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1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 2.1 图形的轴对称 课标要点 1.理解轴对称图形的概念，掌握对称轴定义，能够判断常见平面图形是否为轴对称图形， 分清轴对称图形与两图对称的不同。 2.掌握轴对称的基本性质，明确对称轴垂直平分对应点连线，对应边相等、对应角相等， 折叠前后图形大小形状不变。 3.学会轴对称图形的作图方法，通过找点、作对称点、顺次连线完成画图，能利用轴对称 性质进行简单计算与解题。 学习重难点 重点： 1.掌握轴对称图形和对称轴的概念，能准确识别生活与几何中的轴对称图形。 2.熟练运用轴对称性质，求解线段长度、角度大小等基础几何计算问题。 3.掌握作轴对称图形的步骤，规范、准确画出图形的轴对称图形。 难点： 1.准确区分轴对称图形与两个图形关于直线对称的概念。 2.灵活结合轴对称性质，解决折叠类几何综合题型。 3 在复杂图形中准确找出对应点，正确完成轴对称作图。 第二章 特殊三角形 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 知识点一 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 3 / 31 学科网（北京）股份有限公司 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过 来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 即学即练 ．．．． 1．（2026·浙江金华·二模）下列新能源汽车图标中，属于轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级上·江西南昌·期中）图中阴影部分是由4 个完全相同的正方形拼接而成的，若要在 ①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴 对称图形，则这个正方形可添加的区域有__________个． 知识点二 轴对称与轴对称图形的性质 轴对称的性质： 4 / 31 学科网（北京）股份有限公司 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 ① 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L 成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大 小完全相同） ② 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L 的对称点。 ③ 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 即学即练 ．．．． 3．（25-26 七年级下·山东青岛·阶段检测）如图：点P 为 内一点，分别作出P 点关于 的 对称点 ， ，连接 交 于M，交 于N， ，则 的周长为_________． 4．（24-25 七年级下·江苏常州·期中）如图， 和 关于直线 对称， 和 的交点 在 直线 上． (1)若 ， ，求 的长； (2)连接 ，则 和直线 的关系为 ． 5 / 31 学科网（北京）股份有限公司 题型01 轴对称图形的识别 典｜例｜精｜析 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称 图形的是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 2．有下列图形：①线段；②角；③两条平行线；④圆；⑤直角三角形；⑥平行四边形．其中不一定是轴 对称图形的是_________（填序号）． 3．如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新 图形是轴对称图形，那么该小正方形的序号可以是______（填一个即可）． 4．如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴． 解题贴士 判断轴对称图形，关键寻找一条直线，使直线两侧部分折叠后完全重合。先观察图形轮廓，尝试水平、 竖直、斜线方向验证。牢记常见轴对称图形特征，避免仅凭视觉对称主观判断。做题时可想象折叠效果， 快速排除不符合的图形，准确找出所有对称轴。 6 / 31 学科网（北京）股份有限公司 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 典｜例｜精｜析 5．将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后 的图形是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 6．如图，将一正方形纸片沿图1 中的对角线对折一次得图2，再沿图2 中的斜边上的中线对折一次得图 3，然后用剪刀沿图3 中的虚线剪去一个角得图4，将图4 展开铺平后的平面图形是（ ） 解题贴士 利用成轴对称的特征判断，先抓住核心：对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等。解题 时先找准对称轴，标记对应点，检验上述关系是否成立。区分 “一个轴对称图形” 与 “两个图形成轴 对称”，结合折叠重合思路验证，快速完成正误判定。 7 / 31 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 7．已知点 与点 ，点 与点 都关于直线成轴对称，并且点 、 所在的直线与点 、 所在的直 线相交于点 ，连接 ，判断下列结论：① ；②点 在直线上；③直线 ；④ ，其中正确的结论有______（只填写序号）． 8．在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点． 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 典｜例｜精｜析 9．如图， 与 关于直线l 对称，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 10．如图， 内一点P， 、 分别是P 关于 、 的对称点， 交 于M，交 于N，若 解题贴士 求解成轴对称相关问题，依托性质：对应角、对应线段相等，对应点连线被对称轴垂直平分。解题先定 位对应元素，转化线段与角度条件。