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13.1 三角形的概念
课标要点
1.掌握三角形的有关概念，会用符号表示三角形，会对三角形进行分类
2. 经历从具体图形到抽象概念的形成过程，发展几何直观与抽象能力，提高学生的探
索能力，分类活动中体会分类讨论思想
3. 感受三角形在现实生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系；养成严谨、规
范的数学表达习惯，培养主动探究的学习习惯
学习重难点
重点：
掌握三角形的定义、基本要素（边、角、顶点）及表示方法
难点：
理解三角形的分类标准（按角分：锐角、直角、钝角三角形；按边分：等边、底边和腰
不相等的等腰、不等边三角形）
第十三章
三角形
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知识点一 三角形的定义
定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。
即学即练
．．．．
1.下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三
角形，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，只有A 选项中的图形是三角形，
故选：A．
2.下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义.
根据三角形的定义进行判断即可.
【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，
所以选项C 符合题意.
故选： C．
特别提醒
1）三点共线 → 不是三角形
2）曲线、折线围成 → 不是三角形
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3.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三
角形”是解题关键．据此解答即可．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C 选项的图形是三角形，
故选：C．
知识点二 三角形有关概念
三角形的表示方法：
三角形用符号“△”表示，记作“△ABC”读作“三角形ABC”.△ABC 还可记作：△BCA, △CAB, △ACB
三角形的边：AB、AC、BC.（c、b、a)
三角形的顶点：A、B、C.
三角形的内角： ∠ A、 ∠ B、 ∠ C.
即学即练
．．．．
1.在△𝐷𝐸𝐹中，𝐷𝐸边的对角是（ ）
A．𝐷𝐹
B．∠𝐷
C．∠𝐸
D．∠𝐹
特别提醒：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大
三角形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形
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【答案】D
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键．
根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角．
【详解】解：如图所示：
∴𝐷𝐸边的对角是∠𝐹，
故选：D．
2.如图，图中三角形的个数为________；以𝐴𝐵为边的三角形是_________________，以∠𝐶为一个内角的三
角形是____________________．
【答案】 6 △𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐶𝐸，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐵．
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以𝐴𝐵为边的三角形以及以
∠𝐶为一个内角的三角形，即可求解．
【详解】解：图中的三角形有△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸、△𝐴𝐷𝐶、△𝐴𝐸𝐶，共6个；
以𝐴𝐵为边的三角形有△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐶，
以∠𝐶为一个内角的三角形是△𝐴𝐶𝐸、△𝐴𝐶𝐷、△𝐴𝐶𝐵．
故答案为：6；△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶；△𝐴𝐶𝐸，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐵．
3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐵𝐶, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E．
(1)写出以点C 为顶点的三角形；
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(2)写出以∠𝐴为角的三角形；
(3)写出以𝐵𝐷为边的三角形；
(4)找出图中的直角三角形和等腰三角形．
【答案】(1)以点C 为顶点的三角形是△𝐵𝐶𝐷，△𝐴𝐵𝐶
(2)以∠𝐴为角的三角形是△𝐴𝐸𝐷，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐶
(3)以𝐵𝐷为边的三角形是△𝐵𝐸𝐷，△𝐴𝐵𝐷，△𝐵𝐶𝐷
(4)图中的直角三角形是△𝐵𝐸𝐷，△𝐴𝐸𝐷；等腰三角形是△𝐴𝐵𝐷，△𝐵𝐶𝐷
【知识点】三角形的识别与有关概念、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和直角三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和直角三
角形定义，是解题的关键．
（1）根据三角形的相关定义进行求解即可；
（2）根据三角形的相关定义进行求解即可；
（3）根据三角形的相关定义进行求解即可；
（4）根据等腰三角形和直角三角形的定义求解即可．
【详解】（1）解：以点C 为顶点的三角形是△𝐵𝐶𝐷，△𝐴𝐵𝐶；
（2）解：以∠𝐴为角的三角形是△𝐴𝐸𝐷，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐶；
（3）解：以𝐵𝐷为边的三角形是△𝐵𝐸𝐷，△𝐴𝐵𝐷，△𝐵𝐶𝐷；
（4）解：图中的直角三角形是△𝐵𝐸𝐷，△𝐴𝐸𝐷；等腰三角形是△𝐴𝐵𝐷，△𝐵𝐶𝐷．
知识点三 三角形的分类
三角形的分类：按角分
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
按角分类{
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的分类：按边分
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三边都不相等三角形 等腰三角形 等边三角形
按边分{
三边都不相等三角形
等腰三角形{底和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
等腰三角形有关概念
相等的两条边都叫腰；另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
即学即练
．．．．
1.如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．无法判断
【答案】C
【知识点】三角形的分类
【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图
可得，这个三角形为锐角三角形．
【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形．
故选：C．
2.用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
特别提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形
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【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可．
【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C 正确，故不符合
要求；
三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B 正确，D 错误，
故选：D．
3.已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边长，且|𝑎−𝑏| + (𝑏−𝑎)2 = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义
【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关
系．
根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出𝑎= 𝑏，进而判断三角形形状．
【详解】解：∵绝对值和平方数均具有非负性，即|𝑎−𝑏| ≥0, (𝑏−𝑎)2 ≥0，
∴ |𝑎−𝑏| = 0且(𝑏−𝑎)2 = 0，即𝑎−𝑏= 0，
∴ 𝑎= 𝑏，
由于𝑎, 𝑏是△𝐴𝐵𝐶的两边长，因此△𝐴𝐵𝐶有两边相等，是等腰三角形．
故选：B．
题型01 三角形的识别
典｜例｜精｜析
例1.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
解题贴士
掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键.
