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1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 1.7 角平分线的性质 课标要点 1. 理解角平分线的基本定义，能够准确区分角平分线与线段平分线，熟练运用文字、图 形、符号三种语言进行规范表述。 2. 自主探究角平分线的性质定理，掌握定理的推导过程，能规范完成几何证明，理清定 理成立的前提条件。 3. 熟记角平分线性质内容，明确角平分线上的点到角两边垂线段相等，可运用定理进行 线段长度计算和简单推理。 4. 掌握尺规作角平分线的方法步骤，理解作图原理，规范保留作图痕迹，独立完成标准 的角平分线作图。 5. 学会结合几何综合题型运用角平分线性质，挖掘题目隐藏条件，提升几何推理与数形 结合解题能力。 学习重难点 重点： 1. 掌握角平分线性质定理，熟练运用定理实现线段转化，解决基础计算与几何证明问题。 2. 熟练掌握尺规作角平分线的步骤，理解作图原理，规范作图格式与留存痕迹。 3. 准确运用几何符号语言表述角平分线性质，规范书写几何解题推理过程。 难点： 1. 精准识别角的垂线段，易错将斜线段当作垂线段，导致性质定理误用出错。 2. 灵活结合三角形题型，挖掘图形中隐藏的角平分线条件，完成等量代换解题。 第一章 认识三角形 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 知识点一 角平分线的性质定理 1 角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 即学即练 ．．．． 1．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知AC 平分 DAB ，CE AB ⊥ 于E ，若 6 AB = ， 3 / 25 学科网（北京）股份有限公司 4 AD = ， 6 ABC S = △ ，则ACD 的面积为（ ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．（25-26 八年级下·广东清远·期中）如图，在ABC 中，CD是AB 边上的高，BE平分 ABC ，交CD于 点E ，已知， 8 BC = ， 2 DE = ，则BCE 的面积等于 ___________． 3．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形ABDC 的面积为16，AD平分 BAC ，且 DE AC ⊥ ， 10 AB AC + = ． (1)求点D 到AC 的距离DE 的长； (2)若 180 C B += ，求证：BD DC = ． 知识点二 角平分线的画法 如图所示：作∠AOB 的角平分线 4 / 25 学科网（北京）股份有限公司 （1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB 于点D、E； （2）分别以点D、E 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C； （3）过O、C 两点作射线OC，射线OC 就是∠AOB 的角平分线. 即学即练 ．．．． 4．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知ABC ，用直尺和圆规作一点P，使它到点A 和点C 的距离相等，且到线段AC 与线段BC 所在直线的距离也相等（保留作图痕迹，不必写出作法）． 5．（25-26 八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知ABC ， 90 C = ． (1)用尺规作图法作出ABC 的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作AB 的中垂线m （不写作法，保留作图痕迹）． 6．（25-26 八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在ABC 中， 50 B = ∠ ． (1)请你用直尺，圆规作出ABC 的角平分线AN ．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若 82 ANC = ，求 C 的度数． 5 / 25 学科网（北京）股份有限公司 题型01 角平分线的概念 典｜例｜精｜析 1．已知OC 是 AOB 的平分线，D 是OC 上一点，E 、F 分别OA、OB 上一点．有如下两个说法：①若 DE OA ⊥ 于E ，DF OB ⊥ 于F ，则DE DF = ；②若DE DF = ，则DE OA ⊥ ， ⊥ OF OB ．关于这两个说 法，正确的是（ ） A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①和②均正确 D．①和②均错误 变｜式｜巩｜固 2．已知ABC 是一个任意三角形，用尺规作出 A ， B 的平分线，如果两条角平分线交于点O，下列说 法不正确的是（ ） A．点O 到ABC 三个顶点的距离一定相等 B． C 的平分线一定经过点O C．点O 到ABC 三边的距离一定相等 D．点O 一定在ABC 的内部 3．下列说法错误的是（ ） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 4．如图，在ABC 中， 90 C = ，D E ， 是AC 上两点，BD平分 EBC ，BE平分 ABD ，那么下列说 法中不正确的是（ ） 解题贴士 角平分线是平分角的射线，从顶点出发；需分成两个完全相等的角，三角形角平分线为线段，不可混淆 射线、线段两种形式。 6 / 25 学科网（北京）股份有限公司 A．CD的长度等于D 到BE的距离 B．BC 是ABE 的高 C． 1 2 3 = = D．BD是ABC 的角平分线 题型02 与角平分线有关的内角和问题 典｜例｜精｜析 5．如图，ABC 中，BO、CO分别是 ABC 、 ACB 的平分线， 50 A = ，则 BOC 等于（ ）． A．110 B．115 C．120 D．130 变｜式｜巩｜固 6．如图，ABC 中，CD是边AB 上的高， 30 BCD = ， 80 ACB = ，AE 是 CAB 的平分线，则 AEB 的度数为________． 7．