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1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 分层作业 13.3.2 三角形的外角 目 录 A 组 巩固过关 题型01 识别三角形的外角 题型02 利用三角形外角性质求角的度数 题型03 三角板中涉及的三角形外角计算 题型04 实际生活问题中的三角形外角计算 题型05 三角形角平分线模型 题型06 不规则图形中的三角形外角计算 题型07 三角形外角计算综合应用 B 组 能力进阶 C 组 思维拔高 拓展 链接中考 识别三角形的外角 1．下列图中能说明∠1 < ∠2一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、对顶角相等、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定 义及性质 【分析】根据对顶角相等，三角形外角的定性质，平行线的性质，以及三角形内角和为180°判断选项即可． 【详解】解：A 选项，∠1与∠2是对顶角，则∠1 = ∠2，不能说明∠1 < ∠2成立； B 选项，标记∠3如图， 题型01 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 由三角形外角的定义可知，∠2 = ∠1 + ∠3，则∠1 < ∠2一定成立； C 选项，由平行线的性质可知，若两条直线平行，内错角相等， 则∠1 = ∠2，不能说明∠1 < ∠2成立； D 选项，标记∠3如图， 由图可知，∠1 = 90°，∠2 + ∠3 = 180° −90° = 90°，即∠2 + ∠3 = ∠1， 则∠1 > ∠2成立，不能说明∠1 < ∠2成立． 2．如图，下列说法中错误的是（ ） A．∠1不是三角形𝐴𝐵𝐶的外角 B．∠𝐵< ∠1 + ∠2 C．∠𝐴𝐶𝐷是三角形𝐴𝐵𝐶的外角 D．∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐴+ ∠𝐵 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，判断A 正确，D 错误；由三角形外角的定义， 判断C 正确；三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，判断B 正确． 【详解】A. ∠1不是三角形𝐴𝐵𝐶的外角，正确； B. ∠𝐵< ∠1 + ∠2，正确； C. ∠𝐴𝐶𝐷是三角形ABC 的外角，正确； D. ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵，故D 错误． 故选D. 【点睛】本题考查的知识点是三角形外角的性质以及考查三角形内角与外角的关系，解题关键是熟练掌握 三角形的性质． 利用三角形外角性质求角的度数 3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，延长𝐵𝐶至点D，若∠𝐴= 48°，∠𝐵= 53°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ） 题型02 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 A．91° B．101° C．136° D．126° 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接求解即可． 【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角， ∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵= 48° + 53° = 101°． 4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 130°，∠𝐷𝐴𝐶= 95°，则∠𝐴𝐷𝐵=______________°． 【答案】 120 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形内角和定理和∠𝐵= ∠𝐶，求出∠𝐶的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠𝐴𝐷𝐵． 【详解】解：∵∠𝐵= ∠𝐶，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°， ∴∠𝐶= 1 2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶) = 25°， ∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶= 120°． 三角板中涉及的三角形外角计算 5.如图，两个直角三角板的直角顶点A，D 分别在斜边𝐸𝐹，𝐵𝐶上，且𝐸𝐹∥𝐵𝐶，∠𝐹= 30°， ∠𝐶= 45°，则∠1 的度数是（ ） A．60° B．75° C．90° D．95° 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 题型03 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 【分析】利用平行线的性质得到∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐹，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐹= 30°， ∴∠1 = ∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐶= 30° + 45° = 75°． 6.一副三角板按如图所示位置放置，已知∠𝐴= ∠𝐷𝐹𝐸= 90°，∠𝐵= 45°，∠𝐷= 30°，则∠𝐴𝐺𝐸的度数是_____ 【答案】105° 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【详解】解：∵∠𝐷𝐹𝐸= 90°，∠𝐷= 30°， ∴∠𝐷𝐸𝐹= 90° −30° = 60°， ∵∠𝐴= 90°，∠𝐵= 45°， ∴∠𝐶= 90° −45° = 45°， ∴∠𝐴𝐺𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐶= 105°． 实际生活问题中的三角形外角计算 7.停车场有如图1 所示的地锁，图2 为其示意图，若∠3 = 100°，则∠2 −∠1 =（ ） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】A 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角定理以及邻补角定义进行求解． 