
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∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 5 × 3.96 = 9.9．
【点睛】本题考查了三角形中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．已知𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸为线段𝐴𝐷上一点．
（1）如图1，若𝐴𝐵−𝐴𝐶= 3，△𝐴𝐷𝐶的周长为10，求△𝐴𝐵𝐷的周长；
（2）若△𝐵𝐷𝐸的面积为20，𝐵𝐷= 8，请在图2 中作△𝐵𝐷𝐸的𝐵𝐷边上的高，并求出点𝐸到直线𝐵𝐶的距
离；
（3）如图3，若∠𝐴𝐵𝐷= 40°，∠𝐴𝐷𝐵= 110°，射线𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷，点𝑃是射线𝐵𝐸上一点，且直线𝐷𝑃与△
𝐵𝐷𝐸的一条边所在的直线垂直，请直接写出∠𝐵𝐷𝑃的度数．
【答案】（1）13；（2）图见解析，5；（3）20°，70°，90°
【知识点】点到直线的距离、三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题
【分析】(1)根据三角形的中线的定义得到𝐵𝐷= 𝐷𝐶, 根据三角形的周长公式计算，得到答案;
(2)根据三角形的高的概念作出EF,根据三角形的面积公式求出EF，得到点E 到直线BC 的距离；
(3)分𝐷𝑃⊥𝐵𝐸、𝐷𝑃⊥𝐵𝐷、𝐷𝑃⊥𝐸𝐷三种情况，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算即可.
【详解】解：（1）∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷．
∵𝐴𝐵−𝐴𝐶= 3，
∴ሺ𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷ሻ−ሺ𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷ሻ= 3，
即△𝐴𝐵𝐷的周长−△𝐴𝐷𝐶的周长= 3．
∵△𝐴𝐷𝐶的周长为10，
∴△𝐴𝐵𝐷的周长为13．
（2）如图，𝐸𝐹即为所作．
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∵△𝐵𝐷𝐸的面积为20，即𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹= 20，且𝐵𝐷= 8，
∴𝐸𝐹= 5，即点𝐸到直线𝐵𝐶的距离为5．
（3）∵∠𝐴𝐵𝐷= 40° ，BE 平分∠ABD,
∴∠𝐷𝐵𝐸= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐷= 20°,
①𝐷𝑃⊥𝐵𝐸时，
∠𝐵𝑃𝐷= 90°,
∠𝐵𝐷𝑃= 90° −∠𝐷𝐵𝐸= 90° −20° = 70°
②𝐷𝑃1 ⊥𝐵𝐷时,∠𝐵𝐷𝑃1 = 90°；
③𝐷𝑃2 ⊥𝐷𝐸时,
∠𝑃2𝐷𝐸= 90°,
∴∠𝐵𝐷𝑃2 = ∠𝐴𝐷𝐵−∠𝑃2𝐷𝐸= 110° −90° = 20°．
【点睛】本题考查的是三角形的周长和面积的计算、三角形的中线和高的概念、垂直的定义，灵活运用分
情况讨论思想是解题的关键.
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题型01 利用三边关系解决问题
典｜例｜精｜析若a、b、c 为三角形的三边长，且a、b 满足|𝑎−3| + ሺ𝑏−2ሻ2 = 0，则第三边长c 的取
值范围是_____．
【答案】1 < 𝑐< 5
【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用
【分析】先根据非负数的性质求出a、b 的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：∵a、b 满足|𝑎−3| + ሺ𝑏−2ሻ2 = 0，
∴𝑎−3 = 0，𝑏−2 = 0，
∴𝑎= 3，𝑏= 2，
∵a、b、c 为三角形的三边长，
∴3 −2 < 𝑐< 3 + 2，即1 < 𝑐< 5．
变｜式｜巩｜固
1．（2022 八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，𝐴𝐵= 5，𝐶𝐷= 3，𝐵𝐶= 11，用小钉子把木棒𝐴𝐵和𝐵𝐶，
𝐵𝐶和𝐶𝐷分别在端点𝐵，𝐶处连接起来，用橡皮筋把𝐴𝐷连接起来．
（1）设橡皮筋𝐴𝐷的长为𝑥，则𝑥的最大值是________，最小值是_______．
（2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长𝑥的取值范围是________．
（3）连接𝐴𝐶，若𝐴𝐷= 4，𝐴𝐶的长为整数，则𝐴𝐶的长是_______．
【答案】 19 3 3 < 𝑥< 19 7
【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用
【分析】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的
线段的长；
（2）当𝑥大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定𝑥的取值范
围；
（3）先根据三角形的三边关系求出𝐴𝐶的范围，再结合𝐴𝐶的长为整数的条件即可求解．
【详解】解：（1）要求𝐴𝐷的最大值，即将𝐴𝐵绕𝐵点逆时针方向旋转，使其与𝐵𝐶在一条直线上；将𝐶𝐷绕𝐶
点顺时针方向旋转，使其与𝐵𝐶在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为𝐴、𝐵、𝐶、𝐷．
解题贴士
已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。
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∵𝐴𝐵= 5，𝐶𝐷= 3，𝐵𝐶= 11，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 5 + 11 + 3 = 19；
要求𝐴𝐷的最小值，即将𝐴𝐵绕𝐵点顺时针方向旋转，使其与𝐵𝐶共线；将𝐶𝐷绕𝐶点逆时针方向旋转，使其与
𝐵𝐶共线，即四点共线，从左到右依次为𝐵、𝐴、𝐷、𝐶．
∵𝐴𝐵= 5，𝐶𝐷= 3，𝐵𝐶= 11，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶−𝐴𝐵−𝐶𝐷= 11 −5 −3 = 3；
综上，𝑥的最大值是19，最小值是3．
（2）由（1）可知，要围成四边形，则𝑥的取值范围为：3 < 𝑥< 19．
（3）在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 11，
∴11 −5 < 𝐴𝐶< 11 + 5，即6 < 𝐴𝐶< 16，
∵𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 3，
∴4 −3 ≤𝐴𝐶≤4 + 3，即1 ≤𝐴𝐶≤7，
∴6 < 𝐴𝐶≤7，
∵𝐴𝐶的长为整数，
∴𝐴𝐶= 7．
2．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知△𝐴𝐵𝐶的三边分别为a，b，c，且𝑎= 4，𝑏= 6．
(1)若c 的长为小于6 的偶数，求c 的长；
(2)在（1）的条件下，判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
【答案】(1)4
(2)等腰三角形
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】（1）先利用三角形三边关系确定𝑐的取值范围，再结合𝑐为小于6的偶数的条件求出𝑐的值；
（2）根据边长特征判断三角形形状．
【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，三边长为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑎= 4，𝑏= 6，
∴ 6 −4 < 𝑐< 6 + 4，即 2 < 𝑐< 10，
∵𝑐为小于6的偶数，
∴𝑐= 4，即𝑐的长为4；
（2）解：由（1）得𝑎= 4，𝑐= 4，
∴𝑎= 𝑐，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．
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题型02 等腰三角形的边长与周长
典｜例｜精｜析（1）等腰三角形的两条边长分别为4 和7，则这个等腰三角形的周长是_____
（2）如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______．
（3）已知一个等腰三角形的三边长分别为3𝑥−2，4𝑥−3，7，则这个等腰三角形的周长为__________
【答案】15 或18 5 19.5或23
【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义
【分析】（1）本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰为3 时和当腰为7
时，根据三角形两边之和大于第三边，判断哪种情况成立，从而计算周长即可．
（2）由于条件未明确该边是腰还是底边，因此需要分情况讨论，再利用三角形三边关系验证能否构成三
角形即可．
(3) 分三种情况讨论∶ 当3𝑥−2是底边时，当4𝑥−3是底边时，当7 是底边时，即可求解．
【详解】（1）解：∵等腰三角形的两边分别为3 和7，
∴可能情况：①腰为3，底为7；②腰为7，底为3；
对于①：因为3 + 3 = 6 < 7，不满足三角形三边关系，舍去；
对于②：因为7 + 3 > 7，满足三角形三边关系；
故周长为7 + 7 + 3 = 17，
（2）解：分两种情况：
当边长3为腰长时，底边长为13 −3 × 2 = 7，
∵3 + 3 = 6 < 7，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
当边长3为底边长时，腰长为
13−3
2
= 5，
此时满足三角形三边关系，能构成三角形，
因此腰长为5．
(3) 解：①当3𝑥−2是底边时，则腰长为：4𝑥−3，7，
∴4𝑥−3 = 7，
∴𝑥= 2.5，
∴3𝑥−2 = 5.5，
∴等腰三角形的周长= 7 + 7 + 5.5 = 19.5；
②当4𝑥−3是底边时，则腰长为：3𝑥−2，7，
解题贴士
等腰三角形相关概念：相等的两条边都叫腰，另一边叫做底.
