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第 02 讲 与三角形有关的角
课程标准 学习目标
1. 掌握三角形的内角和定理，并能够利用三角形的内
角和定理解相关题目
①三角形的内角和定理 2. 掌握三角形的外角定理，并能够利用三角形的外角
②三角形的外角定理 定理解相关题目。
3. 结合三角形的内角和定理，外角定理，三角形的中
线、高线、角平分线解决相关题目。
知识点01 三角形的内角和定理
1. 三角形内角和定理的内容：
三角形的三个内角之和等于 。
2. 三角形内角和定理的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。
如图：过点A作PQ平行于BC。
∵PQ∥BC
∴∠B＝ ；∠C＝ 。
∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝ 。
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ 。
题型考点：①利用三角形的内角和计算角度。②判断三角形的形状。
【即学即练1】
1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（ ）A．50° B．55° C．45° D．40°
【即学即练2】
2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
知识点02 直角三角形的性质与判定
1. 直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形。用 表示直角三角形ABC。
2. 直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角 。
数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝ 。
3. 直角三角形的判定：
有两个角 的三角形是直角三角形。
数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是 三角形。
题型考点：①利用直角三角形的两锐角互余以及三角形的内角和进行角度计算。
②直角三角形的判断。
【即学即练1】
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．145° B．125° C．65° D．55°
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
【即学即练2】
5．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝
∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4知识点03 三角形的外角定理
1. 外角的定义：
如图，三角形的一条边与另一条边的 构成的夹角叫做三角形的外角。
2. 外角性质：
①外角定理：三角形的一个外角等于 。
即∠1= 。
②三角形的一个外角 不相邻的任意一个内角。
③三角形的外角与相邻的内角 。
④三角形的外角和都等于 。
题型考点：根据外角定理求值。
【即学即练1】
6．已知：如图所示，则∠A等于（ ）
第6题 第7题
A．60° B．70° C．50° D．80°
7．如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度
数等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
题型01 内角和判断三角形的形状
【典例1】
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．40°，70° B．30°，90° C．60°，50° D．50°，20°
变式1：
在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
变式2：
△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠C，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形变式3：
在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝80°，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
题型02 三角形内角与外角综合计算
【典例1】
如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80° B．82° C．84° D．86°
变式1：
如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
变式2：
如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（
）
A．59° B．60° C．56° D．22°
题型03 三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角
【典例1】
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）A．45° B．60° C．50° D．55°
变式1：
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C＝35°，
∠DEF＝15°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
变式2：
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE
的度数．
题型04 三角形的两条内角平分线形成的夹角
【典例1】
如图，BD、CE是△ABC角平分线，交于O，若∠A＝50°，则∠BOC＝ ．典例1 变式1 变式2
变式1：
如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（ ）
A．60° B．120° C．110° D．40°
变式2：
如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D ，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于
1 1 1
点D ，依次类推，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点D ，则∠BD C的度数是 ．
2 3 3 4 4
题型05 三角形的内角平分线与外角平分线构成的夹角
【典例1】
如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝ ．
典例1 变式1 变式2
变式1：
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若
∠DOC＝48°，则∠D＝ °．
变式2：
如图，BA 和CA 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，CA 是∠A CD的
1 1 2 1 2 1
角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，CA 是∠A CD的角平分线，若∠A ＝ ，则∠A 为 ．
3 2 3 2 1 2021
α
题型06 三角形的外角平分线构成的夹角
【典例1】
如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）A．40° B．50° C．60° D．80°
变式1：
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC
＝40°，则∠NAP的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
变式2：
如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、
∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（ ）
A． B．∠D+∠G＝180°
C． D．
变式3：
综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，
让我们来一起看一下吧．在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝ °
（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的
度数．
1．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
3．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．15° D．75°
4．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（ ）
A．20° B．30° C．18° D．15°
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°
6．如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（ ）
A．60° B．90° C．110° D．125°
7．若直角三角形的一个锐角等于20°，则它的另外一个锐角等于（ ）
A．160° B．70° C．80° D．60°
8．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（ ）
A．22° B．25° C．28° D．30°
9．在△ABC中，如果∠B＝52°，∠C＝68°，那么∠A的外角等于 度．
10．在直角三角形中，两个锐角的度数比为1：5，则较大的锐角度数为 ．
11．一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′
的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是 ．
第11题 第12题
12．如图，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，点M，E，N分别是射线OA，OC，OB上的动点（M，E，N不
与点O重合），且ME⊥OA，垂足为点M，连接MN交射线OC于点F．若△MEF中有两个相等的角，
则∠OMN的度数为 ．
13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝
∠D．（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．
14．综合与实践课上，同学们以“一个含 30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，
已知两直线a，b，且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：
（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；
（2）小颖同学将图1中的直线a，b向上平移得到图2，若∠CMN+∠CNM＝90°，∠2＝4∠1，求∠1的
度数．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点．
（1）∠BIC＝ °；（2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝ °；
（3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的
数量关系，并说明理由．