【详解】解：如图2 所示， 题型04 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∠4 = 180° −∠3 = 180° −100° = 80°， 根据三角形外角定理可得， ∠2 −∠1 = ∠4 = 80°． 8.空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空 竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝐸= 87°，∠𝐷𝐸𝐵= 35°， 则∠𝐴𝐵𝐸的度数为_________ 【答案】122° 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：延长𝐴𝐵交𝐷𝐸于点𝐹，如图， ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴𝐴𝐹∥𝐶𝐷， ∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐹𝐸= 87°， ∵∠𝐷𝐸𝐵= 35°， ∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 87° + 35° = 122°． 三角形角平分线模型 9.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分外角∠𝐴𝐶𝐷，若∠𝐴= 50°，则∠𝑃的度数为（ ） 题型05 6 / 20 学科网（北京）股份有限公司 A．25° B．20° C．10° D．15° 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质可推出∠𝑃= 1 2 ∠𝐴，进而求解． 【详解】解：∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分外角∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝑃𝐵𝐶, ∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝑃𝐶𝐷， ∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴+ 2∠𝑃𝐵𝐶， ∴2∠𝑃𝐶𝐷= ∠𝐴+ 2∠𝑃𝐵𝐶，即∠𝐴= 2(∠𝑃𝐶𝐷−∠𝑃𝐵𝐶)， ∵∠𝑃𝐶𝐷= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶，即∠𝑃= ∠𝑃𝐶𝐷−∠𝑃𝐵𝐶， ∴∠𝑃= 1 2 ∠𝐴= 25°． 10.如图，△𝐴𝐵𝐶的两外角∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐶𝐵𝐸的平分线交于点P，∠𝐴= 60°．则∠𝐶𝑃𝐵=_______． 【答案】60° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，涉及了三角形的外角的定义及性质，由题意得： ∠𝑃𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐷𝐶𝐵, ∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐸𝐵𝐶，求出∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 120°，推∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐶= 360° −(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 240°，进而得∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 (∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐶) = 120°，即可求解； 【详解】解：由题意得：∠𝑃𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐷𝐶𝐵, ∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐸𝐵𝐶， ∵∠𝐴= 60°． ∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 120°， ∴∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐶= 360° −(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 240°， ∴∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 (∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐶) = 120°， ∴∠𝐶𝑃𝐵= 180° −(∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝑃𝐵𝐶) = 60°， 故选：A 7 / 20 学科网（北京）股份有限公司 不规则图形中三角形外角计算 11.如图，∠𝐵𝑂𝐹= 100°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹=__________． 【答案】200° 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】利用三角形的外角性质将分散的角∠𝐴, ∠𝐶和∠𝐵, ∠𝐷分别转化为∠1和∠2，再结合∠1 + ∠𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，∠2 + ∠𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知∠𝐴+ ∠𝐶= ∠1，∠𝐵+ ∠𝐷= ∠2，∠1 + ∠𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，∠2 + ∠𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°， ∴∠1 + ∠𝐸+ ∠2 + ∠𝐹= 200°， 即∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 200° 12.如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐸=______°． 