遇到折叠题型可还原对称关系，把未知量转化为已知量，结合几何 等量关系列式计算。 8 / 31 学科网（北京）股份有限公司 ，则 的周长是（ ） A． B． C． D． 11．如图，在 中，点 、 分别在 、 边上，连接 ， ， 与 关于 所在直线对称．若 ，则 的度数为________ ． 12．如图，已知 与 关于直线 对称，直线 分别与 、 交于点 ， ， ， ， ， ． (1)求 的长． (2)求 的面积． (3)求 的面积． 题型04 对称轴 典｜例｜精｜析 13．请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴 对称图形，并用虚线画出其对称轴． 9 / 31 学科网（北京）股份有限公司 变｜式｜巩｜固 14．如图，在正方形网格中，点 ， ， 均在格点上．用无刻度直尺按要求画图（不写画法，保留画图 痕迹）． (1)在图1 中，画出 关于直线 对称的 ； (2)在图2 中，已知 与 成轴对称，在图中画出对称轴； (3)如图3，方格纸上有两条线段，请在图3 中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形（在网格中画出所 有符合条件的线段）． 15．如图1，棋盘上已经摆放好了3 个棋子，如图2 所示，再添加一个棋子后，这4 个棋子恰好构成一个 轴对称图形，直线m 为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3 的棋盘格点上添加1 个棋子，使4 个棋子构成一个轴对称图形，并画出对 称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2 方法）． 16．认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． 10 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 题型05 设计轴对称图案 典｜例｜精｜析 17．轴对称性是一种经典的几何性质．按要求完成画图． (1)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形关于虚线成轴对称； (2)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形成轴对称，画出两种添加方法． (3)用7 个大小完全相同的小正方格，设计一个轴对称图形（要求7 个方格均要用上）． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴 影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 19．如图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中，有如下三个由阴影部分构成的图案． 11 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)请写出以上三个图案都具备的3 个特征：①__________；②___________；③__________． (2)请你借助下面的网格设计出三个由阴影部分构成的图案，使它们也具备你所写出的上述特征． 20．如图是 的正方形网格，其中的4 个正方形已被涂黑．请你再将1 个空白的小正方形涂黑，使图中 涂黑部分组成的图形为轴对称图形，画出三种不同的方案． 题型06 台球桌面上的轴对称问题 典｜例｜精｜析 21．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且 ，若 ，则 （ ） A． B． C．53° D． 变｜式｜巩｜固 22．如图，桌球的桌面上有 两个球，若要将球 射向桌面的一边，反弹一次后击中球 ，则 四个点中，可以反弹击中球 的是（ ） 12 / 31 学科网（北京）股份有限公司 A．点 B．点 C．点 D．点 23．如图，在长方形 中， ，一发光电子开始置于 边上的点P 处，并设定此时为发 光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着 方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射 的反射角和入射角都等于 ，当发光电子与长方形的边碰撞2026 次后，它与 边的碰撞次数是 ______． 24．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射 角．如图1，法线 垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射 角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌 上有两个球 ， ．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球 撞击台球桌边 反射后，撞到球 ．在图2 中画出，并说明做法的合理 性． (2)请你设计一路径，使得球 连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球 ，在图3 中画出一种路径即可． 题型07 轴对称中的光线反射问题 典｜例｜精｜析 25．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图， 一束光线 先后经平面镜 、 反射后，反射光线 与 平行，若 ，则 的度 数为（ ） 13 / 31 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 26．如图①，物理学中把过入射点 并且垂直于镜面的直线 称为法线，入射光线与法线的夹角称为入 射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面 内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即 ，这就是光的反射定律．如 图②， ， 为两块平面镜，一束光线从点 射出，经过平面镜两次反射后经过点 ，两条光线 ， 相交于点 ．若两条光线的夹角 ，则两块平面镜的夹角 的度数为（ ） A． B． C． D． 27．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知 ，光从 点平行 于 进入棱镜，在 边上点 处反射，到达 边点 处，经过再一次反射，然后沿垂直 边方向， 从点 处离开棱镜，若 ，则 的度数为________． 