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2.7 探索勾股定理（第一课时）
题型一：利用勾股定理直接求解
1．（24-25 八年级下·湖北武汉·期末）在Rt ABC
中，
90
C
=
，
30
A
=
，
3
AC =
，则AB 的长是（ ）
A．2 3
B．3 3
C．4 3
D．6 3
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【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形30角的性质以及勾股定理，熟知直角三角形30所对的直角边是斜边的一
半是解题的关键．根据30所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，在Rt ABC
中，
90
30
C
A
=
=
，
，
3
AC =
，
1
2
BC
AB
=
∴
，
根据勾股定理得：
2
2
2
AB
BC
AC
−
=
，
即
2
2
1
9
2
AB
AB
−
=
，
解得：
2 3
AB =
，
故选：A．
2．（24-25 八年级下·河北沧州·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
10
AC =
，
8
AB =
，则BC 的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理．
直接根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
10
AC =
，
8
AB =
，
∴
2
2
2
2
10
8
6
BC
AC
AB
=
−
=
−
=
，
故选：D
3．（24-25 八年级下·湖南邵阳·期末）如图，AD是Rt
ABC
△
的角平分线，
90
5
4
C
AD
AC
?
?
=
，
，
，则点
D 到AB 的距离为（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D 作DE
AB
⊥
于E，先利用勾股定理求出CD的长，再根据角平分线的性质即可求出DE 的长．
【详解】解：如图所示，过点D 作DE
AB
⊥
于E，
在Rt
ACD
△
中，
=90
ACD
，由勾股定理得
2
2
3
CD
AD
AC
=
−
=
，
∵AD是
BAC
的角平分线，DE
AB
⊥
，
=90
ACD
，
∴
3
DE
CD
=
=
，
∴D 到AB 的距离为3，
故选：B．
4．（2025·安徽滁州·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
1
AB = ，
2
AC =
，点D 在AB 的延长线上，且BD
AC
=
，
连接CD，E 为CD中点，则BE 的长是（ ）
A．3
2
B．
7
2
C．
3
2
D．2
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先勾股定理求出
2
2
3
BC
AC
AB
=
−
=
，
2
2
7
DC
BC
BD
=
+
=
，然后利用直角三角形斜边中线的性质
求解即可．
【详解】∵Rt
ABC
△
中，
1
AB = ，
2
AC =
，
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∴
2
2
3
BC
AC
AB
=
−
=
∵
90
CBD
=
∴
2
2
7
DC
BC
BD
=
+
=
∵E 为CD中点
∴
1
7
2
2
BE
CD
=
=
．
故选：B．
5．（24-25 八年级下·江西上饶·阶段练习）在Rt
ABC
△
中，有两条边的长分别为1，2，则斜边的长为（ ）
A．2 或
5
B．2 或
3
C．
5
D．
3
【答案】A
【分析】本题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
2
2
2
a
b
c
+
=
．分2 是直角边、2 是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当2 是直角边时，斜边
2
2
1
2
5
=
+
=
，
当2 是斜边时，直角边
2
2
2
1
3
=
−
=
，
∴斜边长为2 或
5 ．
故选：A．
6．
（24-25 八年级下·广东汕头·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，点D 是AB 的中点，若
6,
8
AC
BC
=
=
，
则CD的长为（ ）
A．5
B．10
C．7
D．2 7
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质．先根据勾股定理求出AB ，再由直角三角形斜
边上中线的性质即可求解．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6,
8
AC
BC
=
=
，
∴
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
，
∵点D 是AB 的中点，
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∴
1
5
2
CD
AB
=
=
．
故选：A．
7．（24-25 八年级上·四川成都·期中）在
ABC
中，
=60
B
，
45
C
=
，若
2
AB =
，则BC 长度为（ ）
A．2
B．
3
C．1
3
+
D．6
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、含30角的直角三角形、等腰直角三角形，在Rt
ABD
△
中，根据
2
AB =
，求
出BD的长、AD的长，在Rt ADC
中，由
45
C
=
得到AD
DC
=
，于是得到结论．
【详解】解：过A 作AD
BC
⊥
于D，
在Rt
ABD
△
中，
=60
B
，则
30
BAD
=
，
∵
2
AB =
，
∴
1
1
2
BD
AB
=
= ，
∴
2
2
3
AD
AB
BD
=
−
=
，
∵
45
C
=
，
∴
3
AD
DC
=
=
，
∴
1
3
BC
BD
DC
=
+
= +
．
故选：C．
题型二：利用勾股定理列方程求解
1．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）如图，在Rt ABC
中，
90
ACB
DE
=
，
垂直平分AB 交BC 于点D，
若ACD
的周长为14，且4
3
AC
BC
=
，则AB 的长为（ ）
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A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】C
【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
设BC 长为x，则
3
3
4
4
AC
BC
x
=
=
，根据DE 垂直平分AB ，得AD
BD
=
，再由ACD
的周长为14，可得
14
AC
CD
BD
AC
BC
+
+
=
+
=
，求出
6
AC =
，BC ，由勾股定理，即可解答．
【详解】解：设BC 长为x，则
3
3
4
4
AC
BC
x
=
=
，
∵DE 垂直平分AB ，
∴AD
BD
=
，
∵
14
ACD
C
=
，
∴
14
AC
CD
AD
+
+
=
．
即
14
AC
CD
BD
AC
BC
+
+
=
+
=
，
∴3
14
4 x
x
+
=
，解得
8
x = ，
∴
6
AC =
，
∵
90
ACB
=
，
∴
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
．
故选C．
2．（24-25 八年级下·山西大同·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，
4
AC =
，点O 是AB
的中点，连接CO，则CO的长为（ ）
A．2
B．2 3
3
C．4 3
3
D．3 3
4
【答案】C
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【分析】本题考查了勾股定理，利用平方根解方程，直角三角形的性质．
设BC
x
=
，则
2
AB
x
=
，根据勾股定理列出方程求出x 的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
作答即可．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，
设BC
x
=
，则
2
AB
x
=
，
∵
4
AC =
，
∴
(
)
2
2
2
4
2
x
x
+
=
，
解得：
4 3
3
x =
（负值舍去），
8 3
3
AB =
，
∵点O 是AB 的中点，
∴
1
4 3
2
3
CO
AB
=
=
，
故选：C．
3．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，AE 是边BC 上的高线，D 为BC
边上一点，且
B
BAD
=
，若
2
AE =
，
5
ABD
S
=
△
，则EC 的长为（ ）
A．3
1
+
B．
3
C．5
1
−
D．3
2
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理、等角对等边等知识．求出
5
BD =
，得到
5
AD
BD
=
=
，则
5
1
BE
BD
DE
=
+
=
+ ，设CE
x
=
，根据
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
即可求出答案．
【详解】解：∵AE 是高，
2
AE =
，
5
ABD
S
=
△
，
∴1
2
5
2 BD
=
，
∴
5
BD =
，
∵
B
BAD
=
，
∴
5
AD
BD
=
=
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∴
2
2
1
DE
AD
AE
=
−
=
∴
5
1
BE
BD
DE
=
+
=
+
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
5
1
10
2 5
AB
AE
BE
=
+
=
+
+
=
+
设CE
x
=
，则
2
2
2
2
4
AC
CE
AE
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
5
1
BC
x
=
+ +
∵
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
∴
(
)
2
2
10
2 5
4
5
1
x
x
+
+
+
=
+ +
解得
5 1
x =
−
即
5 1
EC =
−
故选：C.
4．（24-25 八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6cm
BC =
，
8cm
AC =
，按图中所示
方法将
BCD
△
沿BD折叠，使点C 落在AB 边的C点．则ADC
的面积为（ ）
2
cm
A．6
B．12
C．8
D．16
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，折叠，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
根据题意和勾股定理得
10cm
AB =
，根据折叠的性质得DC
DC
=
，
6cm
BC
BC
=
=
，
90
C
BC D
=
=
，
即
4cm
AC=
，
90
AC D
=
，设
cm
DC
x
=
，则
cm
DC
x
=
，
(8
)cm
AD
x
=
−
，在Rt ADC
中，根据勾股定
理得，
2
2
2
+
AD
AC
C D
=
，即
2
2
2
(8
)
+4
x
x
−
=
，进行计算得
3
x = ，即可得．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6cm
BC =
，
8cm
AC =
，
∴
2
2
2
2
6
8
10(cm)
AB
BC
AC
=
+
=
+
=
，
∵将
BCD
△
沿BD折叠，使点C 落在AB 边的C点，
∴DC
DC
=
，
6cm
BC
BC
=
=
，
90
C
BC D
=
=
，
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∴
10
6
4(cm)
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
180
180
90
90
AC D
BC D
=
−
=
−
=
，
设
cm
DC
x
=
，则
cm
DC
x
=
，
(8
)cm
AD
x
=
−
，
在Rt ADC
中，根据勾股定理得，
2
2
2
+
AD
AC
C D
=
，
即
2
2
2
(8
)
+4
x
x
−
=
，
∴
2
2
64 16
+16
x
x
x
−
+
=
，
解得
3
x = ，
∴ADC
的面积为：
2
1
1
3 4
6(cm )
2
2
AC
AD
=
=
，
故选：A．
5．
（24-25 八年级下·广东深圳·期末）如图，在Rt
ABC
△
中
90
ABC
=
，点E 在边 BC 上且
3
BE =
，
2
CE
AB
=
，
连接AE ，将ABE
沿AE 进行折叠，点B 的对应点为点F ，点D 是AC 的中点，连接BD，当BD EF
∥
时，
AB = ．
【答案】6
3 7
+
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，延长CB 至Q ，使得
3
BQ
BE
=
= ，延长EF 交AC 于点H ，则有
(
)
SAS
ABE
ABQ
≌
，由折叠性质可知
FAE
BAE
=
，
AEF
AEB
=
，
FAE
BAE
BAQ
=
=
，
AQB
AEB
AEF
=
=
，设
FAE
BAE
BAQ
x
=
=
=
，则
90
AQB
AEB
AEF
x
=
=
=
−
，故有
(
)
180
2 90
2
HEC
x
x
=
−
−
=
，根据直角三角形性质可得BD
AD
=
，
所以
90
2
ABD
BAD
x
=
=
−
，则
90
2
90
QAC
BAC
BAQ
x
x
x
=
+
=
−
+
=
−
，从而可得CA
CQ
=
，设
AB
a
= ，则
2
2
CE
AB
a
=
=
，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，延长CB 至Q ，使得
3
BQ
BE
=
= ，延长EF 交AC 于点H ，
∵
90
ABC
=
，
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∴
90
ABC
ABQ
=
=
，
∵AB
AB
=
，
∴
(
)
SAS
ABE
ABQ
≌
，
∴
AQB
AEB
=
，
BAQ
BAE
=
，
由折叠性质可知
FAE
BAE
=
，
AEF
AEB
=
，
∴
FAE
BAE
BAQ
=
=
，
AQB
AEB
AEF
=
=
，
设
FAE
BAE
BAQ
x
=
=
=
，则
90
AQB
AEB
AEF
x
=
=
=
−
，
∴
(
)
180
2 90
2
HEC
x
x
=
−
−
=
，
∵BD EF
∥
，
∴
2
DBC
HEC
x
=
=
，
∴
90
2
ABD
x
=
−
，
∵点D 是AC 的中点，
∴BD
AD
=
，
∴
90
2
ABD
BAD
x
=
=
−
，
∴
90
2
90
QAC
BAC
BAQ
x
x
x
=
+
=
−
+
=
−
，
∵
90
AQB
x
=
−
，
∴
AQB
QAC
=
，
∴CA
CQ
=
，
设AB
a
= ，则
2
2
CE
AB
a
=
=
，
∴
2
6
CA
CQ
a
=
=
+
，
2
3
BC
a
=
+ ，
由勾股定理得：
2
2
2
CA
AB
BC
=
+
，
∴(
)
(
)
2
2
2
2
6
2
3
a
a
a
+
=
+
+
，整理得：
2
12
27
0
a
a
−
−
=
，
解得：
6
3 7
a =
+
或
6
3 7
a =
−
（舍去），
∴
6
3 7
AB =
+
，
故答案为：6
3 7
+
．
6．（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形ABCD中，
3cm
AB =
，
9cm
AD =
，将此长方形折
叠，使点B 与点D重合，折痕为EF ，则ABE
的面积为
2
cm
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【答案】6
【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质，得到BE
DE
=
，设AE
x
=
，在Rt
ABE
△
中，利
用勾股定理求出x 的值，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵将长方形ABCD折叠，使点B 与点D 重合，
∴
90 ,
A
BE
DE
=
=
，
设AE
x
=
，则：
9
BE
DE
AD
DE
x
=
=
−
= −
，
在Rt
ABE
△
中，由题意，得：
2
2
2
BE
AB
AE
=
+
，
则：(
)
2
2
2
9
3
x
x
−
=
+
，
解得：
4
x = ，
∴
4
AE =
，
∴ABE
的面积为
2
1
1
3 4
6cm
2
2
AB AE
=
=
；
故答案为：6．
7．（23-24 八年级下·江苏无锡·期末）如图，在 Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，AB 、AC 边上的中线 CD、BE
相交于点 F ，已知
6
CD =
，
8
BE =
，则 BC 的长为 ．
【答案】4 5
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义，根据题意设
,
AB
c AC
b
=
=
，则
1
1
,
2
2
AD
c AE
b
=
=
，
在Rt
,Rt
ABE
ADC
中勾股定理得出(
)
2
2
5
100
4 c
b
+
=
，即可求解．
【详解】解：设
,
AB
c AC
b
=
=
，则
1
1
,
2
2
AD
c AE
b
=
=
在Rt
,Rt
ABE
ADC
中，
2
2
2
2
2
2
,
AB
AE
BE
AD
AC
CD
+
=
+
=
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∴
2
2
2
2
2
2
1
1
8 ,
6 ,
2
2
c
b
c
b
+
=
+
=
∴(
)
2
2
5
100
4 c
b
+
=
在 Rt
ABC
△
中，
2
2
2
80
BC
b
c
=
+
=
∴
4 5
BC =
故答案为：4 5 ．
题型三：勾股定理与无理数的综合
1．（24-25 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在Rt OAB
中，
90
1
1
OAB
OA
AB
=
=
=
，
，
．以点O 为圆心，
OB 长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P 所表示的数是（ ）
A．1
B．2
C．2
D．1
2
+
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上的无理数，
先根据勾股定理求出OB ，再根据OP
OB
=
得出答案．
【详解】解：根据勾股定理，得
2
2
2
OA
AB
OB
+
=
，
即
2
2
2
1
1
OB
+
=
，
解得
2
OB =
，
根据题意，得
2
OP
OB
=
=
，
所以点P 所表示的数是2 ，
故选：C．
2．（24-25 八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A B
，的坐标分别为(
) (
)
0,3 , 4,0 ，
以点B 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 轴负半轴于点C ，则
AOC
△
的面积为（ ）
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13 /
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出OC 的长．
根据勾股定理求出AB 的长，再由AB
BC
=
进而求出OC 的长，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：点A B
，的坐标分别为(
) (
)
0,3 , 4,0 ，
3,
4
OA
OB
=
=
，
2
2
5
AB
OA
OB
=
+
=
，
5
BC
= ，
5 4
1
OC
BC
OB
=
−
= −
= ，
则
AOC
△
的面积为1
3
1 3
2
2
=
；
故选：C．
3．
（24-25 八年级下·云南文山·期末）如图，在数轴上，点A ，点B 分别表示实数1
−，2，过点B 作BC
AB
⊥
．且
2
BC =
，连接AC ．若以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交数轴正半轴于点D ，则点D 对应的实数是（ ）
A．13
B．13
1
−
C．13 1
+
D．13
3
+
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由题意可得
3
AB = ，由勾股定理可得
13
AD
AC
=
=
，结合数轴
即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：
(
)
2
1
3
AB =
−−
=
，
∴
2
2
13
AD
AC
AB
BC
=
=
+
=
，
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14 /
∵点A 表示实数1
−，
∴点D 对应的实数是13
1
−，
故选：B．
4．
（24-25 八年级下·广西钦州·期末）如图，已知正方形ABCD 的面积为3，点A 在数轴上，且表示的数为1
−．现
以点A 为圆心，以AC 的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E 在A 的右侧），则点E 表示的数为（ ）
A．1.5
B．
3
C．5
1
−
D．6
1
−
【答案】D
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得
3
AB
BC
=
=
，然后根据勾股定理求出AC 长，结合A 点所表示
的数及AE 间距离可得点E 所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为3，且AB
BC
=
，
∴
3
AB
BC
=
=
，
∴
2
2
6
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵点A 表示的数是1
−，
且点E 在点A 的右侧，
∴点E 表示的数为6
1
−．
故选：D．
5．（24-25 八年级下·湖北随州·期末）如图所示，
(
)
3,0
A
，
(
)
0,1
B
，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交x
轴负半轴于点C ，则点C 的横坐标是 ．
【答案】3
10
−
/
10
3
−
+
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15 /
【分析】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC 的长．求
出OA、OB ，根据勾股定理求出AB ，即可得出AC ，求出OC 长即可．
【详解】解：∵(
)
3,0
A
，
(
)
0,1
B
，
∴
3
1
OA
OB
=
=
，
，
∴在Rt AOB
中，由勾股定理得
2
2
2
2
3
1
10
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
，
∴
10
AC
AB
=
=
，
∴
10
3
OC =
−，
∴点C 的横坐标是3
10
−
，
故答案为：3
10
−
．
6．（24-25 八年级上·宁夏中卫·期中）如图在Rt
BCO
△
中，
1
BC = ，
2
OC =
，以原点O 为圆心，OB 长为半
径画弧， 交数轴于点A， 则点A 表示的实数是 ．
【答案】
5
−
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理得出
2
2
1
2
5
BO =
+
=
，因为以原点O 为圆
心，OB 长为半径画弧， 交数轴于点A，所以
5
AO
BO
=
=
，即可作答．
【详解】解：∵在Rt
BCO
△
中，
1
BC = ，
2
OC =
，
∴
2
2
1
2
5
BO =
+
=
依题意，
5
AO
BO
=
=
∵点A 在负半轴，
∴点A 表示的实数是
5
−
，
故答案为：
5
−
．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，BA
BC
=
，对角线AC 平分BD，与BD相交于点O，
且DA
DB
=
．若
10,
16
AB
AC
=
=
，则AD的长为 ．
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16 /
【答案】5 97
4
【分析】如图，过点B 作BM
AC
⊥
于点M ，过点D 作DN
AC
⊥
于点N ，求出
1
8
2
AM
AC
=
=
，勾股定理
求出BM ，然后证明出
(
)
AAS
DON
BOM
≌
，得到
6,
DN
BM
OM
ON
=
=
=
，设OM
ON
x
=
=
，然后根据
勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点B 作BM
AC
⊥
于点M ，过点D 作DN
AC
⊥
于点N ．
∵
,
BA
BC BM
AN
=
⊥
，
16
AC =
∴
1
8
2
AM
AC
=
=
，
∴由勾股定理得
2
2
6
BM
AB
AM
=
−
=
∵对角线AC 平分BD，
∴OD
OB
=
∵BM
AC
⊥
，DN
AC
⊥
∴
90
DNO
BMO
=
=
又∵
DON
BOM
=
∴
(
)
AAS
DON
BOM
≌
6,
DN
BM
OM
ON
=
=
=
设OM
ON
x
=
=
．
由勾股定理得
2
2
2
2
2
2
(8
2 )
6 ,
6
AD
x
BO
x
=
+
+
=
+
．
,
DA
DB O
=
为DB的中点，
2
AD
BO
=
．
2
2
4
AD
BO
=
，即
(
)
2
2
2
2
(8
2 )
6
4
6
x
x
+
+
=
+
．
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解得
11
8
x =
．
代入
2
2
2
(8
2 )
6
AD
x
=
+
+
，得
5 97
4
AD =
．
故答案为：5 97
4
．
题型四：利用勾股定理求面积
1．（24-25 八年级下·山西忻州·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，CD是AB
边上的高，则CD的长为（ ）
A．5
B．12
5
C．6
5
D．24
5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，以及三角形面积公
式得
1
6
2
ABC
S
AC
BC
=
=
，再结合CD是AB 边上的高，则1 5
6
2
DC
=
，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
1
1 3 4
6
2
2
ABC
S
AC
BC
=
=
=
∵CD是AB 边上的高，
∴
1
1
5
6
2
2
ABC
S
AB DC
DC
=
=
=
解得
12
5
DC
，
故选：B
2．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在
ABC
中，CD平分
ACB
，BD
CD
⊥
，
3
BC = ，
30
A
ABD
=
=
，则
ABC
的面积为（ ）
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18 /
A．2 3
B．3 3
C．9
3
2
D．7
2
2
【答案】C
【分析】如图所示，延长BD与AC 交于点E，证明出
(
)
ASA
BDC
EDC
≌
，得到
3
EC
BC
=
=
，然后证明
出
BEC
是等边三角形，得到
60
EBC
=
，
3
BE
BC
=
= ，勾股定理求出
2
2
3 3
AB
AC
BC
=
−
=
，然后利用
三角形面积公式求解即可．
【详解】如图所示，延长BD与AC 交于点E，
∵BD
CD
⊥
∴
90
BDC
EDC
=
=
∵CD平分
ACB
∴
BCD
ECD
=
∵CD
CD
=
∴
(
)
ASA
BDC
EDC
≌
∴
3
EC
BC
=
=
∵
30
A
ABD
=
=
∴
60
BEC
=
∴
BEC
是等边三角形
∴
60
EBC
=
，
3
BE
BC
=
=
∴
90
ABC
ABE
EBC
=
+
=
∵
30
A
ABD
=
=
∴
3
AE
BE
=
=
∴
2
2
3 3
AB
AC
BC
=
−
=
∴
ABC
的面积
1
1
9
3 3 3
3
2
2
2
AB BC
=
=
=
．
故选：C．
3．（24-25 八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在四边形ABCD中，
1
AB
BC
=
= ，
6
AD =
，且
90
ABC
=
，
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135
BAD
=
，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．2
B．1
3
2 +
C．1
3
2
+
D．1
2
+
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．连接AC ，根据四边形ABCD的面积= 三角形
ABC 的面积 + 三角形ACD的面积求解即可．
【详解】如图，连接AC ，
90
AB
BC
ABC
=
=
，
45 ,
BCA
BAC
=
=
又∵
135
BAD
=
，
90
CAD
=
由勾股定理得，
2
2
2
AC
AB
BC
=
+
=
，
∴四边形ABCD的面积
1
1
1
1 1
2
6
3
2
2
2
ABC
ACD
S
S
=
+
=
+
=
+
．
故选：B．
4．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
BAC
CD
=
平分
,
ACB AE
CD
⊥
于点E ，连接
,
6,
8
BE AB
AC
=
=
，则ABE
的面积是 ．
【答案】2.4
【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判
定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
延长AE 交BC 于点F ，过A 作AH
BC
⊥
于点H ，先由勾股定理求得
10
BC =
，根据三角形的面积公式求出
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4.8
AH
，再证明AEC
和FEC
全等得AE
FE
=
，
8
AC
FC
=
=
，进而得
2
BF =
，则
1
4.8
2
ABF
S
BF AH
=
=
，
然后根据AE
FE
=
得
1
2
ABE
BEF
ABF
S
S
S
=
=
△
△
△
，由此即可得出答案．
【详解】解：延长AE 交BC 于点F ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，如图所示：
在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，
6
AB =
，
8
AC =
，
∴
2
2
10
BC
AB
AC
=
+
=
，
由三角形的面积公式得：
1
1
2
2
ABC
S
BC AH
AB AC
=
=
，
6 8
4.8
10
AB AC
AH
BC
=
=
=
，
CD
是
ABC
的角平分线，
ACE
FCE
=
，
AE
CD
⊥
，
90
AEC
FEC
=
=
，
在
AEC
△
和FEC
中，
90
AEC
FEC
CE
CE
ACE
FCE
=
=
=
=
，
(
)
ASA
AEC
FEC
≌
，
AE
FE
=
，
8
AC
FC
=
=
，
10 8
2
BF
BC
FC
=
−
=
−=
，
1
1
2 4.8
4.8
2
2
ABF
S
BF AH
=
=
=
，
AE
FE
=
，
1
1
4.8
2.4
2
2
ABE
BEF
ABF
S
S
S
=
=
=
=
，
故答案为：2.4 ．
5．（2025·四川成都·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
1
AB = ，
2
BC =
．以点A 为圆心，以
AB 长为半径作弧；再以点C 为圆心，以BC 长为半径作弧，两弧在AC 上方交于点D，连接BD，则BD的
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长为 ．
【答案】4 5
5
/ 4
5
5
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到AC 垂直平分BD是解答的
关键．连接AD，CD，设AC 与BD相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程
AC
BD
⊥
，OB
OD
=
，再利用勾股定理求得
5
AC =
，然后利用三角形的面积求得
2 5
5
BO =
即可解答．
【详解】解：连接AD，CD，设AC 与BD相交于O，
根据作图过程，得AD
AB
=
，CD
CB
=
，
∴AC 垂直平分BD，则AC
BD
⊥
，OB
OD
=
，
∵在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
1
AB = ，
2
BC =
，
∴
2
2
2
2
1
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
由
1
1
2
2
ABC
S
AB BC
AC OB
=
=
得
1 2
2 5
5
5
AB BC
BO
AC
=
=
=
，
∴
4 5
2
5
BD
OB
=
=
，
故答案为：4 5
5
．
6．（24-25 九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，D 为BC 的中点，DE
AB
⊥
于点
E，若
10
AB =
，
16
BC =
，则DE 的长为 ．
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【答案】4.8
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积.连接AD，根据已知和等腰三角形的性
质得出AD
BC
⊥
和
8
BD =
，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：连接AD，
∵AB
AC
=
，D 为BC 的中点，
16
BC =
，
∴AD
BC
⊥
，
8
BD
DC
=
= ，
在Rt
ADB
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
8
6
AD
AB
BD
=
−
=
−
=
，
∵
1
1
2
2
ADB
S
AD BD
AB DB
=
=
，
∴
6 8
4.8
10
AD BD
DE
AB
=
=
=
，
故答案为：4.8 ．
7．（24-25 八年级下·山西运城·期中）如图，
ABC
中，
90
ACB
=
，点D 是AB 边上一点，连接CD．若
10
12
AC
AD
=
=
，
，且
ADC
A
= ，则线段BD的长为 ．
【答案】14
3 /
2
4 3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，作CE
AB
⊥
于点E，利用三线合一求出
1
6
2
AE
DE
AD
=
=
=
，利用勾股定理求出，利用面解法求出
48
4
5
BD
BC
+
=
①，由勾股定理得
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(
)
2
2
64
6
BD
BC
+
+
=
②，把①代入②即可求出BD的长．
【详解】解：作CE
AB
⊥
于点E，
∵
ADC
A
= ，
∴
1
6
2
AE
DE
AD
=
=
=
，
∴
2
2
10
6
8
CE =
−
=
．
∵1
1
2
2
AB CE
AC BC
=
，
∴(
)
12
8
10
BD
BC
+
=
，
∴
48
4
5
BD
BC
+
=
①，
∵
2
2
2
CE
BE
BC
+
=
，
∴
(
)
2
2
64
6
BD
BC
+
+
=
②，
∴
(
)
2
2
48
4
64
6
5
BD
BD
+
+
+
=
，
∴
2
9
84
196
0
BD
BD
−
+
=
，
解得
14
3
BD =
．
故答案为：14
3 ．
题型五：已知两点坐标求两点距离
1．（24-25 七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，点
(2,1)
P
到原点的距离是（ ）
A．
5
−
B．2
−
C．2
D．
5
【答案】D
【详解】本题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离公式．
根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用勾股定理直接计算即可．
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【分析】解：点
(
)
2,1
P
到原点的距离为：(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
1 0
2
1
4 1
5
−
+
−
=
+
=
+ =
，
故选：D．
2．（24-25 八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中有(
)
3,0
A −
、
(
)
0,4
B
两点，则线段AB 的长
是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据平面直角坐标系中两点间距离的计算，应用勾股定理求解即
可.