熟练掌握等腰三角形的性质，未明确底和腰时，要注意分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构
成三角形
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∴3𝑥−2 = 7，
∴𝑥= 3，
∴4𝑥−3 = 9，
∴等腰三角形的周长= 7 + 7 + 9 = 23；
③当7 是底边时，则腰长为：3𝑥−2，4𝑥−3，
∴3𝑥−2 = 4𝑥−3，
∴𝑥= 1，
∴3𝑥−2 = 1，4𝑥−3 = 1，
∵1 + 1 < 7，
∴不能构成三角形．
则三角形的周长为19.5或23．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰
三角形，并注意利用分类讨论思想解答是解题的关键．
变｜式｜巩｜固
3.（22-23 八年级上·天津南开·期中）在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，一腰上的中线𝐵𝐷将三角形的周长分
成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
【答案】这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9或腰长为12，底边长为21；
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义、等边对等角、根据三角形中线求长度
【分析】根据三角形中线的定义可得𝐴𝐷= 𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶，再设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2𝑥，𝐵𝐶= 𝑦，则𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥，然
后分两种情况：分别进行计算即可解答；
【详解】解：∵𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2𝑥，𝐵𝐶= 𝑦，则𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥，
分两种情况：
①{2𝑥+ 𝑥= 27
𝑥+ 𝑦= 18
，
解得：{𝑥= 9
𝑦= 9
，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 18，
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∴这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9，
②{2𝑥+ 𝑥= 18
𝑥+ 𝑦= 27
，
解得：{ 𝑥= 6
𝑦= 21
，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 12，
∴这个等腰三角形的腰长为12，底边长为21，
综上所述：这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9或腰长为12，底边长为21，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的定义，分情况讨论是解题的关键．
4.用一根长度为21cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3 倍，求各边长；
(2)所围成的等腰三角形的一边长为5cm，求另两边长．
(3)若所围成的等腰三角形的腰长为𝑎cm，请直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)三角形三边长为3，9，9；
(2)三角形另外两边长都是8cm；
(3)
21
4 < 𝑎<
21
2 ．
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】（1）设等腰三角形底边长为𝑥cm，则腰长为3𝑥cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求
得各边的长；
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（2）分5 是底边和腰长两种情况讨论求解，并利用三角形三边关系进行检验；
（3）根据题意不等式组即可得到结论．
【详解】（1）解：设等腰三角形底边长为𝑥cm，则腰长为3𝑥cm，根据题意，得
𝑥+ 3𝑥+ 3𝑥= 21，
解方程，得𝑥= 3，
所以三角形三边长为3，9，9．
（2）若底边长为5cm，设腰长为𝑥cm，根据题意，得𝑥+ 𝑥+ 5 = 21，
解方程，得𝑥= 8，
若腰长为5cm，设底边长为𝑥cm，根据题意，得
𝑥+ 5 + 5 = 21，
解方程，得
𝑥= 11，
由于5 + 5 < 11，可知5cm为腰长不能构成周长21cm的等腰三角形．
所以三角形另外两边长都是8cm．
（3）∵等腰三角形的腰长为𝑎cm，
∴等腰三角形的底边长为ሺ21 −2𝑎ሻcm，由{ 21 −2𝑎> 0
21 −2𝑎< 2𝑎
，得{
𝑎<
21
2
𝑎>
21
4
，
∴𝑎的取值范围为：
21
4 < 𝑎<
21
2 ．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，熟练掌握三角形的三边关系是解
题的关键．
题型03 利用三边关系化简求值
典｜例｜精｜析已知2，𝑎−1，4 是三角形的三边长，化简|𝑎−3| + |𝑎−7| =______．
【答案】4
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、确定第三边的取值范围
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a 的取值范围，进
而得到化简结果．
【详解】解：由三角形三边关系定理得4 −2 < 𝑎−1 < 4 + 2，
即3 < 𝑎< 7．
∴|𝑎−3| + |𝑎−7| = 𝑎−3 + 7 −𝑎= 4．
解题贴士
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出线段取值范围，再去绝对值进行化简求值
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变｜式｜巩｜固
5.（25-26 七年级下·广东梅州·期中）已知a、b、c 是三角形的三边，化简|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏+ 𝑐−𝑎| −
|𝑐−𝑎−𝑏| =___________．
【答案】−3𝑎+ 𝑏+ 3𝑐
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用
【分析】根据三角形三边关系得到三边满足的不等式关系，判断绝对值内各式的正负，再根据绝对值的性
质去掉绝对值符号，合并同类项即可求解．
【详解】∵𝑎，𝑏，𝑐是三角形的三边，
∴根据三角形三边关系可得𝑏+ 𝑐> 𝑎，𝑎+ 𝑏> 𝑐，
∴𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑏+ 𝑐−𝑎> 0，𝑐−𝑎−𝑏< 0，
|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏+ 𝑐−𝑎| −|𝑐−𝑎−𝑏|
= −ሺ𝑎−𝑏−𝑐ሻ+ ሺ𝑏+ 𝑐−𝑎ሻ−[−ሺ𝑐−𝑎−𝑏ሻ]
= −𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑏+ 𝑐−𝑎+ 𝑐−𝑎−𝑏
= −3𝑎+ 𝑏+ 3𝑐．
6.（25-26 七年级下·重庆万州·期中）已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三条边长，化简|𝑎−𝑏+ 𝑐| + |𝑐−𝑎−𝑏| +
|𝑎|的结果为____．
【答案】
3𝑎
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、整式的加减运算
【分析】先根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合
并同类项即可得到结果．
【详解】解：∵a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三条边长，
∴𝑎+ 𝑐> 𝑏，𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑎> 0，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，𝑐−𝑎−𝑏< 0，
∴|𝑎−𝑏+ 𝑐| + |𝑐−𝑎−𝑏| + |𝑎|
= 𝑎−𝑏+ 𝑐−ሺ𝑐−𝑎−𝑏ሻ+ 𝑎
= 𝑎−𝑏+ 𝑐−𝑐+ 𝑎+ 𝑏+ 𝑎
= 3𝑎．
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题型04 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题
典｜例｜精｜析（25-26 八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（ ）
A．任意三条线段都可以围成三角形
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的三条高一定相交于一点
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
【答案】D
【知识点】重心的概念、构成三角形的条件、画三角形的高、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、
高、中线及重心的定义．
逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性．
【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段
都能围成三角形，此选项不符合题意；
B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意；