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三
角形”是解题关键．据此解答即可．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C 选项的图形是三角形，
故选：C．
变｜式｜巩｜固
1.下列图形中，是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次
相接所成的图形，据此可得答案．
【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B 选项中的图形是三角形，
故选：B．
2.小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成
的图形．据此求解即可
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【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是
，
故选：C．
题型02 三角形的边、角和顶点
典｜例｜精｜析
例2.如图，下列四个三角形中，以∠𝐴为角的三角形是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐸
B．△𝐵𝐶𝐷
C．△𝐵𝐶𝐸
D．△𝐶𝐷𝐸
【答案】A
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可．
本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据定义，得以∠𝐴为角的三角形是△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶，
故选：A．
变｜式｜巩｜固
3.如图，图中有______个三角形；其中以𝐴𝐵为边的三角形有______；以∠𝐴𝐶𝐵为内角的三角形有______；
在△𝐵𝑂𝐶中，𝑂𝐶的对角是______，∠𝑂𝐶𝐵的对边是______．
【答案】 8 △𝐴𝐵𝑂,△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐵𝐷 △𝐵𝑂𝐶,△𝐴𝐵𝐶 ∠𝑂𝐵𝐶 𝑂𝐵
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
解题贴士
解题关键是理解三角形的边、角和顶点的概念
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【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可．
【详解】解：图中有8 个三角形，分别为：△𝐴𝐵𝑂,△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝑂,△𝐴𝐷𝐶,△𝑂𝐶𝐷，△𝑂𝐵𝐶,△
𝐵𝐶𝐷；
其中以𝐴𝐵为边的三角形有：△𝐴𝐵𝑂,△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐵𝐷；
以∠𝐴𝐶𝐵为内角的三角形有：△𝐵𝑂𝐶,△𝐴𝐵𝐶；
在△𝐵𝑂𝐶中，𝑂𝐶的对角是：∠𝑂𝐵𝐶；∠𝑂𝐶𝐵的对边是：𝑂𝐵；
故答案为：8；△𝐴𝐵𝑂,△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐵𝐷；△𝐵𝑂𝐶,△𝐴𝐵𝐶；∠𝑂𝐵𝐶；𝑂𝐵．
4.如图所示：
(1)图中一共有______个三角形，它们分别是______；
(2)△𝐶𝐷𝐸和△𝐵𝐶𝐷的公共角是______，公共边是______；
(3)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴的对边是______；
(4)在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐸𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵是边______和______的对角．
【答案】(1)5，△𝐴𝐵𝐸，△𝐷𝐸𝐶，△𝐵𝐸𝐶，△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐵𝐶
(2)∠𝐵𝐷𝐶，𝐶𝐷
(3)𝐵𝐶
(4)𝐴𝐵，𝐵𝐸
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义．
（1）利用三角形的定义进行求解即可；
（2）利用三角形的相关概念进行求解即可；
（3）利用三角形的相关概念进行求解即可；
（4）利用三角形的相关概念进行求解即可．
【详解】（1）解：图中一共有5 个三角形，分别是： △𝐴𝐵𝐸，△𝐷𝐸𝐶，△𝐵𝐸𝐶，△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐵𝐶，
故答案为：5，△𝐴𝐵𝐸，△𝐷𝐸𝐶，△𝐵𝐸𝐶，△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐵𝐶；
（2）解：△𝐶𝐷𝐸和△𝐵𝐶𝐷的公共角是∠𝐵𝐷𝐶，公共边是𝐶𝐷，
故答案为：∠𝐵𝐷𝐶，𝐶𝐷；
（3）解：∠𝐴的对边是𝐵𝐶，
故答案为：𝐵𝐶；
（4）解：∠𝐴𝐶𝐵是边𝐴𝐵和𝐵𝐸的对边，
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故答案为：𝐴𝐵，𝐵𝐸．
题型03 数三角形的个数
典｜例｜精｜析
例3. 如图中三角形的个数是（ ）
A．4
B．6
C．9
D．5
【答案】D
【知识点】三角形的个数问题
【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察
所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案．
【详解】解：图中的单个三角形有△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐷𝐸，共3 个，
由2 个三角形组成的三角形有△𝐴𝐵𝐷，共1 个，
由3 个三角形组成的三角形有△𝐴𝐵𝐶，共1 个，
所以共有3 + 1 + 1 = 5（个）三角形．
故选：D．
变｜式｜巩｜固
5.如图，已知点A，B，C 在直线a 上，点D，E，F，G 在直线b 上，以点A，B，C，D，E，F，G 中的任意
三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（ ）
A．9 个
B．30 个
C．20 个
D．27 个
【答案】B
【知识点】三角形的个数问题
解题贴士
在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角形，然
后再数三个，四个三角形组成的三角形.
