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13.3.1 三角形的内角（第2 课时 直角三角形的性质和判定）
【学习目标】
1. 理解并掌握“直角三角形两锐角互余”的性质及其几何符号语言。
2. 掌握直角三角形的判定定理：“有两个角互余的三角形是直角三角形”。
3. 能运用上述性质和判定进行简单的角度计算和推理论证。
【学习重点】
1. 直角三角形两锐角互余的性质及其应用；
2. 有两个角互余的三角形是直角三角形的判定及应用。
【学习难点】
1. 含高线的复杂图形中角度关系的转化与分析；
2. 分类讨论思想在求角度时的规范应用
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1.直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余
几何语言：
∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
2. 直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
几何语言：
∵在△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形
【课堂探究】
导入新课
①一个三角形，三个内角度数比是2:5:3，则这个三角形的三个内角是_36°、_54°_、___90°_____
②在△ABC 中，∠A=4∠B，∠C 比∠A 大18°，则这个三角形的三个内角是__72°、_18°_、___90°_____。
新知探究
1.引导学生观察计算结果回答问题
问1.这两个三角形是什么三角形？
直角三角形
问2.这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？
这两个直角三角形的两锐角互余
问3.任何直角三角形的两个锐角都互余吗？
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直角三角形两锐角互余
你能证明上面的结论吗？
2. 引导学生结合PPT 图示，在Rt△ABC 中（∠C=90°），利用“三角形内角和等于180°”写出严格的证
明过程。
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°
证明：在Rt△ABC中，
∵ ∠A +∠B+∠C=180°， ∠C=90°，
∴ ∠A +∠B=90°.
3. 规范几何语言：
∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
新知应用
1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是__ 30°______
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝3∠B，则∠A＝__ 67.5°_______．
3.如图AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=__ 52°_____.
4.如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为___ 270°____.
5. 如图，AB//CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且
∠BEP＝50°，则∠EPF的度数为___ 70°_________
6.如图,在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E.若∠ABE=25°，则∠DAC
的度数为_ 40°____
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新知再探
1. 逆向设问：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有
两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由.
结论：有两个角互余的三角形是直角三角形
2. 指导学生画出一般△ABC，假设∠A+∠B=90°，推导∠C 的度数并完成证明。
如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，求证： △ABC是直角三角形
证明：在△ABC中，
∵ ∠A +∠B+∠C=180°， ∠A+∠B=90° ，
∴ ∠C=90°，即△ABC 是直角三角形
3. 师生共同归纳直角三角形的判定定理，强调其与性质的互逆关系。
直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形．
几何语言：
∵在△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形
针对训练
1．已知在△ABC中，∠A＝45°＋α，∠B＝45°－α，则△ABC的形状是(B)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A:∠B:∠C＝1:2:3；③∠A＝90°－∠B；④3∠A＝2∠B＝∠C.其中能确
定△ABC是直角三角形的条件有(C)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
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解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
典例分析
例1.已知点D是△ABC的边BC的延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求
∠ACD的度数．
解：∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°.
在△AEF与△DEC中，
∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∠D＋∠DEC＋∠ECD＝180°，
∠AEF＝∠DEC ，
∴∠A＋∠AFE＝∠D＋∠ECD.
∴∠ACD＝90°＋35°－40°＝85°.
例2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．
（1）若∠CEF=62°，求∠A的度数；
（2）证明：∠CFE=∠CEF．
解（1）：∵∠CEF=62°，∠ACB=90°，
∴∠CBE=28°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°.
∴∠A=90° −∠ABC=34°．
证明（2）：如图：∵∠ACB=90° ，
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∴∠CEF+∠CBE=90°，
∵CD⊥AB，∴∠ABE+∠DFB=90°.
又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CEF=∠DFB，
∵∠DFB=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF．
变式训练
1.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数
解：如图1，当△ABC为锐角三角形时
∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C=90°−∠CAD=90°−20°=70°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−30°−70°=80°；
如图2，当△ABC为钝角三角形时，
∵AD为边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°−20°=40°；
综上，∠BAC的度数是40°或80°．
2.问题情景：如图1，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内部)，使三角板PMN的两
条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若∠A＝ 50°，则∠ABC＋∠ACB＝_ 130°___．
又∵∠PBC＋∠PCB＝__ 90°__，
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∴∠ABP＋∠ACP＝_ 40°___．
(2)类比探究：请探究∠ABP＋∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由．
解：(2)∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
理由：∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝ 180°，
∴∠A＋(∠ABP＋∠PBC)＋(∠ACP＋∠PCB)＝180°.
在△PBC中，∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，∠P＝90°，
∴∠PBC＋∠PCB＝ 90°.
∴∠A＋(∠ABP＋∠ACP)＋ 90°＝180°.
∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置，使点P在△ABC外部，直角三角板PMN的两条直
角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由．
解：结论：∠ACP−∠ABP=90°−∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2:
∵∠AOC=∠POB，
∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO，
即∠ACP+∠A=90°+∠ABP，
∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A.
【课堂总结】
【课堂练习】
1.如图，把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝12°，那么∠2的度
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数是__ 18°___
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将三角形纸片ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若
∠A＝25°，则∠EDC＝__ 70°____．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．若∠B−∠A＝10°，则∠ACD的度数是 50° ．
4.如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=70°，∠C=90°，则∠2的度数为_ 50°__．
5.将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF//BC，则∠BND＝_ 105°___．
6.如图，AB//DE，ED垂直于BD，垂足是D，且∠BAC=∠DCE．求证：△ACE是直角三角形．
证明：∵ED⊥BD，∴∠CDE=90°，
∴∠CED+ ∠DCE=90°．
∵∠BAC=∠DCE，
∴∠CED+ ∠BAC=90°．
∵AB//DE，
∴∠BAC+∠CAE+ ∠DEC+∠AEC=180°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
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∴△ACE是直角三角形．
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AC于点F，若∠C=70°，∠ABF=30°，求∠ADC的
度数．
解：∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°．
∵∠C=70°，∴∠CBF=90°−70°=20°．
∵∠ABF=30°，
∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=50°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−50°−70°=60°．
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=
1
2 ∠BAC=
1
2 ×60°=30°，
∴∠ADC=180°−∠CAD−∠C=180°−30°−70°=80°．
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