28．科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与 镜面的夹角．即下图中 ； 14 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)窗外一束光从C 处斜射到平面镜上的点E 处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点 D 处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段 表示，铅笔加黑加 粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有 ， ．设镜子 与 的夹角 ．若 ，入射光线 与反 射光线 的夹角 ．求 的度数； (3)如图③，若 ，设镜子 与 的夹角 ，入射光线 与镜面 的 夹角 ，已知入射光线 从镜面 反射到镜面 ，再反射到镜面 ，最后经镜面 反射后，当反射光线与入射光线 平行时，探索m 与γ 的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若 ，已知入射光线 与镜面 平行，经过 次反射后，反射光线按原路返 ．．． 回．，请直接写出α 满足的条件． 题型08 镜面对称问题 典｜例｜精｜析 29．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是 （ ） 解题贴士 镜面对称属于轴对称，镜面充当对称轴，图像左右相反。解题可利用翻折思想，或将试卷反向观察得到 真实图案。牢记镜中时刻读数技巧，分清上下不变、左右颠倒规律，依托轴对称性质转化条件，快速求 出真实数字、时间等答案。 15 / 31 学科网（北京）股份有限公司 A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 变｜式｜巩｜固 30．在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位 置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是 （ ） A． B． C． D． 31．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代 码对应的实际数字代码是____________． 32．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对 称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2 所示，则电子钟的实际时间应该 是______． 16 / 31 学科网（北京）股份有限公司 题型09 折叠问题 典｜例｜精｜析 33．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 、 ．若 ，且 ，则 的度数为_________． 变｜式｜巩｜固 34．如图，已知长方形纸片 ， ，点 和点 分别在边 和 上，且 ，点 和点 分别是边 和 上的动点，现将点 分别沿 ， 折叠至点 ， ， ， ，若 ，则 的度数为___________． 35．把一长方形（四个角为 ）纸片 的一角折起来，折痕为 ，使 ，如图1． (1)求 ； (2)再沿 对折长方形 ，使 点落在 点上，如图2．若 ，求 ． 解题贴士 折叠问题本质是轴对称变换，折叠前后两个图形关于折痕成轴对称。对应线段相等、对应角相等，对应 点连线被折痕垂直平分。解题首先锁定相等的边与角，标出等量关系。常结合直角三角形、平行线性质 设未知数，利用勾股定理或角度关系建立方程求解。注意挖掘隐藏相等条件，区分重叠线段，厘清图形 位置变化，避免遗漏多解情况，准确完成计算与证明。 17 / 31 学科网（北京）股份有限公司 36．已知 ， 分别是长方形纸条 边 ， 上两点（其中 且 ），如图所示沿 ， 所在直线进行第一次折叠，点 ， 的对应点分别为点 ， ， 交 于点 ． (1)若 ，则 的度数为 ． (2)如图 ，继续沿 进行第二次折叠，点 ， 的对应点分别为点 ， ． ①若 ，则 的度数为 ． ②若 ，请求出 的度数． 题型10 最短路径问题 典｜例｜精｜析 37．如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： (1)画直线 ； (2)画射线 ； (3)在平面内找一点E，使点E 到A，B，C，D 四点距离之和最短． 变｜式｜巩｜固 解题贴士 最短路径问题依托轴对称变换解题。作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，连线和直线 的交点即为所求动点位置。依据两点之间线段最短，将折线段转化为直线段。解题规范作出对称点，理 清转化思路，直接确定最短路径，无需借助勾股定理计算长度。 18 / 31 学科网（北京）股份有限公司 38．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一 系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线 是一条输气管道， ， 是管道同侧的两个村庄，现计划在直线 上修建一个供气站 ， 向 两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ） A. B. C. D. (2)如图，草地边缘 与小河河岸 在点 处形成夹角，牧马人从 地出发，先让马到草地吃草，然后 再去河边饮水，最后回到 地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 39．如图1，点A、B 两点在直线的同侧，点 与A 关于直线对称，连接 交于点 ，设 ． (1)求 ； (2)若点 是直线上异于点 的任意一点．求证： ； (3)如图2，在上求作一点 ，使 最小．作法： 40．在立方体纸盒的顶点A 处有一只蚂蚁，在另一顶点E 处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路 19 / 31 学科网（北京）股份有限公司 线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案： (1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ． (2)请根据数学知识说明理由： ． 题型11 线段问题综合 典｜例｜精｜析 41．