如图所示，ABC 中， A x = ，BP，CP ，BM ，CM 分别是 ABC ， ACD ， PBC ， PCB 的平 分线，则 M 的度数为_________（结果用x 表示） 解题贴士 分清内外角平分线类型，结合三角形内角和列式，记得作垂线用等距性质，找准角度等量关系再计算。 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 8．如图，在直角ABC 中， 90 ACB = ，CD AB ⊥ 于D，AF 平分 CAB 交CD于点E，交BC 于点F． (1)试说明 CEF CFE = ． (2)若 50 B = ∠ ，求 AEC 的度数． 题型03 角平分线的判定定理 典｜例｜精｜析 9．如图，BP为 MBN 的平分线，点A、C 分别在MB 、BN 上，连接AC 、AP ，AP 恰为 MAC 的平分 线，过P 作PE BM ⊥ 于E，PF AC ⊥ 于F，PG BN ⊥ 于G．求证：点P 在 ACN 的平分线上． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上， , DE AB DF AC ⊥ ⊥ ，垂足分别为E，F，连接AD，EF ．当 AD与EF 满足什么条件时，AD是ABC 的角平分线？为什么？ 解题贴士 需满足点在角内部，到角两边垂线段长度相等，缺一不可；不可用斜线段判定，分清判定与性质的条件 结论，避免颠倒。 8 / 25 学科网（北京）股份有限公司 11．已知ABC 中，BE平分 ABC ，BE交AC 于点E ，CD平分 ACB ，交AB 于点D，BE与CD交于点 O． (1)如图1．求证： 1 90 2 BOC BAC = + ； (2)如图2，连接OA，求证：OA平分 BAC ． 12．如图，ABC 的角平分线BM CN ， 相交于点P．求证： (1)点P 到三边AB BC CA ， ， 的距离相等； (2) ABC 的三条角平分线交于一点． 题型04 利用角平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 13．如图，四边形ABDC 中， 20 DAB DAC = = ， 114 ABD = ， 66 CBD = ，则 BCD 的度数为 （ ） 9 / 25 学科网（北京）股份有限公司 A．40 B．44 C．46 D．48 变｜式｜巩｜固 14．如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ，分别以点A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于M、 N 两点，作直线MN ，分别交AC AB 、 于点P、D，连接BP．若点P 到AB BC 、 的距离相等，则 APD 的 度数为（ ） A．30 B．45 C．60 D．75 15．如图，ABC 的内角 ABC 与外角 ACF 的平分线交于点D ，连接AD，若 35 BDC = ，则 DAC 的度数是_____________． 16．如图，在ABC 中，AD平分 BAC ，P 为线段AD上的一个动点，PE AD ⊥ 交BC 的延长线于点E ． (1)若 30 B = ， 60 ACB = ，求 E 的度数； (2)求证： ( ) 1 2 E ACB B = − ． 题型05 利用角平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 17．如图，在ABC 中，BD是ABC 的角平分线，DE BC ⊥ ，若 3 ABD S = ， 2 DE = ，则AB 的长度为 （ ） 10 / 25 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．2 C．6 D．12 变｜式｜巩｜固 18．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，连接AD， 5 CD BD = ，CI 平分 ACB 交AD于点I ，IH AC ⊥ 于点H ，若 6, 8, 2 ABD BC AC S = = = ，则IH 的长为_____． 19．如图，AD为ABC 的中线，BE为ABD 的角平分线，过点E 作EN AB ⊥ 于点N ，EM 为BED 的 高． (1)若 140 BEA = ， 25 BAD = ，求 ABD 的度数； (2)若 16 AB = ， 8 BD = ， 64 = ABC S ，求EM 的长． 20．如图，在ABC 中，CD平分 ACB 交AB 于点D ，DE AC ⊥ 于点E ，DF BC ⊥ 于点F ， : 9:7 AC BC = ．若 14 BD = ，求AB 的长． 题型06 利用角平分线的性质求面积 典｜例｜精｜析 11 / 25 学科网（北京）股份有限公司 21．如图，AD是ABC 的角平分线，DE AB ⊥ ，垂足为E ，若 6 AB = ， 4 AC = ， 2 DE = ，则ABC 的面 积为（ ）． A．20 B．12 C．10 D．6 变｜式｜巩｜固 22．如图，在ABC 中， ACB 和 BAC 的平分线交于点O， 6cm AB = ， 8cm BC = ，ABO 的面积为 2 9cm ，则BOC 的面积为______． 23．如图，在ABC 中，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ． (1)若 70 A = ， 60 ABC = ，求 BDC 的度数； (2)若DE AB ⊥ 于点E， 2 DE = ， 9 BC = ，求BCD 的面积． 24．阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，AD是ABC 的 角平分线，AB ，AC ，BD，CD之间的关系为： : : AB AC BD CD = ． 12 / 25 学科网（北京）股份有限公司 思路：“关联”角平分线的性质，过点D 分别作DE AB ⊥ 垂足为E，作 DF AC ⊥ 垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D 作DE AB ⊥ 于点E，DF AC ⊥ 于点F，过点A 作AG BC ⊥ 于点G，因为AD是 BAC 的角平分线，且DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， 所以DE DF = （依据）． 