【详解】解：根据两点间距离公式，点
(
)
3 0
A −, 与点
(
)
0,4
B
的距离为：
(
)
(
)
2
2
2
2
0
3
4
0
3
4
9 16
25
5
AB
=
−−
+
−
=
+
=
+
=
=
；
因此，线段AB 的长度为5，
故选：C
3．（24-25 八年级下·河北保定·期中）如图
13
OA =
，
26
AB =
，(
)
2,3
B −
，O是坐标原点，则
OAB
的度
数是（ ）
A．30
B．45
C．60
D．75
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握这些性质与定理是解题的
关键．根据勾股定理求出
13
OB =
，根据勾股定理的逆定理判断出
90
AOB
=
，然后根据等边对等角以及
三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接OB ，
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∵
(
)
2,3
B −
，
∴
2
2
2
3
13
OB =
+
=
，
又
13
OA =
，
26
AB =
，
∴OA
OB
=
，
2
2
2
13 13
26
OA
OB
AB
+
=
+
=
=
，
∴
90
AOB
=
，
∴
180
45
2
AOB
OAB
ABO
−
=
=
=
，
故选：B．
4．（2025·山东·二模）已知直角坐标系中，
ABC
的三个顶点坐标分别是(
)
(
)
(
)
2 0
5 0
5 4
A
B
C
−
−
−
，，
，，
，，连
接原点O与顶点A ，则下列线段中长度最长的是（ ）
A．OA
B．AB
C．BC
D．AC
【答案】D
【分析】本题考查了坐标系中求两点距离，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵(
)
(
)
(
)
2 0
5 0
5 4
A
B
C
−
−
−
，，
，，
，，
∴
2
OA =
，
(
)
2
5
3
AB = −−−
=
，
4
BC =
∴
2
2
3
4
5
AC =
+
=
∴最长的线段是AC ，
故选：D．
5．（24-25 七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点(
)
(
)
1,2
3,
A
B
b
−
，
，当线段AB 最短时，AB 的
值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，
，则这两点间的距离为
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(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
=
−
+
−
．先利用两点间的距离公式得到
(
)
2
2
16
AB
b
=
−
+
，再利用非负数的性质得到
2
b =
时，(
)
2
2
16
b −
+
的最小值为16，从而得到AB 的最小值．
【详解】解：∵(
)
(
)
1,2
3,
A
B
b
−
，
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1 3
2
2
16
AB
b
b
=
+
+
−
=
−
+
，
∵(
)
2
2
0
b −
，
∴当
2
b =
时，(
)
2
2
16
b −
+
的最小值为16，
∴AB 的最小值为16 ，即最小值为4．
故答案为：4．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，以点
(
)
3,1
A
为端点的四条射线AB ，AC ，AD，AE
分别过点(
)
1,1
B
，点
(
)
1,3
C
，点
(
)
4,4
D
，点
(
)
5,2
E
，则
BAC
DAE
（填“>”“=”或“<”）．
【答案】＝
【分析】连接DE ，判断
ABC
和
ADE
是等腰直角三角形，即可得到
45
BAC
DAE
=
=
．本题考查了
等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识．
【详解】解：连接DE ，如图
∵点
(
)
3,1
A
，点(
)
1,1
B
，点
(
)
1,3
C
，点
(
)
4,4
D
，点
(
)
5,2
E
，
由勾股定理与网格问题，则
2
AB
BC
=
=
，
90
ABC
=
，
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∴△ABC 是等腰直角三角形；
∵
2
2
2
1
5
AE
DE
=
=
+
=
，
2
2
3
1
10
AD =
+
=
，
∴
2
2
2
AE
DE
AD
+
=
，
∴
90
AED
=
，
∴△ADE 是等腰直角三角形；
∴
45
BAC
DAE
=
=
；
故答案为：=．
7．（24-25 八年级上·江苏苏州·阶段练习）设(
)
0, 2
A
−
，(
)
4,2
B
是平面直角坐标系中的两点，P 是线段AB 垂
直平分线上的点，如果点P 与点
(
)
1,5
C
的距离等于2 2 ，则点P 的坐标为 ．
【答案】(
)
1,3
−
【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及平面直角坐标系的两点间距离，勾股定理，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．先由垂直平分线得出PA
PB
=
，则
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
2
m
n
m
n
+
+
=
−
+
−
，整理得
2
n
m
= −
+ ，
因为点P 与点
(
)
1,5
C
的距离等于2 2 ，所以(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
5
2 2
8
m
n
−
+
−
=
=
，再解方程，即可作答．
【详解】解：设
(
)
P m
n
，
，
∵P 是线段AB 垂直平分线上的点，
∴PA
PB
=
，
∵
(
)
0, 2
A
−
，
(
)
4,2
B
，
即
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
2
m
n
m
n
+
+
=
−
+
−
，
∴
2
n
m
= −
+ ，
∵点P 与点
(
)
1,5
C
的距离等于2 2 ，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
5
2 2
8
m
n
−
+
−
=
=
，
把
2
n
m
= −
+ 代入(
)
(
)
2
2
1
5
8
m
n
−
+
−
= ，，
解得
1
m = −，
则
3
n = ，
∴点P 的坐标为(
)
1,3
−
，
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故答案为：(
)
1,3
−
．
8．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有点
(
)
0, 8
A
−
、
(
)
6,0
B
，点C 在y 轴上，如果
AC
BC
=
，那么点C 的坐标是 ．
【答案】
7
0,
4
−
【分析】本题考查了两点间的距离公式，设
(
)
0,
C
t ，则
(
)
2
2
2
2
2
8
,
6
AC
t
BC
t
= −−
=
+
，根据AC
BC
=
列出方
程求解即可．
【详解】解：设
(
)
0,
C
t ，
∴
(
)
2
2
2
2
2
8
,
6
AC
t
BC
t
= −−
=
+
，
∵AC
BC
=
，
∴(
)
2
2
2
8
6
t
t
−−
=
+
，
解得：
7
4
t = −
，
∴点C 的坐标是
7
0,
4
−
，
故答案为：
7
0,
4
−
．
题型六：判断能否组成勾股数
1．（24-25 八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长
的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5
C．
2
2
2
3 ,4 ,5
D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三
条边长的三个正整数．再逐项判断即可．
【详解】解：A．0.3，0.4 ，0.5，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义．
B．
2
2
2
2
3
4
9
13
5
+
=
+
=
，不满足勾股定理．
C．( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
3
4
81 256
337
5
+
=
+
=
，不满足勾股定理．
D．
2
2
2
5
12
25 144
169
13
+
=
+
=
=
，满足勾股定理且均为正整数．
故选：D．
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2．（24-25 八年级下·广西贺州·期末）下列各组数构成勾股数的是（ ）．
A．1
3 ，1
4 ，5
12
B．1.5，2，2.5
C．6，8，12
D．9，40，41
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c 为正整数，
且满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么a、b、c 叫做一组勾股数．根据勾股数的定义逐项判断即可．
【详解】A、1
3 ，1
4 ，5
12 均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误；
B、1.5，2.5 为小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误；
C. 6，8，12 为整数，但
2
2
2
6
8
12
+
，不满足勾股定理条件，选项错误；
D. 9，40，41 为整数，且
2
2
2
9
40
41
+
=
，符合勾股数定义，选项正确；
故选：D．
3．（24-25 八年级下·河南安阳·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形
三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3
B．4，5，
41
C．7，24，25
D．0.6，0.8，0.9
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数且满足两数的平方和等于第三个数的平
方），逐一验证各选项即可．
【详解】解：A 1，2，3：均为正整数，但最大数3 的平方为9，而
2
2
1
2
1
4
5
9
+
= +
=
，不满足勾股定理．
B．4，5，
41：
41不是正整数，不符合勾股数必须为整数的条件．
C． 7，24，25：均为正整数．验证平方和：
2
2
24
49
576
625
7
+
=
=
+
，
2
25
625
=
，满足勾股定理．
D． 0.6，0.8，0.9： 均为小数而非正整数，直接排除．
故选：C
4．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，
我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾
股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研
究了勾为偶数，弦与股相差为2 的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，
则其弦是（ ）
A．25
B．26
C．27
D．28
【答案】B
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【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
根据规律可得，如果a，b，c 是符合同样规律的一组勾股数，a
m
=
（m 为偶数且
4
m
），根据所给的二组
数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a，b，c 是符合同样规律的一组勾股数，a
m
=
（m 为偶数且
4
m
），则另
一条直角边
2
1
2
m
b
=
−
，弦
2
1
2
m
c
=
+
．
则弦为
2
10
1
26
2
+ =
，
故选：B．
5．（24-25 八年级下·重庆南川·期末）下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．
3,
4,
5
a
b
c
=
=
=
B．
9,
12,
15
a
b
c
=
=
=
C．
5,
12,
13
a
b
c
=
=
=
D．
3,
5,
7
a
b
c
=
=
=
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，
及勾股定理的逆定理：已知
ABC
的三边满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，则
ABC
是直角三角形．
【详解】解：A 、
2
2
2
3
4
5
+
=
，故这是一组勾股数，不符合题意；
B、
2
2
2
9
12
15
+
=
，故这是一组勾股数，不符合题意；
C 、
2
2
2
5
12
13
+
=
，故这是一组勾股数，不符合题意；
D 、
2
2
2
3
5
7
+
，故这不是一组勾股数，符合题意；
故选：D ．
6．（24-25 八年级下·湖北恩施·期中）观察下列勾股数的规律：
第1 组：3,4,5 ，其中
2
2
5
3
4
=
+
；
第2 组：5,12,13，其中
2
2
13
5
12
=
+
；
第3 组：7,24,25 ，其中
2
2
25
7
24
=
+
；
第4 组：9,40,41，其中
2
2
41
9
40
=
+
；……
则第n 组勾股数中，最大的数（斜边）是（ ）
A．2
1
n+
B．
2
2
2
1
n
n
+
+
C．
2
2
2
n
n
+
D．
2
1
n
n
+
+
【答案】B
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【分析】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．
观察各组勾股数的规律，发现每组第一个数为奇数，第二个数与第一个数存在特定关系，进而推导斜边的
表达式．
【详解】解：第1 组到第4 组的第一个数依次为3，5，7，9，均为奇数且公差为2，故第n 组的第一个数为
2
1
n+ ．
第二个数依次为4，12，24，40，可表示为
(
)
2
1
n n +
，展开后为
2
2
2
n
n
+
．
∴斜边为前两个数的平方和的平方根，
即：
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
2
c
n
n
n
=
+
+
+
，
∴(
)
(
)
2
2
2
2
4
3
2
2
1
4
4
1,
2
2
4
8
4
n
n
n
n
n
n
n
n
+
=
+
+
+
=
+
+
∴
(
)
2
2
4
3
2
2
4
8
8
4
1
2
2
1
c
n
n
n
n
n
n
=
+
+
+
+ =
+
+
∴斜边
2
2
2
1
c
n
n
=
+
+ ，
故选：B．
7．（24-25 七年级上·山东烟台·期中）以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形
的是（ ）
A．9,12,15
B．0.3 0.4 0.5
,
,
C．
2
2
2
6 ,8 ,10
D．1 1 1
,
,
3 4 5
【答案】A
【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义，需满足三个正整数且能构成直角三角形．对各选项逐一
验证是否满足勾股定理及是否为整数．
【详解】A．
2
2
2
9
12
81 144
225
15
+
=
+
=
=
，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数，故符合题意；
B．
2
2
2
0.3
0.4
0.09
0.16
0.25
0.5
+
=
+
=
=
，虽满足勾股定理，但含小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，
不符合题意；
C．
2
2
2
36
64
1296
4096
5392
100
10000
+
=
+
=
=
，不满足勾股定理，故错误，不符合题意；
D．
2
2
2
1
1
1
1
41
1
1
4
5
16
25
400
3
9
+
=
+
=
=
，不满足勾股定理，且非正整数，故错误，不符合题意．
综上，只有选项A 符合条件．
故选A．
8．（24-25 八年级下·广西贵港·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．0.3 0.4 0.5
，，
B．1，2 ，
3
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C．16，12，20
D．8，15，19
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数，满足两直角边的平方和等于斜边的平方的三个正整数是勾股数，据此判断即
可．
【详解】解：显然选项A、B 中的三个数非正整数，不符合题意；
∵
2
2
2
12
16
144
256
20
+
=
+
=
，且三个数都是正整数，
∴它们是勾股数；
∵
2
2
2
8
15
289
19
+
=
，
∴它们不是勾股数；
故选：C．
题型七：以直角三角形三边为边长图形的面积
1．
（24-25 八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4 和S 的三个正方形围成
(
)
Rt
90
ABC
ABC
=
，
则S 的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．1
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解．
【详解】解：设面积为4 、1、S的正方形的边长分别为a 、b 、c ．
∴
2
4
a =
，
2
1
b = ，
2c
S
=
．
∵
ABC
是直角三角形，
90
ABC
=
，
∴
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
．
∵AB 为面积是4 的正方形的边长，BC 为面积是1的正方形的边长，AC 为面积是S的正方形的边长，
∴
2
4
AB =
；
2
1
BC = ；
2
AC
S
=
．
∴
4 1
5
S =
+ =
．
故选：A．
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2．（24-25 八年级下·广西贵港·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方
形，面积分别记为
1
2
3
,
,
S S S ．若
3
2
1
10
S
S
S
+
−
=
．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6
B．5
C．5
2
D．7
2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根
据勾股定理和已知的式子算出
2
5
S =
，再根据同底等高的算法即可得到答案；
【详解】解：在Rt △ABC 中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为
1S ，
2
S ，
3
S ，由
勾股定理得：
2
2
2
BC
AC
AB
−
=
，
即
3
1
2
S
S
S
−
=
，
∵
3
2
1
10
S
S
S
+
−
=
，
∴
2
5
S =
，
∴阴影部分的面积为
2
1
2 S ，
∴阴影部分的面积为5
2 ，
故选C．
3．（24-25 八年级下·河南商丘·期末）如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（ ）
A．8
B．16
C．24
D．32
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34 /
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设阴影部分正方形的边长为a ，b ，c ，d ，白色正方形的边长为e ，f 如图所示：
∴由勾股定理可得：
2
2
2
a
b
e
+
=
，
2
2
2
c
d
f
+
=
，
2
2
16
e
f
+
=
，
∴
2
2
2
2
16
a
b
c
d
+
+
+
=
，
∴图中阴影正方形的面积之和为16；
故选：B．
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片A B
C
，，
，它们的面积
分别记为
1
2
3
S
S
S
，，
．现将正方形纸片B 放置在最大的正方形C 内，如图2，阴影部分面积记为
4
S ，则下列
说法正确的是（ ）
A．
1
2
S
S
=
B．
2
2
2
1
2
3
S
S
S
+
=
C．
1
4
S
S
=
D．
1
2
4
S
S
S
+
=
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据阴影部分的面积等于
4
3
2
S
S
S
=
−
，结合勾股定理得出
1
2
3
S
S
S
+
=
，
即可求解．
【详解】解：∵以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片A B
C
，，
，它们的面积分别记为
1
2
3
S
S
S
，，
．
∴
1
2
3
S
S
S
+
=
又∵
4
3
2
S
S
S
=
−
，
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35 /
∴
4
3
2
1
S
S
S
S
=
−
=
，
故选：C．
5．（24-25 八年级下·云南昆明·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，分别以
,
,
AC BC AB 为直径向外作
半圆，面积分别为
1
2
3
,
,
S S
S ，若
1
2
8π,
24π
S
S
=
=
，则
3
S 为（ ）
A．16π
B．32π
C．40π
D．64π
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用．
根据圆的面积公式及勾股定理得出
3
1
2
S
S
S
=
+
，进而即可求解．
【详解】解：∵在Rt ABC
中，
90
C
=
，分别以AC 、BC 、AB 为直径向外作半圆，它们的面积分别记作
1S 、
2
S 、
3
S ，
∴在Rt ABC
中，
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
，
∴
2
2
2
8
8
8
AB
AC
BC
=
+
，
即
3
1
2
S
S
S
=
+
，
3
8π+24π
32π
S
=
=
，
故选：B．
6．（24-25 七年级下·全国·假期作业）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直
角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形A B
C
D
，，，
的面积和为 ．
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【答案】25
【分析】本题考查勾股定理的几何背景，结合图形，由勾股定理及正方形面积关系得到
A
B
F
S
S
S
+
=
，
C
D
E
S
S
S
+
=
，
E
F
G
S
S
S
+
=
即可确定答案．数形结合，掌握勾股定理与直角三角形三边所作正方形面积的关
系是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由勾股定理可知，
A
B
F
S
S
S
+
=
，
C
D
E
S
S
S
+
=
，
E
F
G
S
S
S
+
=
，
A
B
C
D
E
F
S
S
S
S
S
S
+
+
+
=
+
，
2
5
25
G
S =
=
，
25
A
B
C
D
S
S
S
S
+
+
+
=
，
故答案为：25 ．
7．（24-25 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形A 、B 、C 、D 、E 都是正方形，所有的三角形都是直
角三角形，若正方形A 、B 、C 的面积依次为5，14，6 ，则正方形D 的边长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理，算术平方根，由题意可知：
A
B
E
S
S
S
+
=
，
C
E
D
S
S
S
+
=
，代入计算正方
形D 的面积，然后利用算术平方根即可求解，熟练勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可知：
A
B
E
S
S
S
+
=
，
C
E
D
S
S
S
+
=
，
∵正方形A 、B 、C 的面积依次为5，14，6 ，
∴
5 14
6
25
D
A
B
C
S
S
S
S
=
+
+
= +
+
=
，
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37 /
∴正方形D 的边长为25
5
=
，
故答案为：5．
8．（24-25 八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角
形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得
名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第
一个正方形面积为1，则第2025 代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【答案】2026
【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出
第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第n 代勾股树中所有正方形的面积为
1
n + 进行分析计
算．
【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为1 1
2
+ =
；
第二代勾股树中所有正方形的面积为1 1 1
3
+ + =
；
第三代勾股树中所有正方形的面积为1 1 1 1
4
+ + + =
……，
则第n 代勾股树中所有正方形的面积为
1
n + ，
∴第2025 代勾股树中所有正方形的面积为2025 1
2026
+ =
．
故答案为：2026．
9．（24-25 七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5 个正方形和5 个等腰直角三角形组成的图形，已知
③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是 ．
【答案】16
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【分析】本题考查勾股定理定理，根据正方形的边长相等，等腰直角三角形的直角边相等，结合勾股定理
进行求解即可．
【详解】解：由题意，可知，③号正方形的边长为1，
由勾股定理，得：4 号正方形的面积为：
2
2
1
1
2
+
=
，
②号正方形的面积为：2 2
4
+
=
，
5 号正方形的面积为：4
4
8
+
=
，
①号正方形的面积为：8 8 16
+ =
；
故答案为：16．
10．（24-25 八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，
4
BC =
，分别以AB
AC
、
为直径作半圆，面积分别记为
1
2
,
S S ，则
1
2
S
S
+
= ．
【答案】2
【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理可得
2
2
2
16
AB
AC
BC
+
=
=
，再由
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
AB
AC
S
S
+
=
+
，即可求解．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，
4
BC =
，
∴
2
2
2
16
AB
AC
BC
+
=
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
16
2
2
2
2
2
8
8
AB
AC
S
S
AB
AC
+
=
+
=
+
=
=
．
故答案为：2
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39 /
题型八：勾股定理与网格问题
1．（24-25 八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为1，
ABC
的三边a ，b ，c 中无理数是
（ ）
A．a
B．b
C．c
D．a ，b
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理、无理数，在网格图中作线段CD，根据每个小正方形的边长为1，可得：
4
CD =
，
4
AB =
，
3
AD = ，
1
BD = ，利用勾股定理求出
5
AC =
，
17
BC =
，由网格图可知
4
AB =
，根据无理数的
定义可知无理数是a ．
【详解】解：如下图所示，在网格图中作线段CD，
则
4
CD =
，
4
AB =
，
3
AD = ，
1
BD = ，
在Rt ACD
中，
2
2
2
2
3
4
5
AC
AD
CD
=
+
=
+
=
，
在Rt CDB
中，
2
2
2
2
1
4
17
BC
CD
BD
=
+
=
+
=
，
17
a
=
，
5
b =
，
4
c =
，
ABC
的三边a ，b ，c 中无理数是a ．
故选：A．
2．（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，
ABC
的三个顶点都在小正方形的
顶点上，则其三边a
b
c
、、的大小关系正确的是（ ）
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40 /
A．c
a
b
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的大小比较．根据勾股定理分别求出三边a
b
c
、、的大小，再比
较，即可．
【详解】解：
2
2
2
2
2
2
3
1
10,
2
1
5,
2
3
13
a
b
b
=
+
=
=
+
=
=
+
=
，
∵13
10
5
，
∴c
a
b
．
故选：A
3．（24-25 八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 三点均在
正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．
2 5
AB =
B．
90
BAC
=
C．
10
ABC
S
=
△
D．点A 到直线BC 的距离是2
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之
和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
2
2
2
a
b
c
+
=
．根
据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．
【详解】解：A、
2
2
2
4
2 5
AB =
+
=
，故本选不符合题意；
B、∵
2
2
5
2
1
AC =
+
=
，
2
2
3
4
5
BC =
+
=
，
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41 /
∴
2
2
2
25
AB
AC
BC
+
=
=
，
∴
ACB
△
是直角三角形，
∴
90
CAB
=
，故本选不符合题意；
C、
1
1
5
2 5
5
10
2
2
ABC
S
AC AB
=
=
=
，故本选符合题意；
D、点A 到直线BC 的距离
·
2 5
5
2
5
AC AB
BC
=
=
=
，故本选不符合题意；
故选：C．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，
以A 为圆心，AB 的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．
5
B．3
5
−
C．13
D．13
3
−
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，求出DE 的长是解答的关键．
如图，连接AD，利用勾股定理求得DE 即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，则
3
AD
AB
=
= ，
∵
90
E
=
，
2
AE =
，
∴在Rt AED
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
3
2
5
DE
AD
AE
=
−
=
−
=
，
∴
3
5
CD
EC
DE
=
−
= −
，
故选：B．
5．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1 的小正方形网格中，点A ，B ，C 均在网格的格点
上，下列结论不正确
．．．的是（ ）
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A．
5
BC =
B．
5
AB =
C．
90
ACB
=
D．
10
ABC
S
=
△
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度
是解题的关键．根据勾股定理求出BC 、AB 、
2
AC ，利用勾股定理的逆定理推出
90
ACB
=
，再利用割补
法求出
ABC
S
，结合选项即可得出答案．
【详解】解：
2
2
1
2
5
BC =
+
=
，
2
2
3
4
5
AB =
+
=
，
2
2
2
2
4
20
AC =
+
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
90
ACB
=
，
1
1
1
4
4
4
3
4
2
1
2
5
2
2
2
ABC
S
．
结合选项可得，A、B、C 选项结论正确，D 选项结论不正确．
故选：D．
6．（24-25 八年级下·山东济宁·期中）如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、
A
B
C 都
在格点上，BD
AC
⊥
于点D ，则BD的长为（ ）
A．9
5
B．3
2
C．10
2
D．15
2
【答案】A
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【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得
2
2
3
4
5
AC =
+
=
，进而利用三角形的面积解
答即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得，
2
2
3
4
5
AC =
+
=
，
∵BD
AC
⊥
，
∴
1
1
5
3 3
2
2
ABC
S
BD
=
=
，
∴
9
5
BD =
，
故选：A ．
7．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 在小正方形的格点上，连接
AB ，BC ，AC ，则
ACB
的度数是（ ）
A．45
B．30
C．90
D．60
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断
ABC
是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点
三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB ，BC ，AC 的长度，继而可得出
ABC
的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：
2
2
2
1
5
AB
BC
=
=
+
=
，
2
2
3
1
10
AC =
+
=
，
2
2
2
( 5)
( 5)
( 10)
+
=
，即
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
ABC
是等腰直角三角形．
45
ACB
=
．
故选：A．
8．（24-25 八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1 的小正方形组成的网格中，点O，A，C 都在格点
上，以点O 为圆心，OA的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段BC 的长为（ ）
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A．4
2 3
−
B．4
3
−
`
C．4
3 2
−
D．4
2 2
−
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
首先得到
4
OB
OA
=
=
，根据勾股定理求出BD，进而求解即可．
【详解】如图所示，
由题意得，
4
OB
OA
=
=
∴
2
2
2 3
BD
OB
OD
=
−
=
∴
4
2 3
BC
DC
DB
=
−
=
−
．
故选：A．
题型九：勾股定理中折叠问题