C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交
于一点，此选项不符合题意；
D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，此选项符合题意．
故选：D．
变｜式｜巩｜固
7.（24-25 八年级上·山东德州·期中）如图所示，𝐵𝐷，𝐵𝐸，𝐵𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高、角平分线和中线，则下
列选项中错误的是（ ）
A．𝐴𝐸= 𝐸𝐶
B．∠𝐴𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶
C．𝐴𝐶= 2𝐶𝐹
D．𝐵𝐷⊥𝐶𝐷
【答案】A
解题贴士
本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中
线及重心的定义
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【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边
垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段．
【详解】解：对于选项A，∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，并非中线，
∴不能推出𝐴𝐸= 𝐸𝐶，该选项错误；
对于选项B，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，根据角平分线的定义，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，该选项正确；
对于选项C，∵𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐹为𝐴𝐶的中点，即𝐴𝐶= 2𝐶𝐹= 2𝐴𝐹，该选项正确；
对于选项D，∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，即𝐵𝐷⊥𝐶𝐷，该选项正确．
故选：A．
8.（25-26 七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．钝角三角形有两条高在三角形内部
B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部
C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部
D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部
【答案】B
【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义
【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可．
【详解】解：∵钝角三角形只有1 条高在三角形内部，2 条高在三角形外部，
∴ A 选项错误；
∵钝角三角形有2 条高不在三角形内部，直角三角形有2 条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3
条高都在三角形内部，不存在3 条高都不在三角形内部的情况，
∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B 选项正确；
∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部，
∴C 选项错误；
∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部，
∴ D 选项错误．
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题型05 与三角形的高有关的计算
典｜例｜精｜析（22-23 八年级上·湖北恩施·期中）如图，𝐴𝐷，𝐶𝐸是三角形△𝐴𝐵𝐶的两条高，𝐴𝐵=
4cm，𝐵𝐶= 8cm，𝐶𝐸= 6cm，𝐴𝐷的长为（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】根据三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：∵
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐸
∴8𝐴𝐷= 4 × 6，解得：𝐴𝐷= 3．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，根据同一个三角形面积相等列方程是解答本题的关键．
变｜式｜巩｜固
9．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 6，𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷= 3，𝐵𝐷= 2，则△𝐴𝐶𝐷的面
积是___________．
【答案】6或12/12或6
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由
题意，分别讨论𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部和𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶外部两种情况，求出𝐶𝐷的长度，利用三角形面积公式即可
解答．
解题贴士
1.三角形的面积𝑆=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐶𝐹=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐸
可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”
2.等底,等高的三角形面积相等
3.等底不等高的三角形面积之比等于高之比；
4.等高不等底的三角形面积之比等于底之比.
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【详解】解：如图所示，当𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部时，
∵𝐵𝐶= 6，𝐵𝐷= 2，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶−𝐵𝐷= 4
又∵𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷= 3，
∴△𝐴𝐶𝐷的面积是
1
2 × 4 × 3 = 6；
如图所示，当𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶外部时，
∵𝐵𝐶= 6，𝐵𝐷= 2，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐵𝐷= 8
又∵𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷= 3，
∴△𝐴𝐶𝐷的面积是
1
2 × 8 × 3 = 12；
综上，△𝐴𝐶𝐷的面积是6或12，
故答案为：6或12．
10．（25-26 九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 4，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10，
𝐵𝐷= 2𝐶𝐷，则𝐷𝐶长为________．
【答案】
5
3/1
2
3
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形的面积，由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10可求得𝐵𝐶的长度，再根据𝐵𝐷= 2𝐶𝐷即可求出𝐷𝐶，解答
的关键是熟记三角形的面积公式．
【详解】解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐵𝐶= 10，
∵𝐴𝐵= 4，
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∴
1
2 × 4 × 𝐵𝐶= 10，
∴𝐵𝐶= 5，
∵𝐵𝐷= 2𝐶𝐷，
∴𝐷𝐶=
1
3 𝐵𝐶=
5
3，
故答案为：
5
3．
题型06 三角形中线分周长问题
典｜例｜精｜析（24-25 七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，
（1）若𝐴𝐵= 5cm，𝐴𝐶= 3cm，则△𝐴𝐵𝐷的周长比△𝐴𝐶𝐷的周长多__________cm．
（2）𝐴𝐵= 8,𝐴𝐶= 6,△𝐴𝐶𝐷的周长为24，则△𝐴𝐵𝐷的周长为__________．
（3）△𝐴𝐷𝐶的周长是18cm，△𝐴𝐵𝐷的周长是22cm，𝐴𝐵= 6cm，则𝐴𝐶=______cm．
(4)如图，△𝐴𝐵𝐶的三边长均为整数，且周长为22，D 为边𝐵𝐶的中点，△𝐴𝐵𝐷的周长比△𝐴𝐶𝐷的周长长2，
求边𝐵𝐶的长．
【答案】（1）2 （2）26 （3）2 (4) 4，6，8，10
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】（1）根据三角形的周长的计算方法得到△𝐴𝐵𝐷的周长和△𝐴𝐶𝐷的周长的差就是𝐴𝐵与𝐴𝐶的差．
（2）先计算𝐴𝐷+ 𝐶𝐷的长度，由中线的定义得𝐶𝐷= 𝐵𝐷，进而即可求解．
（3）根据三角形中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，再根据三角形周长公式表示出△𝐴𝐷𝐶和△𝐴𝐵𝐷的周长，利用
作差法建立等式即可求出𝐴𝐶的长．
(4) 依据△𝐴𝐵𝐶的周长为22，△𝐴𝐵𝐷的周长比△𝐴𝐶𝐷的周长长2，可得2 < 𝐵𝐶< 11，再根据△𝐴𝐵𝐶的三边
长均为整数，即可得到𝐵𝐶的长．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶，
解题贴士