因为 1 2 ABD S AB DE = ， 1 2 ACD S AC DF = ， 所以 : : ABD ACD S S AB AC = ． 因为AG BC ⊥ ， 所以 ABD S = ACD S = …… 解后反思： 关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质 完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务： (1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ； (2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在ABC 中，点E 为AC 的中点，AD平分 BAC ， : 4:3 CD DB = ，AD与BE交于点 O，OP AC ⊥ 于点P，OQ AB ⊥ 于点Q，已知 AOE △ 的面积为6，则ABC 的面积为 ． 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 题型07 角平分线与垂直平分线结合问题 典｜例｜精｜析 25．如图，AD是ABC 的角平分线，DE DF ， 分别是AED 和ACD 的高，得到下列四个结论：① OA OD = ；② ⊥ AD EF ；③AE AF = ；④ 2 2 2 2 AE DF AF DE + = + ．其中正确的是（ ） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 变｜式｜巩｜固 26．如图，在ABC 中， 75 A = ，BP是 ABC 的角平分线，根据图中尺规作图的痕迹推断，若 12 ACP = ，则 ABP 的度数为（ ） A．12 B．31 C．53 D．75 27．如图，在ABC 中，CD是角平分线， 90 BAC = ，直线l 垂直平分AC ，交BC 于点E ．若 4 AD = ， 5 BD = ，ABE 的周长为24，则BCD 的面积为____________． 28．如图，AD是ABC 的角平分线， , DE AB DF AC ⊥ ⊥ ，垂足分别是E ，F ，连接EF ，EF 与AD相交 于点G ． 14 / 25 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：AD垂直平分EF ； (2)若ABC 的面积为24， 7, 4 AC DF = = ，求AB 的长． 题型08 尺规作角平分线 典｜例｜精｜析 29．如图，在Rt ABC △ 中， 90 A = ， 8 BC = ． (1)请用尺规作出 ABC 的平分线，交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若 4 AD = ，求BCD 的面积． 变｜式｜巩｜固 30．如图，请在图①中作出ABC 的内角平分线BD，在图②中作出ABC 的边BC 上的中线AD，在图 ③中作出ABC 的边BC 上的高AH ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作 线段用实线） 31．如图，AD是ABC 中BC 边上的高． 15 / 25 学科网（北京）股份有限公司 (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作ABC 的角平分线BE，交AD于点F ； (2)在（1）的条件下，若 46 ABC = ，求 AFE 的度数． 32．用无刻度直尺和圆规作图： ①画出 BCA 的角平分线CD； ②在线段BC 上找一点E，使得ABE 和 ACE △ 面积相等 题型09 角平分线的辅助线添加问题 典｜例｜精｜析 33．已知点C 是 MAN 平分线上一点， BCD 的两边CB ，CD分别与射线AM ，AN 相交于B ，D 两点， 过点C 作CE AB ⊥ ，垂足为E ， 180 ABC ADC + = ． (1)若 4 CE = ，则点C 到AN 的距离是________； (2)如图1，当点E 在线段AB 上时，则BC 和CD满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，若 5 AE = ， 6 AD = ， 3 CE = ，求 BCE S ． 变｜式｜巩｜固 34．如图，在四边形ABCD中，AC 平分 DAB ， 180 ABC ADC + = ，CE AB ⊥ ． (1)求证：BC CD = ． 16 / 25 学科网（北京）股份有限公司 (2)若 7 AE = ， 4 BC = ，求四边形ABCD的周长． 35．已知：OP 平分 MON ，点A，B 分别在边OM ON ， 上，且 180 OAP OBP + = ． (1)如图1，当 90 OAP = 时，求证：OA OB = ； (2)如图2，当0 90 OAP < 时，作PC OM ⊥ 于点C．求证： ①PA PB = ； ②请直接写出OA OB AC ， ， 之间的数量关系为___． 36．如图，在ABC 中，点D 在BC 边上， 40 BAD = ， ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作 EF AB ⊥ ，交BA的延长线于点F ，且 20 AEF = ，连接DE ． (1)求证：DE 平分 ADC ； (2)若 6 5 7 AB AD CD = = = ， ， ，且 12 ACD S = △ ，求ABE 的面积． 题型10 角平分线的新定义问题 典｜例｜精｜析 37．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为 “最小角割比Ω”（ 1 ），那么三边长分别为7，24，25 的三角形的最小角割比Ω 是______． 变｜式｜巩｜固 38．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友 谊三角形． 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形ABCD中，AC 平分 BAD ，AD AB ，ABC 与ACD 是友谊三角形，请探究 D 与 B 之间的关系． 39．