1．（24-25 八年级下·云南文山·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，点D 为BC 边上一点，将ACD
沿AD
翻折得到
AC D
，若点C在AB 边上，
6
AC =
，
8
BC = ，则BC的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键．
先在
ABC
中由勾股定理求出
10
AB =
，再利用翻折的性质求出
6
AC=
，再求BC的长．
【详解】在
ABC
中，
90
C
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，
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2
2
2
2
6
8
10
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
由翻折的性质知，
6
AC
AC
=
=
，
10 6
4
BC
AB
AC
=
−
=
−= ．
故选：B．
2．（2025·吉林长春·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
4
AC =
，
6
BC =
．点E、F 分别是边AC 、AB
上的点，连结EF ，将
AEF
△
沿EF 翻折，使得点A 的对称点落在边BC 的中点D 处，则DE 的长为（ ）
A．25
8
B．25
9
C．3
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理
和翻折的性质即可求解．
【详解】解：点D 是边BC 的中点，
1
1
6
3
2
2
CD
BC
=
=
= ，
由翻折的性质得，DE
AE
=
，
设DE
AE
a
=
=
，则
4
CE
AC
AE
a
=
−
=
−
，
在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
CE
CD
DE
+
=
，
(
)
2
2
2
4
3
a
a
−
+
=
，
解得：
25
8
a =
，
25
8
DE
=
．
故选：A．
3．
（24-25 八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边
12cm
AC =
，
16cm
BC =
，
现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD等于（ ）
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46 /
A．2cm
B．5cm
C．8cm
D．6cm
【答案】D
【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出AB 的长，折叠，得到
90 ,
,
AED
C
AE
AC CD
DE
=
=
=
=
，设CD
x
=
，在Rt
DEB
△
中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵
90
C
=
，
12cm
AC =
，
16cm
BC =
，
∴
(
)
2
2
12
16
20 cm
AB =
+
=
，
∵折叠，
∴
90 ,
12cm,
AED
C
AE
AC
CD
DE
=
=
=
=
=
，
∴
90
DEB
=
，
8cm
BE
AB
AE
=
−
=
，
设
cm
CD
x
=
，
则
(
)
cm,
16
cm
DE
x
BD
BC
CD
x
=
=
−
=
−
，
由勾股定理，得：(
)
2
2
2
16
8
x
x
−
=
+
，
解得：
6
x =
；
∴
6cm
CD =
；
故选：D．
4．（24-25 八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别是6 ，8，现将
ABC
按
如图所示那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则DE 的长是（ ）
A．3
B．15
4
C．4
D．9
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
，再由折叠的性质
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47 /
得到
1
5
90
2
AD
BD
AB
ADE
BDE
BE
AE
=
=
=
=
=
=
，
，
，设AE
BE
x
=
=
，则
8
CE
x
= −，由勾股定理可
得
(
)
2
2
2
6
8
x
x
=
+
−
，解方程可得
25
4
AE =
，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
6
BC =
，
8
AC =
，
90
C
=
，
∴
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
，
由折叠的性质可得
1
5
2
AD
BD
AB
=
=
=
，
90
ADE
BDE
=
=
，BE
AE
=
，
设AE
BE
x
=
=
，则
8
CE
x
= −，
在Rt EBC
中，由勾股定理得
2
2
2
BE
BC
CE
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
6
8
x
x
=
+
−
，
解得
25
4
x =
，
∴
25
4
AE =
，
∴
2
2
15
4
DE
AE
AD
=
−
=
，
故选：B．
5．（24-25 七年级下·湖北荆州·期中）如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，若设长方形纸的宽为1cm，
则长方形纸的面积为（ ）
2
cm
A．2
B．
3
C．2
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．
由最后一个图可知AC 即为长方形纸的长，由折叠的性质知
1
AB
AD
=
= ，由勾股定理得
2
AC =
，计算即
可．
【详解】如图，由最后一个图可知AC 即为长方形纸的长，
由折叠可知
1
AB
AD
cm
=
=
，
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48 /
∴
2
AC
cm
=
∴长方形纸的面积为2
2
cm ，
故选：A．
6．（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
4,
6
C
AC
BC
=
=
=
，
，将它的锐角A 翻折，
使得点A 落在边BC 的中点D 处，折痕交AC 边于点E，交AB 边于点F，则DE 的长为（ ）
A．2
B．3
C．25
9
D．25
8
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出
1
3
2
CD
BC
=
=
，由折叠的性质可得AE
DE
=
，设
AE
DE
x
=
=
，则
4
CE
x
=
−，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：点D 为BC 的中点，
1
3
2
CD
BC
=
=
，
由折叠的性质可得AE
DE
=
，
设AE
DE
x
=
=
，则
4
CE
AC
AE
x
=
−
=
−
，
由勾股定理得
2
2
2
CE
CD
DE
+
=
，
(
)
2
2
2
4
3
x
x
−
+
=
，
解得：
25
8
x =
，
25
8
DE
=
，
故选：D．
7．（24-25 七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A 系列纸为长方形．将
4
A 纸按如图所示的方式进行两次
折叠，第一次折叠折痕为AE ，点B 落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF ，点E 与点D 恰好重
合．则AD
AB = ．
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49 /
【答案】2
【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形ABEB，第二次折叠，得出AD
AE
=
，
由此可解．
【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形ABEB为正方形，
2
2
2
AE
AB
BE
AB
=
+
=
，
第二次折叠，得出
2
AD
AE
AB
=
=
，
2
2
AD
AB
AB
AB
=
=
，
故答案为：2 ．
8．（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边
6 cm
AC =
，
8 cm
BC =
．现
将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD的长等于 cm．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得AB 的长，再根据折叠的性质求得AE ，BE 的长，
从而利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】解∶∵
90
C
=
，
6 cm
AC =
，
8 cm
BC =
，
∴
2
2
10cm
AB
AC
BC
=
+
=
，
∵折叠，
∴
90
AED
C
=
=
，
6cm
AE
AC
=
=
，DE
DC
=
，
∴
90
BED
=
，
4cm
BE
AB
AE
=
−
=
，
∴
2
2
2
DE
BE
BD
+
=
，即
(
)
2
2
2
4
8
CD
CD
+
=
−
，
解得
3cm
CD =
，
故答案为：3．
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50 /
题型十：以弦图为背景的勾股定理
1．（24-25 八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与
四边形EFGH 都是正方形，若
2
BG
CG
=
，则小正方形与大正方形的边长之比为（ ）
A．1
2
B．
5
5
C．
3
5
D．1
5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据全等三角形的性质得到AF
BG
CH
DE
=
=
=
，AE
BF
CG
DH
=
=
=
，推出GF
BF
CG
=
=
，设
GF
BF
CG
x
=
=
=
，则
2
BG
x
=
，得到
2
2
5
BC
BG
CG
x
=
+
=
，求出
5
5
5
GF
x
BC
x
=
=
，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得AF
BG
CH
DE
=
=
=
，AE
BF
CG
DH
=
=
=
，
90
BGC
=
，
∵
2
BG
CG
=
，
GF
BF
CG
=
=
，
设GF
BF
CG
x
=
=
=
，则
2
BG
x
=
2
2
5
BC
BG
CG
x
=
+
=
，
5
5
5
GF
x
BC
x
=
=
．
故选：B．
2．（24-25 八年级下·河南商丘·期末）将四个图1 中的直角三角形拼成图2 中的弦图，若
8
ab = ，
5
c =
，则
图2 中阴影部分的面积为（ ）
A．11
B．12
C．9
D．10
【答案】C
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51 /
【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部
分的面积．
【详解】解：
2
2
1
1
4
5
4
8
9
2
2
S
c
ab
=
−
=
−
=
阴影
，
故选：C．
3．（24-25 八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”
是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，
(
)
n m
n
．若小正方形面积为5，(
)
2
21
m
n
+
=
，则大正方形面积为（ ）
A．8
B．13
C．15
D．15.5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中得到应用，熟练掌握勾股定理和完全平方公式
是解题关键．设直角三角形的两条直角边长分别为m，(
)
n m
n
，则大正方形的面积为
2
2
m
n
+
，由小正方
形的面积可得(
)
2
5
m
n
−
=
，再结合(
)
2
21
m
n
+
=
，利用完全平方公式的结构特征求出
2
2
m
n
+
的值，即可得
解．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为m，(
)
n m
n
．
大正方形的边长= 直角三角形的斜边长
2
2
m
n
=
+
，
大正方形的面积为
2
2
m
n
+
，
小正方形面积为5，
(
)
2
5
m
n
−
=
，
(
)
2
21
m
n
+
=
，
(
)
(
)
2
2
26
m
n
m
n
−
+
+
=
，
(
)
2
2
2
26
m
n
+
=
，
2
2
13
+
=
m
n
，
即大正方形面积为13，
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52 /
故选：B．
4．（24-25 八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角
三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH ，正方形MNKJ 的面积分别记为
1S ，
2
S ，
3
S ．若
1
2
3
75
S
S
S
+
+
=
，则EF 的长是（ ）
A．2 2
B．4
C．5
D．5 3
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，利用勾股定理结合正方形的面积公式以
及面积关系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设Rt EBF
的长直角边为a ，短直角边为b ，斜边长为c ，则：
2
2
2
c
a
b
=
+
，
由题意，得：
2
1
(
)
S
a
b
=
+
，
2
2
S
c
=
，
2
3
(
)
S
a
b
=
−
，
2
2
2
1
2
3
(
)
(
)
S
S
S
a
b
c
a
b
+
+
=
+
+
+
−
，
2
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
c
a
ab
b
=
+
+
+
+
−
+
2
2
2
c
c
c
=
+
+
2
3
75
c
=
=
，
2
25
c
=
，
即
2
25
EF =
，
5
EF
=
，
故选：C．
5．（24-25 八年级下·江西上饶·期末）第14 届数学教育大会（ICME－14）会标如图1 所示，会标中心图案
来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2 所示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成
的大正方形，若
8
AE
BE
+
= ，
2
GH =
，则大正方形ABCD的面积为 ．
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【答案】34
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设AH
BE
x
=
=
，则
2
AE
x
=
+
，再由
8
AE
BE
+
= ，得到
2
8
x
x
+ +
=
，
求得
3
x = ，推出
3
AH
BE
=
= ，
5
AE = ，由勾股定理求得
2
34
AB =
，据此计算即可得解．
【详解】解：由题意得AH
BE
=
，
2
GH
HE
=
=
，
设AH
BE
x
=
=
，则
2
AE
x
=
+
，
∵
8
AE
BE
+
= ，
∴
2
8
x
x
+ +
=
，
解得
3
x = ，
∴
3
AH
BE
=
= ，
5
AE = ，
∵ABE
为直角三角形，
∴
2
2
2
2
2
5
3
34
AB
AE
BE
+
=
=
+
=
，
∴大正方形ABCD的面积为34，
故答案为：34．
6．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为
“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH 都是正方形，
ABF
△
，BCG
，
CDH
△
，DAE
是四个全等的直角三角形．若
1,
4
EF
DE
=
=
，则AB 的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形，全等三角形的性质得到
4
DE
AF
BG
CH
=
=
=
=
，
4 1
3
AH
BF
CG
DH
AF
EF
=
=
=
=
−
=
−=
，在Rt ABF
中由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH 都是正方形，
ABF
△
，BCG
，
CDH
△
，DAE
是四个全等的
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直角三角形，
∴
1
EF
FG
GH
EH
=
=
=
= ，
4
DE
AF
BG
CH
=
=
=
=
，
∴
4 1
3
AE
BF
CG
DH
AF
EF
=
=
=
=
−
=
−= ，
在Rt ABF
中，
2
2
2
2
4
3
5
AB
AF
BF
=
+
=
+
=
，
故答案为：5 ．
7．（24-25 八年级下·江西赣州·期末）如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称
它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若
10
AB =
，
8
AE = ，则
正方形EFGH 的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点．运用勾股定理
6
AH
BE
=
=
，进而得到
2
EH =
，
最后求小正方形的面积即可．
【详解】解：∵
10
AB =
，
8
AE = ，
∴
2
2
6
BE
AB
AE
=
−
=
，
由题意得
6
AH
BE
=
=
，
∴
2
EH
AE
AH
=
-
= ，
∴中间小正方形EFGH 的面积为
2
4
EH =
．
故答案为：4．
8．（24-25 八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四
个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边
5
a =
，斜边
13
c =
，
则小正方形的边长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三
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角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积= 大正方形的面积- 四个直角三角形的面积，代入数据计算即
可．
【详解】解：∵直角三角形较短的直角边
5
a =
，斜边
13
c =
，
∴另一条直角边为
2
2
2
2
13
5
12
b
c
a
=
−
=
−
=
，
∵小正方形的面积= 大正方形的面积- 四个直角三角形的面积，
∴小正方形的面积为：
1
13 13
5 12 4
49
2
−
=
，
∴小正方形的边长为7，
故答案为：7．
题型十一：勾股定理综合应用
1．（24-25 七年级下·山东济南·期末）如图，在
ABC
中，AB 边的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 边于点D
和点E ，且
2
2
2
BC
CE
AE
+
=
．
(1)连接BE ，求证：
90
C
=
；
(2)若
4,
2
AC
BC
=
=
，求CE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
3
2
CE =
【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据垂直平分线的性质得出AE
BE
=
，结合
2
2
2
BC
CE
AE
+
=
得出
2
2
2
BC
CE
BE
+
=
即可证明；
（2）设CE
x
=
，则
4
AE
BE
x
=
=
−，在Rt BCE
中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：
AB
边的垂直平分线为DE ，
∴AE
BE
=
，
2
2
2
BC
CE
AE
+
=
，
在BCE
中，
2
2
2
BC
CE
BE
+
=
，
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90
C
=
；
（2）解：设CE
x
=
，则
4
AE
BE
x
=
=
−，
在Rt BCE
中，
2
2
2
EC
BC
BE
+
=
，
即
(
)
2
2
2
x
2
4
x
+
=
−
，
解得：
3
2
x =
，
即
3
2
CE =
．
2．（24-25 八年级下·河北张家口·期末）如图，在
ABC
中，
2 17
BC =
，点D 在边AC 上，
8
BD =
，
2
CD = ．
(1)猜想
ADB
的度数，并说明理由；
(2)若
17
AB =
，求
ABC
的面积．
【答案】(1)90；理由见解析
(2)68
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键．
（1）利用股定理逆定理得到
=90
BDC
，从而求出结果；
（2）利用勾股定理求出AD的长，利用AC
AD
CD
=
+
求出AC 的长，最后求三角形面积即可．
【详解】（1）解：
90
ADB
=
，理由如下：
2
64
BD =
，
2
4
CD =
，
2
68
BC =
，
2
2
2
BC
BD
CD
=
+
，
90
BDC
=
，
180
90
ADB
BDC
=
−
=
；
（2）在Rt
ABD
△
中，
由勾股定理得
2
2
2
2
17
8
15
AD
AB
BD
=
−
=
−
=
，
17
AC
AD
CD
=
+
=
，
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1
1 17 8
68
2
2
ABC
S
AC BD
=
=
=
△
．
3．（24-25 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，点D 、E 分别为AB 、BC 上的
点，连接DE 、AE ．
(1)若DE
AB
⊥
，AE 平分
BAC
，
5
AC =
，
13
AB =
，求DE 的长度；
(2)若
30
B
=
，DE 垂直平分AB ，连接CD，求证：
ADC
△
是等边三角形．
【答案】(1)10
3
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30 度角的直角三角形的性质，垂直平分线的
性质，等边三角形的性质与判定．
（1）先证明
(
)
AAS
ADE
ACE
≌
得DE
CE
=
，
5
AD
AC
=
= ，
8
BD
AB
AD
=
−
=
，再由勾股定理求出
12
BC =
，
设DE
CE
x
=
=
，则
12
BE
BC
CE
x
=
−
=
−
，在Rt
BDE
△
中，
2
2
2
BE
BD
DE
=
+
，可得关于x 的方程，解方
程即可；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得
60
BAC
=
，根据含30度角的直角三角形的性质可得
1
2
AC
AB
=
，
根据DE 是AB 的垂直平分线，可得
1
2
AD
DB
AB
=
=
，即可证明
ADC
△
是等边三角形．
【详解】（1）解：∵DE
AB
⊥
，
∴
90
ADE
ACB
=
=
，
∵AE 平分
BAC
，
∴
DAE
CAE
=
，
在
ADE
和
ACE
△
中，
ADE
ACE
DAE
CAE
AE
AE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ADE
ACE
≌
，
∴DE
CE
=
，
5
AD
AC
=
= ，
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∴
13 5
8
BD
AB
AD
=
−
=
−=
，
在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
5
AC =
，
13
AB =
，
∴
2
2
2
2
13
5
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
设DE
CE
x
=
=
，则
12
BE
BC
CE
x
=
−
=
−
，
在Rt
BDE
△
中，
2
2
2
BE
BD
DE
=
+
，
∴(
)
2
2
2
12
8
x
x
−
=
+
，
解得
10
3
x =
，
即
10
3
DE =
；
（2）证明：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
B
=
，
∴
60
BAC
=
，
1
2
AC
AB
=
，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴
1
2
AD
DB
AB
=
=
，
∴AD
AC
=
，
∴
ADC
△
是等边三角形．
4．（24-25 八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BCA
=
，
12
AC =
，
13
AB =
，点D 是
Rt
ABC
△
外一点，连接DC ，DB，且
4
CD =
，
3
BD =
．
(1)求证：
90
D
?
? ；
(2)求四边形ABCD面积．
【答案】(1)见解析
(2)36
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）先由勾股定理求出BC ，进而根据勾股定理的逆定理证明
BCD
△
是直角三角形，即可得证；
（2）根据四边形ABCD的面积等于
ABC
与
BCD
△
的面积之和即可求解．
【详解】（1）解：∵在Rt
ABC
△
中，
12
AC =
，
13
AB =
，，
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∴
2
2
2
2
13
12
5
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
．
∵
2
2
16
9
25
CD
BD
+
=
+
=
，
2
25
BC =
，
∴
2
2
2
CD
BD
BC
+
=
，
∴
BCD
△
是直角三角形，
90
D
?
? ．
（2）解：∵
DBC
△
是直角三角形，且
90
D
?
? ，
∴
1
1
3 4
6
2
2
DBC
S
BD DC
=
=
=
；
∵在Rt
ABC
△
中，
90 ,
12,
5
BCA
AC
BC
=
=
=
，
∴
1
1 5 12
30
2
2
ABC
S
BC
AC
=
=
=
．
∴
=
+
30+6
36
ABC
DBC
ABCD
S
S
S
=
=
四边形
△
△
．
5．（24-25 八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现AB
AC
=
，
20 m
BC =
，
D是腰AB 上一点，且
16 m
CD =
，
12 m
BD =
．
(1)求证：CD
AB
⊥
；
(2)求三角形花园
ABC
的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
400 m
3
【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的
三边长a，b，c 满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三角形就是直角三角形．
（1）首先根据
16,
12,
20
CD
BD
BC
=
=
=
长可利用勾股定理逆定理证明
=90
BDC
，进而得到CD
AB
⊥
；
（2）设
m
AD
x
=
，则
(
)
12 m
AB
AC
x
=
=
+
，再利用勾股定理可得
(
)
2
2
2
16
12
x
x
+
=
+
，解方程可得x 的值，
即可求出AD的长，进而得到AB 长，然后即可算出面积．
【详解】（1）解：∵
16,
12,
20
CD
BD
BC
=
=
=
∴
2
2
2
12
16
20
+
=
，
∴
2
2
2
DB
CD
BC
+
=
，
∴
BCD
△
是直角三角形，且
=90
BDC
，
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∴CD
AB
⊥
；
（2）解：设
m
AD
x
=
，则
(
)
12 m
AB
AC
x
=
=
+
，
∵
=90
BDC
，
∴
90
ADC
=
，
∴
(
)
2
2
2
16
12
x
x
+
=
+
，
解得：
14
3
x =
，
即AD的长为14
3 ，
∴
14
50
3
3
12
AC
AB
BD
AD
=
=
=
+
=
+
，
∴三角形花园
ABC
的面积为
(
)
2
1
50
400
16
m
2
3
3
=
．
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形ABCD中，
90
B
?
? ，
2
AB =
，
4
BC
CD
=
=
，
6
AD =
，
连接AC ．求四边形ABCD的面积．
【答案】4
4 5
+
【分析】本题考查的是勾股定理，四边形的面积以及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满
足
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三角形就是直角三角形．直接根据勾股定理求出AC 的长，在ACD
中，由勾股定
理的逆定理即可判断三角形的形状，再根据三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：
90
B
=
，
2
AB =
，
4
BC =
，
2
2
2
4 16
20
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
2 5
AC
=
（负值已舍）；
在ACD
中，
2 5
AC =
，
4
CD =
，
6
AD =
，
2
2
20 16
36
AC
CD
+
=
+
=
，
2
36
AD =
，
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
ACD
是直角三角形，且
90
ACD
=
，
四边形ABCD的面积
1
1
4 2
4 2 5
4
4 5
2
2
ABC
ACD
S
S
=
+
=
+
=
+
．
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6．（24-25 八年级下·河北保定·阶段练习）根据以下信息，判断三角形的形状．
(1)三角形的三边长a ，b ，c 满足
2
a
ab
bc
ac
−
=
−
，判断此三角形的形状．
(2)如图，在
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D ，
9
BD =
，
15
BC =
，
20
AC =
，判断
ABC
的形状．
【答案】(1)等腰三角形
(2)直角三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用、勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股
定理与勾股定理的逆定理是解题关键．
（1）先利用因式分解可得(
)(
)
0
a
b
a
c
−
+
=
，再根据
0
a
c
+
可得a
b
=
，由此即可得；
（2）先利用勾股定理可得
12
CD =
，
16
AD =
，则可得
25
AB =
，再利用勾股定理的逆定理即可得．
【详解】（1）解：∵
2
a
ab
bc
ac
−
=
−
，
∴
2
0
a
ab
ac
bc
−
+
−
=
，
∴(
)
(
)
0
a a
b
c a
b
−
+
−
=
，
∴(
)(
)
0
a
b
a
c
−
+
=
，
∵, ,
a b c 是三角形的三边长，
∴
0,
0,
0
a
b
c
，
∴
0
a
c
+
，
∴
0
a
b
−
=
，即a
b
=
，
∴此三角形是等腰三角形．
（2）解：∵CD
AB
⊥
，
9
BD =
，
15
BC =
，
∴
2
2
2
2
15
9
12
CD
BC
BD
=
−
=
−
=
，
∵CD
AB
⊥
，
20
AC =
，
∴
2
2
2
2
20
12
16
AD
AC
CD
=
−
=
−
=
，
∴
16 9
25
AB
AD
BD
=
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
20
15
625
25
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
=
，
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∴
ABC
是直角三角形．
7．（24-25 八年级下·广西钦州·期末）实践与操作：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
．
(1)作AB 的垂直平分线，交BC 于点P ，交AB 于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接AP ，若
4
AC =
，
3
CP = 时，求BP的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理．
（1）根据垂直平分线的作图步骤作出图形即可；
（2）在Rt ACP
中，利用勾股定理求得
5
AP =
，再利用线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，点P 为所作；
；
（2）解：∵
4
AC =
，
3
CP = ，
在Rt ACP
中，
2
2
2
2
3
4
5
AP
PC
AC
+
=
+
=
=
，
∵AB 的垂直平分线，
∴
5
BP
AP
=
= ．
8．（2025·四川南充·三模）如图，在
ABC
中，高AD与高CE 交于点F ，AD
CD
=
．
(1)求证：BD
FD
=
；
(2)若
2
BD = ，
4
CD =
，求AB 和CE 的长度．
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【答案】(1)见解析；
(2)
12 5
2 5
5
AB
CE
=
=
，
．
【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是熟练掌握垂直
的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）由垂直得到
90
ADB
CDF
BEC
=
=
=
，进而得到
BAD
FCD
=
，证明
(
)
ASA
ABD
CFD
≌
，即可
得到BD
FD
=
；
（2）根据勾股定理得到
2 5
AB =
，根据等面积法计算即可．
【详解】（1）证明：
AD
BC
⊥
，CE
AB
⊥
，
90
ADB
CDF
BEC
=
=
=
．
90
BAD
B
+
=
，
90
FCD
B
+
=
．
BAD
FCD
=
．
在
ABD
△
和
CFD
△
中，
,
,
.
ADB
CDF
AD
CD
BAD
FCD
=
=
=
(
)
ASA
ABD
CFD
≌
．
BD
FD
=
；
（2）解：在Rt
ABD
△
中，
2
2
2
2
2
4
2
20
AB
AD
BD
=
+
=
+
=
，
2 5
AB
=
1
1
S
2
2
ABC
AB CE
BC AD
=
=
，
6 4
12 5
5
2 5
BC AD
CE
AB
=
=
=
．
9．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，
ABC
与
ADE
均为等边三角形，
90
CBD
=
，
3
BD
AB
=
，
连接CE ，延长BC 交AE 于点F ．
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(1)求
FCE
的度数；
(2)求证：AF
EF
=
．
【答案】(1)30；
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30 度角的直角三角形的性
质，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据等边三角形的性质得出AD
AE
=
，AB
AC
=
，
60
BAC
DAE
=
=
，证明DAB
EAC
≌
，求出
120
ACF
=
，进而得出答案；
（2）过点A 作AN
BC
⊥
于点N ，过点E 作EM
BF
⊥
，交BF 的延长线于点
.
M 设AB
AC
BC
x
=
=
=
，则
3
BD
x
=
，
1
2
BN
CN
x
=
=
，根据勾股定理得出
2
2
3
2
AN
AC
CN
x
=
−
=
，求出ME
AN
=
．得出
AFN
EFM
≌
，进而得出结论．
【详解】（1）解：
ABC
与
ADE
均为等边三角形，
AD
AE
=
，AB
AC
=
，
60
BAC
DAE
=
=
，
DAB
EAC
=
，
DAB
EAC
≌
△
△
，
60
90
150 .
ACE
ABD
=
=
+
=
60
ACB
=
，
120
ACF
=
，
30
FCE
=
；
（2）证明：过点A 作AN
BC
⊥
于点N ，过点E 作EM
BF
⊥
，交BF 的延长线于点
.