∵𝐶∆𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷,𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝐶∆𝐴𝐵𝐷−𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差
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∴𝐶△𝐴𝐵𝐷−𝐶△𝐴𝐶𝐷
= ሺ𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷ሻ−ሺ𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷ሻ
= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷−𝐴𝐶−𝐶𝐷−𝐴𝐷
= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
= 5 −3
= 2ሺcmሻ．
（2）解：∵ △𝐴𝐶𝐷的周长为24，
∴ 𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 24，
∴ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 24 −𝐴𝐶= 24 −6 = 18，
∵ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴ 𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
∴ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 18，
∴ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐵= 18 + 8 = 26，
即△𝐴𝐵𝐷的周长为26．
（3）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐷𝐶的周长是18cm，△𝐴𝐵𝐷的周长是22cm，
∴−△𝐴𝐵𝐷的周长−△𝐴𝐷𝐶的周长= ሺ𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷ሻ−ሺ𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷ሻ
= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
= 22 −18
= 4ሺcmሻ，
∵𝐴𝐵= 6cm，
∴𝐴𝐶= 2
(4)解：∵D 为边𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为22，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 22，即𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 22 −𝐵𝐶,
∵△𝐴𝐵𝐷的周长比△𝐴𝐶𝐷的周长长2，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷−ሺ𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐷𝐶ሻ= 2，即𝐴𝐵−𝐴𝐶= 2，𝐴𝐵= 2 + 𝐴𝐶
∵𝐴𝐵−𝐴𝐶< 𝐵𝐶< 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，
∴2 < 𝐵𝐶< 22 −𝐵𝐶，解得：2 < 𝐵𝐶< 11，
又∵△ABC 的三边长均为整数，2 + 𝐴𝐶+ 𝐴𝐶= 22 −𝐵𝐶，即：𝐴𝐶=
20−𝐵𝐶
2
，
∴𝐵𝐶边长为偶数，
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∴𝐵𝐶= 4，6，8，10．
变｜式｜巩｜固
11.已知等腰三角形的底边长为10cm，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长
4cm，那么三角形的腰长为________．
【答案】6cm或14cm
【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2𝑥，则𝐸𝐵= 𝐴𝐸= 𝑥，根据题意，得𝐵𝐶= 10cm，得𝐵𝐶+ 𝐵𝐸= 10 + 𝑥，𝐴𝐶+
𝐴𝐸= 3𝑥，根据一部分比另一部分长4cm，建立方程求解即可；
【详解】解：根据题意，得𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
当𝐷𝐵= 𝐷𝐶时，根据题意，得分成的两部分为𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷，与其中一部分比另一部分长4cm，不
一致，不符合题意；
当𝐸𝐵= 𝐴𝐸时，根据题意，得分成的两部分为𝐵𝐶+ 𝐵𝐸，𝐴𝐶+ 𝐴𝐸，
设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2𝑥，则𝐸𝐵= 𝐴𝐸= 𝑥，
根据题意，得𝐵𝐶= 10cm，
故𝐵𝐶+ 𝐵𝐸= 10 + 𝑥，𝐴𝐶+ 𝐴𝐸= 3𝑥，
由其中一部分比另一部分长4cm，
故10 + 𝑥−3𝑥= 4或3𝑥−𝑥−10 = 4，
解得𝑥= 3或𝑥= 7，
故三角形的腰长为6cm或14cm．
12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中ሺ𝐴𝐵> 𝐵𝐶ሻ，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成70 和50 两部分，求
𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
【答案】𝐴𝐶= 56，𝐴𝐵= 36
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【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度
【分析】先根据𝐴𝐶= 2𝐵𝐶和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 70，②𝐴𝐶+ 𝐶𝐷=
50，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．
【详解】解：设𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥，则𝐴𝐶= 2𝐵𝐶= 4𝑥，
∵𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成70 和50 两部分，𝐴𝐵> 𝐵𝐶，
①当𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 70，𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 50时，
4𝑥+ 𝑥= 70，
解得：𝑥= 14，
∴𝐴𝐶= 4𝑥= 4 × 14 = 56，
𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 14，
∴𝐴𝐵= 50 −𝐵𝐷= 50 −14 = 36，
∴𝐴𝐵= 36 > 𝐵𝐶= 28，满足条件
∵𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 36 + 28 = 64 > 𝐴𝐶= 56，满足三边关系，
∴𝐴𝐶= 56，𝐴𝐵= 36；
②当𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 50，𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 70时，
4𝑥+ 𝑥= 50，
解得：𝑥= 10，
∴𝐴𝐶= 4𝑥= 4 × 10 = 40，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 10，
𝐴𝐵= 70 −𝐵𝐷= 70 −10 = 60，
∵𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 60 = 𝐴𝐵，
∴不满足三角形的三边关系，
∴不合题意，舍去，
∴𝐴𝐶= 56，𝐴𝐵= 36．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．
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题型07 三角形中线平分面积问题
典｜例｜精｜析（25-26 八年级上·山东临沂·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐶, 𝐵𝐷, 𝐴𝐸的中
点，若阴影部分的面积为4，则△𝐴𝐵𝐶的面积是（ ）
A．32
B．36
C．28
D．30
【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，
熟练掌握中线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵D，E，F 分别是𝐴𝐶，𝐵𝐷，𝐴𝐶的中点，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 2𝑆△𝐷𝐸𝐹= 2𝑆△𝐴𝐷𝐹，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸= 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 4𝑆△𝐷𝐸𝐹，
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 4𝑆△𝐴𝐷𝐸= 8𝑆△𝐷𝐸𝐹，
∵𝑆△𝐷𝐸𝐹= 4，
解题贴士
1.中线分面积
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸,𝑆∆𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 𝐶𝐷× 𝐴𝐸,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐷
结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分
2.拓展推论：如图AD, BE, CF 分别为△ABC 边BC, AC, AB 边上的中线，
则（1）𝑺∆𝑨𝑶𝑬= 𝑺∆𝑨𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑫= 𝑺∆𝑪𝑶𝑬= 𝑺∆𝑪𝑶𝑫
（2）𝑺∆𝑨𝑶𝑪= 𝑺∆𝑩𝑶𝑪= 𝑺∆𝑨𝑶𝑩
（3）𝐴𝑂= 2𝑂𝐷,𝐵𝑂= 2𝑂𝐸,𝐶𝑂= 2𝑂𝐹任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。
（交点又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2 倍）
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∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 32，
故选A．
变｜式｜巩｜固
13．（25-26 七年级下·河南周口·期末）如图，𝐴𝐸，𝐵𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高和中线，已知𝑆△𝐴𝐵𝐹= 6，𝐴𝐸=
4，则𝐵𝐶的长为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】根据中线平分三角形面积，结合题意得到𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，再根据三角形面积的计算求解即可．
【详解】解：∵𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝑆△𝐴𝐵𝐹= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐹= 𝑆△𝐶𝐵𝐹= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6 + 6 = 12，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐸= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐸· 𝐵𝐶= 12，
∴𝐵𝐶=
12×2
4
= 6 ．
14．（25-26 八年级上·广东广州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷经过△𝐴𝐵𝐶的重心𝐺交𝐵𝐶于点𝐷，若△𝐴𝐵𝐶
的面积为16cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．8cm2
B．7cm2
C．6cm2
D．
16
5 cm2
【答案】A
【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底
之比．
延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于𝐸，设𝑆△𝐺𝐷𝐶= 𝑥，则根据重心的概念可得𝐵𝐸、𝐴𝐷是中线，通过面积转换可得𝑆△𝐺𝐵𝐷= 𝑥，
𝑆△𝐺𝐵𝐶= 2𝑥，𝑆△𝐴𝐺𝐸= 𝑆△𝐺𝐸𝐶= 8 −2𝑥，𝑆△𝐴𝐵𝐺= 2𝑥，最后在△𝐴𝐵𝐷中，求解x 即可．
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【详解】解：延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于𝐸，如图，
设𝑆△𝐺𝐷𝐶= 𝑥．
∵𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐸、𝐴𝐷是中线，
∴D 是𝐵𝐶中点，则△𝐺𝐵𝐷和△𝐺𝐷𝐶等底同高，
∴𝑆△𝐺𝐵𝐷= 𝑥．
∴𝑆△𝐺𝐵𝐶= 𝑆△𝐺𝐵𝐷+ 𝑆△𝐺𝐷𝐶= 𝑥+ 𝑥= 2𝑥．
∵𝐸是𝐴𝐶中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐵𝐸
= 1
2 × 16
= 8cm2．
∵𝑆△𝐶𝐵𝐸= 𝑆△𝐺𝐵𝐶+ 𝑆△𝐺𝐸𝐶，
∴8 = 2𝑥+ 𝑆△𝐺𝐸𝐶
𝑆△𝐺𝐸𝐶= 8 −2𝑥，
又∵𝐸是𝐴𝐶中点，△𝐴𝐺𝐸和△𝐺𝐸𝐶等底同高，
∴𝑆△𝐴𝐺𝐸= 𝑆△𝐺𝐸𝐶= 8 −2𝑥
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐺+ 𝑆△𝐴𝐺𝐸
8 = 𝑆△𝐴𝐵𝐺+ ሺ8 −2𝑥ሻ
解得𝑆△𝐴𝐵𝐺= 2𝑥，
在△𝐴𝐵𝐷中，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐺+ 𝑆△𝐺𝐵𝐷
8 = 2𝑥+ 𝑥
解得𝑥=
8
3，
∴𝑆△𝐴𝐺𝐶= 𝑆△𝐴𝐺𝐸+ 𝑆△𝐺𝐸𝐶
= ሺ8 −2𝑥ሻ+ ሺ8 −2𝑥ሻ
= 16 −4𝑥
= 16 −4 × 8
3
=
16
3 cm2，
∴𝑆阴影=
8
3 +
16
3 = 8cm2．
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故选A．
题型08 与三角形角平分线有关的计算和证明
典｜例｜精｜析（25-26 八年级上·阶段测试）如图，已知∠𝐷= ∠1，∠2 + ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，𝐵𝐷平分
∠𝐴𝐵𝐶，证明：
(1)𝐴𝐷∥𝐵𝐶；
(2)𝐸𝐹∥𝐴𝐵．
【答案】(1)证明：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠1 = ∠𝐶𝐵𝐷．
∵∠𝐷= ∠1，
∴∠𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
∴𝐵𝐶∥𝐴𝐷；
(2)证明：由（1）得𝐵𝐶∥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180°，
∵∠2 + ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝐴= ∠2，
∴𝐸𝐹∥𝐴𝐵．
【知识点】内错角相等两直线平行、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1 = ∠𝐶𝐵𝐷，再结合角度的关系可得∠𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，根据内错角相
等，两直线平行证明即可；
（2）由平行的性质可得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180°，进而得到∠𝐴= ∠2，根据同位角相等，两直线平行证明即
可．
【详解】（1）略
（2）略
变｜式｜巩｜固
15.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l，则l 是△ABC
解题贴士
角平分线→得角的一半→结合其他条件计算
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的（ ）
A．中线
B．中位线
C．高线
D．角平分线
【答案】D
【知识点】三角形角平分线的定义、折叠问题
【分析】根据折叠的性质可得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，作出选择即可．
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴AD 是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
16（25-26 八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，∠𝐸= ∠1，∠3 + ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
试说明：𝐷𝐹∥𝐴𝐵．
【答案】角平分线的定义；𝐴𝐸∥𝐵𝐶；内错角相等，两直线平行；同角的补角相等
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义
【分析】由角平分线的定义可得∠1 = ∠2，结合题意得出∠𝐸= ∠2，从而可得𝐴𝐸∥𝐵𝐶，再证明出∠𝐴=
∠3，即可得证．
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【详解】解：∵𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线（已知）
∴∠1 = ∠2（角平分线的定义），
又∵∠𝐸= ∠1（已知），
∴∠𝐸= ∠2（等量代换），
∴𝐴𝐸∥𝐵𝐶（内错角相等，两直线平行），
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠3 + ∠𝐴𝐵𝐶= 180°（已知），
∴∠𝐴= ∠3（同角的补角相等），
∴𝐷𝐹∥𝐴𝐵（同位角相等，两直线平行）．
基础通关
1．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）小明手里有两根塑料吸管，一根长6cm，另一根长11cm，他想通过剪
开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（ ）
A．只能剪开6cm的吸管
B．只能剪开11cm的吸管
C．两根吸管剪开后都能拼成三角形
D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，分两种情况讨论剪开哪根吸管，根据三边关系判断即可.
【详解】解：根据三角形三边关系，分两种情况讨论：
情况1：剪开6cm的吸管，设剪开后两段长为𝑎cm，𝑏cm，则𝑎+ 𝑏= 6，第三边长为11cm，∵𝑎+ 𝑏= 6 <
11，不满足三边关系，∴剪开6cm的吸管不能拼成三角形.
情况2：剪开11cm的吸管，设剪开后两段长为𝑎cm，𝑏cm，则𝑎+ 𝑏= 11，第三边长为6cm，∵𝑎+ 𝑏=
11 > 6，将𝑏= 11 −𝑎代入𝑎+ 6 > 𝑏得𝑎> 2.5，同理可得𝑏> 2.5，
∴只要将11cm的吸管剪成两段都大于2.5cm，即可满足三边关系拼成三角形.