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【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可
解答．
【详解】解：在直线𝑎上一点𝐴，在直线𝑏上取两点，可构成的三角形有△𝐴𝐷𝐸、△𝐴𝐷𝐹、△𝐴𝐷𝐺、△
𝐴𝐸𝐹、△𝐴𝐸𝐺、△𝐴𝐹𝐺，共6 个，
同样在直线𝑎上一点𝐵，在直线𝑏上取两点，可构成的三角形有6 个；在直线𝑎上一点𝐶，在直线𝑏上取两
点，可构成的三角形有6 个；
在直线𝑏上一点𝐷，在直线𝑎上取两点，可构成的三角形有△𝐷𝐴𝐵、△𝐷𝐴𝐶、△𝐷𝐵𝐶，共3 个，
同样在直线𝑏上一点𝐸，在直线𝑎上取两点，可构成的三角形有3 个；在直线𝑏上一点𝐹，在直线𝑎上取两
点，可构成的三角形有3 个；在直线𝑏上一点𝐺，在直线𝑎上取两点，可构成的三角形有3 个；
所以一共可以组成三角形的个数为6 × 3 + 3 × 4 = 30个，
故选：B．
6.如图，图中有________条线段，________个三角形．
【答案】 154 84
【知识点】直线、线段、射线的数量问题、三角形的个数问题
【分析】本题考查数图形中的线段条数、三角形个数、梯形个数问题，掌握规律，不重不漏是解决问题的
关键．
根据线段特征、三角形定义及梯形特征，通过数一数，不重不漏找出线段、三角形个数即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
图中竖着的线段有7 条，每条线段上有5 个点，则每条线段上共有线段10 条，
图中横着的线段有4 条，每条线段上有7 个点，则每条线段上共有线段21 条，
∴图中有线段条数为7 × 10 + 4 × 21 = 154；
图中相邻两条竖线构成的三角形有6 × 4 = 24个，
图中相邻三条竖线构成的三角形有5 × 4 = 20个，
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图中相邻四条竖线构成的三角形有4 × 4 = 16个，
图中相邻五条竖线构成的三角形有3 × 4 = 12个，
图中相邻六条竖线构成的三角形有2 × 4 = 8个，
图中全部七条竖线构成的三角形有1 × 4 = 4个，
∴图中有三角形数为4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 = 84；
故答案为：154；84．
题型04 判断三角形的形状
典｜例｜精｜析
例4.在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【知识点】三角形的分类
【分析】根据三角形的分类定义判断即可．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
变｜式｜巩｜固
7.若𝑎, 𝑏, 𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长，且(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐) = 0，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
【答案】A
【知识点】三角形的分类
【分析】根据乘积为0 的性质得到边的关系，即可判断三角形类型.
【详解】解：∵(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐) = 0，
∴𝑎−𝑏= 0或𝑏−𝑐= 0，
即𝑎= 𝑏或𝑏= 𝑐，
∴△𝐴𝐵𝐶至少有两条边相等，
解题贴士
三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角
三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰
三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.
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∴△𝐴𝐵𝐶一定是等腰三角形.
8. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，∠𝐵𝐴𝐶是钝角，E 是𝐷𝐶上一点，且∠𝐵𝐴𝐸是锐角，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，
垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形．
【答案】 5 2
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查了三角形及其分类．根据三角形按角分类的定义判断．
【详解】解：直角三角形：△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶，△𝐴𝐹𝐸，△𝐶𝐹𝐸，共5 个；
钝角三角形：△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐸𝐶，共2 个．
故答案为：6；2．
题型05 等腰三角形
典｜例｜精｜析
例5.已知等腰三角形的底边和腰长分别为6 cm和7 cm，那么这个三角形的周长为________cm ．
【答案】42
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长．
【详解】解：∵等腰三角形底边长为6 cm，腰长为7 cm，
∴这个三角形的周长为6 + 7 + 7 = 20(cm)
变｜式｜巩｜固
9.已知𝑎，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的两边，且满足𝑎2 −𝑐2 = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状一定是__________．
【答案】等腰三角形
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】根据𝑎，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的两边可知𝑎> 0, 𝑐> 0，进而根据𝑎2 −𝑐2 = 0得到𝑎= 𝑐，可知△𝐴𝐵𝐶的形状
一定是等腰三角形．
【详解】解：∵𝑎，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的两边，
∴𝑎> 0, 𝑐> 0，
解题贴士
等腰三角形中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
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∵𝑎2 −𝑐2 = 0，