题型06 8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 【答案】180 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠𝐵𝑀𝑁= ∠𝐷+ ∠𝐸，∠𝐵𝑁𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图， ∵∠𝐵𝑀𝑁是△𝐷𝐸𝑀的外角，∠𝐵𝑁𝑀是△𝐴𝐶𝑁的外角， ∴∠𝐵𝑀𝑁= ∠𝐷+ ∠𝐸，∠𝐵𝑁𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵， 又∵∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐵𝑁𝑀+ ∠𝐵= 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°． 三角形外角计算综合应用 13.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，与边𝐴𝐶交于点𝐷，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，𝐵𝐷，𝐴𝐸交于点𝐹．已 知∠𝐶= 70°，∠𝐵𝐴𝐸= 42°，则∠𝐴𝐷𝐵的度数为________． 【答案】94° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形外角的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解 题的关键． 根据𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，结合三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐸的度数，再根据角平分线的定义求出∠𝐶𝐵𝐷的度数， 最后利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高， ∴∠𝐴𝐸𝐵= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 180° −∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐴𝐸𝐵= 180° −42° −90° = 48°， 题型07 9 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐸= 1 2 × 48° = 24°， ∵∠𝐴𝐷𝐵是△𝐵𝐶𝐷的外角， ∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 70° + 24° = 94°． 14.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝑃分别在边𝐴𝐶、𝐵𝐶上． (1)若∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐶= 60°，且∠1 = ∠2，求∠𝐴𝑃𝐷的度数； (2)若∠𝐵= ∠𝐶，∠𝐴𝐷𝑃= ∠𝐴𝑃𝐷，试说明：∠1 = 2∠2． 【答案】(1)70° (2)∵∠𝐴𝑃𝐶= ∠1 + ∠𝐵= ∠𝐴𝑃𝐷+ ∠2， 且∠𝐴𝐷𝑃= ∠𝐴𝑃𝐷， ∴∠1 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝐴𝐷𝑃， ∵∠𝐴𝐷𝑃= ∠2 + ∠𝐶， ∴∠1 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝐶+ ∠2， ∴∠1 + ∠𝐵= 2∠2 + ∠𝐶． 又∵∠𝐵= ∠𝐶， ∴∠1 = 2∠2． 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠𝐵，进而得出∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐵+ ∠1 = ∠𝐴𝑃𝐷+ ∠2，即可求得∠𝐵= ∠𝐴𝑃𝐷，即可求解． （2）根据已知可得∠1 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝐴𝐷𝑃，进而得出∠1 + ∠𝐵= 2∠2 + ∠𝐶，结合∠𝐵= ∠𝐶，即可得出∠1 = 2∠2． 【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐶= 60°， ∴∠𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶= 70°， ∵∠1 = ∠2， ∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐵+ ∠1 = ∠𝐴𝑃𝐷+ ∠2， ∴∠𝐵= ∠𝐴𝑃𝐷， ∴∠𝐴𝑃𝐷= 70°． （2）略 10 / 20 学科网（北京）股份有限公司 15. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐴𝐶上，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，点F 在𝐶𝐸的延长线上，连接𝐷𝐹交𝐴𝐵于点G， ∠𝐹+ ∠𝐴= ∠𝐹𝐸𝐴． (1)求证：𝐹𝐷∥𝐵𝐶； (2)若∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐹𝐸𝐴且∠𝐴= 57°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数． 【答案】(1)证明：在△𝐴𝐶𝐸中，∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴， ∵∠𝐹+ ∠𝐴= ∠𝐹𝐸𝐴， ∴∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐸， ∵𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线， ∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸， ∴𝐹𝐷∥𝐵𝐶． (2)∠𝐴𝐵𝐶= 79° 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、三角形的外 角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴，结合角平分线的 定义推得∠𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同位角相等得出∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，推得∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶，设∠𝐹= 𝑥，则∠𝐴𝐶𝐵= 2𝑥， ∠𝐴𝐵𝐶= 𝑥+ 