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分层作业
14.2 三角形全等的判定(第一课时 SAS)
目 录
A 组 巩固过关
题型01 利用SAS 判定全等
题型02 SAS 判定在实际生活中的应用
题型03 利用SAS 判定三角形全等综合应用
题型04 在平移图形中利用SAS 判定三角形全等
题型05 在旋转图形中利用SAS 判定三角形全等
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
利用SAS 判定全等
1．下面四个三角形中，与图中的△𝐴𝐵𝐶全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01
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【答案】C
【难度】0.85
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、用SAS 证明三角形全等（SAS）
【详解】解：由题可得∠𝐴= 180° −∠𝐶−∠𝐵= 180° −60° −54° = 66°，
A 选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意；
B 选项中66°角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意；
C 选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“SAS”能判定全等，故本选项符合题意；
D 选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意．
2．如图，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵= 𝐸𝐷，若以“SAS”为依据来判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶，还需添加一个条件为
________．
【答案】𝐵𝐶= 𝐶𝐷（答案不唯一）
【难度】0.71
【知识点】用SAS 证明三角形全等（SAS）
【详解】解：当𝐵𝐶= 𝐶𝐷时，
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐷= 90°，
∵𝐴𝐵= 𝐸𝐷，𝐵𝐶= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶(SAS)，
∴可添加𝐵𝐶= 𝐶𝐷．
SAS 判定在实际生活中的应用
3.如图，小明将两根长度不等的木条𝐴𝐶，𝐵𝐷的中点连在一起，记中点为𝑂，即𝐴𝑂= 𝐶𝑂，𝐵𝑂= 𝐷𝑂．测得𝐶，
𝐷两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上𝐴，𝐵两点之间的距离．图中△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷
全等的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAA
【答案】B
题型02
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【难度】0.85
【知识点】用SAS 证明三角形全等（SAS）
【详解】解：∵𝐴𝑂= 𝐶𝑂，𝐵𝑂= 𝐷𝑂，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷(SAS)．
4.如图，有一块三角形的镜子，小明不小心将它打破成①②两块．现需去商店配一块相同的镜子，为方便
起见，应带上第___________块．理由是___________．
【答案】 ① 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
【难度】0.85
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法在实际生活中的应用，通过实际情况来考查学生对常用的
判定方法的掌握情况．
利用SAS，进而得出全等的三角形，进而求出即可．
【详解】解：为了方便起见，需带上第①块，
其理由是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
故答案为：①，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
利用SAS 判定三角形全等综合应用
5.如图，E、F 是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐵𝐷上的两点，𝐴𝐸∥𝐶𝐹，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐵𝐸= 𝐷𝐹．求证：
(1)△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹；
(2)𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐸∥𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵．
题型03
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∵𝐷𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝐷𝐹+ 𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹，即𝐷𝐸= 𝐵𝐹．
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵，𝐷𝐸= 𝐵𝐹，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(SAS)．
(2)证明：∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
【难度】0.62
【知识点】全等三角形的性质、用SAS 证明三角形全等（SAS）、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）首先利用平行线的性质得出∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵，然后由𝐵𝐸= 𝐷𝐹进而得出𝐷𝐸= 𝐵𝐹； 接下来根据
SAS即可判定△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹．
（2）根据△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹即可证明𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
【详解】（1）略
（2）略
6.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，过点𝐵作∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶，点𝐸是边𝐴𝐵上的一点，且𝐵𝐸= 𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐴𝐶，连接𝐷𝐸交𝐴𝐶于
点𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵；
(2)若∠𝐶= 70°，∠𝐷= 25°，求∠𝐷𝐵𝐶的度数．
【答案】(1)∵𝐵𝐸= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶，𝐵𝐷= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵(SAS)．
(2)∠𝐷𝐵𝐶= 15°
【难度】0.73
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】（1）根据SAS的判定方法进行证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，即可作答．
（2）先结合全等三角形的性质得∠𝐴= ∠𝐷= 25°，∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐶= 70°，运用三角形内角和性质进行列式计
算，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐷= 25°，∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐶= 70°
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 85°，
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则∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐷= 85° −70° = 15°．
在平移图形中利用SAS 判定三角形全等
7.如图，已知𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵= 𝐷𝐸．点B、E、C、F 在同一条直线上并且𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
(1)试说明：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)判断线段𝐴𝐶与线段𝐷𝐹的关系，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐴𝐶∥𝐷𝐹；理由见解析
【难度】0.78
【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】（1）先证明∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，再进一步证明即可；
（2）由△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，可得𝐴𝐶= 𝐷𝐹，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸，进一步求解即可.
