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分层作业
13.1 三角形的概念
目 录
A 组 巩固过关
题型01 三角形的是识别
题型02 三角形的边、角和顶点
题型03 数三角形的个数
题型04 判断三角形的形状
题型05 特殊三角形
题型06 三角形有关概念辨析
题型07 动点问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
三角形的识别
1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此
即可解答．
【详解】
题型01
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解：图形中是三角形的是
故选：B．
2．（26-27 八年级·全国·暑假作业）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的定义，依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在
同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．
【详解】解：A 项：选项中是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，不符合题意；
B 项：选项中2 条线段没有相接，所以不是三角形，不符合题意；
C 项：3 条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，符合题意；
D 项：有1 条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，不符合题意．
故选：C．
3.下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三
角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C 选项的图形是三角形，
故选：C．
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三角形的边、角和顶点
4.在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵边所对的角是（ ）
A．∠𝐴𝐷𝐵
B．∠𝐴𝐸𝐵
C．∠𝐴𝐶𝐵
D．∠𝐴𝐸𝐶
【答案】B
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键．
根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可．
【详解】解：根据三角形的边所对角的概念，
在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵边所对的角是∠𝐴𝐸𝐵，
故选：B．
5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中， 𝐵𝐶= 12，若△𝐵𝐶𝐸的周长为30，则𝐵𝐸+ 𝐶𝐸=______．
【答案】18
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查三角形的周长，根据△𝐵𝐶𝐸的周长减去𝐵𝐶可得结论．
【详解】解：根据题意得𝐵𝐸+ 𝐶𝐸+ 𝐵𝐶= 30，
∵𝐵𝐶= 12，
∴𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 30 −𝐵𝐶= 30 −12 = 18，
故答案为：18．
6.（1）如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶中，写出图中所有三角形：________；
（2）如图，△𝐴𝐵𝐷的3 个内角是________，三条边是________．
【答案】 △𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐶，△𝐵𝐷𝐶，△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐵 𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐵𝐷
题型02
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【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐶，△𝐵𝐷𝐶，△𝐴𝐵𝐶；
（2）△𝐴𝐵𝐷的3 个内角是∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐴𝐵𝐷，三条边是𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐵𝐷.
7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在边𝐵𝐶上，𝐵𝐷= 𝐴𝐷= 𝐷𝐶= 𝐴𝐶．
(1)写出以点C 为顶点的三角形；
(2)写出以𝐴𝐵为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形．
【答案】(1)△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐶
(2)△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷
(3)等腰三角形是△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐶；等边三角形是△𝐴𝐷𝐶
【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类：
（1）根据三角形的定义，找出以点C 为顶点的三角形即可；
（2）根据三角形的定义，找出以𝐴𝐵为边的三角形即可；
（3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形．
【详解】（1）解：以点C 为顶点的三角形有△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐶；
（2）解：以𝐴𝐵为边的三角形有△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷；
（3）解：∵𝐵𝐷= 𝐴𝐷= 𝐷𝐶= 𝐴𝐶，
∴等腰三角形有△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐶，
等边三角形有△𝐴𝐷𝐶．
数三角形的个数
8.图中直角三角形的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
题型03
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【分析】本题考查了直角三角形的定义：直角三角形的三个内角中一个角等于90 度．
根据直角三角形的定义判断即可．
【详解】图中直角三角形的个数有△𝐴𝐸𝐷,△𝐴𝐸𝐵,△𝐴𝐸𝐹,△𝐴𝐸𝐶共4 个，
故选：C．
9.仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形．