如图，在四边形 中， ，M，N 分别是边 上的动点，当 的周长最小时， 的大小是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 42．如图，在 中， ， 是 的平分线．若 分别是 和 上的动点，则 的最小值是（ ） 20 / 31 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 43．如图，四边形 中， ， ，在 ， 上分别找一点 ， ，使 的周长最小时，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 44．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB＝48°，点M 和点N 分别是射线OB 和射线OA 上的动点， 当△PMN 的周长为最小时，∠MPN 的度数为____度． 题型12 面积综合 典｜例｜精｜析 45．如图， 和 关于 所在的直线成轴对称，点 ， 是中线 上的两点， 的面积是 ，则图中阴影部分的面积是________． 21 / 31 学科网（北京）股份有限公司 变｜式｜巩｜固 46．如图，在 中， ， ，点A 关于 的对称点为 ，点B 关于 的对称点为 ，点C 关于 的对称点为 ． (1)在图中画出 ； (2)若 的面积为 ，则 的面积是______． 47．如图1，已知长方形 中， ，连结 ，动点P 从点A 出发，以 的速度沿 的方向运动向终点C 运动，连结 ．设P 点运动的时间为t（秒） (1)当 时， _____ ；当 时， ______ ． (2)在点P 的运动过程中，当 平分 或 的面积时，求t 的值． (3)如图2，当点P 不与点B 重合时，作点P 关于 的对称点 ，分别连结 ①当 最短时，直接写出此时四边形 的面积； ②当四边形 的面积是长方形 的面积 时，直接写出t 的值． 48．如图， ，点 、 分别在射线 、 上， ， 的面积为 ， 是直线 上的动点，点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称点为 ，当点 在直线 上运动时， 的面积最小值为______ ． 22 / 31 学科网（北京）股份有限公司 题型13 角度问题综合 典｜例｜精｜析 49．如图，在菱形 中， ，P 为AD 边上一点，连接 ，作 关于 对称的 ，点F 与点E 关于 对称．设 ，若点F 在 内（不包括边界），则x 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 50．矩形 ，若按如图（1）翻折，点 的对应点 恰好落在 上，折痕分别为 ， ，则 的度数为 ；若按如图（2）翻折，点 的对应点 落在 的内部（不含角的两边），已知 ， ，则 的度数为______． 51．如图，在四边形 中， ， ，点M，N 分别是 ， 上两个动点， 当 的周长最小时， 的度数为________ ． 23 / 31 学科网（北京）股份有限公司 52．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸 片 中， ， 分别是边 ， 上一点，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处；再将 沿 折叠，使点 落在点 处，且 ， ， 三点在同一条直线上． (1)求 的大小； (2)图2 是由图1 得到的四边形纸片 ， ， 分别是边 ， 上一点，将纸片 沿 折 叠，使点 的对应点 恰好落在边 上， ， ，求 的大小． 基础通关 1．（25-26 七年级下·浙江宁波·期中）下列图案中，可以看作是由图案自身的一部分经平移后得到的是 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26 七年级下·江苏镇江·期中）如图，在 中， ，点F、G 是边 上的两点， 分别以线段 、 为折痕进行折叠，点B、点C 的对应点分别为点 、点 ，若线段 、 在同 一条直线上，则 的度数为（ ） 24 / 31 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 3．（25-26 七年级下·江苏镇江·期中）如图，直线l 是长方形 的对称轴，点E 是直线l 上的点，若 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在 中，直线 交 于点 ，点 关于直线 对称的点 恰好在线段 上，连接 ，若 ， ， ，则 的周长是（ ） A．13 B．15 C．17 D．23 5．（25-26 八年级上·全国·单元测试）小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针 的位置如图所示，此时的时间是________． 6．（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）如图，点D、E 分别在 的边 上，将 沿直线 折叠后，点C 与点A 重合．若 的周长为 ，则线段 的长为____________． 25 / 31 学科网（北京）股份有限公司 7．（24-25 七年级下·福建福州·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次 反弹最终落入2 号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是____次． 8．（24-25 七年级下·全国·课前预习）下列说法正确的有___________个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线 的距离相等的两个点关于直线 对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 9．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，小河 边有两个村庄 ， ，现要在河边建一个自来 水厂 为 村与 村供水，自来水厂建在什么地方到 村、 村的距离和最小？请在下图中找出点 的位 置，并标出 点．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，若 与 关于直线 对称， 交 于点 ． (1)点 的对称点是点_______，点 的对称点是点______； (2)若 ，则 _______； (3)写出两组相等的线段． 素养提升 11．