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹，
∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
．
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)；
（2）解：𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐴𝐶∥𝐷𝐹；理由如下：
由（1）知：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐹，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸，
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐹．
8.如图，点𝐶、𝐵、𝐸、𝐹在同一条直线上，𝐴𝐶∥𝐷𝐹，𝐵𝐹= 𝐶𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐹求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
【答案】证明：∵𝐴𝐶∥𝐷𝐹，
题型04
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∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸．
∵𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐹−𝐵𝐸= 𝐶𝐸−𝐵𝐸，
即𝐸𝐹= 𝐶𝐵．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸
𝐶𝐵= 𝐸𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)．
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS）
【详解】略．
在旋转图形中利用SAS 判定三角形全等
9.如图，在△ABC 中，点D 在BC 上且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，DE=12，CD=4，则BD=_________．
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题
【详解】∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC=DE．
∵DE=12，CD=4，
∴BD=BC-CD=12-4=8.
10.已知，如图，点𝐵, 𝐶, 𝐷在同一条直线上，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷= 60°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐸𝐶= 𝐷𝐶．连接𝐵𝐸, 𝐴𝐷交于点
𝑂，并分别交𝐴𝐶, 𝐶𝐸于点𝑀, 𝑁．求证：
题型05
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(1)△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸．
(2)∠𝐸𝑂𝐷= 60°．
【答案】(1)
证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷．
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，
{
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐷= 𝐶𝐸
,
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)；
(2)
证明：∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐷,
∵∠𝐸𝑁𝑂= ∠𝐷𝑁𝐶, ∠𝐸𝑂𝑁+ ∠𝐸𝑁𝑂+ ∠𝐸= ∠𝐷𝑁𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑁+ ∠𝐷= 180°，∠𝐸𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐸𝑂𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷= 60°.
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS）、三角形内角和定理的证明
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形内角和定理，解答时证明三角形全等是关键．
（1）由∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷根据等式的性质就可以得出∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，再由SAS就可以得出△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸；
（2）由△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，就可以得出∠𝐸= ∠𝐷，再根据三角形内角和定理就可以得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
1．如图，在3 × 3的方格中，每个小方格的边长均为1，若∠1 = 𝛼，则∠2的度数为（ ）
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A．80° −𝛼
B．90° −𝛼
C．60° −𝛼
D．70° −𝛼
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】用SAS 间接证明三角形全等（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等
三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐹中，
{
𝐵𝐶= 𝐸𝐹= 1
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹= 90°
𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 3
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)，
∴∠1 = ∠𝐶𝐴𝐵，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠2 = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
∵∠1 = 𝛼
∴∠2 = 90° −∠1 = 90° −𝛼，
故选：B．
2.将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB = ∠CED = 90∘，∠A = 45∘，∠D = 30∘．把△DCE
绕点C顺时针旋转15∘得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（ ）
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A．10°
B．20°
C．7.5°
D．15°
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等
【分析】根据题意证明△ACB≌△CBD1，求出∠CD1B＝45°，即可解决问题．
【详解】由题意得：∠CD1E1＝∠D＝30°，∠D1CE1＝∠DCE＝90°－30°＝60°，∵把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°
得到△D1CE1，∴∠BCE1＝15°，∴∠D1CB＝60°－15°＝45°，在△ACB 和△CBD1 中，{
𝐴𝐵=𝐶𝐷1
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷1𝐶𝐵
𝐶𝐵= 𝐵𝐶
，∴△ACB≌△CBD1，
∴∠CD1B＝∠A＝45°，∴∠E1D1B＝∠CD1B－∠CD1E1＝45°－30°＝15°，故答案选D.
