文档内容
第 02 讲 与三角形有关的角
课程标准 学习目标
1. 掌握三角形的内角和定理，并能够利用三角形的内
角和定理解相关题目
①三角形的内角和定理 2. 掌握三角形的外角定理，并能够利用三角形的外角
②三角形的外角定理 定理解相关题目。
3. 结合三角形的内角和定理，外角定理，三角形的中
线、高线、角平分线解决相关题目。
知识点01 三角形的内角和定理
1. 三角形内角和定理的内容：
三角形的三个内角之和等于 180° 。
2. 三角形内角和定理的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。
如图：过点A作PQ平行于BC。
∵PQ∥BC
∴∠B＝ ∠ PAB ；∠C＝ ∠ QAC 。
∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝ 180 ° 。
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ 180 ° 。
题型考点：①利用三角形的内角和计算角度。
②判断三角形的形状。
【即学即练1】1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（ ）
A．50° B．55° C．45° D．40°
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝55°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣55°＝125°①，
∵∠A﹣∠B＝35°②，
∴①﹣②得，2∠B＝90°，解得∠B＝45°．
故选：C．
【即学即练2】
2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
【解答】解：由题意，得 ，
③﹣①，得∠C＝39°，
③﹣②，得∠A＝15°，
∴∠B＝126°．
∴该三角形是钝角三角形．
故选：C．
知识点02 直角三角形的性质与判定
1. 直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形。用 表示直角三角形ABC。
2. 直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角 互余 。
数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝ 90 ° 。
3. 直角三角形的判定：
有两个角 互余 的三角形是直角三角形。
数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是 直角 三角形。
题型考点：①利用直角三角形的两锐角互余以及三角形的内角和进行角度计算。
②直角三角形的判断。
【即学即练1】
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．145° B．125° C．65° D．55°
【解答】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是90°﹣35°＝55°，故选：D．
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠BAC＝∠2，
∵∠BAC＝∠2﹣∠1＝80°﹣28°＝52°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°．
故答案为：C．
【即学即练2】
5．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝
∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故①能确定△ABC是直角三角形；
②设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得，x＝15°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°、60°、75°，
故②不能确定△ABC是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
故③能确定△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝0.5∠C，
∴0.5∠C+0.5∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，故④能确定△ABC是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有三个．
故选：C．
知识点03 三角形的外角定理
1. 外角的定义：
如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。
2. 外角性质：
①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。
即∠1= ∠ 2+ ∠ 3 。
②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。
③三角形的外角与相邻的内角 互补 。
④三角形的外角和都等于 360 ° 。
题型考点：根据外角定理求值。
【即学即练1】
6．已知：如图所示，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．80°
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝70°．
故选：B．
7．如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度
数等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【解答】解：∵∠A＝10°，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝80°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ADC＝∠DCE﹣∠A＝70°，
∵∠ADC＝∠EDF，
∴∠CED＝∠AED＝∠EDF﹣∠A＝60°，∵∠CED＝∠FEG
∴∠F＝∠FEG﹣∠A＝60°﹣10°＝50°，
故选：C．
题型01 内角和判断三角形的形状
【典例1】
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．40°，70° B．30°，90° C．60°，50° D．50°，20°
【解答】解：A、第三个角为180°﹣40°﹣70°＝70°，三角形中有两个角都等于70°，所以三角形为等腰
三角形，所以A选项符合题意；
B、第三个角为180°﹣30°﹣90°＝60°，三角形中没有角相等，所以三角形不为等腰三角形，所以B选项
不符合题意；
C、第三个角为180°﹣60°﹣50°＝70°，三角形中没有角相等，所以三角形不为等腰三角形，所以C选项
不符合题意；
D、第三个角为180°﹣50°﹣20°＝110°，三角形中没有角相等，所以三角形不为等腰三角形，所以D选
项不符合题意．
故选：A．
变式1：
在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【解答】解：
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴可设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
由三角形内角和定理可得3x+4x+5x＝180，解得x＝15，
∴∠A＝3x°＝45°，∠B＝4x°＝60°，∠C＝5x°＝75°，
∴△ABC为锐角三角形，
故选：A．
变式2：
△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠C，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解答】解；设∠A＝x°，则∠B＝3x°，∠C＝4x°，