（25-26 七年级下·浙江宁波·阶段检测）小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的 26 / 31 学科网（北京）股份有限公司 纸片进行了折叠： 若图3 中， ，则 （ ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西西安·三模）如图，一束光线从 上的点 发出，经过平面镜 上的点 反射后，其 反射光线 与 平行，若测得 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 13．（25-26 九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图， 与 交于点 ， 与 关于直线 对 称，点 ， 的对称点分别是 ， ， 交 于点 ．下列说法中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 14．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的动点，当 的周长最小时， 的度数是（ ） A． B． C． D． 15．（25-26 七年级下·浙江舟山·期末）如图，在一次数学实践活动课中，某同学将一条对边互相平行的 27 / 31 学科网（北京）股份有限公司 纸带进行两次折叠．第一次沿 折叠， ， 落在 ， 处， 交 于点 ，第二次沿 折叠， ， 落在 ， 处，若 ，则 的度数为_________． 16．（25-26 七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的 电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 17．（25-26 七年级下·浙江金华·期末）如图，已知在 中， ，点 为边 上一点．点 为射线 上的一点，连接 ，将 向上翻折得到 ，使点 的对应点为点 ，连接 ．记 ， ，若 ，则 与 的数量关系为________． 18．（25-26 七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张足够长的长方形纸条的左侧进行折叠，折痕为 ，点A，B 的对应点分别为 ， ， ，边 ， 上分别有动点M，N，再将纸条右侧 沿着 折叠，折叠后点C，D 的对应点为 ， ，若 ，则 的度数为__________． 19．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1 个单位长 度， 的三个顶点都在格点上． 28 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)画出 关于直线 成轴对称的 ； (2)在直线 上找一点 ，使 的周长最小，请用画图的方法确定点 的位置，并直接写出 周 长的最小值为_________． 20．（25-26 七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的 反射现象．根据光学规律：反射 光线与镜面所成的锐角，和入射 光线与镜面所成的锐角大小相 等，例如：在图中，有 ． 完成项目： (1)项目1：如图 ，已知有两个平面镜镜面 与镜面 ，入射光线 先后经镜面 ， 形成反射， 记反射光线分别为 ， ． ①若 ，求 的度数． ②若 ， ， ，求 ， 之间的数量关系． 29 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (2)项目2：如图3，现有三个平面镜 ， ， ，入射光线 先后经镜面 ， ， 反射，反射 光线依次为 ， ， ，且满足 ． ①若 ， ，求 的度数． ②求 ， ， 的数量关系． 迁移创新 21．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）把长方形纸片 沿 折叠后再次沿 折叠成如图所示， 且 的对应线段 恰好落在 上，设 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 22．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）如图①，已知长方形纸带 （ ）， 为 上一 点．先将纸带沿 折叠，使得点 落在 处， 与 交于 点．如图②，再将纸带沿线段 折叠 一次，使得点 ， 分别落在 ， 位置．若 ，则 ________（用含 的式子表示） 30 / 31 学科网（北京）股份有限公司 23．（25-26 七年级下·浙江绍兴·期末）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，将 沿 折叠，使点 落在点 处，将线段 沿着 向右平移若干单位长度后恰好能与边 重合，连结 ．若 ，则阴影部分的周长为______． 24．（25-26 七年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，三角形 中， ，点D 是 边 上的定点，点E 在 边上运动，沿 折叠三角形 ，点C 落在点G 处．（温馨提示：三角形内角和 为180 度） (1)求 的度数． (2)当点G 落在线段 上时，请判断 和 的位置关系，并说明理由． (3)当三角形 的三边与三角形 的三边有一组边平行时，直接写出所有情况下 的度数 25．（25-26 八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A 出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料， 最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B 关于能源站直线l 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为最优燃料点 ，此时路径 最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点 ，连接 ， ， ，只要说明 即可． 证明： 直线是点 ， 的对称轴，点 ， 在上， ， ， ． 在 中， ， ，即 最小． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B 转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线 段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1 中画出最短路径； (3)如图4，在 中， ， ．若点 在 上移动，点 在 上移动，如何确定 的最小值？