【答案】35
【知识点】三角形的个数问题
【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏．
【详解】解：如图，
图中有△𝐹𝐴𝐵,△𝐽𝐴𝐸,△𝐼𝐸𝐷,△𝐻𝐷𝐶,△𝐺𝐶𝐵共5 个，
有△𝐷𝐴𝐵,△𝐶𝐴𝐸,△𝐵𝐸𝐷,△𝐴𝐷𝐶,△𝐸𝐶𝐵共5 个，
有△𝐽𝐴𝐵,△𝐼𝐴𝐸,△𝐻𝐸𝐷,△𝐺𝐷𝐶,△𝐹𝐶𝐵共5 个，
有△𝐺𝐴𝐵,△𝐹𝐴𝐸,△𝐽𝐸𝐷,△𝐼𝐷𝐶,△𝐻𝐶𝐵共5 个，
有△𝐸𝐴𝐵,△𝐷𝐴𝐸,△𝐶𝐸𝐷,△𝐵𝐷𝐶,△𝐴𝐶𝐵共5 个，
有△𝐴𝐹𝐽,△𝐸𝐽𝐼,△𝐷𝐼𝐻,△𝐶𝐺𝐻,△𝐵𝐺𝐹共5 个，
有△𝐽𝐵𝐷,△𝐼𝐴𝐶,△𝐻𝐸𝐵,△𝐺𝐴𝐷,△𝐹𝐶𝐸共5 个，
共计有5 × 7 = 35个三角形．
10.下图中有_________个三角形．
【答案】42
【知识点】三角形的个数问题
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【分析】先确定公共顶点三角形的个数，然后再确定线段交叉的三角形个数，二者相加即可求出．
【详解】解：以最上方顶点为公共顶点的三角形，分为两层，如下：
上层：5 + 4 + 3 + 2 + 1 =
(1+5)×5
2
= 15，
下层：5 + 4 + 3 + 2 + 1 =
(1+5)×5
2
= 15．
不以最上方为顶点的三角形：5 + 4 + 3 = 12．
∴图中三角形的个数为：15 + 15 + 12 = 42．
判断三角形的形状
11.如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形
状，是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】D
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的分类；根据三角形的分类即可得到正确的结
论
【详解】解：由图可知：三角尺露出的角是钝角，
故该三角形是钝角三角形，
故选D
12.在平面直角坐标系中，有点𝐷(0,3)、𝐸(0,−2)、𝐹(6,−2)，则△𝐷𝐸𝐹是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】坐标系中描点、三角形的分类、求点到坐标轴的距离
【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状．
【详解】解：如图，
题型04
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∵点𝐷(0,3)、𝐸(0,−2)、𝐹(6, −2)，
∴𝐷𝐸⊥𝐸𝐹，𝐷𝐸= 5，𝐸𝐹= 6，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 90°，
∴ △𝐷𝐸𝐹 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形，
选项C 符合题意．
13.若一个三角形三条边的长度比是1: 1: 1，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为1: 1: 1，即三边相等，因此该三角形是等
边三角形．
【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是1: 1: 1，即三边长度相等，
∴此三角形为等边三角形．
故选：C．
特殊三角形
14.如果等腰三角形的腰长和底边分别为9 和4，那么它的周长为________．
【答案】22
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为9,9,4，再利用三角形的周长公式计算
即可．
【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9 和4，
∴它的周长为9 + 9 + 4 = 22．
15.（1）图①中直角三角形共有______个；
（2）如图②，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐷𝐸= 𝐶𝐸= 𝐴𝐸，则图中共有______个等腰三角形，______个等
边三角形．
题型05
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【答案】 3 4 1
【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题
【分析】本题主要考查三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键；
（1）根据直角三角形的定义可进行求解；
（2）根据等腰三角形的定义及等边三角形的定义可进行求解．
【详解】解：（1）图①中直角三角形共有3 个；
（2）图②中等腰三角形有△𝐴𝐵𝐷,△𝐴𝐶𝐸,△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐷𝐸，共4 个；等边三角形有△𝐴𝐷𝐸，共1 个；
故答案为3；4；1．
三角形有关概念辨析
16.下列选项中的命题属于真命题的是（ ）
A．锐角三角形的三个内角都是锐角
B．直角三角形的三个内角都是直角
C．钝角三角形的三个内角都是钝角
D．钝角三角形的两个内角都是钝角
【答案】A
【知识点】判断命题真假、三角形的分类
【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握命题的定义是解题的关键，根据三角形的定义逐一判断即可
得到答案．
【详解】解：锐角三角形的三个内角都是锐角，此命题正确，故A 选项符合题意；
直角三角形只有一个角是直角，此命题错误，故B 选项不符合题意；
钝角三角形只有一个角是是钝角，此命题错误，故C、D 选项不符合题意；
故选：A．
17．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、
等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其
中，正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【知识点】三角形的分类
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断
【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确
题型06
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（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确
综上所述，正确的结论2 个
故选B
【点睛】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形
动点问题
18.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，∠𝐵= 30°．动点P 从点C 出发，沿边𝐶𝐵，𝐵𝐴向点A 运动．在点P 运
动过程中，△𝑃𝐴𝐶可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：在点P 运动过程中，△𝑃𝐴𝐶可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角