57°，结合三角形内角和是180°列方程求出𝑥的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵𝐹𝐷∥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶， 又∵∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐹𝐸𝐴， ∴∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶； 设∠𝐹= 𝑥，则∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸= 𝑥，∠𝐴𝐶𝐵= 2𝑥，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴= 𝑥+ 57°， 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°， 即57° + 2𝑥+ 𝑥+ 57° = 180°， 解得𝑥= 22°； 故∠𝐴𝐵𝐶= 22° + 57° = 79°． 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 1.若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（ ） A．70° B．55° C．35°或70° D．55°或70° 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质 【分析】先根据外角性质求出相邻内角的度数，再分该内角为等腰三角形顶角或底角两种情况讨论，结合 三角形内角和定理计算底角即可. 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为110°， ∴与该外角相邻的内角度数为180° −110° = 70°. 分两种情况讨论： ① 若70°角为等腰三角形的顶角 ，则底角为 1 2 × (180° −70°) = 55°，符合三角形内角和定理. ② 若70°角为等腰三角形的底角 ，此时顶角为180° −2 × 70° = 40°，符合三角形内角和定理. ∴等腰三角形的底角为55°或70°. 2． 如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐷𝐸中，𝐴𝐶与𝐷𝐸相交于点𝐹．若∠𝐵= 90°，∠𝐴= 20°，∠𝐷= 45°，则∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹 的度数为（ ） A．230° B．240° C．245° D．250° 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的外角性质求出∠𝐴𝐸𝐹，∠𝐷𝐶𝐹的度数即可． 【详解】解：∵∠𝐵= 90°，∠𝐴= 20°，∠𝐷= 45°， ∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐵= 110°，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷= 135°， ∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹= 135° + 110° = 245°． 3.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，将△𝐵𝐷𝐸沿着直线𝐷𝐸翻折，使点𝐵与点𝐶重合，若∠𝐴𝐶𝐸= 10°，则∠𝐵的 度数为________ 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 【答案】40° 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据翻折得到𝐷𝐸垂直平分𝐵𝐶，∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐸，由直角三角形两锐角互余得到∠𝐴𝐸𝐶= 80°，再根据 三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵将△𝐵𝐷𝐸沿着直线𝐷𝐸翻折，使点𝐵与点𝐶重合， ∴𝐷𝐸垂直平分𝐵𝐶， ∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸， ∴∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐸， ∵∠𝐴= 90°,∠𝐴𝐶𝐸= 10°， ∴∠𝐴𝐸𝐶= 90° −10° = 80°， ∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐸= 80°， ∴∠𝐵= 40° ． 4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠1 = ∠2 = ∠3，若∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐹𝐸= 50°，∠𝐴𝐵𝐶的度数为_____． 【答案】70° 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】由∠𝐷𝐸𝐹是△𝐴𝐶𝐸的外角，得出∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，根据三角形的内角和定理得出∠𝐸𝐷𝐹，再根 据∠𝐸𝐷𝐹是△𝐴𝐵𝐷的外角，可得出∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 70°． 【详解】解：∵∠𝐷𝐸𝐹是△𝐴𝐶𝐸的外角， ∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠3， ∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠1 + ∠𝐶𝐴𝐸= 60°，∠1 = ∠3， ∴∠𝐷𝐸𝐹= 60°， 在△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐷𝐸𝐹= 60°，∠𝐷𝐹𝐸= 50°， ∴∠𝐸𝐷𝐹= 180° −∠𝐷𝐸𝐹−∠𝐷𝐹𝐸= 180° −60° −50° = 70°， ∵∠𝐸𝐷𝐹是△𝐴𝐵𝐷的外角， ∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠1 = ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠2 = ∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 70°． 5.如图所示，O 是△𝐴𝐵𝐶的三条角平分线的交点，𝑂𝐺⊥𝐵𝐶，垂足为G．若∠𝐺𝑂𝐶= 55°，则∠𝐷𝑂𝐵=______． 