∴𝑎2 = 𝑐2，
∴𝑎= 𝑐，
∴△𝐴𝐵𝐶的形状一定是等腰三角形．
10.用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长；
【答案】14cm
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答
本题的关键．根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长；
【详解】解：设底边长为𝑥cm，则腰长为2𝑥cm，
由题意可得，𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥= 35，解得𝑥= 7，
∴2𝑥= 14，即腰长为14cm；
题型06 三角形有关概念辨析
典｜例｜精｜析
例6.下列说法正确的是（ ）
A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形
B．等边三角形不是等腰三角形
C．等腰三角形是等边三角形
D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
【答案】D
【知识点】三角形的分类
【分析】根据三角形的分类，等腰三角形与等边三角形之间的关系分别对每一项进行分析即可．
【详解】A、三角形分为等腰三角形和三边不相等的三角形，选项错误，不符合题意；
B、等边三角形是等腰三角形，选项错误，不符合题意；
C、等腰三角形不一定是等边三角形，选项错误，不符合题意；
D、三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法、等腰三角形与等边三角形之间的关系是解题
的关键．
变｜式｜巩｜固
解题贴士
掌握三角形有关概念的解题关键
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11.下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）
一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【知识点】三角形的分类
【分析】根据三角形的分类判断即可．
【详解】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确；
（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误；
（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误；
（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误；
故选：A．
【点睛】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答
12.下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两条边相等．
A．①②
B．②③
C．①③
D．③
【答案】D
【知识点】三角形的分类、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了三角形，理解三角形的分类和等腰三角形的性质是解题的关键．
利用等腰三角形和等边三角形的定义对①③进行判断；利用三角形按边分类可对②进行判断．
【详解】解：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定为等腰三角形，所以①的说法错误；
三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形，所以②的说法错误；
等腰三角形至少有两条边相等，所以③的说法正确．
故选：D．
题型07 动点问题
典｜例｜精｜析
例7.如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐶= 6cm，P、Q 是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动点，其中点P
从点A 开始沿𝐴→𝐵方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿𝐵→𝐶→𝐴方向运动，且速度为每
秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．从出发_____秒钟后，△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形？
解题贴士
设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题
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【答案】
8
3/2
2
3
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t 秒钟后，△𝑃𝑄𝐵能形成等腰三角
形，则𝐵𝑃= 𝐵𝑄，由𝐵𝑄= 2𝑡，𝐵𝑃= 8 −𝑡，列式求得t 即可；
【详解】解：设从出发t 秒钟后，△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形．
∵∠𝐵= 90°，
∴当△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形时，𝐵𝑃= 𝐵𝑄．
由题意，𝐴𝑃= 𝑡，𝐵𝑄= 2𝑡；
∴𝐵𝑃= 8 −𝑡，
当𝐵𝑃= 𝐵𝑄时，8 −𝑡= 2𝑡，解得𝑡=
8
3秒．
故答案为：
8
3．
变｜式｜巩｜固
13.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐶𝐴= 8cm，𝐶𝐵= 6cm，𝐴𝐵= 10cm．点𝐷为△𝐴𝐵𝐶边上的动点，沿𝐶→
𝐴→𝐵→𝐶的路径运动（再次到达𝐶点则停止运动），点𝐷的运动速度为2cm/秒，设点𝐷运动时间为𝑡秒．
（1）当点𝐷在𝐴𝐶上运动时，若𝐷𝐶= 𝐵𝐶，则𝑡=___________；
（2）若点𝐷与△𝐴𝐵𝐶某一顶点的连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时𝑡的值为___________．
【答案】 3 3 或6 或10
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据𝐷𝐶= 𝐵𝐶得到2𝑡= 6求解即可；
（2）分类讨论：当点D 与顶点A 连线平分、当点D 与顶点B 连线平分、当点D 与顶点C 连线平分△𝐴𝐵𝐶
的周长时分别求解．
【详解】解：（1）当点𝐷在𝐴𝐶上运动时，𝐶𝐷= 2𝑡
若𝐷𝐶= 𝐵𝐶，则2𝑡= 6
解得𝑡= 3；