【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；试题难度中等；
解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．
3.如图，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，E、F 两点分别在边AB、AC 上，若BE=CD,BD=CF, ∠B=∠C,∠A=50°,
则∠EDF 的度数为____________．
【答案】65°
【难度】0.65
【知识点】等边对等角、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】先证明△BDE≌△CFD，可得∠BDE=∠CFD，根据∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°即可求得∠EDF 的值．
【详解】在△BDE 和△CFD 中，
{
𝐵𝐸＝𝐶𝐷
∠𝐵＝∠𝐶
𝐵𝐷＝𝐶𝐹
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BDE=∠CFD，
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∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°，
∴∠CFD+∠CDF+∠EDF=180°，
∵∠CFD+∠CDF+∠C=180°，
∴∠EDF=∠C．
∵∠B=∠C，∠A=50°，
∴∠EDF=∠C=
1
2（180°-50°）=65°.
【点睛】考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△BDE≌△CFD 是解题
的关键．
4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 6，𝐷为边𝐵𝐶的中点，点𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐵，𝐴𝐶上，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
则四边形𝐴𝐸𝐷𝐹的面积为_____________
【答案】9
【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是
解题关键．连接𝐴𝐷，根据等腰直角三角形的性质以及𝐴𝐸= 𝐶𝐹得出△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，将四边形𝐴𝐸𝐷𝐹的面积
转化为三角形𝐴𝐷𝐶的面积再进行求解．
【详解】解：连接𝐴𝐷，如图：
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 6，点D 是𝐵𝐶中点，𝐴𝐸= 𝐶𝐹
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵= ∠𝐶= 45°,𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐷𝐶
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐷𝐹= 𝑆△𝐴𝐸𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐹𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶
又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6 × 6 ×
1
2 = 18
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐷𝐹=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶=9
故选：C
5.△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 7，𝐴𝐶= 5，点𝐷为𝐵𝐶的中点，求𝐴𝐷的取值范围．
小学
初中
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解：如图，延长𝐴𝐷到𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，
∵点𝐷为𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐵𝐸𝐷和△𝐶𝐴𝐷中，
{
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐴
𝐷𝐸= 𝐴𝐶
，
∴△𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)，
故答案为：A；
∵△𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐴𝐷，𝐴𝐶= 5，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 5，
∵𝐴𝐵= 7，
∴𝐴𝐵−𝐵𝐸< 𝐴𝐸< 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸，
∴2 < 𝐴𝐸< 12，
∴2 < 2𝐴𝐷< 12，
∴1 < 𝐴𝐷< 6，
6.如图，𝐵𝐷、𝐶𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶和𝐴𝐵上的高，点P 在𝐵𝐷的延长线上，𝐵𝑃= 𝐴𝐶，点Q 在𝐶𝐸上，𝐶𝑄=
𝐴𝐵．求证：
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(1)𝐴𝑃= 𝐴𝑄；
(2)𝐴𝑃⊥𝐴𝑄．
【答案】(1)
证明：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵（已知），
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸（等角的余角相等），
在△𝐴𝐵𝑃和△𝑄𝐶𝐴中，{
𝐵𝑃= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸
𝐶𝑄= 𝐴𝐵
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝑄𝐶𝐴(SAS)，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝑄（全等三角形对应边相等）．
(2)
证明：∵△𝐴𝐵𝑃≌△𝑄𝐶𝐴，
∴∠𝐶𝐴𝑄= ∠𝑃（全等三角形对应角相等），
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶（已知），即∠𝑃+ ∠𝐶𝐴𝑃= 90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠𝐶𝐴𝑄+ ∠𝐶𝐴𝑃= 90°（等量代换），即∠𝑄𝐴𝑃= 90°，
∴𝐴𝑃⊥𝐴𝑄（垂直定义）．
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练的利用SAS证明△𝐴𝐵𝑃≌△𝑄𝐶𝐴是解本题的关键．
（1）先证明∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，结合𝐵𝑃= 𝐴𝐶，𝐶𝑄= 𝐴𝐵，再证明△𝐴𝐵𝑃≌△𝑄𝐶𝐴即可；