x+3x+4x＝180，解得：x＝22.5，
∴∠B＝67.5°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
变式3：
在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝80°，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∴∠C＝∠A，
∴BC＝AB，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选：B．
题型02 三角形内角与外角综合计算
【典例1】
如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80° B．82° C．84° D．86°
【解答】解：设∠1＝∠2＝x，
∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，
∴∠DAC＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝108°，
∴x+180°﹣4x＝108°，
∴x＝24°，
∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．
故选：C．
变式1：
如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（ ）A．110° B．120° C．130° D．140°
【解答】解：∴∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°，
故选：B．
变式2：
如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（
）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1＝ ∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
题型03 三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角
【典例1】
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）A．45° B．60° C．50° D．55°
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝80°﹣30°＝50°，
故选：C．
变式1：
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C＝35°，
∠DEF＝15°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°，
∴∠ADB＝90°﹣15°＝75°．
∵∠C＝35°，
∴∠CAD＝75°﹣35°＝40°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠CAD＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣35°＝65°．
故选：B．
变式2：
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．
【解答】解（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝35°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°；
（2）同（1），可得∠ADE＝75°．
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15°．
题型04 三角形的两条内角平分线形成的夹角
【典例1】
如图，BD、CE是△ABC角平分线，交于O，若∠A＝50°，则∠BOC＝ ．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×130°＝65°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．变式1：
如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（ ）
A．60° B．120° C．110° D．40°
【解答】解：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
所以∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
所以∠ABO+∠ACO＝∠CBO+∠BCO＝180°﹣120°＝60°，
所以∠ABC+∠ACB＝60°×2＝120°，
于是∠A＝180°﹣120°＝60°．
故选：A．
变式2：
如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D ，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于
1 1 1
点D ，依次类推，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点D ，则∠BD C的度数是 ．
2 3 3 4 4
【解答】解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D ，
1
∴∠ABD ＝∠CBD ＝ ∠ABC，∠ACD ＝∠BCD ＝ ∠ACB，
1 1 1 1
∴∠CBD +∠BCD ＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×128°＝64°，
1 1
∴∠BD C＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣64°＝116°，
1
同理可得∠BD C＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣96°＝84°，
2
…
依此类推，∠BD C＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
n
∴∠BD C＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣124°＝60°．
4故答案为：60°．
题型05 三角形的内角平分线与外角平分线构成的夹角
【典例1】
如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝ ．
【解答】解：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，
∴2∠P+2∠PBC＝∠ABC+∠A，
∴2∠P＝∠A，即∠P＝ ∠A．
∵∠A＝50°，
∴∠P＝25°．
故答案为：25°．
变式1：
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若
∠DOC＝48°，则∠D＝ °．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ACO＝ ，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝ ACE，
∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝ （∠ACB+∠ACE）＝ 180°＝90°，∵∠DOC＝48°，
∴∠D＝90°﹣48°＝42°，
故答案为：42．
变式1：
如图，BA 和CA 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，CA 是∠A CD的
1 1 2 1 2 1
角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，CA 是∠A CD的角平分线，若∠A ＝ ，则∠A 为 ．