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（2）∵𝐶𝐴= 8cm，𝐶𝐵= 6cm，𝐴𝐵= 10cm，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 24cm，
如图，当点D 与顶点B 连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时，𝐶𝐷= 2𝑡
∴𝐵𝐶+ 𝐶𝐷=
1
2 × 24 = 12cm
∴6 + 2𝑡= 12
∴𝑡= 3；
如图，当点D 与顶点C 连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时，
∴𝐴𝐶+ 𝐴𝐷= 12cm
∴2𝑡= 12
∴𝑡= 6；
如图，当点D 与顶点A 连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 12cm
∴10 + 𝐵𝐷= 12
∴𝐵𝐷= 2cm
∴𝑡=
8+10+2
2
= 10；
综上所述，𝑡= 3秒或者6 秒或者10 秒．
14.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5, 𝐴𝐶= 4, 𝐵𝐶= 3．点𝑃从点𝐶出发，以每秒2 个单位长度的速度沿𝐶−𝐴−𝐵
向终点B 运动，设点𝑃运动的时间为𝑡秒(𝑡> 0)．
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(1)当点𝑃在𝐴−𝐵上运动时，𝐴𝑃的长为 （用含𝑡的代数式表示）．
(2)当△𝑃𝐴𝐶是以𝐴𝐶为腰的等腰三角形时，求𝑡的值．
(3)当𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶分成的两部分的面积相等时，求𝑡的值．
(4)当点𝑃与△𝐴𝐵𝐶的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为2: 3时，直接写出𝑡的值．
【答案】(1)2𝑡−4
(2)4
(3)
13
4
(4)0.9 或2.4 或3.6
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、等腰三角形的定义、列代数式
【分析】（1）由𝐴𝑃等于点P 运动的距离与𝐴𝐶的差，从而得出结果；
（2）由𝐴𝑃= 𝐴𝐶= 4可得出点P 运动距离，进而求得结果；
（3）根据题意可知𝑆△𝐴𝐶𝑃= 𝑆△𝐵𝐶𝑃，进而可知𝐴𝑃=
1
2 𝐴𝐵=
5
2，根据𝐴𝑃= 2𝑡−4列方程求解即可；
（4）分为点P 在𝐴𝐶上、点P 在𝐴𝐵上当点P 在𝐴𝐶上时，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点P 运动的距离是2𝑡，
∴𝐴𝑃= 2𝑡−4；
（2）解：∵𝐴𝑃= 𝐴𝐶= 4，点P 在𝐴𝐵上，
∴2𝑡= 𝐴𝐶+ 𝐴𝑃= 8，
∴𝑡= 4；
（3）解：由题意得：点P 在𝐴𝐵上，
∵𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶分成的两部分的面积相等，
∴𝑆△𝐴𝐶𝑃= 𝑆△𝐵𝐶𝑃，
∴𝐴𝑃=
1
2 𝐴𝐵=
5
2，
∴2𝑡−4 =
5
2，
∴𝑡=
13
4 ；
（4）解：12 ×
3
2+3 = 7.2，12 ×
2
2+3 = 4.8，
当点P 在𝐴𝐶上时，𝐵𝐶+ 𝐶𝑃= 4.8，
∴𝐶𝑃= 4.8 −𝐵𝐶= 4.8 −3 = 1.8，即2𝑡= 1.8，
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∴𝑡= 0.9，
当点P 在𝐴𝐵上时，𝐴𝐶+ 𝐴𝑃= 4.8或𝐴𝐶+ 𝐴𝑃= 7.2，
即2𝑡= 4.8或2𝑡= 7.2，
∴𝑡= 2.4或3.6，
综上所述：𝑡= 0.9或2.4 或3.6．
基础通关
1.观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角
形．据此即可解答．
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
D、符合三角形的概念．
故选：D．
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，顶点C 所对的边是（ ）
A．𝐴𝐷
B．𝐴𝐵
C．𝐴𝐶
D．𝐵𝐸
【答案】B
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【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据三角形的识别与有关概念求解．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，顶点C 所对的边是𝐴𝐵，
故选：B．
4.若一个三角形的三个内角的度数分别为30°，50°，100°，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角
三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即
可．
【详解】验证内角和：30° + 50° + 100° = 180°，符合三角形内角和为180°的性质；
判断角类型：30°和50°均小于90°，为锐角，100°大于90°，为钝角；
分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形；
综上，该三角形是钝角三角形．
故选：C．
4.给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等
边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其
中，正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【知识点】三角形的分类
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断
【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确
综上所述，正确的结论2 个
故选B
【点睛】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形
5.如图，以点𝐵为顶点的三角形共有__________
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】4 个
【知识点】三角形的个数问题
【分析】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相
连围成的图形得出三角形个数．根据三角形的定义得出答案即可．