形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
19 如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 16cm，𝐵𝐶= 12cm，P、Q 是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动点，其中点P
从点A 开始沿𝐴→𝐵方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿𝐵→𝐶→𝐴方向运动，且速度为每秒
2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．
(1)出发2 秒后，求𝑃𝑄的长；
(2)当点Q 在边𝐵𝐶上运动时，出发几秒钟后，△𝑃𝑄𝐵能形成等腰三角形？
(3)当点Q 在边𝐶𝐴上运动时，求能使△𝐵𝐶𝑄成为等腰三角形的运动时间．
题型07
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【答案】(1)2√53cm
(2)
16
3 秒钟
(3)11 秒或12 秒或13.2秒
【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，用时间t 表示出相应线段的长
并根据题意列出方程成为解题的关键．
（1）根据点P、Q 的运动速度求出𝐴𝑃和𝐵𝑄，进而求得𝐵𝑃，然后运用勾股定理求解即可；
（2）设出发t 秒钟后，△𝑃𝑄𝐵能形成等腰三角形，则𝐵𝑃= 𝐵𝑄，由𝐵𝑄= 2𝑡，𝐵𝑃= 8 −𝑡，列方程求解即可；
（3）当点Q 在边𝐶𝐴上运动时，能使△𝐵𝐶𝑄成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当𝐶𝑄= 𝐵𝑄时，则
∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝑄，可证明∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝑄，则𝐵𝑄= 𝐴𝑄，则𝐶𝑄= 𝐴𝑄，从而求得t；②当𝐶𝑄= 𝐵𝐶时，则𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 12，
易求得t；③当𝐵𝐶= 𝐵𝑄时，过B 点作𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点E，则求出𝐵𝐸，𝐶𝐸，即可得出t．
【详解】（1）解：∵𝐵𝑄= 2 × 2 = 4cm，𝐴𝑃= 2 × 1 = 2cm，
∴𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= 16 −2 × 1 = 14cm，
∵∠𝐵= 90°，
∴𝑃𝑄= √42 + 142 = √212 = 2√53cm．
（2）解：当点Q 在边𝐵𝐶上运动时，𝐵𝑄= 2𝑡，𝐵𝑃= 16 −𝑡，
∵△𝑃𝑄𝐵为等腰三角形，
∴2𝑡= 16 −𝑡，解得：𝑡=
16
3 ，
∴出发
16
3 秒钟后，△𝑃𝑄𝐵能形成等腰三角形．
（3）解：①当𝐶𝑄= 𝐵𝑄时，如图1 所示：
则∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝑄，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐴𝐵𝑄= 90°．
∵∠𝐴+ ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝑄，
∴𝐵𝑄= 𝐴𝑄，
∴𝐶𝑄= 𝐴𝑄= 10，
∴𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 22，
∴𝑡= 22 ÷ 2 = 11秒．
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②当𝐶𝑄= 𝐵𝐶时，如图2 所示，
则𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 24，
∴𝑡= 24 ÷ 2 = 12秒．
③当𝐵𝐶= 𝐵𝑄时，如图3 所示，
过B 点作𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点E，则𝐵𝐸=
𝐴𝐵⋅𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
12×16
20
=
48
5 ，
∴𝐶𝐸= √𝐵𝐶2 −𝐵𝐸2 = √122 −(
48
5 )
2
=
36
5 ，
∴𝐶𝑄= 2𝐶𝐸= 14.4，
∴𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 26.4，
∴𝑡= 26.4 ÷ 2 = 13.2秒．
综上所述：当t 为11 秒或12 秒或13.2秒时，△𝐵𝐶𝑄为等腰三角形．
1.已知△𝐴𝐵𝐶的三边a、b、c 满足(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形
【答案】C
【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定
【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状．
【详解】解：∵(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0，
∴𝑎−𝑏= 0，𝑏−𝑐= 0，
∴𝑎= 𝑏，𝑏= 𝑐，即𝑎= 𝑏= 𝑐，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
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2．如图，已知点A，B 在直线m 上，点C，D，E 在直线n 上．以点A，B，C，D，E 中的任意三点作为三角
形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（ ）．
A．6 个
B．7 个
C．8 个
D．9 个
【答案】D
【知识点】三角形的个数问题
【分析】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可．
【详解】解：可以组成：△𝐴𝐶𝐷,△𝐴𝐶𝐸,△𝐴𝐷𝐸,△𝐵𝐶𝐷,△𝐵𝐶𝐸,△𝐵𝐷𝐸,△𝐶𝐴𝐵,△𝐷𝐴𝐵,△𝐸𝐴𝐵，共9 个；
故选：D．
3.已知三角形的三边长分别为𝑥，𝑥+ 1，𝑥+ 2，周长为18，则𝑥为______
【答案】5
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形的周长，一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识．根据题意列方程即可求
解．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为𝑥，𝑥+ 1，𝑥+ 2，周长为18，
∴ 𝑥+ 𝑥+ 1 + 𝑥+ 2 = 18，
解得𝑥= 5，
则三边长分别为5,6,7，且满足5 + 6 > 7，三边能构成三角形.