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 【答案】55°/55度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的定义，利用三角形的外角性质表示出∠𝐷𝑂𝐵，再结合直角三角 形两锐角互余表示出∠𝐺𝑂𝐶，从而发现∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝐺𝑂𝐶． 【详解】解：∵𝑂是△𝐴𝐵𝐶的三条角平分线的交点 ∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵 ∴∠𝐵𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐺= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵 ∵∠𝐷𝑂𝐵是△𝐴𝐵𝑂的外角 ∴∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝑂= 1 2 (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) ∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴𝐶𝐵 ∴∠𝐷𝑂𝐵= 1 2 (180° −∠𝐴𝐶𝐵) = 90° −1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝑂𝐶𝐺 ∵𝑂𝐺⊥𝐵𝐶 ∴∠𝑂𝐺𝐶= 90° ∴∠𝐺𝑂𝐶= 90° −∠𝑂𝐶𝐺 ∴∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝐺𝑂𝐶 ∵∠𝐺𝑂𝐶= 55° ∴∠𝐷𝑂𝐵= 55°． 6.如图，已知∠𝐵𝐷𝐶= 120°，∠𝐶= 20°，若𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷，且∠𝐵𝐸𝐶= 80°，则∠𝐴的度数为__________． 【答案】60° 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】如图：连接𝐵𝐶，利用三角形内角和定理可得∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= 60°、∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 100°，进而 得到∠𝐸𝐵𝐷= 20°；利用角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐷= 20°，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接𝐵𝐶， 14 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∵在△𝐵𝐷𝐶中，∠𝐵𝐷𝐶= 120°， ∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= 60°， ∵在△𝐵𝐸𝐶中，∠𝐵𝐸𝐶= 80°， ∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 100°， ∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐵= 100°， ∴(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵) + ∠𝐸𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐷= 100°， ∵∠𝐸𝐶𝐷= 20°， ∴60° + ∠𝐸𝐵𝐷+ 20° = 100°，即∠𝐸𝐵𝐷= 20°， ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐷= 20°， ∵∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐸， ∴∠𝐴= ∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐴𝐵𝐸= 80° −20° = 60°． 7.如图：𝐷为线段𝐵𝐶延长线上一点，𝐵𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐷，𝐸𝐹∥𝐵𝐷． (1)若∠𝐴= 76°，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，𝐺𝐹∥𝐶𝐸，求∠𝐸𝐹𝐺的度数； (2)已知：2∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 360°，求证：𝐹𝐺∥𝐸𝐶． 【答案】(1)∠𝐸𝐹𝐺= 121° (2)证明：∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷， ∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶， ∴ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐸𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∵2∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 360°， ∴∠𝐸𝐹𝐺+ 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 180°， 15 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐸𝐶𝐷= 180°， ∵𝐸𝐹∥𝐵𝐷， ∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷， ∴∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐸𝐶= 180°， ∴𝐹𝐺∥𝐸𝐶． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）先求出∠𝐸𝐶𝐷，然后利用平行线性质得到∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷= 59°与∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐸𝐶= 180°，即可 求解； （2）先通过三角形外角性质和平行线性质得到∠𝐸𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，结合2∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 360°， 可得到∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐸𝐶𝐷= 180°，进而可得∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐸𝐶= 180°， 从而可证． 