M
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设AB
AC
BC
x
=
=
=
，则
3
BD
x
=
，
1
2
BN
CN
x
=
=
，
∴
2
2
3
2
AN
AC
CN
x
=
−
=
，
30
FCE
=
，CE
BD
=
，
1
1
3
2
2
2
ME
CE
BD
x
=
=
=
，
ME
AN
=
．
90
M
ANF
=
=
，
AFN
EFM
=
，
AFN
EFM
△
≌△
，
AF
EF
=
．
题型十二：勾股定理的实际应用之梯子滑落问题
1．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯AB 靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A 到墙
根O的距离为7 米，云梯顶端B 到地面的距离为24 米，在云梯中点处有一个操作平台M ，连接OM ，现将
云梯的底端A 向外移动到
'A 处，则OM 的长将（ ）
A．小于12.5 米
B．大于12.5 米
C．等于12.5 米
D．大于等于12.5 米
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键．
先利用勾股定理求出
25
AB =
，梯子移动过程中长短不变，所以
'
'
25
AB
A B
=
=
，由M 是
'
'
A B 的中点，所以
'
'
Rt AOB
中，
12.5
OM =
．
【详解】解：∵在Rt AOB
中，
7
24
OA
OB
=
=
，
，
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∴
2
2
25
AB
OA
OB
=
+
=
，
∵M 是AB 的中点，
∵
'
'
25
AB
A B
=
=
，
M 是
'
'
A B 的中点，
∴
'
'
Rt AOB
中，
'
'
1
12.5
2
OM
AB
=
=
．
故选：C．
2．（24-25 八年级下·河南开封·期末）如图，一架2.5m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，梯子底端B
到墙底部O 的距离BO为0.7m，如果将梯子顶端A 沿墙下滑0.4m到C 处，梯子底端B 将外移的距离BD为
（ ）
A．0.8m
B．0.7m
C．0.6m
D．0.5m
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：
2.5m
AB
CD
=
=
，
0.7m
BO =
，
0.4m
AC =
，
90
COD
AOD
=
=
，先利用勾股定理求出AO ，进而得出CO，再利用勾股定理得出OD ，最后根据
BD
OD OB
=
−
求解即可．
【详解】解：根据题意可知：
2.5m
AB
CD
=
=
，
0.7m
BO =
，
0.4m
AC =
，
90
COD
AOD
=
=
，
在Rt AOB
中，
2
2
2.4m
AO
AB
OB
=
−
=
，
∴
2m
CO
AO
AC
=
−
=
，
在Rt COD
中，
2
2
1.5m
OD
CD
OC
=
−
=
，
∴
0.8m
BD
OD
OB
=
−
=
，
故选：A
3．（24-25 八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角0.7 米（即
0.7m
AO =
），由于楼梯滑动，底部滑动了1.3米（即
1.3m
AD =
），楼梯的高度为2.5 米（即
2.5m
AB =
），则
楼梯下滑了 米．（即求BC 的长）．
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67 /
【答案】0.9
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求得
,
BO CO 的长，根据BC
BO CO
=
−
，即可求解．
【详解】解：在Rt AOB
中，
2
2
2
2
2.5
0.7
2.4
BO
AB
AO
=
−
=
−
=
，
在Rt COD
中，
(
)
2
2
2
2
2.5
0.7 1.3
1.5
CO
CD
OD
=
−
=
−
+
=
∴
2.4 1.5
0.9
BC
BO CO
=
−
=
−
=
米
故答案为：0.9 ．
4．（24-25 八年级下·河北唐山·期中）如图所示的两个滑块A ，B （可分别看成一个点）由一个连杆连接，
分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块A 与点O的距离为20cm ，滑块B 与点O的距离为
15cm．当滑块A 向下滑到点O时，滑块B 向右滑动了 cm．
【答案】10
【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理求出杆的长度．根据勾股定理求出杆的长度，
然后减去B 距离O 的距离即可得出答案．
【详解】解：由题意得
2
2
2
2
2
2
20
15
25
AB
AO
OB
=
+
=
+
=
，即
25cm
AB =
．
当滑块A 向下滑到点O时，滑块B 距点O的距离是25cm，
故滑块B 滑动了
(
)
25 15
10 cm
−
=
．
故答案为：10
5．
（24-25 八年级下·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如
图2，云梯最多能伸长到25 m（即
25 m
AB
CD
=
=
），消防车高4 m ，救人时云梯伸长至最长，在完成从19 m
（即
19 m
BE =
）高的B 处救人后，还要从28 m （即
28 m
DE =
）高的D 处救人，这时消防车从A 处向着火
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68 /
的楼房靠近的距离AC 为多少米？（延长AC 交DE 于点O，AO
DE
⊥
，点B 在DE 上，OE 的长即为消防
车的高4 m ）
【答案】消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为13 米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
在Rt ABO
中，根据勾股定理得到AO 和OC ，于是得到结论．
【详解】解：在Rt ABO
中，
90
AOB
=
，
25m
AB =
，
(
)
19
4
15 m
OB =
−
=
，
(
)
2
2
2
2
25
15
20 m
AO
AB
OB
=
−
=
−
=
，
在Rt ABO
中，
90
COD
=
，
25m
CD =
，
(
)
28
4
24 m
OD =
−
=
，
(
)
2
2
2
2
25
24
7 m
OC
CD
OD
=
−
=
−
=
，
(
)
20
7
13 m
AC
OA
OC
=
−
=
−
=
．
答：消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为13 米．
6．（24-25 八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯AB 的长为25 米，斜靠在竖直的墙面OB 上，消防
梯底端A 距墙面OB 的水平距离为7 米．
(1)求消防梯顶端B 离地面的竖直高度为多少米？
(2)若消防梯顶端B 沿墙面竖直向下滑动了4 米，试求其底端A 在水平方向滑动了多少米？
【答案】(1)24米
(2)8米
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69 /
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）由题意得，
25
AB =
米，
7
OA =
米，
90
AOB
=
，据此利用勾股定理求出OB 的长即可得到答案；
（2）由题意得，
4
20
OC
OB
=
−
=
米，
25
CD
AB
=
=
米，据此利用勾股定理求出OD 的长，进而求出AD的
长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
25
AB =
米，
7
OA =
米，
90
AOB
=
，
∴
2
2
2
2
25
7
24
OB
AB
OA
=
−
=
−
=
米，
答：消防梯顶端B 离地面的竖直高度为24米；
（2）解：由题意得，
4
20
OC
OB
=
−
=
米，
25
CD
AB
=
=
米，
∴
2
2
2
2
25
20
15
OD
CD
OC
=
−
=
−
=
米，
∴
8
AD
OD
OA
=
−
= 米，
答：底端A 在水平方向滑动了8米．
题型十三：勾股定理的实际应用之旗杆高度问题
1．（24-25 八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8 米处（
8
AC =
米），升起云梯到火灾窗口B ．已知云梯AB 的长为17 米，云梯底部距地面的高
1.5
AE =
米，则发生火灾的
住户窗口距离地面的高BD为（ ）
A．19.5 米
B．17.5 米
C．15 米
D．16.5 米
【答案】D
【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，在Rt
ABC
△
中，由勾股定理求出BC ，由BD
BC
CD
=
+
求出BD
的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，结合题意，
8
AC =
米，
17
AB =
米，
1.5
AE
CD
=
=
米，
在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，则由勾股定理可得
2
2
2
2
17
8
15
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
（米），
15 1.5
16.5
BD
BC
CD
=
+
=
+
=
米，
故选：D．
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70 /
2．（24-25 八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗
杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，
然后将绳子拉到离旗杆底端5 米处，发现此时绳子底端距离打结处约1 米．则小明算出旗杆的高度为（ ）
A．10 米
B．12 米
C．13 米
D．15 米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求
解．设旗杆长为x 米，则绳长为(
)1
x +
米，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：设旗杆长为x 米，则绳长为(
)1
x +
米，则由勾股定理可得：
(
)
2
2
2
5
1
x
x
+
=
+
，
解得
12
x =
，
答：旗杆的高度为12 米．
故选：B．
3．（24-25 八年级下·湖北黄冈·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项
目
测量风筝放飞的垂直高度
测量示
意图
测量数
据
记录长度
①测得水平距离BC 的长为15 米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB 的长为17 米．
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71 /
③小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8 米．
解决问
题
任务一
如上图，求风筝离地面的垂直高度AD．
任务二
如果小明想要风筝沿DA方向再上升12 米，BC 长度不变，则他
应该再放出多少米的线？
【答案】任务一：9.8米，任务二：8 米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
（1）由勾股定理得，
2
2
8
AC
AB
BC
=
−
=
，根据
8 1.8
AD = +
，计算求解即可；
（2）风筝沿DA方向再上升12 米，则
8 12
20
AC = +
=
，由勾股定理得，
2
2
25
AB
BC
AC
=
+
=
，则他应该
再放出(
)
25 17
−
米线，计算求解即可．
【详解】解：任务一：由勾股定理得，
2
2
8
AC
AB
BC
=
−
=
，
∴
8 1.8
9.8
AD = +
=
（米），
∴线段AD的长为9.8米．
任务二：风筝沿DA方向再上升12 米，则
8 12
20
AC = +
=
，
由勾股定理得，
2
2
25
AB
BC
AC
=
+
=
，
∵25 17
8
−
= ，
∴他应该再放出8 米线．
4．（24-25 八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗
杆AB 的高度，通过测量得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3 米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1 米，到旗杆的距离CE 为12 米（如图2）．
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72 /
根据以上信息，解答下列问题
(1)设旗杆AB
x
=
米，则AC =______米，AE =______米（用含x 的式子表示）
(2)求旗杆x 的值．
【答案】(1)(
)
3
x +
；(
)
1
x −
(2)17 米
【分析】（1）根据题意列式表达即可．
（2）设旗杆的高为x 米，则绳子长为(
)
2 m
x +
米，利用勾股定理计算即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3 米
故绳长为(
)
3
x +
米；
根据题意，得到四边形CDBE是矩形，得到
1
CD
BE
=
= 米，
故
(
)
1
AE
x
=
−
米，
故答案为：(
)
3
x +
；(
)
1
x −
．
（2）解：在Rt
AEC
△
中，
90
AEC
=
2
2
2
AE
EC
AC
+
=
即(
)
(
)
2
2
2
1
12
3
x
x
−
+
=
+
解得：
17
x =
答：旗杆x 的值为17 米．
5．（24-25 八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的
垂直高度CE ，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）：
①嘉嘉握住风筝线的手点B 到CE 的距离
7m
BD =
；
②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线
25m
BC =
；
③嘉嘉握住风筝线的手点B 距离地面的高度
1.8m
AB =
．
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73 /
(1)求风筝距离地面的高度CE 的长；
(2)嘉嘉想把手中剩余的7m 长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？
【答案】(1)25.8m
(2)(
)
8 7
7 m
−
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）根据勾股定理求出
2
2
24m
CD
BC
BD
=
−
=
，再根据CE
CD
DE
=
+
，即可求解；
（2）根据勾股定理求出
2
2
8 7
FD
CF
CD
=
−
=
，由BF
FD
BD
=
−
即可求解．
【详解】（1）解：依题意，BD
CE
⊥
，
∴
=90
BDC
在Rt
BCD
△
中，
25m
BC =
，
7m
BD =
，
由勾股定理得，
2
2
2
2
25
7
24(m)
CD
BC
BD
=
−
=
−
=
∵BA
AE
⊥
，CE
AE
⊥
∴四边形ABDE 为矩形，
∴
1.8m
AB
DE
=
=
∴
24 1.8
25.8(m)
CE
CD
DE
=
+
=
+
=
∴风筝距离地面的高度CE 的长为25.8m
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74 /
（2）如图，由题意可知：
(
)
25
7
32 m
CF =
+
=
在Rt CFD
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
32
24
8 7
FD
CF
CD
=
−
=
−
=
（m）
∴
(
)
8 7
7 m
BF
FD
BD
=
−
=
−
∴嘉嘉需往后退(
)
8 7
7 m
−
题型十四：勾股定理的实际应用之小鸟飞行问题
1．（24-25 八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣
的数学问题：有两棵树，一棵高5m ，另一棵高2m，两树相距4m ，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树
的树顶，至少需要飞（ ）
A．2m
B．3m
C．4m
D．5m
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用- 最短路线问题，利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解，
掌握勾股定理是应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
5 2
3m
AC = −
=
，
4m
BC =
，
90
ACB
=
，
∴
2
2
2
2
3
4
5m
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞5m ，
故选：D ．
2．（24-25 八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m 的
树顶上，两棵树相距12m ，则喜鹊至少要飞 m ．
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75 /
【答案】13
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：
0
m,
5
m,
12
1
5
90
AC
BC
ACB
=
=
−
=
=
，
∴
2
2
2
2
5
12
13m
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
．
即喜鹊至少要飞13m ．
故答案为：13
3．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）如图，有两棵树，一颗高6 米，另一棵高2 米，两树相距5 米，一只
小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 m ．
【答案】
41
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线
飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】两棵树的高度差为6
2
4
−
=
米，间距为5米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离
2
3
4
5
41
+
=
m ．
故答案为：
41．
4．（24-25 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，有两棵树，一棵高18米（
18
AB =
米），另一棵高2 米（
2
CD =
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76 /
米），两树相距12米（
12
BD =
米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2 ，台风过后，高18米的树AB 在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB 折断处M 距离地面
多少米？
【答案】(1)20 米
(2)5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股
定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出BM 的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为18
2
16
−
=
（米），两树相距12米（
12
BD =
米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离
2
2
16
12
20
=
+
=
（米），
答：至少飞了20 米；
（2）解：由勾股定理得：
2
2
2
BM
AB
AM
+
=
，
(
)
2
2
2
12
18
BM
BM
+
=
−
，
解得：
5
BM =
，
答：树AB 折断处M 距离地面5米．
5．（24-25 七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游
客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下
的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m ；根据手中余线长度，计算出AC 的长度为17m；牵线
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77 /
放风筝的手到地面的距离AB 为1.5m．已知点A，B，C，D 在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC 方向再上升12m ，请问能否成功？请运用数学知识说
明．
【答案】(1)9.5m
(2)不能成功，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）过点A 作AE
CD
⊥
于点E，在Rt
AEC
△
中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升12m ，作图RtAEF ，根据勾股定理可得
25m
AF =
，再根据题意，17
7.5
24.5
25
+
=
，即
可求解．
【详解】
（1）解：如图1 所示，过点A 作AE
CD
⊥
于点E，则
15m
AE
BD
=
=
，
1.5m
AB
ED
=
=
，
90
AEC
=
，
在Rt
AEC
△
中，
(
)
2
2
2
2
17
15
8 m
CE
AC
AE
=
−
=
−
=
，
∴
(
)
8 1.5
9.5 m
CD
CE
ED
=
+
=
+
=
；
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升12m ，如图所示，延长DC 至点F，连接AF ，则
12m
CF =
，
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78 /
∴
(
)
8 12
20 m
EF
CE
CF
=
+
=
+
=
，
在RtAEF 中，
(
)
2
2
2
2
15
20
25 m
AF
AE
EF
=
+
=
+
=
，
∵
17m
AC =
，余线仅剩7.5m，
∴17
7.5
24.5
25
+
=
，
∴不能上升12m ，即不能成功．
6．（24-25 八年级上·陕西宝鸡·期中）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高
度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下
面试题．
报告
测量风筝的垂直高度EF ．
成员
组长：组员：，，
工具
皮尺等
示意
图
方案
先测量水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长BF ，最后测量放
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79 /
风筝的同学的身高AB ．
数据
16
BD =
米，
20
BF =
米，
1.7
AB
DE
=
=
米，
90
BDF
=
．
(1)求此时风筝的垂直高度EF ；
(2)若站在点A 不动，想把风筝沿DC 方向从点F 的位置上升18 米至点C 的位置（即
18
CF =
米，点C、点
F、点D 在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？
【答案】(1)13.7 米
(2)还需放出风筝线14 米
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）在Rt
BDF
△
中，利用勾股定理求出DF 的长度，由EF
DF
DE
=
+
即可求解；
（2）由题意得
18
CF =
米，根据
12
DF =
米，得到
30
CD =
米，在Rt
BCD
△
中，利用勾股定理求出BC 的长
度，由BC
BF
−
即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
1.7
AB
DE
=
=
米，
在Rt
BDF
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
20
16
12
DF
BF
BD
=
−
=
−
=
（米），
所以
12 1.7
13.7
EF
DF
DE
=
+
=
+
=
（米）．
（2）解：由题意得
18
CF =
米，
因为
12
DF =
米，
故
30
CD =
米，
在Rt
BCD
△
中，
2
2
2
2
16
30
34
BC
BD
CD
=
+
=
+
=
（米），
所以
34
20
14
BC
BF
−
=
−
=
（米），
故还需放出风筝线14 米．
题型十五：勾股定理的实际应用之水杯中解决筷子问题
1．（24-25 八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长13cm的儿童牙刷置于底面直径为6cm，高为8cm 的圆柱
形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为cm
h
，则h 的取值范围是（ ）
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A．5
7
h
B．2
4
h
C．4
6
h
D．3
5
h
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出AB ，再得出h 的范围即可．
【详解】解：当牙刷垂直放置时，
cm
13
8
5
h =
−
=
；
当牙刷如图所示放置时，
8cm
6cm
AC
BC
=
=
，
，且AC
BC
⊥
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
2
8
6
10
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
∴
13 10
3
h =
−
=
，
∴h 的取值范围为：3
5
h
，
故选：D．
2．（24-25 八年级下·广东广州·期末）将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的装满水的无盖
圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为cm
h
，则h的取值范围是（ ）
A．
15cm
h
B．
8cm
h
C．8cm
17cm
h
D．7cm
16cm
h
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长
度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
(
)
24
8
16
h
cm
=
−
=
；
当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt ABD
中，
15
AD
cm
=
，
8
BD
cm
=
，
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81 /
(
)
2
2
17
AB
AD
BD
cm
=
+
=
，
此时
(
)
24 17
7
h
cm
=
−
=
，
所以h的取值范围是：7
16
cm
h
cm
．
故选：D ．
3．（24-25 八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm 和
12cm，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，，则铅笔的
长是（ ）
A．22cm
B．21cm
C．20cm
D．19cm
【答案】A
【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方(
)
2
2
3
8
x
=
−
−
；
第二个笔筒中：直径平方(
)
2
2
1
12
x
=
−
−
；因直径相等，列方程即可求解．
【详解】解：设铅笔长度为cm
x
，由题意得，
(
)
(
)
2
2
2
2
3
8
1
12
x
x
−
−
=
−
−
，
解得，
22
x =
，
故铅笔的长为22cm ；
故选：A．
4．（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今
有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇
门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4
尺，竖着放竹竿比门高多出2 尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x 尺，可列方
程为 ．
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82 /
【答案】(
)
(
)
2
2
2
2
4
x
x
x
−
+
−
=
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先求出门高和门宽，再根据勾股定理
列方程即可．
【详解】解：根据题意可知，门高为(
)
2
x −
尺，门宽为(
)
4
x −
尺，
由勾股定理，得(
)
(
)
2
2
2
2
4
x
x
x
−
+
−
=
．
故答案为：(
)
(
)
2
2
2
2
4
x
x
x
−
+
−
=
．
5．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一
丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈10尺）
其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB ，它高出水面1尺
（即
1
BC = 尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B 恰好到达池边的水面D 处．问水的深度
是多少？则水深DE 为 尺．
【答案】12
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，设水深x 尺，则
(
)
1
AD
x
=
+
尺，DE
x
=
尺，根据勾股定理得到关
于x 的方程，解方程求出x 的值即为水深．
【详解】解：设水深x 尺，则
(
)
1
AD
x
=
+
尺，DE
x
=
尺，
水池的边长为10尺，
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1 10
5
2
AE
BD
=
=
=
尺，
在Rt ADE
中，
2
2
2
AE
DE
AD
+
=
，
(
)
2
2
2
5
1
x
x
+
=
+
，
解得：
12
x =
水深DE 为12尺．
故答案为：12 ．
6．
（24-25 八年级下·云南昆明·期中）
《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引
葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10 尺，有一棵
芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1 尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇
的长度．
【答案】芦苇的长度为13 尺
【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角
三角形，设水深为x 尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为x 尺，则芦苇长为(
)
1
x +
尺，
根据勾股定理得：
(
)
2
2
2
10
1
2
x
x
+
=
+
，
解得：
12
x =
，
芦苇的长度
1 12 1 13
x
=
+ =
+ =
（尺），
答：芦苇的长度为13 尺．
7．（24-25 八年级下·河南信阳·期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC 为1 米，
一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB
DB
=
），已知红莲移动的水平距离CD为3 米，则湖
水深CB 为多少？
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【答案】4 米．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出
2
2
2
BD
DC
BC
=
+
，进而求出答案．
【详解】解：设CB 为h米，
∵在Rt
BCD
△
中，BC
h
=
，
1
AB
BD
h
=
=
+ ，
3
CD =
，
∴由勾股定理得：
2
2
2
BD
CD
BC
=
+
，
即(
)
2
2
2
1
3
h
h
+
=
+
，
解得：
4
h =
，
∴湖水深CB 为4 米．
题型十六：勾股定理的实际应用之水杯中解决航海问题
1．（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔P 的南偏东60方向，距离灯塔45 海里的A 处，
它沿北偏东30方向航行60 海里到达B 处，此时与灯塔P 的距离为（ ）
A．27 海里
B．75海里
C．50海里
D．15 3 海里
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得
90
PAB
=
，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点A 作AC
PE
∥
交BP于C ，
根据题意得
60
CAP
EPA
=
=
，
30
CAB
=
，
45
PA=
海里，
60
AB =
海里，
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90
PAB
CAP
CAB
=
+
=
，
在Rt
PAB
△
中，根据勾股定理得，
2
2
2
2
45
60
5625
75
PB
AP
AB
=
+
=
+
=
=
（海里），
故此时与灯塔P 的距离为75海里．
故选：B．
2．
（24-25 八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A 港沿北偏东60方向航行24km至B 港，然后再沿北偏西30
方向航行32km至C 港，则A，C 两港之间的距离为（ ）
A．16km
B．12km
C．40km
D．8 7km
【答案】C
【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明
ABC
是直角三角形是解题的关键．根据
题意画出图形，易证
ABC
是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，根据题意，得AN
BM
∥
，
60
NAB
=
，
30
MBC
=
，
24km
AB =
，
32km
BC =
∵AN
BM
∥
∴
180
180
60
120
MBA
NAB
=
−
=
−
=
∴
120
30
90
ABC
ABM
MBC
=
−
=
−
=
∴在Rt
ABC
△
中，
(
)
2
2
2
2
24
32
40 km
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
即A ，C 两港之间的距离为40km．
故选：C．
3．（24-25 八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O 出发沿北偏西25的方向航行6 海里，同
时轮船乙从港口O 出发沿南偏西65的方向航行8 海里，这时两轮船相距 海里．
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【答案】10
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，
180
25
65
90 ,
6,
8
AOB
OA
OB
=
−
−
=
=
=
，再根据勾股定理可得AB 的长，即可得两轮船的距离．
【详解】解：如图，
根据题意可知：
180
25
65
90
AOB
=
−
−
=
，
6
8
OA
OB
=
=
，
，
∴
2
2
10
AB
OA
OB
=
+
=
（海里）．
∴两轮船相距10 海里．
故答案为：10．
4．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船
同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们
离开港口3
2 小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】西北方向
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
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问题，属于中考常考题型．
根据路程= 速度时间，分别求得PQ 、PR 的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR 是直
角三角形，从而求解．
【详解】解：根据题意，得
16 1.5
24
PQ =
=
（海里），
12 1.5
18
PR =
=
（海里），
30
QR =
（海里），
2
2
2
24
18
30
+
=
，
即
2
2
2
PQ
PR
QR
+
=
，
90
QPR
=
．
由“远航号”沿东北方向航行可知，
45
QPS
=
，则
45
SPR
=
，
即“海天”号沿西北方向航行．
5．（24-25 八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，
渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 海里的A 、B 两地前去劝
阻，6min 后同时到达C 处．已知甲巡逻艇每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行50 海里，航向为北
偏西23．
(1)求甲巡逻艇的航行方向；
(2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3min 后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【答案】(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东67
(2)6.5 海里
【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理
的逆定理得出
ABC
为直角三角形是解题的关键．
（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理得出
ABC
为直角三角形，
再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3 分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】（1）解：由题意得：
90
23
67
CBA
=
−
=
，
6
120
12
60
AC =
=
（海里），
6
50
5
60
BC =
=
（海里），
13
AB =
（海里），
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
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ABC
是直角三角形，
67
CBA
=
，
23
CAB
=
，
甲的航向为北偏东67；
（2）解：甲巡逻船航行3 分钟的路程为：
3
120
6
60
=
（海里），
乙巡逻船航行3 分钟的路程为：
3
50
2.5
60
=
（海里），
3 分钟后，甲乙两巡逻船相距为：
2
2
6
2 5
6.5
+
=
（海里）．
6．（23-24 八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50 海里/小时速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P
在北偏东60方向上，继续航行1 小时到达B 处，此时测得灯塔在北偏东30方向上．
(1)求
APB
的度数；
(2)已知在灯塔P 的周围25 海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】(1)30
(2)轮船继续向正东方向航行是安全的
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等角对等边，30 度角的性质，勾股定理的应用．
（1）作PH
AB
⊥
于H，可知AC
PH
BD
∥
∥
，根据平行线的性质得到
60
APH
CAP
=
=
，
30
BPH
DBP
=
=
，即可求出
APB
的度数；
（2）根据等角对等边得到
50
BA
BP
=
=
海里，根据30 度角的性质结合勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：作PH
AB
⊥
于H，
则AC
PH
BD
∥
∥
，
∴
60
APH
CAP
=
=
，
30
BPH
DBP
=
=
，
∴
30
APB
APH
BPH
=
−
=
；
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（2）∵一艘轮船以50 海里/小时速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60方向上，继续航行1
小时到达B 处，
∴
50
BA=
海里，
∵
30
BAP
BPA
=
=
，
∴
50
BA
BP
=
=
海里，
∵
90
PHB
=
，
30
BPH
=
°，
∴
25
BH =
海里，
∴
2
2
25 3
25
PH
PB
BH
=
+
=
，
∴轮船继续向正东方向航行是安全的．
7．（24-25 八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12
海里．
(1)若它们离开港口2 小时后分别位于A、B 处（图1），如果知道“远航”号沿射线OA方向航行，“海天”号沿
射线OB 方向航行，则AO =______海里，BO = ______海里；
(2)若它们离开港口1.5小时后分别位于A、B 处（图1），且相距30 海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，
能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】(1)32；24
(2)“海天”号沿西北方向航行
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的
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90 /
关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间，计算求解即可；
（2）先计算出AO
BO
，
的长，再证明
2
2
2
AO
BO
AB
+
=
得到
90
AOB
=
，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，
2 16
32
AO =
=
海里，
2 12
24
BO =
=
海里；
（2）解：由题意得，
1.5 16
24
AO =
=
海里，
1.5 12
18
BO =
=
海里；
∴
2
2
2
2
24
18
576
324
900
AO
BO
+
=
+
=
+
=
，
∵
30
AB =
海里，
∴
2
2
30
900
AB =
=
，
∴
2
2
2
AO
BO
AB
+
=
，
∴
90
AOB
=
，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴“海天”号沿西北方向航行．
题型十七：勾股定理的实际应用之水杯中台阶上地毯问题
1．（24-25 八年级下·重庆渝北·期中）如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在
如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40 元，站台宽为10m，则购买这种
地毯至少需要 元．
【答案】2800
【分析】本题主要查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出水平的直角边长度，即可求解．
【详解】解：水平的直角边长度为
2
2
5
3
4(m)
−
=
，
(
)
3
4
10 40
7 10 40
2800
+
=
=
（元），
即购买这种地毯至少需要2800 元．
故答案为：2800．
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2．（24-25 八年级下·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将
楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知
90
C
=
，
3m
AC =
，
5m
AB =
．
(1)求BC 的长；
(2)若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25 元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过
程中没有损耗）
【答案】(1) BC 的长为4m ；
(2)490 元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．
（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵
90
C
=
，
3m
AC =
，
5m
AB =
，
(
)
2
2
2
2
5
3
4 m
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
答：BC 的长为4m ；
（2）解：地毯长为：
(
)
3
4
7 m
+
=
，
∴地毯的面积为
(
)
2
2.8 7
19.6 m
=
，
每平方米地毯25 元，
需要花费25 19.6
490
=
（元）；
答：需要花费490 元地毯才能铺满所有台阶．
3．（24-25 八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡
面AB 平行的护栏
(
)
MN MN
AB
=
．小明量得每一级石阶的宽为32cm，高为24cm ，爬到山顶后，小华数得
石阶一共200 级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏MN 的长度．
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92 /
【答案】80m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶
的斜边长，再乘以200 即可求出护栏MN 的长度．
【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为
(
)
2
2
32
24
40 cm
+
=
，
(
)
(
)
200 40
8000 cm
80 m
MN
AB
=
=
=
=
．
答：护栏MN 的长度为80m．
4．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3 和1，A 和B 是
这个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁，想到点B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B
的最短路程长是多少？
【答案】13
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关
键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
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93 /
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为(3 1) 3
12
+
=
，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得
2
2
5
12
13
AB =
+
=
，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是13．
题型十八：勾股定理的实际应用之水杯中判断汽车是否超速问题
5．（24-25 八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024
年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h 调整为80km/h、
大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车
速检测仪A 处的正前方120m的C 处（即
120m
AC =
），过了8s 小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检
测仪间的距离为200m．
(1)求BC 的长；
(2)这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s
3.6km/h
=
）
【答案】(1)160m
(2)这辆小汽车没有超速，理由见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据小汽车用8s 行驶的路程为BC ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
120
AC =
，
200
AB =
，
90
ACB
=
，
∴
(
)
2
2
200
120
160 m
BC =
−
=
；
（2）解：结合（1）可得小汽车的速度为
(
)
(
)
(
)
160
20 m/ s
20 3.6 km/ h
72 km/ h
8
v =
=
=
=
；
∵
(
)
(
)
72 km / h
80 km / h
；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速．
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94 /
6．（24-25 八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速40km/ h ，小明尝试用自己
所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点P 到该路段l 的距离（OP 的长）为40
米，测得一辆汽车从A 处匀速行驶到B 处用时3 秒，
60 ,
45
APO
BPO
=
=
．试通过计算判断此车是否超
速？（3
1.7, 2
1.4
）
【答案】未超速，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30 度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，
熟练掌握勾股定理，含30 度角直角三角形的性质是解题的关键．
先求出
40
OB
OP
=
=
，
90
30
PAO
APO
=
−
=
∠
，则
2
80
AP
OP
=
=
，可求出
2
2
40 3
AO
AP
OP
=
−
=
，
继而求出
40 3
40
28
AB
OA OB
=
−
=
−
．可得此车的速度为28 m / s
3
，即可解答．
【详解】解：在Rt BPO
中，
40,
45
OP
BPO
=
=
，
∴Rt BPO
是等腰直角三角形，
40
OB
OP
=
=
，
在Rt BPO
中，
60
APO
=
，
90
30
PAO
APO
=
−
=
∠
，
2
80
AP
OP
=
=
，
2
2
40 3
AO
AP
OP
=
−
=
，
40 3
40
28
AB
OA OB
=
−
=
−
．
此车的速度为28 m / s
3
．
100
40km / h
m / s
9
=
，28
100
3
9
，
此车未超速．
7．（24-25 八年级下·河南信阳·期中）某条高速公路限速100km/h ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线
行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C 处的正前方50m的B 处，过了4s，大巴车到达A 处，此时
测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m．问题：这辆大巴车超速了吗？
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95 /
【答案】大巴车超速了
【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在Rt
ABC
△
中，根据勾股定理求出AB 的
长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果．
【详解】解：由题意可知，
50m
BC =
，
130m
AC =
，
2
2
2
2
130
50
120
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
，
大巴车的速度为120 4
30m/s=108km/h
=
，
108km/h
100km/h
，
大巴车超速了．
8．（24-25 八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规
定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过30km/h．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶
车刚好行驶到路边测速仪A 处的正前方40m的C 处，过了3s 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离AB 为
50m．这辆观光电瓶车超速了吗？
【答案】这辆观光电瓶车超速了
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得
2
2
30m
BC
AB
AC
=
−
=
，进而可得观光电瓶车的速度
为
30
10m/s
36km/h
3
v =
=
=
，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
40m
AC =
，
50m
AB =
，
根据勾股定理得，
2
2
2
2
50
40
30m
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
∴观光电瓶车的速度为
30
10m/s
36km/h
3
v =
=
=
，
36km/h
30km/h
，
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96 /
这辆观光电瓶车超速了．
9．（23-24 八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN
上限速60 千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C，从观测点C 测得一小车从点
A 到达点B 行驶了5 秒，已知
60
CBN
=
，
200
BC =
米，
100 6
AC =
米．
(1)请求出观测点C 到公路MN 的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：2
1.41
，3
1.73
）
【答案】(1)观测点C 到公路MN 的距离为100 3 米
(2)此车没有超速，理由见解析
【分析】此题主要考查了30度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解
决问题的关键．
（1）过点C 作CH
MN
⊥
于H，先求出BH 的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出AH 的长，再求出AB 的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点C 作CH
MN
⊥
于H，
在Rt
BCH
△
中，
60
CBN
=
，
30
BCH
=
．
200
BC =
米
1
100
2
BH
BC
=
=
（米）
2
2
100 3
CH
BC
BH
=
−
=
（米）
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即观测点C 到公路MN 的距离为100 3 （米）．
（2）解：
100 6
AC =
米，
90
CHA
=
2
2
100 3
AH
CA
CH
=
−
=
米
100 3 100
73
AB
AH
BH
=
−
=
−
米
∴车速为
73
73 5
5
=
（米/秒）
60
千米/小时
50
3
=
米/秒，73
50
5
3
∴此车没有超速．
10．（24-25 八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝
试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路l 的距离为100m的P 处．这时，一辆车由西向东
匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为3s ，并测得
60
APO
=
，
45
BPO
=
．
(1)求AP 的长；
(2)试判断该车是否超过了70km / h 的限制速度．（参考数据：3
1.732
）
【答案】(1)
200m
AP =
(2)该车超过了70km/h 的限制速度
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30 度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股
定理，含30 度角直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据含30 度角直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据勾股定理可得
100 3m
AO =
，再由等腰直角三角形的判定可得
100m
BO
OP
=
=
，可求出AB ，即
可求解．
【详解】（1）解：在Rt APO
中，
90
AOP
=
，
60
APO
=
，
30
PAO
=
，
2
200m
AP
OP
=
=
．
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（2）解：在Rt APO
中，
100m
OP =
，
200m
AP =
，
(
)
2
2
2
2
200
100
100 3 m
AO
AP
OP
=
−
=
−
=
．
在Rt
BPO
△
中，
90
BOP
=
，
45
BPO
=
，
45
OBP
BPO
=
=
，
100m
BO
OP
=
=
，
(
)
100 3 100 m
AB
AO
BO
=
−
=
−
，
该车的速度为(
)
(
)
100 3 100
3
24.4 m/s
87.84km/h
70km/h
−
=
，
该车超过了70km/h 的限制速度．
题型十九：勾股定理的实际应用之水杯中判断是否受台风影响
1．（24-25 八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km的B 处
有一台风中心，沿BC 方向以20km / h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离
60km
AD =
．
(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？
(2)如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D 点休闲的游客在接到台风警报
后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)4h
(2)游人在2.5 小时内撤离才可脱离危险
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么
2
2
2
a
b
c
+
=
．
（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间= 路程速度进行计算即可；
（2）根据在30km范围内都要受到影响，先求出从点B 到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间= 路
程速度计算，然后求出时间段即可．
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【详解】（1）解：
100km
AB =
，
60km
AD =
，
在Rt
ABD
△
中，根据勾股定理得：
(
)
2
2
80 km
BD
AB
AD
=
−
=
，
( )
80
20
4 h
=
，
则台风中心经过4h从B 移动到D 点；
（2）解：如图，
距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
人们要在台风中心到达E 点之前撤离，
(
)
80
30
50 km
BE
BD
DE
=
−
=
−
=
，
游人在
( )
50
2.5 h
20 =
内撤离才可脱离危险．
2．（24-25 八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路
上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路AB 上，沿东西方向由A 向B 行驶．小丽的家在公路的
一侧点C 处，且点C 与直线AB 上的两点A B
，的距离分别为
300m
400m
AC
BC
=
=
，
，又
500m
AB =
，假如
移动广播车周边250 米以内能听到广播宣传．
(1)求
ACB
的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路AB 上以10 米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点E 时，小丽在家刚好听
到广播，当移动广播车行驶到点F 时，小网在家刚好不再听到广播，即
250
CE
CF
=
=
米，问小丽在家听到
广播宣传的时长是多长？
【答案】(1)
90
ACB
=
(2)小丽在家能听到广播，计算见解析
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100 /
(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14 秒
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判断ABC
的形状；
（2）过点C 作CD
AB
⊥
，根据等积法求出CD的长，然后和250 米作比较解答即可；
（3）作
250m
EC
FC
=
=
，根据勾股定理求出EF 长，再根据时间= 路程时间解答即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
300
400
250000
B
AC
C
+
=
+
=
，
又
2
2
500
250000
AB =
=
，
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
ABC
是直角三角形，即
90
ACB
=
．
（2）解：过点C 作CD
AB
⊥
，垂足为D，
ABC
直角三角形，
1
1
2
2
AB CD
AC BC
=
，
1
1
500
300 400
2
2
CD
=
，
解得
(
)
240 m
CD =
，
240
250
小丽在家能听到广播；
（3）解：依题意，
250m,
EC
FC
CD
AB
=
=
⊥
，
根据勾股定理，
(
)
2
2
2
2
250
240
70 m
ED
EC
CD
=
−
=
−
=
，
(
)
2
140 m
EF
ED
=
=
移动广播车的速度为10 米／秒，
140 10
14
=
秒
答：小丽在家听到广播宣传的时间为14 秒．
3．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）去年第13 号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力
极强．如图，台风中心沿东西方向由A 向B 移动，已知点C 为一海港，与A，B 的距离分别为
300km
AC =
，
400km
BC =
，且
500km
AB =
．根据实测数据，台风中心半径260km范围内的地区会受到台风影响．
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101 /
(1)海港C 受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续8h ，求台风中心的移动速度．
【答案】(1)海港C 受台风影响
(2) 25km/h
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键；
（1）利用勾股定理的逆定理得出
ABC
是直角三角形，进而得出
ACB
的度数；利用三角形面积得出CD
的长，进而得出海港C 是否受台风影响；
（2），利用勾股定理得出ED以及EF 的长，进而得出台风中心的移动速度．
【详解】（1）解：海港C 受台风影响．
过C 作CD
AB
⊥
于点D，
300km
AC =
，
400km
BC =
，
500km
AB =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
ABC
是直角三角形，；
∴
90
ACB
=
∴
1
1
·
2
2
ABC
S
AC
BC
CD
AB
=
=
，
∴
240km
CD =
．
∵240km
260km
，
∴海港C 受台风影响．
（2）设台风从E 点开始影响C 港，到F 点后停止影响C 港．
由题意，得
260km
CE
CF
=
=
．
又∵
240km
CD =
，CD
AB
⊥
，
∴
2
2
100km
ED
FD
CE
CD
=
=
−
=
，
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∴
2
200km
EF
ED
=
=
．
又∵
8h
t =
，
∴
(
)
200
25 km/h
8
v =
=
．
答：台风中心的移动速度为
(
)
25 km/h ．
4．（24-25 八年级下·广东东莞·期中）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且
30
QPN
=
． 点A 处有
一栋居民楼，
160m
AP =
． 假设一拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶，周围100m以内（包括100m）会
受到噪声的影响．
(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，则居民楼受到影响的时间有多长？
【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析
(2)24s
【分析】本题考查含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30 度角的直角三角
形的性质，是解题的关键：
（1）作AB
PN
⊥
，根据含30 度角的直角三角形的性质，求出AB 的长，进行判断即可；
（2）以A 为圆心，100m为半径画弧，交PN 于点
,
C D ，三线合一结合勾股定理求出CD的长，再除以速度，
求出时间即可．
【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下：
作AB
PN
⊥
，则：
90
ABP
=
，
∵
30
QPN
=
，
160m
AP =
，
∴
1
80m
2
AB
AP
=
=
，
∵80
100
，
∴该居民楼会受到噪声的影响；
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（2）以A 为圆心，100m为半径画弧，交PN 于点
,
C D ，则：
100m
AC
AD
=
=
，
∵AB
PN
⊥
，
∴
2
CD
BC
=
，
2
2
60m
BC
AC
AB
=
−
=
，
∴
120m
=
CD
，
∵18km/h
5m/s
=
，
∴120 5
24s
=
；
答：居民楼受到影响的时间有24s．
5．（24-25 八年级下·江西赣州·期中）如图，某气象站测得台风中心在A 城正西方向300km的B 处，以每小
时10 7km的速度向北偏东60的BF 方向移动，距台风中心200km的范围是受台风干扰的区域，问A 城是
否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出A 城受台风干扰的时间．
【答案】A 城会受到此次台风的干扰，干扰的时间为10小时，理由见解析
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及勾股定理，作AM
BF
⊥
，则得出
AMB
，根据
30
FBA
=
，
可得出AM 的长，则A 城会受到此次台风的干扰；以A 为圆心，200km为半径作弧交BF 于
1
C 、
2
C 两点，
连接
1
2
AC
AC
=
，在
1
Rt AMC
中有
1
C M 的长，可得出
1
2
C C ，从而得出A 城受台风干扰的时间，是基础知识
要熟练掌握．
【详解】解：作AM
BF
⊥
于点M ，则
90
AMB
=
．
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，
90
60
30
FBA
=
−
=
，
1
1 300
150km
200km
2
2
AM
AB
=
=
=
，
A
城会受到此次台风的干扰，以A 为圆心，200km为半径作弧交BF 于
1
C 、
2
C 两点，连接
1
2
AC
AC
=
．
AM
BF
⊥
，
1
2
1
2
C C
C M
=
，
在
1
Rt AMC
中，有
(
)
2
2
1
200
150
50 7 km
C M =
−
=
，
1
2
100 7km
C C
=
，
A
城受台风干扰的时间为：100 7
10
10 7
=
（小时）．
6．（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路AB
由点A 向点B 行驶，已知点C 处为一所学校，点C 与直线AB 上两点A，B 的距离分别为150m和
200m,
250m
AB =
，吊车周围130m以内为受噪声影响区域．
(1)求
ACB
的度数．
(2)学校C 会受噪声影响吗？为什么？
【答案】(1)
90
ACB
=
(2)学校C 会受噪声影响，见解析
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键：
（1）利用勾股定理逆定理进行求解即可；
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（2）过点C 作CD
AB
⊥
于D，等积法求出CD的长，进行判断即可。
【详解】（1）解：
150m,
200m,
250m
AC
BC
AB
=
=
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
；
（2）学校C 会受噪声影响．
理由：如图，过点C 作CD
AB
⊥
于D，则：
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
CD AB
=
=
△
150 200
250CD
=
，
150 200
120(m)
250
CD
=
=
，
∵吊车周围130m以内为受噪声影响区域，120 130
，
∴学校C 会受噪声影响．
题型一：勾股定理中最值问题
1．（24-25 八年级下·四川广安·期末）如图，在直角
ABC
中，
90
C =
∠
，
2
AC
BC
=
=
，P 为AC 的中点，
Q 为AB 上的一个动点，连接PQ ，CQ ，则PQ
CQ
+
的最小值为 ．
【答案】
5
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点P 关于AB 的对称
点P，连接P C
，交AB 于点Q，连接AP
P Q
，
，证明当P
Q
、
、C 三点共线时，PQ
CQ
+
的值最小，最
小值为CP的长，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，作点P 关于AB 的对称点P，连接P C
，交AB 于点Q，连接AP
P Q
，
，
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则AP
AP
P Q
PQ
PQ
CQ
P Q
CQ
P Q
CQ
CP
=
=
+
=
+
+
=
，
，
，
即当P
Q
、
、C 三点共线时，PQ
CQ
+
的值最小，最小值为CP的长．
∵Rt
ABC
△
中，
90
ACB
AC
BC
=
=
，
，
45
45
CAB
P AB
=
=
，
，
∴
90
CAP
=
，
又∵P 为AC 的中点，
∴
1
AP
AP
=
= ，
∴
2
2
2
2
2
1
5
CP
AC
AP
=
+
=
+
=
，
即PQ
CQ
+
的最小值为
5 ．
故答案为：
5
2．（23-24 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
6
8
ACB
AC
BC
=
=
=
，
，
，如果点D，E
分别为BC
AB
，
上的动点，那么AD
DE
+
的最小值是 ．
【答案】9.6
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点A 关于直线BC 的对称点H ，连接HD HB
，
，
由轴对称的性质可得
6
HC
AC
DH
DA
=
=
=
，
，由勾股定理可得
10
AB =
，根据AD
DE
HD
DE
+
=
+
，可得
当H、D、E 三点共线，且HE
AB
⊥
时，HD
DE
+
有最小值，即此时AD
DE
+
有最小值，最小值为HE 的长，
据此利用等面积法求出HE 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作点A 关于直线BC 的对称点H ，连接HD HB
，
，
由轴对称的性质可得
6
HC
AC
DH
DA
=
=
=
，
，
∵在Rt
ABC
△
中，
90
6
8
ACB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
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∴
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
；
∵AD
DE
HD
DE
+
=
+
，
∴当H、D、E 三点共线，且HE
AB
⊥
时，HD
DE
+
有最小值，即此时AD
DE
+
有最小值，最小值为HE 的
长，
∴此时有
1
1
2
2
ABH
S
AH BC
AB HE
=
=
△
，
∴
(
)
1
1
6
6
8
10
2
2
HE
+
=
，
∴
9.6
HE =
，
∴AD
DE
+
的最小值为9.6，
故答案为：9.6．
3．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）在Rt ABC
中，
90
ABC
=
，
4
AB =
，
3
BC = ．过点C 作CD
BC
⊥
，
使CD
AC
=
，连接BD．点P，Q 分别是边AB 和AC 上的动点，始终保持AP
CQ
=
，连接CP ，BQ ，则CP
BQ
+
的最小值为 ．
【答案】34
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点A 作AM
AC
⊥
，且
3
AM
BC
=
=
，连接MP ，MC ，根据SAS得到MAP
BCQ
≌
，即可得到PM
BQ
=
，然后得到当M、P、C
三点共线时，PC
BQ
+
最小为MC ，然后根据勾股定理解答即可．
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【详解】解：过点A 作AM
AC
⊥
，且
3
AM
BC
=
=
，连接MP ，MC ，
则
90
MAB
BAC
BCA
BAC
+
=
+
=
，
∴
MAB
BCA
=
，
又∵AP
CQ
=
，
∴MAP
BCQ
≌
，
∴PM
BQ
=
，
∴PC
BQ
PC
MP
MC
+
=
+
，即当M、P、C 三点共线时，PC
BQ
+
最小为MC ，
这时
2
2
2
2
3
4
5
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
3
5
34
MC
MA
AC
=
+
=
+
=
，
故答案为：34 ．
4．（24-25 七年级下·陕西西安·期末）如图，四边形ABCD的面积为4，
90
BCD
=
，AC 平分
BCD
，
2
BC
CD
+
= ，则AD
AB
+
的最小值为 ．
【答案】10
【分析】过点A 作AE
CB
⊥
交CB 延长线于E，AF
CD
⊥
交CD延长线于F，AH
AC
⊥
交CB 延长线于H，
AG
AD
⊥
交CB 延长线于G，由角平分线的性质得到AE
AF
=
，根据
4
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
=
+
=
△
△
四边形
可得
4
AE =
；
证明ACH
是等腰直角三角形，得到
45
AHC
=
，AC
AH
=
，再证明
AEH
AEC
△
，△
都是等腰直角三角形，
得到
4
HE
AE
CE
=
=
=
，则
8
CH
HE
CE
=
+
=
；证明
(
)
ASA
GAH
DAC
≌
，得到CD
HG
=
，AD
AG
=
，
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则
6
BG
CH
BC
HG
=
−
−
=
；作点B 关于AF 的对称点M，连接AM
GM
，
，可证明AE
AF
⊥
，由轴对称的
性质可得
2
8
BM
AE
=
=
，AM
AB
=
，则当A、M、G 三点共线时，AM
AG
+
有最小值，即此时
+
AB
AD 有最
小值，最小值为MG 的长，在Rt BMG
中，由勾股定理得
2
2
10
MG
BG
BM
=
+
=
，即
+
AB
AD 的最小值为
10，
【详解】解：如图所示，过点A 作AE
CB
⊥
交CB 延长线于E，AF
CD
⊥
交CD延长线于F，AH
AC
⊥
交CB
延长线于H，AG
AD
⊥
交CB 延长线于G，
∵
90
BCD
=
，AC 平分
BCD
，
∴
1
45
2
ACB
ACD
BCD
=
=
=
；
∵AE
CB
⊥
，AF
CD
⊥
，且
90
BCD
=
，
∴四边形AECF 是矩形，
45
EAC
ECA
=
=
，
∴EA
EC
=
，
∴矩形AECF 是正方形，
∴AE
AF
=
；
∵
4
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
=
+
=
△
△
四边形
，
∴1
1
4
2
2
BC AE
CD AF
+
=
，
∴
8
BC AE
CD AE
+
=
，
∴
(
)
8
AE BC
CD
+
=
，
∵
2
BC
CD
+
= ，
∴
4
AE =
；
∵AH
AC
⊥
，AG
AD
⊥
，
∴
90
CAH
DAG
=
=
∠
∠
，
∴
CAH
CAG
DAG
CAG
−
=
−
∠
∠
∠
∠
，
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∴
GAH
DAC
=
∠
∠
；
∵
90
45
CAH
ACH
=
=
∠
，∠
，
∴ACH
是等腰直角三角形，
∴
45
AHC
=
，AC
AH
=
，
又∵AE
CH
⊥
，
∴
AEH
AEC
△
，△
都是等腰直角三角形，
∴
4
HE
AE
CE
=
=
=
，
∴
8
CH
HE
CE
=
+
=
；
在GAH
和
DAC
△
中，
45
GAH
DAC
AH
AC
H
ACD
=
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
GAH
DAC
≌
，
∴CD
HG
=
，AD
AG
=
，
∴
2
BC
HG
BC
CD
+
=
+
=
，
∴
6
BG
CH
BC
HG
=
−
−
=
；
如图所示，作点B 关于AF 的对称点M，连接AM
GM
，
，
∵
90
BCD
AF
CD
=
∠
，
⊥
，
∴AF
BC
∥
，
∵AE
BC
⊥
，
∴AE
AF
⊥
，
由轴对称的性质可得
2
8
BM
AE
=
=
，AM
AB
=
，
∴AB
AD
AM
AG
+
=
+
，
∴当A、M、G 三点共线时，AM
AG
+
有最小值，即此时
+
AB
AD 有最小值，最小值为MG 的长，
在Rt BMG
中，由勾股定理得
2
2
10
MG
BG
BM
=
+
=
，
∴
+
AB
AD 的最小值为10，
故答案为：10．
5．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）如图，
30
AOB
=
，点C 在OA 上，且
2
OC =
，P 和Q 分别是OB 和
OA 上的动点，则CP
PQ
+
长度的最小值是 ．
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111 /
【答案】
3
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．过点C 作点C 关于射线OB
的对称点D，连接
,
OD CD 交射线OB 于点E，点D 作DQ
OA
⊥
于点Q，交射线OB 于点P，连接CP ，根据
轴对称的性质可得
90
,
,
,
=
=
=
=
=
OD
OC DE
CE
CEO
DEO
PC
PD ，
30
DOE
AOB
=
=
，从而得到
COD
△
为等边三角形，当点D、P、Q 三点共线时，CP
PQ
+
取最小值，当DQ
OA
⊥
时，CP
PQ
+
取最小值，最小
值为DQ 的长，再结合勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示，过点C 作点C 关于射线OB 的对称点D，连接
,
OD CD 交射线OB 于点E，点D 作
DQ
OA
⊥
于点Q，交射线OB 于点P，连接CP ，
∴
90
,
,
,
=
=
=
=
=
OD
OC DE
CE
CEO
DEO
PC
PD ，
30
DOE
AOB
=
=
，
∴
60
COD
DOE
AOB
=
+
=
，
∴
COD
△
为等边三角形，
+
=
+
CP
PQ
DP
PQ
DQ ，
∴当点D、P、Q 三点共线时，CP
PQ
+
取最小值，又点P，Q 均为动点，∴当DQ
OA
⊥
时，CP
PQ
+
取最小
值，最小值为DQ 的长，∵
COD
△
为等边三角形，
∴
1
2,
1
2
OD
OC
OQ
OC
=
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
1
3
DQ
OD
OQ
=
−
=
−
=
，
即CP
PQ
+
的最小值为
3 ．
故答案为：
3
6．（24-25 八年级下·四川成都·期中）如图，
ABC
为等边三角形，点D 和点E 分别在AC 和BC 边上，连
接AE
BD
，
交于点F．如图1，当
=
AD
CE ，
30
CFE
=
时，BF
AF = ；如图2，当
2
AD
CE
=
时，DE
BD 的
最小值为 ．
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【答案】 1
2
3
1
2
−
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定、旋转变换及三角形三边关系。掌握利用旋
转变换转化线段关系及结合三边关系求最值是解题的关键．解题时先证明
(
)
SAS
ABD
CAE
≌
△
△
得到
ABD
CAE
=
，再在BF 上截取BH
AF
=
，连接AH ，证明
(
)
SAS
ABH
ACF
≌
△
△
，得到
BAH
ACF
=
，
进而证得AF
HF
=
，则
2
2
BF
BH
AF
=
=
，即可求出
1
2
AF
BF =
； 第二空过点B 作BN
AC
⊥
，过点D 作
DM
BC
⊥
，先设出线段长度表示相关边，再建立
2
DE
BD
的代数式，并求出其最小值即可．
【详解】解：∵
ABC
为等边三角形，
∴
60
AB
AC
BAC
C
=
=
=
，
，
∵
=
AD
CE ，
∴
(
)
SAS
ABD
CAE
≌
△
△
，
∴
ABD
CAE
=
，
∴
60
BFE
ABD
BAF
CAE
BAF
BAC
=
+
=
+
=
=
；
在BF 上截取BH
AF
=
，连接AH ，
∵AB
AC
ABD
CAE
=
=
，
，
∴
(
)
SAS
ABH
CAF
≌
，
∴
BHA
AFC
=
，
180
BHA
AHF
AFC
EFC
+
=
+
=
，
∴
30
AHF
EFC
=
=
，
∵
60
AHF
HAF
BFE
+
=
=
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∴
30
HAF
AHF
=
=
，
∴AF
HF
=
，
∴
2
2
BF
BH
AF
=
=
，
∴
1
2
AF
BF =
；
如图，过点B 作BN
AC
⊥
，过点D 作DM
BC
⊥
，
设等边
ABC
的边长为a，CE
x
=
，
∵
2
AD
CE
=
，
∴
2
AD
x
=
，
∴
2
CD
AC
AD
a
x
=
−
=
−
，
(
)
(
)
1
3
2
,
2
2
2
CM
a
x
DM
a
x
=
−
=
−
，
1
2
2
EM
x
a
=
−
，
等边
ABC
中，BN
AC
⊥
，
1
1
3
,
2
2
2
AN
AC
a BN
a
=
=
=
，
1
2
2
DN
x
a
=
−
，
(
)
2
2
2
2
2
3
1
2
2
5
7
4
2
DE
a
x
x
a
a
ax
x
=
−
+
−
=
−
+
，
2
2
2
2
2
3
1
2
2
4
4
2
BD
a
x
a
a
ax
x
=
+
−
=
−
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
3
5
7
1
1
1
2
4
3
3
x a
x
DE
a
ax
x
x
a
x
BD
a
ax
x
x
a
x
a
x
x
−
−
+
=
= −
= −
−
−
+
+
−
+
−
，
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2
2
0
3
3
3
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
−
−
−
+
−
=
−
−
−
−
，
2 3
2
3
3
3
x
a
x
x
a
x
a
x
x
a
x
x
−
−
+
=
−
−
，
2
DE
BD
的最小值为
1
3
1
1
2
2 3
3
−
= −
，
DE
BD
的最小值为
3
3
1
1
2
2
−
−
=
，
故答案为：1
2 ；
3
1
2
−．
题型二：利用勾股定理求线段平方和差问题
1．
（23-24 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC
BD
⊥
，相交于点O．若
3
6
AB
CD
=
=
，
则
2
2
AD
BC
+
= ．
【答案】40
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
AD
BC
AO
DO
BO
CO
AB
CD
+
=
+
+
+
=
+
，进
而可得到结论．
【详解】解：∵
3
6
AB
CD
=
=
，
∴
2
CD = ，
∵AC
BD
⊥
，
∴
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
AD
BC
AO
DO
BO
CO
+
=
+
+
+
(
) (
)
2
2
2
2
AO
BO
DO
CO
=
+
+
+
2
2
AB
CD
=
+
2
2
6
2
=
+
40
=
．
故答案为：40．
2．（24-25 八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角
AOB
，等腰直角
COD
△
，
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90 ,
3,
4
AOB
COD
AO
CO
=
=
=
=
，连接
,
AD BC 相交于点M，则
2
2
AC
BD
+
= ．
【答案】50
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明
AOD
BOC
≌
△
△
是解题的关键．设BC 交OA于点F，由等腰直角三角形的性质得
3
AO
BO
=
=
，
4
DO
CO
=
=
，
90
AOB
COD
=
=
，可证明
AOD
BOC
=
，求得
2
2
2
18
AB
AO
BO
=
+
=
，
2
2
2
32
CD
DO
CO
=
+
=
，再证明
△
AOD
BOC
≌
△
△
，得
OAD
OBC
=
，则
90
AMC
OAD
AFM
OBC
BFO
=
+
=
+
=
，推导出
2
2
2
2
2
2
2
2
AC
BD
AB
CD
AM
BM
CM
DM
+
=
+
=
+
+
+
，求得
2
2
2
2
50
AC
BD
AB
CD
+
=
+
=
，于是得到问题的答
案．
【详解】解：设BC 交OA于点F，
∵
AOB
和
COD
△
都是等腰直角三角形，
90
AOB
COD
=
=
，
3
AO = ，
4
CO = ，
∴
3
AO
BO
=
=
，
4
DO
CO
=
=
，
90
AOD
BOC
AOC
=
=
+
，
∴
2
2
2
2
2
3
3
18
AB
AO
BO
=
+
=
+
=
，
2
2
2
2
2
4
4
32
CD
DO
CO
=
+
=
+
=
，
在
AOD
△
和BOC
中，
AO
BO
AOD
BOC
DO
CO
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AOD
BOC
≌
，
∴
OAD
OBC
=
，
∵
AFM
BFO
=
，
∴
90
AMC
OAD
AFM
OBC
BFO
=
+
=
+
=
，
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∴
90
BMD
AMB
CMD
=
=
=
，
∵
2
2
2
AC
AM
CM
=
+
，
2
2
2
BD
BM
DM
=
+
，
2
2
2
AB
AM
BM
=
+
，
2
2
2
CD
CM
DM
=
+
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
AC
BD
AB
CD
AM
BM
CM
DM
+
=
+
=
+
+
+
，
∴
2
2
2
2
18
32
50
AC
BD
AB
CD
+
=
+
=
+
=
，
故答案为：50．
3．（24-25 八年级下·全国·单元测试）定义：如图，点
,
M N 把线段AB 分割成
,
AM MN 和BN 三条线段，若
以线段
,
,
AM MN BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点
,
M N 是线段AB 的勾股分割点．已知点
,
M N 是
线段AB 的勾股分割点，若
2,
3
AM
MN
=
= ，则
2
BN = ．
【答案】5 或13
【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解
决问题的关键．分两种情况：①当MN 为最大线段时，由勾股定理求出BN ；②当BN 为最大线段时，由勾
股定理求出BN 即可．
【详解】解：分两种情况：
①当MN 为最大线段时，
∵点M
N
、
是线段AB 的勾股分割点，
2
2
2
2
2
3
2
5
BN
MN
AM
=
−
=
−
=
；
②当BN 为最大线段时，
∵点M
N
、
是线段AB 的勾股分割点，
2
2
2
2
2
3
2
13
BN
MN
AM
=
+
=
+
=
；
综上所述：BN 的长为5 或13．
故答案为：5 或13．
4．（23-24 八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”
四边形ABCD，对角线AC
BD
，
交于点O，若
3
AD = ，
8
BC = ，则
2
2
AB
CD
+
= ．
【答案】73
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【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在Rt
COB
△
和Rt AOB
中，根据勾股定理得
2
2
2
2
2
2
BO
CO
CB
OD
OA
AD
+
=
+
=
，
，进一步得
2
2
2
2
64
9
73
BO
CO
OD
OA
+
+
+
=
+
=
，再根据
2
2
2
2
2
2
AB
BO
AO
CD
OC
OD
=
+
=
+
，
，然后根据等量代换即可
解答．
【详解】解：∵BD
AC
⊥
，
∴
90
COB
AOB
AOD
COD
=
=
=
=
，
在Rt
COB
△
和Rt AOB
中，根据勾股定理得：
2
2
2
2
2
2
BO
CO
CB
OD
OA
AD
+
=
+
=
，
，
∴
2
2
2
2
2
2
64
9
73
CB
AD
BO
CO
OD
OA
+
=
+
+
+
=
+
=
，
∵
2
2
2
2
2
2
AB
BO
AO
CD
OC
OD
=
+
=
+
，
，
∴
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
73
AB
CD
BO
AO
OC
OD
BO
OD
AO
OC
CB
AD
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
.