【详解】解：以点𝐵为顶点的三角形有△𝐵𝐹𝐷,△𝐵𝐴𝐷,△𝐵𝐴𝐸,△𝐵𝐴𝐶，共有4个．
6.一个等腰直角三角形的直角边长2 分米，这个三角形的面积是________平方厘米．
【答案】200
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的面积公式．根据三角形的面积=底×高÷ 2，解答此题即可．
【详解】解：2 × 2 ÷ 2 = 2（平方分米）
2 平方分米= 200平方厘米
答：这个三角形的面积是200 平方厘米．
故答案为：200．
7.如图，图中包含的直角三角形的个数是_______．
【答案】5
【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题
【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，有一个内角度数为90 度的三角形是直角三角形，据此求解
即可．
【详解】解：由题意得，直角三角形有△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐶𝐷，△𝐴𝐵𝐷，△𝐵𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐸，共5 个，
故答案为：5．
8.已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，且满足|𝑎−𝑐| + |𝑏−𝑐| = 0，则△𝐴𝐵𝐶是________三角形．
【答案】等边
【知识点】绝对值非负性、三角形的分类
【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个
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数都为零，得到𝑎= 𝑏= 𝑐，进而得到△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
【详解】解：∵|𝑎−𝑐| + |𝑏−𝑐| = 0，
∴𝑎−𝑐= 0, 𝑏−𝑐= 0，
∴𝑎= 𝑐, 𝑏= 𝑐，
∴𝑎= 𝑏= 𝑐，
∵a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
故答案为：等边．
9.如图，已知𝑙1平行于𝑙2，△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，顶点A，B 分别在𝑙1，𝑙2上，当∠1 =
70°时，∠2 =__________°．
【答案】65
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等腰三角形的定义
【详解】解：如图，
∵𝑙1平行于𝑙2，
∴∠3 = ∠1 = 70°，
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∴∠2 = 180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠3 = 65°．
10.如果等腰三角形的腰长和底边分别为5 和3，那么它的周长为________．
【答案】22
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为5,5,3，再利用三角形的周长公式计算
即可．
【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为5 和3，
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∴它的周长为5 + 5 + 3 = 13．
11.如图所示．
(1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以𝐵𝐶为边的三角形是
________________；以∠𝐷为一个内角的三角形是________；
(2)在△𝐸𝐵𝐶中，∠𝐸𝐵𝐶的对边是________，𝐵𝐶的对角是________，△𝐸𝐵𝐶与△𝐷𝐵𝐶的公共边是________，
公共角是________．
【答案】(1)5；△𝐸𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐵𝐶，△𝐷𝐸𝐶，△𝐴𝐸𝐵；△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐵𝐶，△𝐸𝐵𝐶；△𝐷𝐸𝐶，△𝐷𝐵𝐶
(2)𝐸𝐶；∠𝐵𝐸𝐶；𝐵𝐶；∠𝐷𝐵𝐶（∠𝐸𝐵𝐶）
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【分析】本题考查了三角形的基本概念，包括三角形的计数、表示方法、边与角的对应关系以及三角形间
的公共边和公共角，解题的关键是熟练掌握三角形的相关定义并准确识别图形中的元素．
（1）按一定顺序逐一识别图中的三角形，避免重复或遗漏；根据三角形的表示方法用符号写出所有三角
形；依据“以𝐵𝐶为边”即边中包含𝐵𝐶的要求筛选三角形；根据“以∠𝐷为内角”即内角包含∠𝐷的要求筛选三角
形．
（2）在△𝐸𝐵𝐶中，根据“角的对边是指该角不相邻的边”确定∠𝐸𝐵𝐶的对边；根据“边的对角是指该边不相邻
的角”确定𝐵𝐶的对角；通过观察图形找出△𝐸𝐵𝐶与△𝐷𝐵𝐶共有的边和角．
【详解】（1）解：图中通过逐一识别可得共有5 个三角形，用符号表示为△𝐸𝐵𝐶,△𝐴𝐵𝐶,△𝐷𝐵𝐶,△𝐷𝐸𝐶，
△𝐴𝐸𝐵；
其中以𝐵𝐶为边的三角形是包含边𝐵𝐶的△𝐴𝐵𝐶,△𝐷𝐵𝐶,△𝐸𝐵𝐶；
以∠𝐷为一个内角的三角形是内角有∠𝐷的△𝐷𝐸𝐶,△𝐷𝐵𝐶．
故答案为：5;△𝐸𝐵𝐶,△𝐴𝐵𝐶,△𝐷𝐵𝐶,△𝐷𝐸𝐶,△𝐴𝐸𝐵;△𝐴𝐵𝐶,△𝐷𝐵𝐶,△𝐸𝐵𝐶;△𝐷𝐸𝐶,△𝐷𝐵𝐶．
（2）在△𝐸𝐵𝐶中, ∠𝐸𝐵𝐶的对边是不与∠𝐸𝐵𝐶相邻的边𝐸𝐶；
𝐵𝐶的对角是不与𝐵𝐶相邻的角∠𝐵𝐸𝐶；
通过观察图形可知△𝐸𝐵𝐶与△𝐷𝐵𝐶的公共边是𝐵𝐶，公共角是∠𝐷𝐵𝐶（或∠𝐸𝐵𝐶)．
故答案为：𝐸𝐶; ∠𝐵𝐸𝐶; 𝐵𝐶; ∠𝐷𝐵𝐶(∠𝐸𝐵𝐶)．
12.如图，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐴= 𝐴𝐶，找出图中的等腰三角形和等边三角形．
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【答案】等边三角形有△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐷𝐶，等腰三角形△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐷𝐶,△𝐴𝐵𝐷,△𝐵𝐶𝐷．
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查了三角形的分类，根据等边三角形和等腰三角形的定义，对各个三角形逐一分析，即可