（2）先证明∠𝐶𝐴𝑄= ∠𝑃，结合∠𝑃+ ∠𝐶𝐴𝑃= 90°，从而可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
1．【多结论问题】如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，E，F 分别是𝐴𝐷和𝐴𝐷延长线上的点，且𝐷𝐸= 𝐷𝐹，连接𝐵𝐹，
𝐶𝐸，下列说法：①△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷面积相等；②△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐸；③𝐵𝐹//𝐶𝐸；④𝐶𝐸= 𝐴𝐸；⑤△𝐴𝐵𝐷和
△𝐴𝐶𝐷周长相等．其中正确的个数有（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题
【分析】由三角形中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边
角边”证明𝛥𝐵𝐷𝐹和𝛥𝐶𝐷𝐸全等，判断出②正确，根据②得到∠𝐹= ∠𝐶𝐸𝐷，进而证明𝐵𝐹//𝐶𝐸，判断出③正
确，由△𝐴𝐵𝐶为任意三角形，判断④⑤错误，问题得解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝛥𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝛥𝐴𝐵𝐷和𝛥𝐴𝐶𝐷底边BD，CD 上高相同，
∴𝛥𝐴𝐵𝐷和𝛥𝐴𝐶𝐷面积相等，故①正确；
在𝛥𝐵𝐷𝐹和𝛥𝐶𝐷𝐸中，
{
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸
𝐷𝐹= 𝐷𝐸
，
∴𝛥𝐵𝐷𝐹≅𝛥𝐶𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)，故②正确；
∴∠𝐹= ∠𝐷𝐸𝐶，
∴𝐵𝐹//𝐶𝐸，故③正确；
由△𝐴𝐵𝐶为任意三角形，故④⑤错误．
故选：𝐶．
【点睛】本题考查了等底等高的三角形的面积相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判
定方法并准确识图是解题的关键．
2．【网格问题】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸均在
小正方形方格的顶点上，线段𝐴𝐵, 𝐶𝐷交于点𝐹，若∠𝐶𝐹𝐵= 𝛼，则∠𝐴𝐵𝐸等于（ ）
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A．180° −𝛼
B．180° −2𝛼
C．90° + 𝛼
D．90° + 2𝛼
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由图可知：𝐺𝐷= 𝐸𝐻= 1, 𝐶𝐺= 𝐵𝐻= 4，∠𝐶𝐺𝐷= ∠𝐵𝐻𝐸= 90°，
∴△𝐶𝐺𝐷≌△𝐵𝐻𝐸(SAS)，
∴∠𝐺𝐶𝐷= ∠𝐻𝐵𝐸，
∵𝐶𝐺∥𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷，
∵∠𝐶𝐹𝐵= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐺𝐶𝐷= 𝛼，
∴𝛼= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐻𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐸= 90° + 𝛼；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
3．【截短补长】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=100°，BD 是∠ABC 的平分线，BD=BE．求证：
(1)△CED 是等腰三角形；
(2)BD+AD=BC．
【答案】(1)见解析
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(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和SAS 综合（SAS）、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】（1）由AB=AC，∠A=100°求出∠ABC=∠C=40°，再由BD 是∠ABC 的平分线求出∠DBC=
1
2∠ABC=20°，
根据BD=BE 求出∠BED=∠BDE=80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC=40°，
则∠EDC=∠C，从而证明ED=EC，即△CED 是等腰三角形；
（2）在BE 上截取BF=BA，连结DF，先证明△FBD≌△ABD，则FD=AD，∠BFD=∠A=100°，可证明
∠EFD=∠FED=80°，则AD=FD=ED=EC，即可证明BD+AD=BE+EC=BC．
【详解】（1）∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=
1
2×（180°-100°）=40°，
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠DBC=
1
2∠ABC=20°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=
1
2×（180°-20°）=80°，
∴∠EDC=∠BED-∠C=80°-40°=40°，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∴△CED 是等腰三角形．
（2）如图，
在边𝐵𝐶上取点𝐹，使𝐵𝐹= 𝐵𝐴，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐹𝐵𝐷中
∵{
𝐴𝐵= 𝐹𝐵
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐹𝐵𝐷
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐹𝐵𝐷
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐹，∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴= 100°，
∴∠𝐷𝐹𝐸= 180° −100° = 80°，
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸
∴𝐴𝐷= 𝐸𝐶
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∴𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐵𝐶．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知
识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
4．【手拉手】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
（1）如图，D 为BC 边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC．