故答案为：73．
5．（23-24 八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E，交AB 于
点F，D 是线段CE 上一点，且满足条件：CD
DE
=
，
90
ADC
=
．若
36
B
=
，
5
3
AB =
+ ，
5
1
AC =
+
，
则
2
AD = ．
【答案】2 5
5
+
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段
的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到EA
EB
=
，根据等腰三角形的性质得到
36
EAB
B
= =
，证明
5 1
BE
AE
AC
=
=
=
+ ，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论．
【详解】解：连接AE ，
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EF
是AB 的垂直平分线，
EA
EB
=
，
36
EAB
B
= =
，
72
AEC
EAB
B
=
+=
，
ED
DC
=
，
90
ADC
=
，
5 1
AE
AC
=
=
+ ，
72
C
AEC
=
=
，
180
36
72
72
BAC
=
−
−
=
，
BAC
C
=
，
5
3
BC
AB
=
=
+ ，
2
EC
BC
BE
=
−
= ，
1
CD
ED
=
= ，
(
)
2
2
2
2
2
5
1
1
2 5
5
AD
AC
CD
=
−
=
+
−
=
+
，
故答案为：2 5
5
+
．
6．
（24-25 八年级下·山西大同·期末）如图，ABC
和ECD
都是等腰直角三角形，
5
2
CA
CB
=
=
，
3
CE
CD
=
= ，
ABC
的顶点A 在ECD
的斜边DE 上，则
2
2
AE
AD
+
的值为 ．
【答案】25
2
【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
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因为
ABC
和ECD
都是等腰直角三角形，
5
2
CA
CB
=
=
，
3
CE
CD
=
=
,
45
ACB
ECD
E
ADC
CAB
ABC
=
=
=
=
=
90
=
=
ACB
ECD
ACB
ACD
ECD
ACD
−
=
−
即
ACE
BCD
=
,
AC
BC EC
DC
=
=
ACE
BCD
≌
,
45
AE
BD
AEC
BDC
=
=
=
90
ADB
ADC
BDC
=
+
=
故
2
2
2
2
2
2
2
2
5
25
2
2
2
AE
AD
BD
AD
AB
AC
BC
+
=
+
=
=
+
=
=
故答案为：25
2
题型三：勾股定理证明和差关系（解答题）
1．
（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）如图，ABC
和ECD
都是等腰直角三角形，
90
ACB
ECD
=
=
，ECD
的顶点D 是
ACB
△
的斜边AB 上的点，连接AE ．
(1)求
EAC
的度数；
(2)求证：
2
2
2
2
AD
BD
CD
+
=
(3)若
3
BD
AD
=
，请直接写出EC
BD 的值．
【答案】(1)45
(2)见解析
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(3)
5
3
EC
BD =
【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质
与判定是解题的关键；
（1）证明
(
)
SAS
AEC
BDC
≌
，得出
45
EAC
ABC
=
=
即可求解；
（2）根据（1）的结论，推出
90
EAD
=
，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）设
3
3
BD
AE
AD
a
=
=
=
，则
4
AB
a
=
，利用勾股定理列式进行求解即可．
【详解】（1）解：
ACB
与ECD
都是等腰直角三角形，
90
45
ECD
ACB
CED
EDC
ABC
CAB
=
=
=
=
=
=
，
，
EC
DC
AC
BC
=
=
，
，
ECD
ACD
ACB
ACD
−
=
−
，
ACE
BCD
=
．
AEC
BDC
≌
(
)
SAS ．
45
AE
BD
EAC
ABC
=
=
=
，
；
（2）证明：
45
45
CAB
EAC
=
=
，
，
90
EAC
CAB
+
=
，
即
90
EAD
=
．
2
2
2
AD
AE
DE
+
=
，
在ECD
中，
2
2
2
CD
CE
DE
+
=
，
2
2
2CD
DE
=
，即
2
2
2
2
AD
BD
CD
+
=
；
（3）解：设
3
3
BD
AE
AD
a
=
=
=
，则
4
AB
a
=
，
2
2
2
2
AD
BD
CD
+
=
，即
(
)
2
2
2
3
2
a
a
CD
+
=
，
解得
5
CD
EC
a
=
=
．
5
3
EC
BD
=
．
2．（24-25 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图1，
ACB
△
和ECD
都是等腰直角三角形，CA
CB
=
，
CE
CD
=
，
90
ACB
ECD
=
=
，
ACB
△
的顶点A 在ECD
的斜边DE 上．
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(1)线段AB 与线段AC 的数量关系为：______．
(2)在（1）的条件下，求证：
2
2
2
2
AE
AD
AC
=
+
；
(3)如图2，若
2
AE =
，
2 5
AC =
，点F 是AD的中点，请直接写出CF 的长．
【答案】(1)
2
AB
AC
=
(2)见解析
(3) 17
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形
的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据ACB
是等腰直角三角形，CA ＝CB ，根据勾股定理，即可求解；
（2）由“SAS”可证ECA
DCB
≌
，可得AE
BD
=
，
45
CEA
CDB
=
=
，由勾股定理可求解；
（3）过点C 作CH
DE
⊥
于H ，由勾股定理可求AD的长，由等腰直角三角形的性质可得
4
CH
DH
EH
=
=
=
，
可求HF 的长，由勾股定理可求CF 的长．
【详解】（1）证明：
ACB
是等腰直角三角形，CA
CB
=
，
∴
2
2
2
AB
AC
=
，
∴
2
AB
AC
=
故答案为：
2
AB
AC
=
．
（2）
ACB
和ECD
都是等腰直角三角形，CA
CB
=
，CE
CD
=
，
90
ECA
ACD
ACD
DCB
+
=
+
=
，
45
CEA
CDE
=
=
，
45
CAB
CBA
=
=
，
ECA
DCB
=
，
连接BD，如图1所示：
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122 /
在ECA
和DCB
中，
CE
CD
ECA
DCB
AC
BC
=
=
=
，
(
)
SAS
ECA
DCB
≌
，
AE
BD
=
，
45
CEA
CDB
=
=
，
90
ADB
CDB
EDC
=
+
=
，
ADB
是直角三角形，
2
2
2
AD
BD
AB
+
=
，
2
2
2
AD
AE
AB
+
=
，
2
2
2
2
AE
AD
AC
+
=
；
（3）解：过点C 作CH
DE
⊥
于H ，如图2 所示：
2
2
2
2
AE
AD
AC
+
=
，
2
AE =
，
2 5
AC =
，
6
AD
=
，
8
DE
AE
AD
=
+
=
，
点F 是AD的中点，
3
AF
DF
=
= ，
ECD
是等腰直角三角形，CH
DE
⊥
，
8
DE =
，
4
CH
DH
EH
=
=
=
，
1
HF
DH
DF
=
−
= ，
CF
=
2
2
2
2
7
4
1
1
CH
HF
+
+
=
=
．
3．（24-25 八年级上·上海松江·期末）已知：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，CA
CB
=
．点D 、E 在线段AB
上．
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(1)如图1，如果CD
CE
=
，求证：AD
BE
=
．
(2)如图2，如果
45
DCE
=
，求证：
2
2
2
DE
AD
BE
=
+
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，过点C 作CF
AB
⊥
于F，利用三线合一定理得到AF
BF
DF
EF
=
=
，
，由此即可
证明AD
BE
=
；
（2）如图所示，将ACD
绕点C 沿逆时针方向旋转90得到
BCF
，连接EF ，则BF
AD
=
，证明
FCE
DCE
△
≌△
，得FE
DE
=
，再证明
90
EBF
=
，则
2
2
2
FE
BF
BE
+
=
，即可证得
2
2
2
DE
AD
BE
=
+
．
【详解】（1）证明：如图所示，过点C 作CF
AB
⊥
于F，
∵CA
CB
=
，CD
CE
=
，
∴AF
BF
DF
EF
=
=
，
，
∴AF
DF
BF
EF
−
=
−
，
∴AD
BE
=
；
（2）证明：如图所示，将ACD
绕点C 沿逆时针方向旋转90得到BCF
，连接EF ，
∵
90
ACB
CA
CB
=
=
，
，
∴
45
CBA
A
= =
，
由旋转得
45
CF
CD
CBF
CAD
ACD
BCF
=
=
=
=
，∠
∠
，∠
∠
，
∵
45
DCE
=
，
∴
90
45
45
FCE
BCF
BCE
ACD
BCE
=
+
=
+
=
−
=
，
∴
FCE
DCE
=
，
∵CE
CE
=
，
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∴
(
)
SAS
FCE
DCE
≌
，
∴FE
DE
=
，
∵
45
CBF
A
CBA
= =
=
，
∴
90
EBF
=
，
∴
2
2
2
FE
BF
BE
+
=
，
∵BF
AD
=
，
∴
2
2
2
DE
AD
BE
=
+
．
4．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，AB
BC
=
，
90
ABC
=
，点P 是斜边AC
上的动点，点E 在直线BC 上，满足PB
PE
=
，EQ
AC
⊥
于点Q ，设
PBE
=
．
(1)当45
90
时，求
EPQ
的度数（用含有的代数式表示）．
(2)当45
90
时，请用一个等式表示线段PQ 与AC 之间的数量关系，并说明理由．
(3)当0
90
时，请用一个等式直接写出线段AP ，PE，EC 之间的数量关系．
【答案】(1)
45
−
(2)
1
2
PQ
AC
=
(3)当0
45
时，
2
2
2
2
PE
AP
EC
AP EC
=
+
−
；当45
90
时，
2
2
2
2
PE
AP
EC
AP EC
=
+
+
【分析】（1）根据等边对等角可得
P
PEB
BE
=
=
，
45
ACB
=
，进而根据三角形的外角的性质得出
45
EPQ
PEB
ACB
=
−
=
−
；
（2）过点E 作EF
BC
⊥
交BP的延长线于点F ，交AC 于点D ，根据平行线的性质以及余角的定义得出
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125 /
F
PEF
=
，则PE
PF
=
，等量代换得出PB
PF
=
，证明
(
)
AAS
APB
DPF
≌
得出AP
PD
=
，进而根据
CDE
是等腰直角三角形，EQ
AC
⊥
得出DQ
QC
=
，即可得证；
（3）当45
90
时，由（2）可得CDE
是等腰直角三角形，PQ
AP
QC
=
+
，根据等腰直角三角形的
性质，勾股定理可得
2
2
EQ
QC
b
=
=
，
2
2
PQ
a
b
=
+
，在Rt
PQE
△
中，勾股定理得出关系式；当0
45
时，先证明PQ
AP
QC
=
−
，同理可得AP ，PE，EC 之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵PB
PE
=
，
PBE
=
，
∴
P
PEB
BE
=
=
，
∵在Rt
ABC
△
中，AB
BC
=
，
90
ABC
=
，
∴
45
ACB
=
，
∵
PEB
是PEC
的一个外角，
∴
45
EPQ
PEB
ACB
=
−
=
−
；
（2）解：如图所示，过点E 作EF
BC
⊥
交BP的延长线于点F ，交AC 于点D ，
∵
90
ABC
=
，即AB
BC
⊥
，
∴AB
EF
∥
，
∴
90
F
ABP
=
=
−
，
又∵
P
PEB
BE
=
=
，
∴
90
PEF
=
−
，
∴
F
PEF
=
，
∴PE
PF
=
，
又∵PE
PB
=
，
∴PB
PF
=
，
在
,
APB
DPF
中，
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126 /
APB
DPF
F
ABP
BP
FP
=
=
=
∴
(
)
AAS
APB
DPF
≌
，
∴AP
PD
=
，
∵
,
45
EF
BC
ACB
⊥
=
，
∴CDE
是等腰直角三角形，
又∵EQ
AC
⊥
，
∴DQ
QC
=
，
∴PQ
PD
DQ
AP
QC
=
+
=
+
，
∵AC
PQ
AP
QC
=
+
+
，
∴
1
2
PQ
AC
=
；
（3）解：当45
90
时，
如图所示，
设AP
a
=
，EC
b
=
，
由（2）可得CDE
是等腰直角三角形，PQ
AP
QC
=
+
，
∴
2
2
EQ
QC
b
=
=
，
2
2
PQ
a
b
=
+
，
在Rt
PQE
△
中，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
PE
PQ
QE
a
b
b
a
ab
b
=
+
=
+
+
=
+
+
，
∴
2
2
2
2
PE
AP
EC
AP EC
=
+
+
当0
45
时，如图所示，过点B 作BM
AC
⊥
于点M ，
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127 /
∵PB
PE
=
，
PBE
=
，
∴
P
PEB
BE
=
=
，
∵
ABC
是等腰直角三角形，
∴
1
2
AM
MC
AC
=
=
，
45
MBC
=
，
∴
45
MBP
=
−
，
∵
45
ECQ
ACB
=
=
，EQ
AC
⊥
，
∴
CQE
△
是等腰直角三角形，
∴CQ
QE
=
，
45
ECQ
PEC
QPE
QPE
=
=
+
=
+
，
∴
45
QPE
=
−
，
∴
QPE
MBP
=
,
又∵
90
BMP
PQE
=
=
，PB
PE
=
，
∴
(
)
AAS
BMP
PQE
≌
，
∴MP
QE
CQ
=
=
，
∴
1
2
PQ
MQ
MP
MQ
CQ
MC
AC
=
−
=
−
=
=
，
∴AP
AM
MP
PQ
CQ
=
+
=
+
，即PQ
AP
QC
=
−
，
设AP
m
=
，EC
n
= ，
∴
2
2
EQ
QC
n
=
=
，
2
2
PQ
m
n
=
−
，
在Rt
PQE
△
中，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
PE
PQ
QE
m
n
n
m
mn
n
=
+
=
−
+
=
−
+
，
∴
2
2
2
2
PE
AP
EC
AP EC
=
+
−
，
当
45
=
时，
0
CE =
，等式仍然成立，
∴当0
45
时，
2
2
2
2
PE
AP
EC
AP EC
=
+
−
，
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128 /
综上所述，当0
45
时，
2
2
2
2
PE
AP
EC
AP EC
=
+
−
；当45
90
时，
2
2
2
2
PE
AP
EC
AP EC
=
+
+
．
5．（24-25 八年级上·江苏苏州·期中）如图，Rt
ABC
△
中，
90
A
=
．
(1)图1 中，若
7
AB =
，
24
AC =
，则BC 边上的高AD的长为______；
(2)在图2 中尺规作图：在线段AC 上找一点P，使得
2
2
2
PC
PA
AB
−
=
，画出点P 的位置并说明理由．
【答案】(1)168
25
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理．
（1）由勾股定理得，
2
2
25
BC
AB
AC
=
+
=
，根据
1
1
2
2
ABC
S
AB AC
BC AD
=
=
，可得答案；
（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，交AC 于点P，连接BP，由线段垂直平分线的性质可得BP
CP
=
，在
Rt ABP
中，由勾股定理得，
2
2
2
BP
PA
AB
−
=
，即可得
2
2
2
PC
PA
AB
−
=
，可知点P 即为所求．
【详解】（1）解：∵
90
A
=
，
7
AB =
，
24
AC =
，
∴
2
2
2
2
7
24
25
BC
AB
AC
=
+
=
+
=
，
∵
1
1
2
2
ABC
S
AB AC
BC AD
=
=
，
∴1
1
7 24
25
2
2
AD
=
，
∴
168
25
AD =
．
故答案为：168
25 ；
（2）解：如图2，作线段BC 的垂直平分线MN ，交AC 于点P，连接BP，
则点P 即为所求，理由如下：
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∵直线MN 为线段段BC 的垂直平分线，
∴BP
CP
=
，
在Rt ABP
中，由勾股定理得，
2
2
2
BP
PA
AB
−
=
，
∴
2
2
2
PC
PA
AB
−
=
，
即点P 符合题意．
6．（24-25 八年级上·山东青岛·期中）（1）问题①：如图1，长方形ABCD中，AB
CD
=
，AD
BC
=
，
90
ABC
BCD
CDA
DAB
=
=
=
=
，则AC 与BD的数量关系是________．
②如图2，P 是长方形ABCD内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现
2
2
AP
CP
+
与
2
2
BP
DP
+
的数量关系为________．
（2）探究：如图3，P 是长方形ABCD外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
（3）应用结论：如图4，在ADC
中，
5
DA = ，
12
CD =
，B 是
ADC
△
内一点，且
3
DB =
，
90
ABC
=
，
则AC 的最小值= ________．
【答案】（1）①AC
BD
=
；②
2
2
2
2
AP
CP
BP
DP
+
=
+
；（2）成立，理由见解析；（3）4 10
3
−
【分析】本题是勾股定理证明平方关系．
（1）①由勾股定理可得
2
2
2
AC
AD
DC
=
+
，
2
2
2
BD
AD
AB
=
+
，再结合AB
CD
=
，即可得出结论；
②过P 作PM
AD
⊥
于M ，交BC 于N ，则四边形ABNM 、四边形DCNM 是长方形，得AM
BN
=
，
AB
MN
DC
=
=
，DM
CN
=
，再由勾股定理即可得出结论；
（2）过P 作PM
AD
⊥
于M ，交BC 于N ，则四边形ABNM 、四边形DCNM 是长方形，得AM
BN
=
，
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AB
MN
DC
=
=
，DM
CN
=
，再由勾股定理即可得出结论；
（3）以AD、BD为边作长方形ADBE ，连接CE 、DE ，则AB
DE
=
，由探究得：
2
2
2
2
+
=
+
CD
CE
CA
CB ，
求出
4 6
CE =
，当C 、D 、E 三点共线时，DE 最小，即可得出结论．
【详解】解：（1）①∵
90
ABC
BCD
CDA
DAB
=
=
=
=
，
∴
2
2
2
AC
AD
DC
=
+
，
2
2
2
BD
AD
AB
=
+
，
∵AB
CD
=
，
∴
2
2
AC
BD
=
，
∴AC
BD
=
，
故答案为：AC
BD
=
；
②如图，过P 作PM
AD
⊥
于M ，交BC 于N ，
则四边形ABNM 、四边形DCNM 是长方形，
AM
BN
=
，AB
MN
DC
=
=
，DM
CN
=
，
由勾股定理得：
2
2
2
AP
AM
PM
=
+
，
2
2
2
CP
CN
PN
=
+
，
2
2
2
BP
BN
PN
=
+
，
2
2
2
DP
DM
PM
=
+
，
2
2
2
2
2
2
AP
CP
AM
PM
CN
PN
+
=
+
+
+
，
2
2
2
2
2
2
BP
DP
BN
PN
DM
PM
+
=
+
+
+
，
2
2
2
2
AP
CP
BP
DP
+
=
+
，
故答案为：
2
2
2
2
AP
CP
BP
DP
+
=
+
；
（2）成立，理由如下：
如图，过P 作PM
AD
⊥
于M ，交BC 于N ，
则四边形ABNM 、四边形DCNM 是长方形，
AM
BN
=
，AB
MN
DC
=
=
，DM
CN
=
，
由勾股定理得：
2
2
2
AP
AM
PM
=
+
，
2
2
2
CP
CN
PN
=
+
，
2
2
2
BP
BN
PN
=
+
，
2
2
2
DP
DM
PM
=
+
，
2
2
2
2
2
2
AP
CP
AM
PM
CN
PN
+
=
+
+
+
，
2
2
2
2
2
2
BP
DP
BN
PN
DM
PM
+
=
+
+
+
，
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2
2
2
2
AP
CP
BP
DP
+
=
+
；
（3）如图，以AB 、BC 为边作长方形ABCE，连接BE 、DE ，
由（1）中规律可得AC
BE
=
，
由（2）得：
2
2
2
2
BD
DE
DA
DC
+
=
+
，
∵
5
DA = ，
12
CD =
，
3
DB =
，
∴
2
2
2
2
3
5
12
DE
+
=
+
，
解得：
4 10
DE =
，
当B 、D、E 三点共线时，BE 最小，
∴AC 的最小值
BE
=
的最小值
4 10
3
DE
DB
=
−
=
−，
故答案为：4 10
3
−．
题型四：勾股定理证明（解答题）
1．（24-25 七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为
a 和b ，斜边长为c ；图②是以c 为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾
股定理的图形．
(1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形验证勾股定理．
(3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形
吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）．
【答案】(1)图形见解析，直角梯形
(2)验证见解析
(3)能，拼图见解析
【分析】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．
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132 /
（1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形；
（2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证；
（3）将4 个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案．
【详解】（1）解：示意图如图①所示，
则它是一个直角梯形；
（2）解：如图所示：
AED
ECD
CEB
ABCD
S
S
S
S
=
+
+
△
△
△
梯形
，
2
1
1
1
1
(
)(
)
2
2
2
2
a
b a
b
ab
c
ab
+
+
=
+
+
，
即
2
2
(
)
2
a
b
ab
c
+
=
+
，
则
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的
图形，将4 个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示：
．
2．（24-25 八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们
对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在
1994 年构造发现了一个简洁优美的新证法．
【证法再现】
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133 /
如图，把两个全等的直角三角形DAE
和
ABC
如图1 放置，其三边长分别为a，b，c．显然，
90
DAB
B
= =
，
AC
DE
⊥
．请用a，b，c 分别表示出梯形ABCD，EBC
．四边形AECD 的面积：
ABCD
S
=
梯形
______，
EBC
S
=
△
______，
AECD
S
=
四边形
______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程；
【知识运用】
如图2，河道上A，B 两点(看作直线上的两点)相距160 米，C，D 为两个菜园(看作两个点)，AD
AB
⊥
，BC
AB
⊥
，
垂足分别为A，B，
70
AD =
米，
50
BC =
米，现在菜农要在AB 上确定一个抽水点P，使得抽水点P 到两个
菜园C，D 的距离和最短．
(1)请在图2 中确定点P 的位置，并说明理由；
(2)该最短距离和为多少米？
【答案】证法再现：
(
)
1
2 a a
b
+
，
(
)
1
2b a
b
−
，
2
1
2 c 证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200 米
【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理
常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
知识运用：（1）作点C 关于AB 的对称点F，连接DF 交AB 于点P，连接PC ，点P 即为所求．
（2）运用勾股定理求出DF ，就是代数式PC
PD
+
的最小值，
【详解】证法再现：由题意，
(
)
1
2
ABCD
S
a a
b
=
+
四边形
，
(
)
1
2
BEC
S
b a
b
=
−
，
2
1
2
EBC
AECD
ABCD
S
S
S
c
=
−
=
四边形
四边形
．
满足关系式：
(
)
(
)
2
1
1
1
2
2
2
a a
b
b a
b
c
+
−
−
=
．
整理得：
2
2
2
a
b
c
+
=
；
故答案为：
(
)
1
2 a a
b
+
，
(
)
1
2 b a
b
−
，
2
1
2 c ．
知识运用：(1)作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF ，PC ，
,
PD PF ，如图．
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∴PF
PC
=
又PD
PF
DF
+
,
当
,
,
D P F 三点共线时，PD
PF
+
的最小值为DF ，
PC
PD
+
的最小值为DF ，此时点P 到两个菜园C，D 的距离和最短．
（2）作DE
BC
⊥
交BC 的延长线于E．
在Rt
DEF
△
中，∵
160
DE
AB
=
=
米，
120
EF
AD
BC
=
+
=
米，
∴
2
2
200
DF
DE
EF
=
+
=
（米）．
故答案为：200．
2．（24-25 八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有
独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别
为a，b（a
b
），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：
2
2
2
a
b
c
+
=
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(
)
2
a
b
+
的值．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确, ,
a b c 与面积的关系．
（1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可；
（2）由图可得到
2
(
)
3
a
b
−
= 和
2
2
13
a
b
+
=
的值，进而求出2
10
ab =
，代入
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，即可得到
结论．
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【详解】（1）证明：∵大正方形面积为
2
c ，直角三角形面积为2ab，小正方形面积为(
)
2
b
a
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
1
4
2
2
2
c
ab
a
b
ab
a
ab
b
=
+
−
=
+
−
+
∴
2
2
2
c
a
b
=
+
．
（2）解：大正方形面积为13，
2
13
c
=
，
2
2
2
a
b
c
+
=
，
2
2
13
a
b
+
=
，
又小正方形面积为3，
2
(
)
3
a
b
−
= ，
2
2
2
3
a
ab
b
−
+
= ，
2
10
ab
=
，
2
2
2
(
)
2
13 10
23
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
=
+
=
．
3．（24-25 八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了
勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
．请写出证明过程．
【类比迁移】
（2）现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若
3
a = ，
4
b =
，则空白部分的面积为___________．
【能力提升】
（3）如图3，在
ABC
中，AD是BC 边上的高，
4
AB =
，
5
AC =
，
