文档文本内容
1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 相似三角形经典模型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型 一：A 字型（正 A、斜 A） 模型 二：8 字型（沙漏模型） 模型 三：母子相似 模型 四：旋转相似（手拉手相似） 模型 五：一线三等角模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 做相似三角形题目，先从图形中识别基础相似模型，找准相等角或成比例的边作为判定条件，优先用 两角相等证相似，得到对应边成比例后列比例式，再结合线段代换、勾股定理、圆的相关结论进行计算， 遇到无现成相似的情况，可作平行线构造相似，解题时务必分清对应顶点，避免对应边错位，最后代入数 值求解线段长度或者进行比例转化。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、A 字型（正 A、斜 A、反A） 典例1 如图，在 中， ， ， ，则 的长是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 目 录 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 模型模版 1.特点：一条直线平行于三角形一边，截另外两边，形成上下两个A 型相似三角形。 2.方法：利用平行线得两组相等角证相似，直接列上下对应线段的比例式求解。 变式1-1 如图， ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 变式1-2 如图所示，在 中，、分别在 、 上，且 ， ，则 ________ ． 变式1-3 如图，在 中， ， ，求 的值． 模型二、8 字型（沙漏模型） 典例2 如图， ， ，下列结论错误的是（ ） 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 题型模版 1.特征：两直线相交形成对顶角，搭配两组内错角相等，构成上下倒置的 8 字形相似三角形。 2.方法：借助对顶角与平行带来的等角证明相似，列出交叉对应线段的比例式计算。 变式2-1 如图， ， 相交于点 ， ，记 的面积为 ， 的面积为 ．若 ， 则 （ ） A． B． C． D． 变式2-2 如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G．若 ， ， 则 的值为________． 变式2-3 如图， 中， ， 的面积等于 ， 的面积等于， ，求 的长． 模型三、母子相似 典例3 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能 ．．判定 的是（ ）． 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 题型模版 1.特征：公共角共用，一个小三角形嵌套在大三角形内部，另有一组角相等构成母子型相似。 2.方法：抓住公共角再找一组等角证相似，列对应边比例式，推导线段等积式求解。 变式3-1 如图，在 中，点 在 边上，若 ， ，且 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 变式3-2 如图，在 中，D 为边 上一点， ， ， ，那么 _______． 变式3-3 如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上， ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 模型四、旋转相似（手拉手相似） 典例4 如图，一副三角板（ ， ， ）， ，顶点A 重合，将 绕 其顶点A 旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4 种位置不存在相似三角形的是（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：两个共顶点的相似三角形，绕公共顶点旋转得到，对应边成比例、夹角相等。 2.方法：利用等角加公共角得到相等夹角，证新三角形相似，得到角度相等与线段比例关系。 变式4-1 如图，在 中， ， ， ，将 绕点 旋转 至 的位 置，连接 交 于点 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 变式4-2 如图， ， ， ，将 的顶点D 与 边的中点重合，并 将 绕着点D 旋转．在旋转过程中， 的边 始终与 边相交，交点分别为M、N．当 时， 的长是__． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-3 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸 片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中， ， ， ． 【初步感知】 （1）如图1，连接 、 ，在纸片 绕点 旋转过程中，求 的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，求证： ． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，求 ． 题型五、一线三等角模型 典例5 如图在 中， ， ，点 是边 上一点， ，点 在边 上．若 ，则 的长为（ ） 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B．1 C． D．2 题型模版 1.特征：一条直线上存在三个相等的角，两侧三角形具备两组角对应相等。 2.方法：利用平角与三角形内角和推导等角，直接证明两个三角形相似，列比例式求解边长。 变式5-1 如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点．将 沿 翻折，点 正 好落在线段 上的点 处，使得 ．若 ，则 的长度为（ ） A． B． C． D． 变式5-2 如图，在边长为6 的等边△ABC 中，D 是边BC 上一点，将△ABC 沿EF 折叠使点A 与点D 重合， 若BD : DE=2 : 3，则CF=____． 变式5-3 在 中， ， ， 点在边 上运动（不与 、 点重合），点 在边 边上，且 ． 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，求证： ； (2)如图1，当 时，求 的长； (3)过 点作 交射线 于点 ，连接 ，当 时，求 的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在△ABC 中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（ ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 2．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE、BD，且AE、BD 交于点F，则 ： 为（ ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 3．如图，点 是 的边 上的一点，若添加一个条件，使 与 相似，则下列所添加的条件 错误的是（ ） A． B． C． D． 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4．在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落 在C′的位置，C′D 交AB 于点Q，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，边长为10 的等边 中，点D 在边 上，且 ，将含 角的直角三角板（ ） 绕直角顶点D 旋转， 分别交边 于P、Q，连接 ．当 时， 长为（ ） A．6 B． C．10 D．6 6．如图，在 中，点 、 分别在 、 上， ，如果 ， 的面积为9，四 边形 的面积为16，则 的长为________． 7．如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，是 的中点，连接 并延长交 于点 ， 若 的面积为1，则 的面积为__________． 8．如图， 中，点 在 上， ，若 ， ，则线段 的长为___________． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9．如图，正方形 的边长为8，线段 绕着点 逆时针方向旋转，且 ，连接 ，以 为边 作正方形 ， 为 边的中点，当线段 的长最小时， ______． 10．已知 是等边三角形， ，点D，E，F 点分别在边 上， ， 同时 平分 和 ，则 的长为_____． 11． 中， ， ， ，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点 Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s，点Q 的速度是2cm/s，它们同时 出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q 两点之间的距离为10cm? （2）若 的面积为，求关于t 的函数关系式． （3）当t 为多少时，以点C，P，Q 为顶点的三角形与 相似? 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12．在 中， 分别为边 上的点， 与 相交于点 ． (1)若 ； ① _____； ② ，则 _____； (2)若 ， ， _____ ． 13．定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足 ，则称点P 为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D 是 的边AB 的中点， ， ，试判断点D 是不是 的“理想点”， 并说明理由； (2)如图②，在 中， ， ， ，若点D 是 的“理想点”，求CD 的长． 14．如图， 中， ，将 绕点 逆时针旋转到 ，连接 ， ． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，求证： ； (2)如图2，若 与 相交于点 ，求证：点 是 的中点； (3)如图3，当 ， 时，探究 与 的数量关系并说明理由． 15． （1） 【感知】如图①，在四边形 中，点P 在边 上（点P 不与点A、B 合）， ．证 明： ． （2）【探究】如图②，在四边形 中，点P 在边 上（点P 不与点A、B 重合）， ．若 ，求 的长． （3）【拓展】如图③，在 中， ，点P 在边 上（点P 不与点A、B 重合）， 连结 ，作 ， 与边 交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出 的长．