我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果 A = ， 180 C = − ，对角线BD平分 ABC ，我们 称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” ABCD中，当 90 = 时，根据教材中一个重要性质直接可得 DA DC = ，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想DA与DC 的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰ABC 中， 100 BAC = ，BD平分 ABC ，求证：BD AD BC + = ． 40．我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果 A = ， 180 C = − ，对角线BD平分 ABC ，我们 称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形” ABCD中，当 90 = 时，根据教材中一个重要性质直接可 得DA DC = ，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想DA与DC 的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在ABC 中，AB AC = ， 100 BAC = ．BD 平分 ABC ，求证：BD AD BC + = ． 18 / 25 学科网（北京）股份有限公司 基础通关 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，点P 是 AOB 的角平分线上一点，PE OA ⊥ 于点E，点F 是射线OB 上任 意一点，则（ ） A． PF PE B． PF PE C． PF PE D． PF PE 2．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图射线OC 平分 AOB ，点D 在OC 上，DE AO ⊥ ，DF BO ⊥ ，若 3 DE = ，则DF 的长度为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，AD是ABC 的平分线，DE AB ⊥ 于点E，DF AC ⊥ 于点 F．若 16.8 ABC S = △ ， 2.8 DE = ， 5 AC = ，则AB 的长是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（25-26 八年级上·四川南充·期末）在Rt ABC △ 中， 90 C = ，以A为圆心，适当长为半径画弧，交 AC ，AB 于D，E 两点，再分别以D ，E 为圆心，大于1 2 DE 的长为半径画弧，两弧交于点M ．作射线 AM 交BC 于点F ，若 3 BF = ， 5 BC = ，则点F 到AB 的距离为（ ） 19 / 25 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．2.5 D．2 5．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知 50 CAB = ，可以求出 DAB =______． 6．（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 B = ，AD平分 BAC ， 10 BC = ， 6 CD = ，则点D到AC 的距离为______． 7．（25-26 八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在ABC 中，AD为BAC 的平分线，DE AB ⊥ 于E， DF AC ⊥ 于F，ABC 的面积是30， 12 AB = ， 10 AC = ，则DE =____________ 8．（25-26 八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知AD BC ， ABC 的平分线BP与 BAD 的平分线AP 相交 于点P ，作PE AB ⊥ 于点E ，作MN AD ⊥ 于点M ，交BC 于点N ．若 2 PE = ，则两平行线AD与BC 之间 的距离MN 为_________． 9．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，在ABC 中， 60 BAC = ， 45 B = ． (1)画出ABC 的角平分线AD； (2)求 ADB 的度数． 20 / 25 学科网（北京）股份有限公司 10．（25-26 八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在ABC 中，O 为 ABC ， ACB 的平分线的交点， OD AB ⊥ ，OE AC ⊥ ，OF BC ⊥ ，垂足分别为 , , D E F ． (1)OD 与OE 是否相等，请说明理由； (2)若ABC 的周长是40，且 6 OF = ，求ABC 的面积． 素养提升 11．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在ABC 中，CD平分 ACB ，DE BC ⊥ 于点E ，ABC 的面积为28 ， 4 DE = ， 9 BC = ，则AC 的长是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（2026·陕西渭南·一模）如图，在ABC 中， 3 2 BC AB = ， ABC 的平分线BD交AC 边于点D．若 ABC 的面积为15，则ABD 的面积为（ ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 13．（25-26 九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在ABC 中，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，两弧 交AB ，AC 于点E，F；分别以点E，F 为圆心，大于1 2 EF 的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG 交BC 于点D．若 9 AB = ， : 3:2 BD CD = ，则AC 的长为（ ） 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 A．