求证：①△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸；
②𝐵𝐶= 𝐷𝐶+ 𝐸𝐶．
（2）如图，D 为△𝐴𝐵𝐶外一点，且∠𝐴𝐷𝐶= 45°，仍将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，
ED，BD．△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸的结论是否仍然成立？并请你说明理由；
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立，理由见解析；
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】（1）①由旋转的性质可得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，AE=AD，则可得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，然后利用SAS
证明两个三角形全等即可；
②由①知△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，得到𝐵𝐷= 𝐶𝐸，则𝐵𝐶= 𝐷𝐶+ 𝐵𝐷= 𝐷𝐶+ 𝐸𝐶；
（2）由旋转的性质得，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，AE=AD，则 ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，然后利用SAS 证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸
即可；
【详解】（1）①证明：由旋转的性质得，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，AE=AD，
∴∠𝐵𝐴𝐶－∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸－∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)；
②由①知△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
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∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐶+ 𝐵𝐷= 𝐷𝐶+ 𝐸𝐶．
（2）①结论仍然成立．
理由：由旋转的性质得，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，AE=AD，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐷与△𝐶𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够
熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐸= 𝐴𝐷，点E 在𝐵𝐷上，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶, ∠𝐵𝐷𝐶= 56°，则
∠𝐴𝐵𝐶的度数为（ ）
A．56°
B．60°
C．62°
D．64°
【答案】C
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
再利用SAS可证明△𝐵𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐷得到∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，利用三角形内角和定理可证明∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐷𝑂= 56°，
据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：∵∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸，即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
在△𝐵𝐴𝐸和△𝐶𝐴𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
，
∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)，
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∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷；
如图所示，设𝐴𝐶，𝐵𝐷交于O，
∵∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= 180°，∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝐷𝐶𝑂+ ∠𝐶𝑂𝐷= 180°，
∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐷𝑂= 56°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵=
180°−∠𝐵𝐴𝐶
2
=
180°−56°
2
= 62°，
故选：C．
2．（2023·陕西·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 50°，∠𝐶= 20°．过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为𝐸，延长𝐸𝐴至
点𝐷．使𝐴𝐷= 𝐴𝐶．在边𝐴𝐶上截取𝐴𝐹= 𝐴𝐵，连接𝐷𝐹．求证：𝐷𝐹= 𝐶𝐵．
【答案】
证明：在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵= 50°，∠𝐶= 20°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 110°．
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶．
∴∠𝐴𝐸𝐶= 90°．
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐶= 110°，
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐵．
在△𝐷𝐴𝐹和△𝐶𝐴𝐵中，
{
𝐴𝐷= 𝐴𝐶
∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐵
𝐴𝐹= 𝐴𝐵
，
∴△𝐷𝐴𝐹≅△𝐶𝐴𝐵(SAS)．
∴𝐷𝐹= 𝐶𝐵．
【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS）
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【分析】利用三角形内角和定理得∠𝐶𝐴𝐵的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】略
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