2.（25-26 八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7，3𝑥−2，则𝑥的取值范围是（ ）
A．2 < 𝑥< 4
B．1 < 𝑥< 4
C．1 < 𝑥< 2
D．2 < 𝑥< 6
【答案】A
【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，解一元一次不等式组，三角形中，任意两边之和大于第三
边，任意两边之差小于第三边，据此列出不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得，7 −3 < 3𝑥−2 < 7 + 3，
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解得2 < 𝑥< 4，
故选：A．
3.（2022·四川绵阳·模拟预测）已知a，b 是等腰三角形的两边长，且√2𝑎−3𝑏+ 5 + |2𝑎+ 3𝑏−13| = 0，
则此等腰三角形的周长是（ ）
A．8
B．6 或8
C．7
D．7 或8
【答案】D
【知识点】加减消元法、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等腰三
角形的定义
【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出𝑎，𝑏的值，再根据等腰三角形的腰的不同分类讨论，结
合三角形的三边关系计算周长即可．
【详解】解：∵√2𝑎−3𝑏+ 5 + |2𝑎+ 3𝑏−13| = 0，且√2𝑎−3𝑏+ 5 ≥0，|2𝑎+ 3𝑏−13| ≥0，
∴{ 2𝑎−3𝑏+ 5 = 0
2𝑎+ 3𝑏−13 = 0
，
解得{𝑎= 2
𝑏= 3
，
①当𝑎是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为2,2,3，满足三角形的三边关系，此时它的周长为
2 + 2 + 3 = 7；
②当𝑏是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为2,3,3，满足三角形的三边关系，此时它的周长为
2 + 3 + 3 = 8；
综上，此等腰三角形的周长是7 或8．
4.（25-26 八年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支
点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ）
A．到三个顶点距离相等的点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条角平分线的交点
【答案】B
【知识点】重心的概念
【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答.
【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点，
∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点.
5.（21-22 七年级下·陕西西安·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷将△𝐴𝐵𝐶分成的两个新三角形的周长
差为5cm，𝐴𝐵与𝐴𝐶的和为11cm，则𝐴𝐶的长为________．
【答案】3cm或8cm
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】根据三角形的中线的概念得到𝐵𝐷= 𝐷𝐶，分𝐴𝐵> 𝐴𝐶、𝐴𝐵< 𝐴𝐶两种情况，根据三角形的周长公
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式计算，得到答案．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
当𝐴𝐵> 𝐴𝐶时，ሺ𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷ሻ−ሺ𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷ሻ= 𝐴𝐵−𝐴𝐶= 5cm，
∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 11cm，
∴𝐴𝐵= 8cm，𝐴𝐶= 3cm，
当𝐴𝐵< 𝐴𝐶时，
同理：𝐴𝐶= 8cm，𝐴𝐵= 3cm，
综上所述，𝐴𝐶的长为3cm或8cm，
故答案为：3cm或8cm．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
6.（25-26 七年级下·山西晋中·期末）如图，𝐴𝐷、𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，连接𝐸𝐷，△𝐴𝐵𝐶的面积是20，则△
𝐸𝐷𝐶的面积是________．
【答案】5
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分求解即可．
【详解】解：∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐶的面积是20，
∴𝑆△𝐸𝐵𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，即𝐸𝐷是△𝐵𝐸𝐶的中线，
∴𝑆△𝐸𝐷𝐶=
1
2 𝑆△𝐸𝐵𝐶= 5，即△𝐸𝐷𝐶的面积是5．
7．（25-26 七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶=
5，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若点𝐴到𝐷𝐸的距离是1，则𝐷𝐸与𝐵𝐶之间的距离是__________．
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【答案】
7
5
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、两直线平行内错角相等
【分析】过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，交𝐷𝐸于𝐹，可得𝐴𝐹= 1，利用“等积法”可求出𝐴𝐻=
12
5 ，进而求出𝐹𝐻=
7
5，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，交𝐷𝐸于𝐹，则∠𝐴𝐻𝐶= 90°，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∵点𝐴到𝐷𝐸的距离是1，
∴𝐴𝐹= 1，
∵∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐻=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，即
1
2 × 5𝐴𝐻=
1
2 × 3 × 4，
解得：𝐴𝐻=
12
5 ，
∴𝐹𝐻= 𝐴𝐻−𝐴𝐹=
12
5 −1 =
7
5，
∴𝐷𝐸与𝐵𝐶之间的距离是
7
5．
8.（24-25 七年级下·陕西汉中·期末）△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 7，且△𝐴𝐵𝐶的周长为偶数，求整数𝐴𝐶的
长．
【答案】7
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差
小于第三边．
根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再满足周长为偶数即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 7，
∴7 −2 < 𝐴𝐶< 7 + 2，即5 < 𝐴𝐶< 9，且𝐴𝐶为整数，
∴𝐴𝐶= 6或𝐴𝐶= 7或𝐴𝐶= 8，
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∵△𝐴𝐵𝐶的周长为偶数，
∴𝐴𝐶= 7.