6
BC =
，设BD的长为x ，请求出x 的
值．
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【答案】（1）见解析；（2）13；（3）
9
4
x =
【分析】
（1）利用以c 为边的正方形和4 个直角三角形的面积和等于以边为(
)
a
b
+
的正方形的面积建立方程，
即可得出结论；
（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c 的正方形的面积−2 个直角三角形的面积可得答案；
（3）设BD的长为x ，则
6
CD
BC
BD
x
=
−
= −
，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为(
)
2
a
b
+
，
大的正方形的面积还可以表示为
2
2
1
4
2
2
c
ab
c
ab
+
=
+
∴(
)
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
∴
2
2
2
2
2
a
ab
b
c
ab
+
+
=
+
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）空白部分的面积= 边长为c 的正方形的面积2
−个直角三角形的面积
2
1
2
2
c
ab
=
−
，
∵
3
a = ，
4
b =
，
∴空白部分的面积
2
2
1
3
4
2
3 4
25 12
13
2
+
−
=
−
=
＝
；
（3）∵设BD的长为x ，则
6
CD
BC
BD
x
=
−
= −
∵AD是BC 边上的高
∴AD
BC
⊥
∴
2
2
2
2
AB
BD
AC
CD
−
=
−
∴
(
)
2
2
2
2
4
5
6
x
x
−
=
−
−
解得
9
4
x =
．
4．（24-25 八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个
非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理
的证明方法到现在为止有500 多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、
复数证明、面积证明等．
当两个全等的直角三角形按图1 或图2 摆放时，都可以用“面积法”来证明．
(1)以下是利用图1 证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：
将两个全等的直角三角形按图1 所示摆放，其中
90
DAB
=
，求证：
2
2
2
a
b
c
+
=
证明：连结BD，过点D 作BC 边上的高DF
BC
⊥
于点F ，则DF
EC
b
a
=
= −
．
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2
1
1
2
2
ACD
ABC
ADCB
S
S
S
b
ab
=
+
=
+
四边形
，
又
ADB
DCB
ADCB
S
S
S
=
+
=
四边形
______________________，
______________________
2
2
2
a
b
c
+
=
．
(2)请参照上述证明方法，利用图2 完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2 所示摆放，其中
90
DAB
=
，求证：
2
2
2
a
b
c
+
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明．
（1）根据证明过程结合图形即可解答；
（2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】（1）证明：连接BD，过点D 作BC 边上的高DF
BC
⊥
于点F ，则DF
EC
b
a
=
= −
．
∵
2
1
1
2
2
ACD
ABC
ADCB
S
S
S
b
ab
=
+
=
+
四边形
又∵
(
)
2
1
1
2
2
ABD
DCB
ADCB
S
S
S
c
a b
a
=
+
=
+
−
四边形
，
∴
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
b
ab
c
ab
a
+
=
+
−
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）证明：连接BD，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF
b
a
=
−
．
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∵
2
1
1
1
2
2
2
ACB
ABE
ADE
ACBED
S
S
S
S
ab
b
ab
=
+
+
=
+
+
五边形
又∵
(
)
2
1
1
1
2
2
2
ACB
ABD
BDE
ACBED
S
S
S
S
ab
c
a b
a
=
+
+
=
+
+
−
五边形
，
∴
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ab
b
ab
ab
c
a b
a
+
+
=
+
+
−
，
∴
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
ab
b
ab
ab
c
ab
a
+
+
=
+
+
−
，
∴
2
2
2
1
1
1
2
2
2
b
c
a
=
−
，
∴
2
2
2
b
c
a
=
−
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
．
5．（24-25 八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何
学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1 是著名的赵爽弦
图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，斜边为c ）拼成，用它可以验证勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）图2 为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，
斜边为c ）和直角边为c 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为a ，b ，斜边为c ，从上述两种方法中，任选一种方法证
明勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（ ）；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，该村为方
便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A ，H ，B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，现测得
1
CA =
千米，
2.1
=
AB
千米，
1.7
BC =
千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路CH 的
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139 /
长．
【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8 千米
【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用．
（1）在图1 中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简
即可证明；在图2 中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明．
（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；
（3）当CH
AB
⊥
时，CH 最小，能最大限度节省铺路的费用．设AH
x
=
千米，则
2.1
BH
AB
AH
x
=
−
=
−（千
米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答．
【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明：
∵
4
S
S
S
=
+
小正方形
大正方形
三角形
，
∴
(
)
2
2
1
4
2
c
ab
b
a
=
+
−
，
∴
2
2
2
c
a
b
=
+
．
根据“总统证法”进行证明：
∵
Rt
Rt
Rt
ADE
CDE
BCE
ABCD
S
S
S
S
=
+
+
梯形
，
∴(
)(
)
2
1
1
1
1
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
c
ab
+
+
=
+
+
，
∴
2
2
2
2
2
a
ab
b
c
ab
+
+
=
+
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
．
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．
故选：D
（3）当CH
AB
⊥
时，CH 最小，能最大限度节省铺路的费用．
设AH
x
=
千米，则
2.1
BH
AB
AH
x
=
−
=
−（千米）
∵CH
AB
⊥
，
∴在Rt ACH
中，
2
2
2
2
2
1
CH
AC
AH
x
=
−
=
−
，
在Rt
BCH
△
中，
(
)
2
2
2
2
2
1.7
2.1
CH
BC
BH
x
=
−
=
−
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
1
1.7
2.1
x
x
−
=
−
−
，
解得
0.6
x =
，
∴
0.6
AH =
千米，
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∴
2
2
2
2
1
0.6
0.8
CH
AC
AH
=
−
=
−
=
（千米）．
答：新修路CH 的长为0.8 千米．
6．（24-25 八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】
在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2 的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推
论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域
中的许多数学公式和规律．
【问题解决】
（1）材料中的方法体现的数学思想是______；
A.函数思想 B.分类讨论思想 C.数形结合思想 D.整体思想
（2）如图，它由2 个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股
定理，请你写出证明过程；
【灵活应用】
（3）如图，在四边形ABCD中，
ABC
DCB
=
，过A 点作AE
CD
∥
交BC 于点E ，连接AC ．若
6
AB =
.
4
BE =
，
7
AC =
，求EC 的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）C；（2）见解析；（3）17
2
−
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的证明，解本题的关键是掌握
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141 /
勾股定理．
（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想；
（2）根据两种方式表示出直角梯形，即可证明勾股定理；
（3）根据平行线的性质得到
AEB
DCB
=
，求得
ABC
AEB
=
，得到AB
AE
=
，过点A 作AF
BE
⊥
于
点F ，根据等腰三角形的性质得到
1
2
2
BF
EF
BE
=
=
=
，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为： C；
（2）如图，
∵
EAB
FAC
=
∴
90
BAC
EAF
=
=
(
)
(
)
2
1
1
1
2
2
2
2
S
a
a
b
a
a
b a
a
ab
=
+
+
=
+
=
+
梯形
又
(
) (
)
1
1
1
2
2
2
AEB
ABC
BDC
S
S
S
S
a b
c c
a
b
a
b
=
+
+
=
+
+
−
+
梯形
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
c
ab
a
b
=
+
+
−
∴
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
a
ab
c
ab
a
b
+
=
+
+
−
∴
2
2
2
2
2
2
a
b
c
+
=
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
．
（3）∵AE
CD
∥
，
∴
AEB
DCB
=
，
∵
ABC
DCB
=
，
∴
ABC
AEB
=
，
∴AB
AE
=
，
过点A 作AF
BE
⊥
于点F ，
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∴
1
2
2
BF
EF
BE
=
=
=
，
在Rt ABF
和Rt ACF
中，
2
2
2
2
2
AB
BF
AF
AC
CF
−
=
=
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
6
2
7
2
CE
−
=
−
+
，
解得：
17
2
EC =
−
7．（24-25 八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O 是矩形ABCD的AD 边上一点， 求证：
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
．
分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行
求证．
证明：过O 点作 OE 垂直BC ，垂足为E，
设OA
BE
x
=
=
，OE
y
=
，OD
EC
z
=
=
，
在直角三角形BEO 中，
2
2
2
2
2
OB
BE
OE
x
y
=
+
=
+
在直角三角形OCD中，
2
2
2
2
2
OC
CD
OD
y
z
=
+
=
+
所以
2
2
2
2
2
OA
OC
x
y
z
+
=
+
+
2
2
2
2
2
OB
OD
x
y
z
+
=
+
+
即
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
得证
请您模仿以上方法完成以下问题；
(1)如图2，已知点O 是矩形ABCD内任意一点，求证：
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
；
(2)如图3，已知点O 在矩形ABCD的外部，结论
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
还能成立吗？请给予证明．
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【答案】(1)见解析
(2)结论
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
还能成立，见解析
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）过O 点作FE垂直BC
FE
，
与BC
AD
、
分别交于E
F
、点，设
,
,
,
AF
BE
x OF
y OE
t FD
CE
z
=
=
=
=
=
=
，
根据勾股定理分别表示出
2
OA ，
2
OC ，
2
OB ，
2
OD ，即可证明；
（2）结论仍成立，同（1）思路即可证明．
【详解】（1）证明：过O 点作FE垂直BC
FE
，
与BC
AD
、
分别交于E
F
、点，
设
,
,
,
AF
BE
x OF
y OE
t FD
CE
z
=
=
=
=
=
=
，
在直角三角形AOF 中，
2
2
2
2
2
OA
AF
OF
x
y
=
+
=
+
，
在直角三角形OEC 中，
2
2
2
2
2
OC
CE
OE
z
t
=
+
=
+
，
所以
2
2
2
2
2
2
OA
OC
x
y
z
t
+
=
+
+
+
，
在直角三角形BOE 中，
2
2
2
2
2
OB
BE
OE
x
t
=
+
=
+
，
在直角三角形DOF 中，
2
2
2
2
2
OD
DF
OF
z
y
=
+
=
+
，
2
2
2
2
2
2
OB
OD
x
y
z
t
+
=
+
+
+
，
即
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
．
（2）解：结论仍成立，证明如下：
过O 点作OE 垂直BC
OE
，
与BC
AD
、
分别交于E
F
、点，
设
,
,
,
AF
BE
x OF
y OE
t FD
CE
z
=
=
=
=
=
=
，
在直角三角形AOF 中，
2
2
2
2
2
OA
AF
OF
x
y
=
+
=
+
，
在直角三角形OEC 中，
2
2
2
2
2
OC
CE
OE
z
t
=
+
=
+
，
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所以
2
2
2
2
2
2
OA
OC
x
y
z
t
+
=
+
+
+
，
在直角三角形BOE 中，
2
2
2
2
2
OB
BE
OE
x
t
=
+
=
+
，
在直角三角形DOF 中，
2
2
2
2
2
OD
DF
OF
z
y
=
+
=
+
，
所以
2
2
2
2
2
2
OB
OD
x
y
z
t
+
=
+
+
+
，
所以
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
．
题型五：勾股定理构造图形解决问题
1．（24-25 八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的
几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从
而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n 均为正实数、且
4
m
n
+
=
，求
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值．通过分析，小明想到
了利用下面的构造解决此问题：如图，
4
AB =
，
1
AC = ，
2
BD = ，AC
AB
⊥
，BD
AB
⊥
，点E 是线段AB 上
的动点，且不与端点重合，连接CE ，DE ，设AE
m
=
，BE
n
=
．
①用含m 的代数式表示CE = ________，用含n 的代数式表示DE =________；
②据此写出
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值是____________；
(2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式
(
)
2
2
25
16
49
x
x
+
+
−
+
的最小值；
【答案】(1)①
2
1
m + ，
2
4
n +
；②5
(2)20
【分析】本题考查了轴对称- 最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．
（1）①利用勾股定理可得CE 和DE 的长；
②利用三角形三边的关系得到CE
DE
CD
+
（当且仅当C、E、D 共线时取等号），作DH
CA
⊥
交CA 的延长
线于H，易得四边形ABDH 为长方形，利用勾股定理计算出
5
CD = ，从而得到结论；
（2）利用（1）中的方法画出图形，设
16
AB =
，
5
CA =
，
7
BD =
，AE
x
=
，则
16
BE
x
=
−
，利用勾股定理
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145 /
得到，
2
2
2
25
CE
AC
AE
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
16
49
DE
BE
BD
x
=
+
=
−
+
；根据三角形三边的关系得到而
CE
DE
CD
+
（当且仅当C、E、D 共线时取等号），作DH
CA
⊥
交CA 的延长线于H，易得四边形ABDH 为
长方形，利用勾股定理计算出CD即可得到代数式
(
)
2
2
25
16
49
x
x
+
+
−
+
的最小值．
【详解】（1）解：①在Rt ACE
中，
2
1
=
+
CE
m
，
在Rt
BDE
△
中，
2
2
2
2
4
DE
n
n
=
+
=
+
，
故答案为：
2
1
m + ，
2
4
n +
；
②连接CD，
由①得
2
2
1
4
m
n
CE
DE
+ +
+
=
+
，
而CE
DE
CD
+
（当且仅当C、E、D 共线时取等号），
作DH
CA
⊥
交CA 的延长线于H，如图1，
∵AC
AB
⊥
，BD
AB
⊥
，
则四边形ABDH 为长方形，
∴
2
AH
BD
=
=
，
4
DH
AB
=
=
，
在Rt CHD
中，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2 1
4
5
CD
CH
DH
AC
AH
DH
=
+
=
+
+
=
+
+
=
，
∴CE
DE
+
的最小值为5，
即
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值是5；
故答案为：5；
（2）解：如图，
设
16
AB =
，
5
CA =
，
7
BD =
，AE
x
=
，则
16
BE
x
=
−
，
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146 /
在Rt ACE
中，
2
2
2
25
CE
AC
AE
x
=
+
=
+
，
在Rt
BDE
△
中，
(
)
2
2
2
16
49
DE
BE
BD
x
=
+
=
−
+
；
∴
(
)
2
2
25
16
49
x
x
CE
DE
+
+
−
+
=
+
，
而CE
DE
CD
+
（当且仅当C、E、D 共线时取等号），
作DH
CA
⊥
交CA 的延长线于H，则四边形ABDH 为长方形，
∴
7
AH
BD
=
=
，
16
DH
AB
=
=
，
∴
5 7
12
CH
AC
AH
=
+
= +
=
，
在Rt CHD
中，
2
2
2
2
12
16
20
CD
CH
DH
=
+
=
+
=
，
∴CE
DE
+
的最小值为20 ，
即
(
)
2
2
25
16
49
x
x
+
+
−
+
的最小值为20 ．
故答案为：20 ．
2．（24-25 八年级下·广西桂林·期末）探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式
2
2
2
a
b
c
+
=
（其中a，b 为直角三
角形的两条直角边，c 为直角三角形的斜边）与乘法公式(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
进行了“联合”探究．
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b 表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上
两个公式可以得出另外的等式：(
)
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
，在这个等式里，可以将a
b
+
，c ，ab 分别看成三个量，
由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
(1)在一直角三角形中：
①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
(2)如图，在四边形ACBD中，已知
90
C
D
=
=
，
3
AC
BC
+
= ，
2
2
5
AD
BD
+
=
，求Rt
ABC
△
的面积．
【答案】(1)①5；②30；
(2)1．
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【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）①由题意可知
7
a
b
+
=
，
12
ab =
，根据(
)
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
计算即可；
②由题意得到
2
2
169
a
b
+
=
，
60
ab =
，可知(
)
2
289
a
b
+
=
，求出
17
a
b
+
=
，再根据(
)
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
求出
13
c =
，
即可求出直角三角形的周长；
（2）先证明
ABD
△
、ACD
是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可．
【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，
∴
7
a
b
+
=
，
12
ab =
，
∵(
)
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
，
∴
2
2
7
2 12
c
=
+
，
解得：
5
c =
（负值舍去）；
②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，
∴
2
2
169
a
b
+
=
，
60
ab =
，
∴(
)
2
2
2
2
289
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
=
，
∴
17
a
b
+
=
（负值舍去），
∵(
)
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
∴
2
289
2 60
c
=
+
，
解得：
13
c =
（负值舍去），
∴该直角三角形的周长
17 13
30
a
b
c
=
+
+
=
+ =
；
（2）解：∵
90
C
D
=
=
，
∴
ABD
△
、ACD
是直角三角形，
∵
2
2
2
a
b
c
+
=
，
2
2
5
AD
BD
+
=
，
∴
2
5
AB =
，
∵
3
AC
BC
+
= ，(
)
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
，
∴(
)
2
2
2
AC
BC
AB
AC BC
+
=
+
，即
23
5
2AC BC
=
+
，
∴
2
AC BC
=
，
∴
Rt
1
1
2
1
2
2
ABC
S
AC BC
=
=
=
．
3．（24-25 八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置
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148 /
关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题
途径的目的．
(1)【经历体验】已知m ，n 均为正实数、且
4
m
n
+
=
，求
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值．
通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，
4
AB =
，
1
AC = ，
2
BD = ，AC
AB
⊥
，BD
AB
⊥
，
点E 是线段AB 上的动点，且不与端点重合，连接CE ，DE ，设AE
m
=
，BE
n
=
．
①用含m 的代数式表示CE = ______，用含n 的代数式表示DE =______；
②据此写出
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值是______；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式
(
)
2
2
25
16
49
x
x
+
+
−
+
的最小值是______；
(3)【感悟探索】
①已知a ，b ，c 为正数，且
2
a
b
c
+ + =
，试运用构图法，画出图形，并写出
2
2
2
2
2
2
a
b
b
c
a
c
+
+
+
+
+
的
最小值；
②若a ，b 为正数，试运用构图法，直接写出以
2
2
a
b
+
，
2
2
4
4
a
b
+
，
2
2
9a
b
+
为边的三角形的面积是
______．
【答案】(1)①
2
1
m + ，
2
4
n +
②5
(2)20
(3)①2 2 ②2ab
【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短
解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法.
（1）①利用勾股定理可得CE 和DE 的长；
②利用三角形三边的关系得到CE
DE
CD
+
(当且仅当C 、E 、D 共线时取等号) ，过点C 作CF
BD
⊥
于
点F ，则四边形ABFC是矩形，利用勾股定理计算出CD长即可；
（2）利用（1）中的方法画出图形，设
16,
AB =
5,
7,
,
CA
BD
AE
x
=
=
=
则
16
,
BE
x
=
−
利用勾股定理得到
(
)
2
2
25
16
49
CE
DE
x
x
+
=
+
+
−
+
， 根据三角形三边的关系得到而 CE
DE
CD
+
(当且仅当C 、E 、D 共
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线时取等号)，过点C 作CF
BD
⊥
于点F ，则四边形ABFC是矩形，利用勾股定理计算出CD长即可；
（3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为2 的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结
论；
②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长3a ，2b 的长方形，利用勾股定理构图解答即可.