5 B．6 C．7 D．8 14．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图所示，AP 垂直于 ABC 的平分线BP于点P ，BPC 的面积为 2 10cm ，则ABC 的面积为（ ） A． 2 15cm B． 2 20cm C． 2 25cm D． 2 30cm 15．（15-16 八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在ABC 中，CD是AB 边上的高线，BE平分 ABC ，交 CD于点E， 5 BC = ， 2 DE = ，则BCE 的面积等于__________． 16．（25-26 八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，ABC 的面积为42，AD平分 BAC ，M 为AD的中 点，点N 在CM 上， : 2:1 CN MN = ，若阴影部分的面积为4 ，则AB AC 的值为______． 17．（25-26 八年级上·四川南充·期中）如图，点P 为定角 AOB 平分线上的一个定点．且 MPN 与 AOB 互补．若 MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：① MN 的长不变；②OM ON + 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④ : : PMO PNO S S MO NO = △ △ ，其 中，正确的结论有______（填序号） 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 18．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 BAC = ， 5 AB = ， 12 AC = ， 13 BC = ，BD平分 ABC 交AC 于点D，点E，F 分别是BD，AB 上的动点，则： （1）AD的长为______； （2）AE EF + 的最小值为______． 19．（25-26 八年级上·四川泸州·期中）如图，ABC 的外角 CBD ， BCH 的平分线BP，CP 相交于点 P，PE AD ⊥ 于点E，PF AC ⊥ 于点F． (1)求证：PE PF = ； (2)连接AP ，若 36 ABC = ，求 APC 的度数． 20．（25-26 八年级上·广西南宁·阶段检测）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，OC 是 AOB 的平分 线，P 是OC 上任一点，作OA与OB 的垂线，垂足分别为点D 和点E，通过测量，我们发现PD与PE相 等．再类似取点 1P ， 2P ，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 23 / 25 学科网（北京）股份有限公司 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1 写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形ABCD中， B C = ，点E 在BC 边上，AE 平分 BAD ，DE 平分 ADC ．求证：BE CE = ． 迁移创新 21．（25-26 八年级上·河北邢台·期中）如图，已知AC 平分 DAB ，CE AB ⊥ 于E， 2 AB AD BE = + ，则 下列结论：① 2 AB AD AE + = ；② 180 DAB DCB + = ；③CD CB = ；④ △ △ △ = − ACE BCE ADC S S S ；其中正 确结论的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 22．（25-26 八年级上·山东临沂·期中）如图，在 AOB 的边OA，OB 上取点M ，N ，连接MN ，MP 平分 , AMN NP 平分 MNB ，若 2 MN = ，PMN 的面积是4， OMN △ 的面积是6，则OM ON + 的长是 _____． 23．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在ACB 中， 90 ACB = ，AD平分 , 5, 12, 13 BAC BC AC AB = = = ，其中E 是AC 上的动点，F 是AD上的动点，则EF FC + 的最小值为 _____ ． 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 24．（25-26 八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：OP 平分 AOB ， DCE 的顶点C 在射线OP 上，射线 CD交射线OA于F ，射线CE 交射线OB 于G ． (1)如图①，若CD OA ⊥ ，CE OB ⊥ ，请直接写出线段CF 与CG 的数量关系：___________； (2)如图②，若 120 AOB = ， DCE AOC = ，试判断线段CF 与线段CG 的数量关系并加以证明； (3)若 AOB = ，当 DCE 满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出 DCE 满足 的条件． 25．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段检测）在ABC 中， 5 AB = ， 3 AC = ．若点D 在 BAC 的平分线所在 的直线上． (1)如图1，当点D在ABC 的外部时，过点D 作DE AB ⊥ 于E ，作DF AC ⊥ 交AC 的延长线于F ，且 BE CF = ．求证：点D 在BC 的垂直平分线上； (2)如图2，当点D在线段BC 上时，若 90 C = ，BE平分 ABC ，交AC 于点E ，交AD与点F ，过点F 作FG BE ⊥ ，交BC 于点G ． ① DFG = ； ②若 4 BC = ， 4 3 EC = ，求GC 的长度． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图3，过点A的直线l BC ，若 90 C = ， 4 BC = ，点D 到ABC 三边所在直线的距离相等，则点D 到直线l 的距离是______．