9.如图所示，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的中线．
(1)作出△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积为10，求△𝐴𝐷𝐶的面积；
(3)若△𝐴𝐵𝐷的面积为6，且𝐵𝐷边上的高为3，求𝐵𝐶的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)8
【知识点】根据三角形中线求面积、画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1）根据三角形高的尺规作图，即可；
（2）根据𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的中线，则𝐵𝐷= 𝐷𝐶，再根据𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐸= 10，𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 × 𝐷𝐶× 𝐴𝐸，即可求出△𝐴𝐷𝐶的面积；
（3）根据△𝐴𝐵𝐷的面积为6，且𝐵𝐷边上的高为3，则𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸=
1
2 × 𝐵𝐷× 3 = 6，求出𝐵𝐷，
再根据𝐵𝐷= 𝐷𝐶=
1
2 𝐵𝐶，即可．
【详解】（1）过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，
如图所示，𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高．
（2）∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的中线
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐸= 10，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 × 𝐷𝐶× 𝐴𝐸=
1
2 ×
1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐸=
1
2 × 10 = 5．
（3）∵△𝐴𝐵𝐷的面积为6，且𝐵𝐷边上的高为3，
∴𝐴𝐸= 3，𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸= 6，
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∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 3 = 6，
∴𝐵𝐷= 4，
∵𝐵𝐷= 𝐷𝐶=
1
2 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶= 8．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形高的尺规作图，三角形的中线的性质，三角形
的面积．
素养提升
1．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐸，若△
𝐴𝐷𝐸的面积是𝑆1，△𝐵𝐶𝐸的面积是𝑆2，则𝑆1与𝑆2的大小关系是（ ）
A．𝑆1 < 𝑆2
B．𝑆1 > 𝑆2
C．𝑆1 = 𝑆2
D．无法确定
【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】根据等底等高的三角形面积相等，得出𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝐷，从而得出𝑆1 + 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 𝑆2 + 𝑆△𝐶𝐷𝐸，即可
得出答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝐷，
∴𝑆1 + 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 𝑆2 + 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴𝑆1 = 𝑆2．
2.（25-26 八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐
比”．若等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为20，其中一边长为6，则它的“和谐比”为（ ）
A．
3
4
B．
7
6
C．
3
4或
7
6
D．
4
3或
6
7
【答案】C
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为6，分6是腰长或
底边长两种情况讨论．
【详解】解：∵ 等腰△𝐴𝐵𝐶周长为20，一边长为6，
当6为腰长时，底边长为20 −6 −6 = 8，
和谐比为：
6
8 =
3
4；
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当6为底边长时，腰长为
1
2 ሺ20 −6ሻ= 7，
和谐比为：
7
6．
∴ 和谐比为
3
4或
7
6．
故选：C．
3.（25-26 八年级下·全国·暑假作业）若一个等腰三角形的三条边长均为整数且周长为10，其底边长的所有
取值为（ ）
A．2，3，4
B．2，4，6，8
C．2，4
D．4
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】设底边长和腰长，根据周长得到两者关系，结合三角形三边关系和边长为整数的条件，求出所有
符合条件的底边长即可．
【详解】设等腰三角形底边长为𝑎，腰长为𝑏，𝑎，𝑏均为正整数，
∵周长为10，
∴𝑎+ 2𝑏= 10，
∴𝑎= 10 −2𝑏，10 −2𝑏> 0，
∴𝑏< 5，
根据三角形三边关系可得2𝑏> 𝑎，
∴2𝑏> 10 −2𝑏，解得𝑏> 2.5，
∴2.5 < 𝑏< 5，
∵𝑏是正整数，
∴𝑏= 3或𝑏= 4，
当𝑏= 3时，𝑎= 10 −2 × 3 = 4；
当𝑏= 4时，𝑎= 10 −2 × 4 = 2；
即该等腰三角形的底边长为2和4．
4.（24-25 八年级上·浙江温州·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，E，F 分别是垂
足．已知𝐴𝐵= 2𝐴𝐶，𝐷𝐸= 12，则𝐷𝐹的长度为____________
【答案】6
【知识点】根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度
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【分析】此题考查了三角形中线的性质：平分三角形的面积．
根据三角形中线的性质得到△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐴𝐶𝐷的面积，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐴𝐶𝐷的面积，
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，
∴
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐹=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐸，
∵𝐴𝐵= 2𝐴𝐶，
∴
1
2 ⋅2𝐴𝐶⋅𝐷𝐹=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸= 2𝐷𝐹，
∵𝐷𝐸= 12，
∴𝐷𝐹= 6．
5.（23-24 七年级下·四川宜宾·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的面积是2，AD 是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐹=
1
3 𝐴𝐷，𝐶𝐸=
1
2 𝐸𝐹，则△𝐶𝐷𝐸的面积为____________
【答案】
2
9
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出
S△CDF，S△CDE．
【详解】解：∵△ABC 的面积是2，AD 是△ABC 的中线，
∴S△ACD＝
1
2S△ABC＝1，
∵AF＝
1
3AD，
∴DF＝
2
3AD，
∴S△CDF＝
2
3S△ACD＝
2
3×1＝
2
3，
∵CE＝
1
2EF，
小学
初中
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∴CE＝
1
3CF
∴S△CDE＝
1
3S△CDF＝
1
3×
2
3＝
2
9．
【点睛】此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的
关键．
6.（24-25 八年级上·江西新余·阶段检测）李大爷准备用一段长60 m的篱笆围成一个三角形形状的场地用于
饲养鸡，已知第一条边长为𝑎m．由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2 倍少3m．
(1)第二条边长为________________ m，第三条边长为_______________ m（用含𝑎的式子表示）；
(2)第一条边长能否为10 m？为什么？
(3)求𝑎的取值范围．
【答案】(1)ሺ2𝑎−3ሻ；ሺ63 −3𝑎ሻ
(2)不能．理由见解析
(3)11 < 𝑎<
33
2
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、列代数式、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了列代数式，三角形三边关系的应用，一元一次不等式组的应用．熟练掌握列代数式，
三角形三边关系的应用，一元一次不等式组的应用是解题的关键．
（1）由题意知，第二条边长为ሺ2𝑎−3ሻ，则第三条边长为60 −𝑎−ሺ2𝑎−3ሻ，整理作答即可；
（2）若第一条边长为10 m，则第二条边长为17m，第三条边长为33m，由10 + 17 < 33，可判断不能构
成三角形；
（3）由题意知，三角形的三边长分别为𝑎m，ሺ2𝑎−3ሻm，ሺ63 −3𝑎ሻm，则{
𝑎> 0
2𝑎−3 > 0
63 −3𝑎> 0
，可求
3
2 < 𝑎<
21；由三角形两边之和大于第三边，可得{
𝑎+ 2𝑎−3 > 63 −3𝑎
𝑎+ 63 −3𝑎> 2𝑎−3
2𝑎−3 + 63 −3𝑎> 𝑎
，可求11 < 𝑎<
33
2 ；进而可确定𝑎的取值
范围．
【详解】（1）解：由题意知，第二条边长为ሺ2𝑎−3ሻ．
∴第三条边长为60 −𝑎−ሺ2𝑎−3ሻ= ሺ63 −3𝑎ሻ，
故答案为：ሺ2𝑎−3ሻ；ሺ63 −3𝑎ሻ；
（2）解：不能．理由如下：
若第一条边长为10 m，则第二条边长为17m，第三条边长为33m，