【详解】（1）解：①
2
2
2
1
CE
AC
AE
m
=
+
=
+ ，
2
2
2
4
DE
BE
BD
n
=
+
=
+
，
故答案为：
2
1
m + ，
2
4
n +
；
②连接CD，
由①可得
2
2
1
4
m
n
CE
DE
+ +
+
=
+
，
∵CE
DE
CD
+
(当且仅当C 、E 、D 共线时取等号)，
∴最小值为CD长，
过点C 作CF
BD
⊥
于点F ，则四边形ABFC是矩形，
∴
4
CF
AB
=
=
，
1
AC
BF
=
= ，
∴
1 2
3
DF
BF
BD
=
+
= +
=
，
∴
2
2
2
2
3
4
5
CD
CF
DF
=
+
=
+
=
，
∴
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值是5，
故答案为：5；
（2）解：根据（1）可得，作
16
AB =
，
5
AC =
，
7
BD =
，AC
AB
⊥
，BD
AB
⊥
，点E 是线段AB 上的动
点，连接CE ，DE ，设AE
x
=
，
16
BE
x
=
−
．
∴
2
2
2
25
CE
AC
AE
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
16
49
DE
BE
BD
x
=
+
=
−
+
，
∴
(
)
2
2
25
16
49
CE
DE
x
x
+
=
+
+
−
+
，
连接CD，
∵CE
DE
CD
+
(当且仅当C 、E 、D 共线时取等号)，
∴最小值为CD长，
过点C 作CF
BD
⊥
于点F ，则四边形ABFC是矩形，
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∴
16
CF
AB
=
=
，
5
AC
BF
=
=
，
∴
7
5
12
DF
BF
BD
=
+
=
+ =
，
∴
2
2
2
2
16
12
20
CD
CF
DF
=
+
=
+
=
，
∴
(
)
2
2
25
16
49
x
x
+
+
−
+
的最小值是20 ，
故答案为：20 ；
（3）①解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a ，b ，c 的线段，作图如下：
则
2
2
2,
a
b
c
AB
a
b
+ +
=
=
+
，
2
2
2
2
,
BC
b
c
CD
a
c
=
+
=
+
，
2
2
2
2
2
2
AB
BC
CD
a
b
b
c
a
c
+
+
=
+
+
+
+
+
，
利用两点之间线段最短可知：AB
BC
CD
AD
+
+
(当且仅当A 、B 、C 、D 共线时取等号) ，
2
2
2
2
2 2
AD =
+
=
，
AB
BC
CD
+
+
的最小值为2 2 ，
2
2
2
2
2
2
a
b
b
c
a
c
+
+
+
+
+
的最小值为2 2 ；
②分别以3a ，2b 为边长作出矩形ABCD，则
3 ,
2
AB
a AD
b
=
=
，取AE
a
=
，AD的中点为F ， 连接EF ，
FC ， EC ， 如图，
则
,
,
2 ,
2
AE
a AF
DF
b BE
a BC
b
=
=
=
=
=
，
3 ,
2
CD
AB
a BC
AD
b
=
=
=
=
，
2
2
2
2
EF
AF
AE
a
b
=
+
=
+
，
2
2
2
2
9
FC
DF
CD
a
b
=
+
=
+
，
2
2
2
2
4
4
,
EC
BE
BC
a
b
=
+
=
+
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∴以
2
2
2
2
2
2
, 4
4
, 9
a
b
a
b
a
b
+
+
+
为边的三角形的面积
EFC
S
=
，
EFC
ABCD
AEF
DFC
BEC
S
S
S
S
S
=
−
−
−
1
1
1
3
2
3
2
2
2
2
2
a
b
ab
a b
a
b
=
−
−
−
1
3
6
2
2
2
ab
ab
ab
ab
=
−
−
−
2ab
=
，
∴以
2
2
2
2
2
2
, 4
4
, 9
a
b
a
b
a
b
+
+
+
为边的三角形的面积为2ab，
故答案为： 2ab．
4．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值．
分析：
2
23
x +
和(
)
2
2
12
2
x
−
+
是勾股定理的形式，
2
23
x +
是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜边，
(
)
2
2
12
2
x
−
+
是直角边分别是12
x
−
和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角
ABC
和DEF
，
并使直角边BC 和EF 在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC 使点B 和E 重合（图2），这时
12
12
CF
x
x
=
+
=
-
，
3
AC =
，
2
DF =
，问题就变成“点B 在线段CF 的何处时，AB+DB 最短？”根据两点间
线段最短，得到线段AD 就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式
2
2
4
(5
)
1
x
x
+
+
−
+ 的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数x 满足
2
2
36
64
10
x
x
−
+
−
=
，求x 的值．
【答案】（1）13；（2）34 ；（3）4.8
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
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【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题．
（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
【详解】（1）
3 2
5
AH = +
=
，
12
=
HD
，
2
2
5
12
13
AD =
+
=
，
∴
2
2
2
2
3
(12
)
2
x
x
+
+
−
+
的最小值是13，
故答案为13；
（2）如图，
2
1
5
AC
DF
CF
=
=
=
，
，
，
2 1
3
5
AH
HD
=
+ =
=
，
，
2
2
3
5
34
AD =
+
=
，
∴
2
2
4
(5
)
1
x
x
+
+
−
+ 的最小值是34 ；
（3）构造ABC
CD
BC
⊥
，
于
6
8
D
AC
BC
=
=
，
，
，如图所示：
设CD
x
=
，则
2
2
36
64
AD
x
BD
x
=
−
=
−
，
，
2
2
36
64
10
AB
x
x
=
−
+
−
=
，
2
2
2
6
8
10
+
=
，
90
ACB
=
，
1
1
6 8
10
2
2
x
=
，
4.8
x
=
，
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∴方程的解是
4.8
x =
．
5．（24-25 八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正
方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设AH
a
=
，BH
b
=
，AB
c
=
．
①请你利用图1 验证：
2
2
2
a
b
c
+
=
；
②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH 的边长为7，求ab ．
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB
AC
=
，由于某种原因，
由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B 在同一条直线
上），并新修一条路CH ，且CH
AB
⊥
．测得
0.8
CH =
千米，
0.4
HB =
千米，求新路CH 比原路CA 少多少
千米？
(3)已知在
ABC
中，
10
AC =
，
17
BC =
，
21
AB =
，求
ABC
的面积．
【答案】(1)①见解析，②60
(2)新路CH 比原路CA 少0.2 千米；
(3)84
【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键．
（1）①用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即
可；
（2）设AB
AC
x
=
=
千米，则
(
)
0.4
AH
AB
BH
x
=
−
=
−
千米，然后运用勾股定理列方程可得
1
x = ，即
1
CA =
千米，然后根据线段的和差即可解答；
（3）如图：作CH
AB
⊥
，垂足为H，设AH
y
=
，
21
BH
AB
AH
y
=
−
=
−
，然后运用勾股定理列方程求得
6
y =
，
即
6
AH =
；再运用勾股定理求得
8
CH = ，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为b
a
−
，
(
)
2
S
b
a
=
−
小正方方形
四个直角三角形的面积为：
1
4
2
2 ab
ab
=
，
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(
)
2
2
2
2
ABCD
S
b
a
ab
a
b
=
−
+
=
+
正方形
2
ABCD
S
c
=
正方形
，
2
2
2
a
b
c
+
=
．
②解：由①可知，
2
2
2
169
a
b
c
+
=
=
，
7
b
a
−
=
，
(
)
2
2
2
2
49
b
a
a
b
ab
−
=
+
−
=
，
2
120
ab
=
，
60
ab
=
．
（2）解：设AB
AC
x
=
=
千米，
(
)
0.4
AH
AB
BH
x
=
−
=
−
千米，
在Rt ACH
中，根据勾股定理得：
2
2
2
CA
CH
AH
=
+
，
(
)
2
2
2
0.8
0.4
x
x
=
+
−
，解得
1
x = ，即
1
CA = 千米，
1 0.8
0.2
CA CH
−
= −
=
（千米）．
答：新路CH 比原路CA 少0.2 千米．
（3）解：如图：作CH
AB
⊥
，垂足为H，
设AH
y
=
，
21
BH
AB
AH
y
=
−
=
−
，
CH
AB
⊥
，
10
AC =
，
17
BC =
，
21
AB =
，
∴在Rt ACH
中，
2
2
2
CH
CA
AH
=
−
，在Rt
BCH
△
中，
2
2
2
CH
CB
BH
=
−
，
2
2
2
2
CA
AH
CB
BH
−
=
−
，即
(
)
2
2
2
2
10
17
21
y
y
−
=
−
−
，解得：
6
y =
，
6
AH
= ，
2
2
10
6
8
CH
\
=
-
= ，
1
8 21
84
2
ABC
S
=
=
△
．
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6．（24-25 八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值．聪明的
小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图1，作一条长为16 的线段CD；
②过点C 在线段CD上方作AC
CD
⊥
，使
3
AC =
；过点D 在线段CD下方作BD
CD
⊥
，使
9
BD =
；
③在线段CD上任取一点O，设CO
x
=
；
④根据勾股定理计算可得，AO =__________，BO = __________（请用含x 的代数式表示，不需要化简）；
⑤如图2，过点B 作BA
AC
⊥
交AC 的延长线于A，则
9
CA
BD
=
=
，
16
BA
CD
=
=
，连接AB 交CD于点O，
当A 、O、B 三点共线时（即O在O处），AO
BO
+
取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的
做法，求
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值．
（2）请结合第（1）问，直接写出(
)
(
)
2
2
1
25
16
9
x
x
−
+
+
−
+
的最小值．
【答案】（1）
2
9
x
+
，(
)
2
16
81
x
−
+
；20 ．（2）17
【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理．
（1）①由于
AOC
△
和BOD
都是直角三角形，故AO ，BO可由勾股定理求得；
②求出AB 的值便是AO
OB
+
的值最小即可；
（2）设点
1
x
a
−=
，则(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
25
16
9
25
15
9
x
x
a
a
−
+
+
−
+
=
+
+
−
+
，由（1）中得方法知
(
)
2
2
25
15
9
a
a
+
+
−
+
的最小值为：(
)
2
2
5
3
15
17
+
+
=
．
【详解】（1）解：
2
2
2
9
AO
AC
CO
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
16
81
BO
OD
BD
x
=
+
=
−
+
，
故答案为：
2
9
x
+
，(
)
2
16
81
x
−
+
；
⑤由题意可得，
12
AA
AC
A C
=
+
=
∴
2
2
2
2
12
16
20
AB
AA
A B
=
+
=
+
=
，
20
AO
BO
AO
BO
+
=
+
=
为最小值，
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即
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值为20 ．
（2）解： 设点
1
x
a
−=
，则(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
25
16
9
25
15
9
x
x
a
a
−
+
+
−
+
=
+
+
−
+
，
如图，线段
15
CD =
，
5
AC =
，
3
BD =
，设CO
a
=
；过点B 作BA
AC
⊥
交AC 的延长线于A，则
3
CA
BD
=
=
，
15
BA
CD
=
=
，连接AB 交CD于点O，当A 、O、B 三点共线时（即O在O处），AO
BO
+
取得最小值，
即为所求代数式的最小值．由题意可得，
8
AA
AC
A C
=
+
=
∴
2
2
2
2
8
15
17
AB
AA
A B
=
+
=
+
=
，
由（1）中得方法知
(
)
2
2
25
15
9
a
a
+
+
−
+
的最小值为17 ，
即(
)
(
)
2
2
1
25
16
9
x
x
−
+
+
−
+
的最小为17．
1．（24-25 九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
2,
1,
6
B
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
=
，
，
则四边形ABCD的面积为（ ）
A．5
1
+
B．
5
1
2
+
C．
5
D．5
1
−
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题
转化为三角形问题求解．
先证明ACD
为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积．
小学
初中
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【详解】解：连接AC ，
∵
90
B
?
? ，
2
AB =
，
1
BC
CD
=
= ，
∴
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵
2
2
5 1
6
AC
CD
+
=
+ =
，
2
6
AD =
，
∴
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴ACD
为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积1
1
5
1 2
1
5
1
2
2
2
+
= +
，
故选：B．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
6,
10
C
AC
AB
=
=
=
，以点A 为圆心，适当
长为半径画弧，分别交
,
AC AB 于点M，N，再分别以M，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧在
CAB
的内部相交于点P，画射线AP 与BC 交于点D，DE
AB
⊥
，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．
CAD
BAD
=
B．CD
DE
=
C．
5 3
AD =
D．
:
3:5
CD BD =
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是
解题的关键．
由作图方法可知，AD是
BAC
的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求
出BC ，利用等面积法求出
3
CD =
，由此求出AD
BD
、
即可判断C、D．
【详解】解：由作图方法可知，AD是
BAC
的角平分线，
∴
CAD
BAD
=
，故A 结论正确，不符合题意；
∵
90
C
DE
AB
=
，
⊥
，
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∴CD
DE
=
，故B 结论正确，不符合题意；
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得
2
2
8
AB
BC
AC
−
=
=
，
∵
ABC
ACD
BAD
S
S
S
=
+
△
△
△
，
∴1
1
1
2
2
2
AC BC
CD AC
AB DE
=
+
，
∴1
1
1
6 8
6
10
2
2
2
CD
CD
=
+
，
∴
3
CD =
，
∴
2
2
3 5
5
AD
AC
CD
BD
BC
CD
=
+
=
=
−
=
，
，故C 结论错误，符合题意；
∴
:
3:5
CD BD =
，故D 结论正确，不符合题意；
故选C．
3．（24-25 七年级下·广西玉林·期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是
由4 个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若
3
AE = ，
5
AD = ，则小正方形EFGH 的
面积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为25 ，由勾股定理得
2
2
4
DE
AD
AE
=
−
=
，求出
小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：正方形ABCD的面积为：
2
25
AD =
，
2
2
DE
AD
AE
=
−
2
2
5
3
4
=
−
=
，
1
3 4
6
2
ADE
S
=
=
，
小正方形EFGH 的面积是25 4 6
1
−= ，
故选：A．
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4．（24-25 八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知点P 的坐标为(
)
7, 1
−
−
，以点O 为圆心．以OP 的长
为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A．则A 点表示的数为（ ）
A．
50
−
B．4 3
−
C．50
D．4 3
【答案】A
【分析】本题考查坐标系内两点间距离，掌握勾股定理是解题的关键．
根据点P 的坐标求出OP 的长度，进而可得OA的长度，再根据点A 所在位置，即可求解．
【详解】解：点P 的坐标为(
)
7, 1
−
−
，
(
)
(
)
2
2
7
0
1 0
50
OP =
−−
+ −−
=
，
50
OA
OP
=
=
，
点A 在x 轴的负半轴，
A 点表示的数为
50
−
，
故选A．
5．（24-25 八年级下·四川凉山·期末）如图，以Rt ABC
的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设
1
ABD
S
S
=
△
，
2
BCE
S
S
=
△
，
3
ACF
S
S
=
△
，
ABC
S
S
=
，则它们之间的关系正确的是（ ）
A．
1
2
3
S
S
S
=
+
B．
1
2
3
S
S
S
S
=
+
+
C．
1
2
S
S
S
=
+
D．
1
S
S
=
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理可得
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式进行分析即可求解．
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【详解】解：∵Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
故
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
；
∵
ABD
△
是等腰直角三角形，AB 是斜边，
∴AD
BD
=
，
则
2
2
2
2
2
AB
AD
BD
AD
=
+
=
，
∴
2
2
1
2
AD
AB
=
，
故
2
2
1
1
1
2
4
AD
AB
S =
=
，
同理，
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
,
2
4
2
4
S
BE
BC
S
AF
AC
=
=
=
=
，
∵
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
则
2
2
2
1
1
1
4
4
4
AC
BC
AB
+
=
，
即
1
2
3
S
S
S
=
+
，
故选：A．
6．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在4 4
的方格中，每个小正方形的边长为1，点A 在数轴
上表示的数是1
−，以A 为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，点E 所表示的数是（ ）
A．10
B．
10
−
C．1
10
−
D．10
1
−
【答案】D
【分析】此题考查了网格与勾股定理，实数与数轴，正确理解题意利用勾股定理求得
10
AE
AD
=
=
是解题
的关键．
根据勾股定理求出AD，即可得到
10
AE
AD
=
=
，进而得到答案．
【详解】解：∵
2
2
3
1
10
AD =
+
=
，
∴
10
AE
AD
=
=
，
∴点E 所表示的数是10
1
−，
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故选：D．
7．（24-25 八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，两个滑块A，B 由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平
的滑道上滑动．开始时，滑块A 距O 点20 厘米，滑块B 距O 点15 厘米，则当滑块A 向下滑13 厘米时，
滑块B 向右滑动了（ ）
A．9 厘米
B．24 厘米
C．12 厘米
D．15 厘米
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出AB 的长，再求出下滑后的OA，利用勾股定理求出下滑后的OB ，继而求出滑块B 滑动
的距离．
【详解】解：依题意得：
90
AOB
=
，
设滑动后点A、B 的对应位置是A
B
、
，
由勾股定理得，
2
2
25
AB
OA
OB
=
+
=
(厘米)，
当滑块A 向下滑13 厘米时，
20 13
7
OA=
−
=
(厘米)，
∴
2
2
25
7
24
OB=
−
=
(厘米)，
∴滑块B 滑动的距离为：
24 15
9
OB
OB
−
=
−
=
(厘米)，
故选：A．
8．（24-25 八年级下·天津南开·期末）如图①是第14 届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学
家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知
大正方形的边长AD为25，AE 的长为7，则小正方形的边长EF 为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】C
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【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据全等三
角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：由题意得
7
DH
AE
=
= ，
25
AD =
，
2
2
24
AH
AD
DH
=
−
=
，
24
7
17
EH
AH
AE
=
−
=
−
=
，
小正方形的边长EF 为17，
故选：C．
9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士
琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法
则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，
写出第⑤组勾股数为 ．
【答案】11,60,61
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数
字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1 个数为11，设第2 个数为x ，则第3 个数为
1
x + ，根据勾
股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1 个数为11，设第2 个数为x ，则第3 个数为
1
x + ，
由勾股定理，得：
(
)
2
2
2
11
1
x
x
+
=
+
，
解得：
60
x =
，
∴
1
61
x + =
；
∴第⑤组勾股数为11,60,61；
故答案为：11,60,61．
10．（24-25 八年级下·河北张家口·期末）七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，有“东方魔板”之称．小明用如
图1 所示的边长为8cm 的正方形七巧板（由5 个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形组成），并
以“蛇年”为主题进行创意拼图，所拼作品如图2 所示，则图2 中阴影部分的周长为 cm．
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【答案】(
)
8 2
8
+
【分析】本题考查七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，首先根据七巧板的特点得到
1
4cm
2
CD
BD
BG
BC
=
=
=
=
，
1
2
DE
CF
DG
=
=
，由勾股定理得出
4 2cm
DG =
，即可求解．
【详解】解：如图，
由题意知，
8cm
BC =
，
1
4cm
2
CD
BD
BG
BC
=
=
=
=
，
2
2
4
4
4 2cm
DG =
+
=
，
1
2 2cm
2
DE
CF
DG
=
=
=
，
阴影部分的周长为:
(
)
2 2
4
2 2
4
4 2
8 2
8 cm
+ +
+ +
=
+
，
故答案为：(
)
8 2
8
+
．
11．（24-25 八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形ABCD的面积为10，点A 表示的数为1，以点A 为圆心，
AD的长为半径画圆，交数轴于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），则点M 表示的数为 ．
【答案】1
10
−
/
10
1
−
+
【分析】根据正方形的面积公式求出AD，从而求出AM ，设点M 表示的数为x ，然后根据两点间的距离
公式列出关于x 的方程，解方程求出x 即可．
本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．
【详解】解：由题意可知：AD
AM
=
，
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正方形ABCD的面积为10，
10
AM
AD
=
=
，
设点M 表示的数为x ，
1
10
x
−
=
，
解得：
1
10
x = −
，
点M 表示的数为：1
10
−
，
故答案为：1
10
−
．
12．
（24-25 九年级下·浙江温州·期中）如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交会，两条路的夹角
30
QON
=
，
在射线OQ 上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200 米以内会受到噪音的影响，居民楼A 离点O
的距离至少是 米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A 离点O 的距离为300 米，
如果火车行驶的速度为72 千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为 秒（3
1.73, 5
2.24, 7
2.65
，
结果精确到0.1秒）．
【答案】 400 13.3
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作AB
MN
⊥
交于点B ，则
90
OBA
=
，利用含30的直角三角形的性质得到
1
2
AB
OA
=
，结合题意可得到当
200
AB
米
时，居民楼不会受到噪音的影响，即可求出OA的最小值；在ON 上取一点C ，使得
200
AC =
米，利用勾股
定理求出
50 7
BC =
米，结合题意即可求出居民楼受噪音的影响时间．
【详解】解：如图，作AB
MN
⊥
交于点B ，则
90
OBA
=
，
在Rt OAB
中，
30
AOB
=
，
1
2
AB
OA
=
，
由题意得，当
200
AB
米时，居民楼不会受到噪音的影响，
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即当
400
OA
米时，居民楼不会受到噪音的影响，
居民楼A 离点O 的距离至少是400 米时，居民楼不会受到噪音的影响；
如图，在ON 上取一点C ，使得
200
AC =
米，
当
300
OA=
米时，
1
150
2
AB
OA
=
=
米，
2
2
2
2
200
150
50 7
BC
AC
AB
=
−
=
−
=
米，
居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为2 50 7
100 7
=
米，
72 千米/小时= 20 米/秒，
居民楼受噪音的影响时间约为100 7
5 7
13.3
20
=
（秒）．
故答案为：400；13.3．
13．（2025·广东广州·二模）真实情境：如图2，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80 米的高度水平飞
行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图1），塔楼的高度为30 米．为了获得最佳的拍摄效果，需要
计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以45的角度对准塔楼的顶部．
(1)当无人机位于点B 处时，求无人机与塔楼顶部的水平距离；
(2)如果无人机的摄像头角度调整为30，求无人机向左飞行的水平距离．（结果保留根号）
【答案】(1)无人机与塔楼顶部的水平距离为50 米；
(2)无人机向左飞行的水平距离为36.5米．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，含30角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知
识是解题的关键．
（1）设塔楼的底部为点E，则AE ⊥地面，延长EA交CB 于点D，
80
DE =
米，
30
AE =
米，得到
ABD
△
是
等腰直角三角形，即可得出答案；
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（2）由
30 ,
50
ACD
AD
=
=
米，得到
2
100
AC
AD
=
=
米，由勾股定理求出
86.5
DC =
米，即可求解．
【详解】（1）解：设塔楼的底部为点E，则AE ⊥地面，延长EA交CB 于点D，
80
DE =
米，
30
AE =
米，
∴
80 30
50
AD
DE
AE
=
−
=
−
=
米，
∵
45
ABD
=
，
∴
ABD
△
是等腰直角三角形，
∴
50
DA
DB
=
=
米，
答：无人机与塔楼顶部的水平距离为50 米；
（2）解：∵
30 ,
50
ACD
AD
=
=
米，
∴
2
100
AC
AD
=
=
米，
∴
2
2
2
2
100
50
50 3
50 1.73
86.5
DC
AC
AD
=
−
=
−
=
=
（米），
∴
86.5 50
36.5
BC
DC
BD
=
−
=
−
=
（米），
答：无人机向左飞行的水平距离为36.5 米．
14．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D，
4
AC =
，
3
BC = ，
9
5
DB =
．
(1)求CD的长；
(2)求AD的长；
【答案】(1)12
5
(2)16
5
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理．
（1）在Rt
CBD
△
中，根据勾股定理进行计算即可；
（2）在Rt
CAD
△
中根据勾股定理进行计算即可．
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【详解】（1）解：在
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D，
故在Rt
CBD
△
中，
2
2
2
2
9
12
3
5
5
CD
BC
BD
=
−
=
−
=
；
（2）在
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D，
故在Rt
CAD
△
中，
2
2
2
2
12
16
4
5
5
AD
AC
CD
=
−
=
−
=
．
15．（24-25 八年级下·湖南岳阳·期中）已知，如图，
4
=
AD
，
3
CD =
，
90
ADC
=
，
13
AB =
，
90
ACB
=
，
(1)求AC 的长；
(2)求图形中阴影部分的面积．
【答案】(1)5
(2)24
【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）先利用勾股定理求出BC ，再根据三角形面积公式计算出
ABC
S
，
ACD
S
，最后根据
ABC
ACD
S
S
S
=
−
△
阴
求
解即可．
【详解】（1）解：在Rt
ACD
△
中，
2
2
2
2
3
4
5
AC
AD
CD
=
+
=
+
=
；
（2）解：在Rt
ACB
△
中，
2
2
2
2
13
5
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
1
1 5 12
30
2
2
ABC
AC B
S
C
=
=
=
．
∵
1
1
4 3
6
2
2
ACD
S
AD CD
=
=
=
，
30
6
24
ABC
ACD
S
S
S
−
=
−
=
=
△
阴
．
16．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）问题提出
（1）如图1，在
ABC
中，AD
BC
⊥
．若
5
AB =
，
3
BD =
，
6
CD =
，则AC =______．
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168 /
问题探究
（2）如图2，在四边形ABCD中，对角线AC ，BD交于点O，且AC
BD
⊥
．
求证：
2
2
2
2
BC
AD
AB
CD
+
=
+
．
问题解决
（3）如图3，ABC
是某小区的局部示意图，其中
90
B
=
，
600
AB =
米，AD，DE 是两条小道，D 为BC
的中点，DE
AC
⊥
于点E ．该小区物业计划在AC 的下方修一条骑行小道AF ，且满足EF
EC
=
，
90
AFE
=
．请根据上述条件，求骑行小道AF 的长．
【答案】（1）2 13 ；（2）证明见解析；（3）骑行小道AF 的长为600 米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求得AD的长，再求AC 即可；
（2）由勾股定理可知，
2
2
2
AB
OA
OB
=
+
，
2
2
2
AD
OA
OD
=
+
，
2
2
2
CD
OC
OD
=
+
，B
2
2
2
C
OB
OC
=
+
，进而
可证明结论；
（3）利用勾股定理求得
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
AD
AB
BD
AE
DE
AF
EF
DE
=
+
=
+
=
+
+
，通过EF
EC
=
，点D 为BC 的
中点，进行等量代换计算求得
2
2
AB
AF
=
，据此即可求解．
【详解】（1）解：
AD
BC
⊥
，
90
ADB
ADC
=
=
，
5
AB =
，
3
BD =
，
2
2
4
AD
AB
BD
=
−
=
，
6
CD =
，
2
2
2
2
4
6
2 13
AC
AD
CD
=
+
=
+
=
，
故答案为：2 13 ；
（2）证明：
AC
BD
⊥
于点O，
在Rt AOB
中，
2
2
2
AB
OA
OB
=
+
，在Rt AOD
中，
2
2
2
AD
OA
OD
=
+
，
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在Rt COD
中，
2
2
2
CD
OC
OD
=
+
，在Rt BOC
中，
2
2
2
BC
OB
OC
=
+
，
2
2
AD
BC
+
(
) (
)
2
2
2
2
OA
OD
OC
OB
=
+
+
+
2
2
2
2
(
)
(
)
OA
OB
OC
OD
=
+
+
+
2
2
AB
CD
=
+
，
2
2
2
2
BC
AD
AB
CD
+
=
+
；
（3）解：
90
B
=
，DE
AC
⊥
，
90
AFE
=
，
90
B
AED
AFE
=
=
=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
AD
AB
BD
AE
DE
AF
EF
DE
=
+
=
+
=
+
+
，
EF
EC
=
，
2
2
2
DE
EC
CD
+
=
，
2
2
2
2
2
2
2
AB
BD
AF
CE
DE
AF
CD
+
=
+
+
=
+
，
点D 为BC 的中点，
2
2
BD
CD
=
，
2
2
AB
AF
=
，
600
AF
AB
=
=
米，
骑行小道AF 的长为600 米．
17．（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名
叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，
先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”
的问题广泛流传．
(1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马
问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点A 、点B ，把河岸抽象为直线L ，把距
离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程
最短的是___________．
A ．
B ．
C ．
D ．
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(2)如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，
10
AC =
米，
20
BD =
米，
40
CD =
米，牧童从A 处把牛牵到
河边L饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
(3)已知
(
)
8
0,
0
a
b
a
b
+
=
，求
2
2
16
4
a
b
+
+
+
的最小值．（可结合图形）
【答案】(1)D
(2)50 米
(3)10
【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，勾股定理等知识，解题的关键
是理解轴对称的性质．
（1）如图，根据轴对称的性质作点A 关于直线L的对应点A，连接A B
交直线L 于点C ，则点C 就是所要
求作点．在直线L在任取另一点D ，连接
,
,
AD DB A D
，根据三角形三边关系可解本题；
（2）如图，延长AC 至点A，使得AC = A C
，连接A B
，则A B
的长度为牧童需要走的最短路程．过点A
作A P
CD
∥
，与BD的延长线交于点P ．根据勾股定理求得A B
即可求解；
（3）如图，设线段
8
DE
a
b
=
+
= ，作AD
DE
BE
DE
⊥
⊥
，
，取
2
AD =
，
4
BE =
，
2
2
16
4
a
b
+
+
+
的值可
看作AM + BM 的值．
【详解】（1）解：选：D，
理由：如图，作点A 关于直线L 的对应点A，连接A B
交直线L 于点C ，则点C 就是所要求作点．在直线L
在任取另一点D，连接
,
,
AD DB A D
，
由轴对称的性质可得：
,
AC
A C AD
A D
=
=
，
AC
BC
A C
BC
A B
+
=
+
=
，AD
DB
AD
DB
+
=
+
，
在ABD
中，
<
AB AD
BD
+
，
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<
AC
BC AD
DB
+
+
，
故选：D．
（2）如图，延长AC 至点A，使得AC = A C
，连接A B
，则A B
的长度为牧童需要走的最短路程．
过点A作A P
CD
∥
，与BD的延长线交于点P ，
则
,
,
A P
BD A C
PD A P
CD
⊥
=
=
．
在Rt
BP
A
中，
30
BP
AC
BD
=
+
=
米，
40
A P
CD
=
=
米．
2
2
2
2
40
30
50
A B
A P
BP
=
+
=
=
+
（米）．
（3）如图，设线段
8
DE
a
b
DM
EM
=
+
=
=
+
，
作AD
DE
BE
DE
⊥
⊥
，
，取
2
AD =
，
4
BE =
，
2
2
16
4
a
b
+
+
+
的值可看作AM + BM 的值．
当A M
B
，，三点共线时，AM
BM
+
的值最小，
即AM
BM
+
的最小值为AB 的长．
作AC
BE
⊥
于点C ，
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∴
,
CE
AD DE
AC
=
=
则
4
2
6
8
BC
AC
a
b
=
+
=
=
+
=
，
，
2
2
2
2
8
6
10
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
2
2
16
4
a
b
+
+
+
的最小值为10．