3 2 3 2 1 2021
α
【解答】解：∵A B是∠ABC的平分线，A C是∠ACD的平分线，
1 1
∴∠A BC＝ ∠ABC，∠A CD＝ ∠ACD，
1 1
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A CD＝∠A BC+∠A ，
1 1 1
∴ （∠A+∠ABC）＝ ∠ABC+∠A ，
1
∴∠A ＝ ∠A，
1
同理理可得∠A ＝ ∠A ，∠A ＝ ∠A ，……
2 1 3 2
则∠A ＝ ∠A ＝ ．
2021 1
故答案为： ．
题型06 三角形的外角平分线构成的夹角
【典例1】
如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）A．40° B．50° C．60° D．80°
【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠ACB+∠ABC＝100°，
∴∠ECB+∠DBC＝260°，
∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠DCB，∠OCB＝ ∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB＝ ×260°＝130°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°，
故选：B．
变式1：
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC
＝40°，则∠NAP的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+ ∠ABC，
∴ ∠ACD＝ ∠ABC+40°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，
∴∠CAP＝∠NAP＝ ＝50°．
故选：C．
变式2：
如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、
∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（ ）A． B．∠D+∠G＝180°
C． D．
【解答】解：方法一：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴ ， ，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
＝
＝ ＝ ，
∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，
∴ ， ，
∴∠G＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）
＝
＝
＝
＝
＝ ，
∴ ．
变式3：
综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，
让我们来一起看一下吧．在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝ °
（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的
度数．
【解答】解：（1）∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴ ， ，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180 ＝130°；
故答案为：130°；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，
∴ ， ．
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣ （∠MBC+∠NCB）＝180°﹣ （180°﹣∠ABC+180°﹣
∠ACB）＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝90°﹣ ，
∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+
，
∴∠Q+∠BPC＝180°；
（3）如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝ ∠A，
∵∠Q＝4∠E，
∴∠Q＝2∠A，
∵∠Q＝90°﹣ ∠A，
∴2∠A＝90°﹣ ∠A，
∴∠A＝36°．
1．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角
形内角和是180°”的是（ ）
A．
B．C．
D．
【解答】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得
∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故B符合题意．
C．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠ADE＝∠B，由DF∥AC，得∠A＝∠FDB，∠C＝∠AED，那么
∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠C+∠A＝180°，故C不符合题意．
D．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB
＝180°，故D不符合题意．
故选：B．
2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
【解答】解：由题意，得 ，
③﹣①，得∠C＝39°，
③﹣②，得∠A＝15°，
∴∠B＝126°．
∴该三角形是钝角三角形．
故选：C．
3．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．15° D．75°
【解答】解：∵∠2＝30°，∠3＝45°，
∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°．
故选：D．
4．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（ ）A．20° B．30° C．18° D．15°
【解答】解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣25°﹣65°＝90°．
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BCE＝ ∠ACB＝ ×90°＝45°．
∵CD⊥AB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BCD＝90°，∠B＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝45°﹣25°＝20°．
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°，
∵DF∥EB，∠D＝70°，
∴∠D＝∠CEB＝70°，
∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
故选：A．
6．如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（ ）
A．60° B．90° C．110° D．125°
【解答】解：∵BD，CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠ABD＝ ABC，∠ACE＝ ACB．∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠BHC＝∠BDC+∠ACE
＝∠A+∠ABD+∠ACE
＝∠A+ ∠ABC+ ∠ACB
＝ ∠A+ ∠ABC+ ∠ACB A