【详解】（1）解：∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷， 由三角形外角定理可知∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 76° + 42° = 118°， ∴∠𝐸𝐶𝐷= 1 2 × 118° = 59°， ∵𝐸𝐹∥𝐵𝐷， ∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷= 59°， 又∵𝐺𝐹∥𝐶𝐸， ∴∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐸𝐶= 180°， ∴∠𝐸𝐹𝐺= 121°； （2）略 8.已知：在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在边𝐴𝐶上，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶． (1)如图1，∠𝐵𝐴𝐶的平分线与𝐵𝐶，𝐵𝐷分别交于点E，F．求证：∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐵𝐸𝐹． (2)如图2，∠𝐺𝐴𝐶为△𝐴𝐵𝐶的一个外角，∠𝐺𝐴𝐶的平分线与直线𝐵𝐷交于点H．判断∠𝐻𝐵𝐶与∠𝐻的数量关系， 并说明理由． 【答案】(1)证明：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸． ∵∠𝐵𝐹𝐸，∠𝐵𝐸𝐹分别是△𝐴𝐵𝐹，△𝐴𝐸𝐶的外角， 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶． ∵∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶， ∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐵𝐸𝐹． (2)解：∠𝐻𝐵𝐶= 2∠𝐻，理由如下： ∵∠𝐺𝐴𝐻，∠𝐺𝐴𝐶分别是△𝐴𝐵𝐻，△𝐴𝐵𝐶的外角， ∴∠𝐺𝐴𝐻= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻，∠𝐺𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐶+ ∠𝐶． ∵∠𝐴𝐵𝐻= ∠𝐶， ∴∠𝐺𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐶． ∵𝐴𝐻平分∠𝐺𝐴𝐶， ∴∠𝐺𝐴𝐶= 2∠𝐺𝐴𝐻． ∴2∠𝐺𝐴𝐻= 2∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐶，2∠𝐺𝐴𝐻= 2∠𝐴𝐵𝐻+ 2∠𝐻． ∴∠𝐻𝐵𝐶= 2∠𝐻． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，再由三角形外角的定义以及角度的关系即可证明． （2）根据三角形外角的定义可得∠𝐺𝐴𝐻= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻，∠𝐺𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐶+ ∠𝐶．再 结合角平分线的定义即可得到∠𝐻𝐵𝐶与∠𝐻的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 1．【方程思想】如图，已知𝑀𝑁∥𝑃𝑄，点𝐵在直线𝑀𝑁上，点𝐶在直线𝑃𝑄上，点𝐴在直线𝑀𝑁上方，点𝐸在𝐷𝐵的 延长线上．若∠𝐴𝐵𝐷: ∠𝐷𝐵𝑁= 4: 1，∠𝐴𝐶𝐸: ∠𝐸𝐶𝑃= 4: 1，∠𝐴= 𝛼，则∠𝐸=（ ） A．𝛼 B．36° + 1 5 𝛼 C．90° −𝛼 D．144° − 4 5 𝛼 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】延长𝐷𝐸交𝑃𝑄于点𝐹，𝐴𝐶交𝑀𝑁于点𝐺，根据∠𝐴𝐵𝐷: ∠𝐷𝐵𝑁= 4: 1，∠𝐴𝐶𝐸: ∠𝐸𝐶𝑃= 4: 1可设设∠𝐴𝐵𝐷= 4𝑥，∠𝐷𝐵𝑁= 𝑥，∠𝐴𝐶𝐸= 4𝑦，∠𝐸𝐶𝑃= 𝑦，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出𝑥+ 𝑦= 180°+𝛼 5 ， 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 再由𝑀𝑁∥𝑃𝑄即可得出结论． 【详解】解：如图，延长𝐷𝐸交𝑃𝑄于点𝐹，𝐴𝐶交𝑀𝑁于点𝐺， ∵∠𝐴𝐵𝐷: ∠𝐷𝐵𝑁= 4: 1，∠𝐴𝐶𝐸: ∠𝐸𝐶𝑃= 4: 1， ∴设∠𝐴𝐵𝐷= 4𝑥，∠𝐷𝐵𝑁= 𝑥，∠𝐴𝐶𝐸= 4𝑦，∠𝐸𝐶𝑃= 𝑦， ∴∠𝐴𝐵𝑁= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐷𝐵𝑁= 5𝑥，∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝑃= 5𝑦， ∵∠𝐴𝐵𝑁是△𝐴𝐵𝐺的一个外角， ∴∠𝐴𝐺𝐵= ∠𝐴𝐵𝑁−∠𝐴= 5𝑥−𝛼， ∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄， ∴∠𝐴𝐶𝑄= ∠𝐴𝐺𝐵= 5𝑥−𝛼， ∵∠𝐴𝐶𝑃= 180° −∠𝐴𝐶𝑄， ∴5𝑦= 180° −(5𝑥−𝛼)， 即𝑥+ 𝑦= 180°+𝛼 5 ， ∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄， ∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐷𝐵𝑁= 𝑥， ∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐸𝐶𝑃= 𝑥+ 𝑦= 180°+𝛼 5 = 36° + 1 5 𝛼， 即∠𝐸= 36° + 1 5 𝛼． 2．【跨学科物理】如图，一束激光𝑃𝐴射入水面，在点𝐴处发生折射，折射光线𝐴𝐵在杯底形成光斑𝐵点．水位 下降时，光线𝑃𝐴保持不变，此时光线在点𝐶处发生折射，光斑移动到𝐷点．因水面始终与杯底平行，则折射 光线𝐶𝐷∥𝐴𝐵．若∠1 = 50°，∠2 = 30°，则∠3的度数为________． 【答案】80° 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，两直线平行，同旁内角互补，进行计算即可． 