得到答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐴= 𝐴𝐶，
∴等边三角形有△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐷𝐶，等腰三角形△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐷𝐶,△𝐴𝐵𝐷,△𝐵𝐶𝐷．
素养提升
1.李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 0.5 m，将
储物柜△𝐴𝐵𝐶沿着墙向右平移到△𝐷𝐸𝐹的位置，已知𝐵𝐸= 1 m，则储物柜扫过的区域（四边形𝐴𝐵𝐹𝐷）的
面积是（ ）
A．0.25 m2
B．0.5 m2
C．0.625 m2
D．0.75 m2
【答案】C
【知识点】利用平移的性质求解、等腰三角形的定义
【分析】先利用等腰直角三角形的性质，确定了两条直角边的长度．再根据平移的性质，得出了梯形的上
底和下底长度．最后直接套用梯形面积公式，计算出最终结果．
【详解】解：∵∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 0.5m，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，
∵△𝐴𝐵𝐶平移得到△𝐷𝐸𝐹，平移距离𝐵𝐸= 1m，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 1m，𝐸𝐹= 𝐵𝐶= 0.5m，𝐴𝐷∥𝐵𝐸
∴四边形𝐴𝐵𝐹𝐷是直角梯形，上底𝐴𝐷= 1m，下底𝐹𝐵= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹= 1.5m，高𝐴𝐵= 0.5m，
∴𝑆梯形𝐴𝐵𝐹𝐷= 1
2 × (𝐴𝐷+ 𝐹𝐵) × 𝐴𝐵
= 1
2 × (1 + 1.5) × 0.5
= 0.625m2．
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2.平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【知识点】三角形的个数问题
【分析】本题考查三角形的个数，根据三角形的定义，得到当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形
的个数最多，进行判断即可．
【详解】解：设四个点分别为𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷，
当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，分别为△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐵𝐷,△𝐴𝐶𝐷,△𝐵𝐶𝐷，共4
个；
故选B．
3.△𝐴𝐵𝐶的周长为12，三边a、b、c 之间存在关系𝑎−1 = 𝑏，𝑏−1 = 𝑐，则三边长𝑎=___________，
𝑏=___________，𝑐=___________．
【答案】 5 4 3
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公
式；
根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可．
【详解】解：∵ △𝐴𝐵𝐶的周长为12，
∴ 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 12，
∵ 𝑎−1 = 𝑏，𝑏−1 = 𝑐，
∴ 𝑎+ 𝑎−1 + (𝑎−1) −1 = 12，
解得：𝑎= 5，
∴𝑏= 4，𝑐= 3，
故答案为：5，4，3．
4.如图，在平面直角坐标系，点𝐴的坐标为(1,1)，在𝑥轴上确定点𝑃，使△𝐴𝑂𝑃为等腰三角形，则符合条件
的点𝑃的个数是________
【答案】4
【知识点】等腰三角形的定义
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【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。
当以𝑂𝐴作为腰时，当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以𝑂𝐴为半径的圆与x 轴的交点，共有1 个；当
O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以𝑂𝐴为半径的圆与x 轴的交点，有2 个；当以𝑂𝐴作为底时，P 是OA
的中垂线与x 轴的交点，有1 个；据此即可解答．
【详解】解：如图：当以𝑂𝐴作为腰时，有两种情况，
当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以𝑂𝐴为半径的圆与x 轴的交点，共有1 个，
当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以𝑂𝐴为半径的圆与x 轴的交点，有2 个；
（2）若𝑂𝐴是底边时，P 是𝑂𝐴的中垂线与x 轴的交点，有1 个．
以上4 个交点没有重合的．故符合条件的点有4 个．
故选B．
5.现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5 个直角、3 个钝角、28 个锐角，那么在这些三角形中，
共有 _____ 个锐角三角形．
【答案】4
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查了三角形的定义和分类，先求出三角形的个数，再根据三角形的分类，即可得出锐角三
角形的个数．
【详解】解：∵每个三角形有3 个内角，
∴共有(5 + 3 + 28) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12个三角形，
∵三角形中最多只有一个直角或钝角，
∴12 个三角形有5 个直角三角形，3 个钝角三角形，
∴共有12 −5 −3 = 4个锐角三角形，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形内角和，掌握三角形的分类是解题的关键．
6.如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 3，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 4，点𝑃以每秒3 个单位长度的速度从点𝐴出发，沿
𝐴→𝐵→𝐶运动，同时点𝑄以每秒1 个单位长度的速度从点𝐷出发，沿𝐷→𝐴运动，当𝑃、𝑄两点有一个点到