故答案为：5．
4.如图，在直角三角形ABC 中，BC 边上有E，D，F 三点，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸，𝐴𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为F．以
AD 为中线的三角形是_______；以AE 为角平分线的三角形是_______；以AF 为高线的钝角三角形有_______
个．
【答案】 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷 3
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及直角三角形的性质，正确认识三角形的中线、高、
角平分线是解题的关键．
根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可．
【详解】解：以𝐴𝐷为中线的三角形是△𝐴𝐵𝐶；以𝐴𝐸为角平分线的三角形是△𝐴𝐵𝐷；以𝐴𝐹为高线的钝角三
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角形有△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐷𝐸共3 个，
故答案为：△𝐴𝐵𝐶；△𝐴𝐵𝐷；3．
5.△𝐴𝐵𝐶的周长为12，三边a、b、c 之间存在关系𝑎−1 = 𝑏，𝑏−1 = 𝑐，则三边长𝑎=___________，
𝑏=___________，𝑐=___________．
【答案】 5 4 3
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公式；
根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可．
【详解】解：∵ △𝐴𝐵𝐶的周长为12，
∴ 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 12，
∵ 𝑎−1 = 𝑏，𝑏−1 = 𝑐，
∴ 𝑎+ 𝑎−1 + (𝑎−1) −1 = 12，
解得：𝑎= 5，
∴𝑏= 4，𝑐= 3，
故答案为：5，4，3．
6.如图，在𝐴𝐵为其中一边，
(1)在图中过A、B、C、D、E 五个点中的任意三点画出
．．所有三角形，所画三角形分别是______；
(2)属于等腰三角形的是______．
【答案】(1)图形见解析，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐷𝐸，
△𝐶𝐷𝐸
(2)△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷
【知识点】三角形的识别与有关概念、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义．
（1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可；
（2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可．
【详解】（1）解：所画三角形如图所示，
三角形有：△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐷𝐸，△𝐶𝐷𝐸
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（2）解：属于等腰三角形的是△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷，
故答案为：△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷．
1．【分类讨论】如图，在平面直角坐标系中，已知𝐴(0, −5)、𝐵(−5,0)，若点𝐶在𝑥轴上，且△𝐴𝐵𝐶为等腰三
角形，则满足条件的点𝐶的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【知识点】等腰三角形的定义、坐标与图形综合
【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以A 为圆心，𝐴𝐵的长
为半径画圆，以B 为圆心，𝐴𝐵的长为半径画圆，作𝐴𝐵的垂直平分线，它们分别与x 轴的交点即为C 点的位
置．
【详解】解：∵𝐴(0, −5)、𝐵(−5,0)，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 5；
如图所示，以点A 为圆心，𝐴𝐵的长为半径画弧，交x 轴于点𝐶1，可构成等腰△𝐴𝐵𝐶1，
以点B 为圆心，𝐴𝐵的长为半径画弧，交x 轴于点𝐶2,𝐶3，可构成等腰△𝐴𝐵𝐶2,△𝐴𝐵𝐶3，
作线段𝐴𝐵的垂直平分线与x 轴交于点𝐶4（与原点重合），可构成等腰△𝐴𝐵𝐶4，
综上所述，一共有4 个点C 满足题意，
故选：C．
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2．【新定义】定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k 称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰
三角形的腰长为2cm，底边长为3cm，则这个等腰三角形的“优美比”k 为
2
3．若等腰三角形△𝐴𝐵𝐶的周长为13cm，
𝐴𝐵= 5cm，则它的“优美比”k 为______．
【答案】
5
3或
4
5
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键．
根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分𝐴𝐵为腰和𝐴𝐵为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的
比值即可．
【详解】解：根据题意得，等腰三角形𝐴𝐵𝐶的周长为13cm，𝐴𝐵= 5cm．
当𝐴𝐵为腰时，另一腰也为5cm，底边长为13 −2 × 5 = 3cm，
∴优美比𝑘=腰长/底边长=
5
3．
当𝐴𝐵为底边时，腰长为
(13−5)
2
= 4cm，
∴优美比𝑘=腰长/底边长=
4
5．
故答案为：
5
3或
4
5．
3．【规律问题】10.如图，第①个图形中有1 个三角形，第②个图形中有3 个三角形，第③个图形中有6
个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是_________
【答案】36
【知识点】三角形的个数问题
【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答．
【详解】解：第①个图中三角形的个数为1；
第②个图中三角形的个数为3 = 1 + 2；
第③个图中三角形的个数为6 = 1 + 2 + 3；
…，
故第n 个图中三角形的个数为1 + 2 + 3 +⋅⋅⋅+𝑛=
𝑛(𝑛+1)
2
，
故第⑧个图形中三角形的个数为：
8×(8+1)
2
= 36．