【详解】解：在△𝐴𝐸𝐶中，∠1 = 50°，∠2 = 30°， ∴∠𝐵𝐸𝐶= 80°， 18 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝐸𝐶∥𝐵𝐷， ∴∠𝐵𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐷= 180°， ∴∠𝐸𝐵𝐷= 100°， ∵𝐶𝐷∥𝐴𝐵， ∴∠𝐸𝐵𝐷+ ∠3 = 180°， ∴∠3 = 80°． 3．【几何图形变换】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，点𝐷是𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷翻折后得到△𝐴𝐸𝐷，边𝐴𝐸 交射线𝐵𝐶于点𝐹． (1)如图1，当𝐷𝐸∥𝐴𝐶时，求证：𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 (2)若∠𝐶= ∠𝐵+ 10°，∠𝐵𝐴𝐷= 𝑥°（0 < 𝑥< 50） ①如图2，当𝐷𝐸⊥𝐵𝐶时，求𝑥的值． ②是否存在这样的𝑥的值，使得△𝐷𝐸𝐹中有两个角相等．若存在，求𝑥的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)①5°；②存在这样的𝑥的值，使得△𝐷𝐸𝐹中有两个角相等，且𝑥= 15或30 【知识点】三角形内角和定理的应用、几何问题(一元一次方程的应用)、三角形折叠中的角度问题、三角形 的外角的定义及性质 【分析】（1）根据平行线和翻折的性质，推出∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐵，进而推出∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐶= 90°，即∠𝐴𝐹𝐶= 90°， 即可得证； （2）①根据三角形的内角和定理，求出∠𝐵, ∠𝐶的度数，翻折得到∠𝐸= ∠𝐵= 40°，进而求出∠𝐵𝐹𝐸的度数， 根据三角形外角的性质，求出∠𝐵𝐴𝐹的度数，再根据翻折即可得出结果；②分∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝐸，∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐸= 40°，∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐸= 40°三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶， ∴∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶． ∵翻折， ∴∠𝐸= ∠𝐵， ∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐵 ∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°， 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵+ ∠𝐶= 90°， ∴∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐶= 90° ∴∠𝐴𝐹𝐶= 90°即𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 （2）①∵∠𝐶= ∠𝐵+ 10°，∠𝐶+ ∠𝐵= 90°， ∴∠𝐶= 50°，∠𝐵= 40° ∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐸= ∠𝐵= 40°， ∴∠𝐵𝐹𝐸= 50°． ∵∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐹， ∴∠𝐵𝐴𝐹= 10°， 由翻折可知，𝑥= ∠𝐵𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐹= 5°； ②∠𝐵𝐴𝐷= 𝑥°，则∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐶= 140° −𝑥−(40° + 𝑥) = (100 −2𝑥)°，∠𝐷𝐹𝐸= (2𝑥+ 40)° 当∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝐸时，100 −2𝑥= 2𝑥+ 40，解得，𝑥= 15， 当∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐸= 40°，100 −2𝑥= 40，解得，𝑥= 30， 当∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐸= 40°时，2𝑥+ 40 = 40，解得，𝑥= 0，∵0 < 𝑥< 50， ∴不合题意，舍去， 综上可知，存在这样的𝑥的值，使得△𝐷𝐸𝐹中有两个角相等，且𝑥= 15或30． 【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质， 三角形的内角和定理，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 1． （2026·江苏扬州·中考真题）图1 是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2 所示，𝐸𝐹∥𝐵𝐶，∠𝐴𝐺𝐸= 120°， ∠𝐷𝐶𝐵= 70°，则∠𝐵𝐷𝐶=（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 【分析】利用平行线的性质求得∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵= 70°，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝐵= 70°， ∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵= 70°， ∵∠𝐴𝐺𝐸= ∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐹𝐸， ∴∠𝐵𝐷𝐶= 120° −70° = 50°． 2．（2026·河南·中考真题）如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠1 = 50°，∠2 = 30°，则∠3的度数为（ ） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【详解】解：如图， ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠4 = ∠1 = 50°， ∴∠3 = ∠2 + ∠4 = 80°．