＝ （∠A+∠ABC+∠ACB）+ ．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝70°，
∴∠BHC＝ 180°+ ×70°
＝90°+35°
＝125°．
故选：D．
7．若直角三角形的一个锐角等于20°，则它的另外一个锐角等于（ ）
A．160° B．70° C．80° D．60°
【解答】解：∵三角形是直角三角形，它的一个锐角等于20°，
∴它的另一个锐角为：90°﹣20°＝70°，
故选：B．
8．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（ ）
A．22° B．25° C．28° D．30°
【解答】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，
∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，
∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，
∴∠PAC＝ ∠CAD，∠PBC＝ ∠CBD，
∴ ∠CAD+∠P＝ ∠CBD+∠C①，
同理： ∠CAD+∠D＝ ∠CBD+∠P②，
①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，整理得，2∠P＝∠D+∠C，
∠P＝ ＝ ＝25°．
故选：B．
9．在△ABC中，如果∠B＝52°，∠C＝68°，那么∠A的外角等于 度．
【解答】解：∵∠B＝52°，∠C＝68°，
∴∠A的外角的度数为：∠B+∠C＝120°．
故答案为：120．
10．在直角三角形中，两个锐角的度数比为1：5，则较大的锐角度数为 ．
【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，
则x+5x＝90°，
解得：x＝15°，
则较大的一个锐角为15°×5＝75°，
故答案为：75°．
11．一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′
的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是 ．
【解答】解：如图，
由折叠得：∠A＝∠A′，
∵∠1是△MDA的外角，
∴∠1＝∠A+∠MDA，
同理：∠MDA＝∠2+∠A′，
∴∠1＝∠A+∠2+∠A′，
即：∠1＝2∠A+∠2，
故答案为：∠1＝2∠A+∠2．
12．如图，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，点M，E，N分别是射线OA，OC，OB上的动点（M，E，N不
与点O重合），且ME⊥OA，垂足为点M，连接MN交射线OC于点F．若△MEF中有两个相等的角，则∠OMN的度数为 ．
【解答】解：∵∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝ ∠AOB＝40°，
∵ME⊥OA，
∴∠OEM＝90°﹣∠AOC＝50°，
①当∠EMF＝∠MEF＝50°时，
则∠OMN＝90°﹣∠EMF＝90°﹣50°＝40°；
②当∠EMF＝∠MFE时，
则∠EMF＝ （180°﹣∠OEM）＝ ×（180°﹣50°）＝65°，
那么∠OMN＝90°﹣∠EMF＝90°﹣65°＝25°；
③当∠MFE＝∠MEF＝50°时，
则∠EMF＝180°﹣∠MEF﹣∠MFE＝180°﹣50°﹣50°＝80°
那么∠OMN＝90°﹣∠EMF＝90°﹣80°＝10°；
综上，∠OMN的度数为10°或25°或40°，
故答案为：10°或25°或40°．
13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝
∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠1，
又∠1＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC．
（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，
∴∠B＝∠DFE＝36°，
在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，又∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝ ∠ACB＝52°，
∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．
14．综合与实践课上，同学们以“一个含 30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，
已知两直线a，b，且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：
（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；
（2）小颖同学将图1中的直线a，b向上平移得到图2，若∠CMN+∠CNM＝90°，∠2＝4∠1，求∠1的
度数．
【解答】解：（1）如图，
∵∠ACB＝90°，∠1＝42°，
∴∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ACP＝132°；
（2）∵∠1＝∠CMN，∠ACB＝90°，∠CNM＝180°﹣∠ANM，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ANM，
∵∠2＝4∠1，∠CMN+∠CNM＝90°，
∴∠1+180°﹣4∠1＝90°，
解得∠1＝30°．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点．
（1）∠BIC＝ °；
（2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝ °；
（3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的
数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝50°，
∵BI是∠ABC的平分线，
∴∠CBI＝ ∠ABC，
∵CI是∠ABC的平分线，
∴∠BCI＝ ∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣50°）＝65°，
在△BCI中，∠CBI+∠BCI+∠BIC＝180°，
∴∠BIC＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115．
（2）∵∠FBC是△ABC的外角，
∴∠FBC＝∠A+∠ACB，
∵∠MCB是△ABC的外角，
∴∠MCB＝∠A+∠ABC，
∴∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A＝180°+50°＝230°．
∵BD是∠FBC的平分线，
∴∠CBD＝ ∠FBC．
∵CD是∠MCB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠MCB．
∴∠CBD+∠BCD＝ （∠FBC+∠MCB）＝ ×230°＝115°．
在△BCD中，
∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65．
（3）∠BAC＝2∠BEC．理由如下：
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE＝ ∠ABC．∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ECG＝ （∠BAC+∠ABC）＝ ∠BAC+ ∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC．
∴ ∠BAC+ ∠ABC＝ ∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC＝2∠BEC．