∵10 + 17 < 33，不符合三角形任意两边之和大于第三边，
∴不能构成三角形，
∴第一条边长不能为10m．
（3）解：由题意知，三角形的三边长分别为𝑎m，ሺ2𝑎−3ሻm，ሺ63 −3𝑎ሻm，
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∴{
𝑎> 0
2𝑎−3 > 0
63 −3𝑎> 0
，
解得
3
2 < 𝑎< 21；
∵三角形两边之和大于第三边，
∴{
𝑎+ 2𝑎−3 > 63 −3𝑎
𝑎+ 63 −3𝑎> 2𝑎−3
2𝑎−3 + 63 −3𝑎> 𝑎
，
解得11 < 𝑎<
33
2 ；
综上所述，𝑎的取值范围是11 < 𝑎<
33
2 ．
7.如图，△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷= 8cm，𝐵𝐶= 11cm，点𝐸在𝐵𝐷上，连接𝐴𝐸．设𝐶𝐸的长为𝑥ሺcmሻ，△𝐴𝐵𝐸的面积
为𝑦ሺcm2ሻ，解答下列问题：
(1)求𝑦与𝑥之间的关系式；
(2)若𝐶𝐷= 6cm，当𝑥为多少时，△𝐴𝐵𝐸的面积比△𝐴𝐷𝐸的面积大4cm2？
【答案】(1)𝑦= 44 −4𝑥
(2)8
【知识点】其他问题(实际应用)、代数式
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，
找准等量关系．
（1）表示出线段𝐵𝐸的长，根据三角形的面积公式作为等量关系即可求解；
（2）表示出两个三角形的面积，利用面积之差为4即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐶= 11 cm，𝐶𝐸的长为𝑥ሺcmሻ，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= ሺ11 −𝑥ሻሺcmሻ，
∵△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷= 8 cm，
∴△𝐴𝐵𝐸的面积𝑦=
1
2 𝐵𝐸× 𝐴𝐷=
1
2 × ሺ11 −𝑥ሻ× 8 = ሺ44 −4𝑥ሻcm2，
∴𝑦与𝑥之间的关系式为：𝑦= 44 −4𝑥；
（2）解：∵𝐶𝐷= 6cm，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐸−𝐶𝐷= ሺ𝑥−6ሻሺcmሻ，
∴△𝐴𝐷𝐸的面积=
1
2 𝐷𝐸× 𝐴𝐷=
1
2 × ሺ𝑥−6ሻ× 8 = ሺ4𝑥−24ሻcm2，
∵△𝐴𝐵𝐸的面积比△𝐴𝐷𝐸的面积大4 cm2，
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∴44 −4𝑥−ሺ4𝑥−24ሻ= 4，
解得：𝑥= 8，
∴当𝑥= 8时，△𝐴𝐵𝐸的面积比△𝐴𝐷𝐸的面积大4 cm2．
迁移创新
1.（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是边𝐵𝐶的中点，𝐸是边𝐴𝐵上靠近点𝐵的三等分
点，点𝐹在𝐵𝐶上，且满足3𝐷𝐹= 𝐵𝐷，连接𝐴𝐹、𝐸𝐷，若四边形𝐴𝐸𝐷𝐹的面积为5，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
______．
【答案】10
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】根据中点、三等分点、线段倍数关系得到各部分三角形面积与△𝐴𝐵𝐶面积的比例，再结合四边形
𝐴𝐸𝐷𝐹面积为5建立等式，进而求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
【详解】解：连接𝐴𝐷，四边形𝐴𝐸𝐷𝐹可拆分为△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐷𝐹，
设△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆，
∵点𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶=
1
2 𝐵𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐷𝐶等高
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
𝑆
2，
∵𝐸是𝐴𝐵上靠近𝐵的三等分点，
∴𝐵𝐸: 𝐴𝐸= 1: 2，
∵△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐵𝐷等高，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=
2
3 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
2
3 ×
𝑆
2 =
𝑆
3，
∵3𝐷𝐹= 𝐵𝐷，𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∴𝐷𝐹=
1
3 𝐵𝐷=
1
3 𝐷𝐶，
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∵△𝐴𝐷𝐹和△𝐴𝐷𝐶等高，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐹=
1
3 𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
3 ×
𝑆
2 =
𝑆
6，
∵𝑆四边形𝐴𝐸𝐷𝐹= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐷𝐹= 5，
∴
𝑆
3 +
𝑆
6 = 5，
解得：𝑆= 10．
2.（25-26 七年级上·山东烟台·期中）【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距
离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1 中，𝐴𝐷和𝐴𝐸分别为△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高和中线，𝐴𝐷=
10，𝐷𝐸= 5，则△𝐴𝐵𝐶的边BC 的“中偏度值”为
10
5 = 2．
【尝试应用】如图2，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6．
（1）边𝐵𝐶的长为______，𝐵𝐶边上的高的值为______；
（2）求△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的“中偏度值”；
【拓展延伸】如图3，点A 为直线l 上方一点，点A 到直线l 的距离𝐴𝐷= 12，点B 在直线l 上，且𝐴𝐵=
15，若点C 在直线l 上，且𝐴𝐶= 13．
（3）请直接写出△𝐴𝐵𝐶的边BC 的“中偏度值”．
【答案】（1）10，
24
5 ；（2）△𝐴𝐵𝐶的边BC 的“中偏度值”为
7
5；（3）△𝐴𝐵𝐶的边BC 的“中偏度值”为6 或
12
7
【知识点】用勾股定理解三角形、根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的思想
方法．
（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出， △𝐴𝐶𝐵中𝐵𝐶边上的高和该边上的中点到𝐵𝐶的距离，
（2）根据“中偏度值”的定义即可求解；
（3）分两种情况：当𝐴𝐶在△𝐴𝐵𝐷外部时，当𝐴𝐶在△𝐴𝐵𝐷内部时，画出图形，分别计算即可．
【详解】解：（1）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = √82 + 62 = 10，
设BC 边上的高为h，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅ℎ，
∴ℎ=
𝐴𝐶⋅𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
8×6
10 =
24
5 ，
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故答案为：10，
24
5 ；
（2）作△𝐵𝐴𝐶的中线𝐴𝐸，高线𝐴𝐷，如图，
由（1）知，𝐵𝐶= 10，𝐴𝐷=
24
5 ，
∵𝐴𝐸为Rt △𝐵𝐴𝐶斜边𝐵𝐶上的中线，𝐵𝐸= 5，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 5，
∴𝐷𝐸= √𝐴𝐸2 −𝐴𝐷2 = √52 −ሺ
24
5 ሻ2 =
7
5，
则△𝐴𝐵𝐶的边BC 的“中偏度值”为
7
5；
（3）①当𝐴𝐶在△𝐴𝐵𝐷外部时，作△𝐴𝐶𝐵的中线𝐴𝐸，如图，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷= 12，𝐴𝐶= 13，𝐴𝐵= 15，
∴𝐶𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √132 −122 = 5，𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √152 −122 = 9，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 14，
∵𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐶𝐸=
1
2 𝐵𝐶= 7，
∴𝐸𝐷= 𝐶𝐸−𝐶𝐷= 7 −5 = 2，
即点E 到𝐴𝐷的距离为2，
则△𝐴𝐵𝐶的边BC 的“中偏度值”为
12
2 = 6；
②当𝐴𝐶在△𝐴𝐵𝐷内部时，作△𝐴𝐶𝐵的中线𝐴𝐸，如图，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷= 12，𝐴𝐶= 13，𝐴𝐵= 15，
∴𝐶𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √132 −122 = 5，𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √152 −122 = 9，
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∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷−𝐶𝐷= 4，
∵𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐶𝐸=
1
2 𝐵𝐶= 2，
∴𝐸𝐷= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐷= 2 + 5 = 7，
即点E 到𝐴𝐷的距离为7，
则△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的“中偏度值”为
12
7 ；
综上所述，△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的“中偏度值”为6 或
12
7 ．