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达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为𝑡秒．
(1)用含𝑡的代数式表示𝐵𝑃的长；
(2)点𝑃在𝐵𝐶上运动，当𝑃𝑄的中点落在𝐴𝐶上时，求𝑡的值；
(3)当△𝐴𝑃𝑄是以𝐴𝑃为腰的等腰三角形时，求𝑡的值（两个答案即可）；
(4)作点𝑃关于点𝐵的中心对称点𝑃′，当𝑆△𝑄𝑃𝑃′ =
3
4 𝑆△𝑄𝐴𝐵时，直接写出𝑡的值．
【答案】(1)𝐵𝑃= {
3 −3𝑡(0 ≤𝑡≤1)
3𝑡−3 (1 < 𝑡≤
7
3)
(2)𝑡=
3
2
(3)𝑡=
10
7 或𝑡= 1
(4)
5
8或
4
3
【知识点】等腰三角形的定义、列代数式、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长
方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）分0 ≤𝑡≤1和1 < 𝑡≤
7
3根据路程=速度×时间可求出𝐴𝑃的长即可得出𝐵𝑃的长；
（2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论；
（3）分𝐴𝑃= 𝐴𝑄和𝐴𝑃= 𝑃𝑄列方程求解即可；
（4）根据题意得𝑆△𝑄𝑃𝑃′ = 2𝑆△𝑄𝐴𝐵，结合𝐵𝑃的情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：当0 ≤𝑡≤1时，点P 在𝐴𝐵上，𝐴𝑃= 3𝑡，则𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= 3 −3𝑡；
当1 < 𝑡≤
7
3时，点P 在𝐵𝐶上，𝐵𝑃= 3𝑡−3，
综上，𝐵𝑃= {
3 −3𝑡(0 ≤𝑡≤1)
3𝑡−3 (1 < 𝑡≤
7
3)
（2）解：∵在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 3，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 4，
∴设𝐴(0,0), 𝐵(0,3), 𝐶(4,3), 𝐷(4,0)，
∵点𝑃在𝐵𝐶上运动，1 < 𝑡≤
7
3，
∴𝐵𝑃= 3𝑡−3，
∴点𝑃的坐标为(3𝑡−3,3)
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∵点𝑄在𝐷𝐴上运动，则𝐷𝑄= 𝑡，
∴𝐴𝑄= 4 −𝑡，
∴𝑄(4 −𝑡, 0)，
∵𝐴(0,0),𝐶(4,3)，
∴𝐴𝐶的中点坐标为(2,
3
2)，
∴
3𝑡−3+4−𝑡
2
= 2，
解得𝑡=
3
2；
（3）解：①𝐴𝑃= 𝐴𝑄时，当点P 在𝐴𝐵上时，3𝑡= 4 −𝑡，
解得𝑡= 1；
②当𝐴𝑃= 𝑃𝑄时，
4−𝑡
2 = 3𝑡−3，
解得𝑡=
10
7 ；
综上，可取𝑡=
10
7 或𝑡= 1；
（4）解：∵𝑃′是点𝑃关于点𝐵的中心对称点，
∴点𝐵是𝑃𝑃′的中点，
∴𝑆△𝑄𝑃𝑃′ = 2𝑆△𝑄𝐵𝑃，
又𝑆△𝑄𝐴𝐵=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝑄𝐴=
3(4−𝑡)
2
，
∵𝑆△𝑄𝑃𝑃′ =
3
4 𝑆△𝑄𝐴𝐵，
∴2𝑆△𝑄𝐵𝑃=
3
4 𝑆△𝑄𝐴𝐵，
∴2𝑆△𝑄𝐵𝑃=
3
4 ×
3(4−𝑡)
2
，
当0 ≤𝑡≤1时，𝐵𝑃= 3 −3𝑡，
∴𝑆△𝑄𝐵𝑃=
1
2 × (3 −3𝑡) × (4 −𝑡)，
∴2 ×
1
2 (3 −3𝑡)(4 −𝑡) =
3
4 ×
3(4−𝑡)
2
，
解得𝑡=
5
8；
当1 < 𝑡≤
7
3时，点P 在𝐵𝐶上，𝐵𝑃= 3𝑡−3，
𝑆△𝑄𝐵𝑃=
1
2 × (3𝑡−3) × 3，
∴2 ×
1
2 (3𝑡−3) × 3 =
3
4 ×
3(4−𝑡)
2
，
解得𝑡=
4
3；
综上，t 的值为
5
8或
4
3．
迁移创新
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1.如图，点B 在∠𝐴的一条边上固定不动，点C 在∠𝐴的另一条边上可以任意移动，连接𝐵𝐶，三角形𝐴𝐵𝐶
（ ）
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形
A．只能是①
B．只能是④
C．可能是①②③
D．可能是①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的分类
【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可．
【详解】解：如图，当∠𝐴𝐵𝐶< 90°, ∠𝐴𝐶𝐵< 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为锐角三角形；
如图，当∠𝐴𝐵𝐶= 90°或∠𝐴𝐶𝐵= 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为直角三角形；
或
如图，当∠𝐴𝐵𝐶> 90°或∠𝐴𝐶𝐵> 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为钝角三角形；
或
如图，当𝐴𝐵= 𝐴𝐶或𝐴𝐵= 𝐵𝐶或𝐴𝐶= 𝐵𝐶时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为等腰三角形；
或
或
综上，三角形𝐴𝐵𝐶可能是①②③④．
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故选：D．
2.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值𝑘称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为
16cm，其中一边长为6cm，则它的“优美比”k 为___________
【答案】
2
3 或
6
5
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当6cm为腰长
时，当6cm为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解．
【详解】解：当等腰三角形的腰长是6cm时，
∴等腰三角形底边长是16 −2 × 6 = 4(cm)，
6 + 4 > 6，满足三角形三边关系，
∴此时等腰三角形的“优美比” 𝑘=
4
6 =
2
3；
当等腰三角形的底边长是6cm时，
∴等腰三角形腰长是
1
2 × (16 −6) = 5(cm)，
5 + 5 > 6，满足三角形三边关系，
∴此时等腰三角形的“优美比” 𝑘=
6
5，
∴等腰三角形的“优美比” 𝑘=
2
3或
6
5．
故答案为
2
3 或
6
5．
