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13.3 三角形的内角与外角
题型一 三角形内角和定理的应用
1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形顶角为 ，则这个三角形的底角的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据等腰三角形的特征以及三角形内角和
为 进行作答即可．
【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，
∴底角为 ，
故选：A．
2．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）已知 的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定
为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三
角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误；
根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误．【详解】解：A、 ， ，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、 ，
能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、设 ， ， ，
，
解得： ，
则 ，
不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、 ，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（2025·河南信阳·三模）如图， 中， ， ，线段 是 的平分线，
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
先根据三角形的内角和定理可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，然后根据三角形的
内角和定理即可得．
【详解】解： 在 中， ， ，
∵ ，
平分 ，
∵ ，
，故选：C．
4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在 中， 、 、 的对边分别是 、 、 ，下列条件
能判断 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理逆定理及三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理及三角形内角和进行计算，
逐项判断即可．
【详解】A、∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，符合题意；
B、∵ ，且 ，
∴ ， ，∠ ，
∴ 不是直角三角形，不符合题意；
C、∵ ，设
∴ ，
∴ ，
∴ 不是直角三角形，不符合题意；
D、∵ ， ，
∴ ，
∴ 不是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
题型二 与平行线有关的三角形内角和问题
1．（2023·山东临沂·一模）如图，直线 ，若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质得到 ，再利用三角形的内角和定理解题即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
2．（21-22八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在 中， ， ，AB CD，则
的度数为（ ）
A．90° B．85° C．60° D．55°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°，
∴∠A=∠ACD=40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键．
3．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在 中， ， ， ，则 的
度数为 ．【答案】83
【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解．
【详解】解： ， ，
，
又 ，
，
故答案为：83．
【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交 于点C， 垂足
为E， 求 的大小．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质
得出 ，求出 ，即可求出 ，根据垂直求出 ，即可求出答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题
1．（2025·江苏盐城·三模）如图，在 中， 平分 ，若 ，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得 的度数，
再由角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
故选：D．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 是解题的关键．先根据三角形内角和
定理求出 的度数，再由 平分 ， 平分 ，得出 的度数，进
而可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ，
∴ ．
故选：B．
3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点 是 内一点， 、 分别平分 、 ，
，则 ．
【答案】 /122度
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是
解题的关键．利用角平分线定义得出 ， ，再利用三角形内角和定理得出
，则可得 ，再利用三角形内角和定理求解即
可．
【详解】解：∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， ， ．
求 的度数．【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线，先根据角平分线的定义求出 度数，然后在
中，根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是
边上的高， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理得到 ，再根据角平分线的定义得到 ，
即可得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到 ，根据角平分线的定义得到 ，由 得到
，计算 即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
平分 ， 平分 ，
，；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
题型四 直角三角形的两个锐角互余
1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图， 中， 于点D，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由直角三角形的性质求出
，由等腰三角形的性质得到 即可求出 的度数．
【详解】解： 于点 ，故选：C．
2．（21-22八年级上·湖北襄阳·期中）已知 ， 为直角 两锐角， ，则
【答案】36°或36度
【分析】根据直角三角形中，两个锐角互余计算即可．
【详解】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角，
∴∠A＝90°−∠B＝36°，
故答案为：36°
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图 ， ， ，求 ， 的度数．
【答案】 ；
【分析】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟
练掌握以上性质，并灵活应用．
根据条件和直角三角形的性质得出 的值，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解： ，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ＝ ．
4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在 中， 是高， 是角平分线， ，
，求 的度数．【答案】
【分析】根据三角形内角和和角平分线求出 ，根据三角形的内角和等于 求出 的度数，
然后根据角的关系求出 即可．
本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确
识图是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是角平分线，
∴
∵ 是高，
∴
∴
∴ ．
题型五 三角形的外角的定义及性质
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， ，
，则 的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出 ，根据三角形的
外角的性质计算即可．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），
如果 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外角的性质.根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：A．
3．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角板的度数以及三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，由题意， ， ，
∴ ，
故选：D．
4．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图， ， ， ，则 ．
【答案】25
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的
关键．根据邻补角的定义得到 ，根据平行线的性质得到 ，根据
三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：25．
5．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知： ，点B、C在 的两边上，点P为平面内一点，
且 ，则 ．【答案】 或 或
【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形
的外角性质是解题的关键；
分三种情况：当点P在 的内部时，当点P在 的外部时，若点P在 上方，当点P在 的外部
时，若点P在 下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：当点P在 的内部时，如图，延长 交 于点D，
则 ，
∴ ；
当点P在 的外部时，若点P在 上方，如图，设 交于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点P在 的外部时，若点P在 下方，如图，设 交于点E，∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 或 ；
故答案为： 或 或 ．
6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线 ， 的直角顶点C落在直线b上，若
，则 °．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据三角形的内角和定理求得 的度数，利用平行线的性质即可得到 ；然后再利用等量代换和
三角形外角性质求得结论．
【详解】解：∵ ，
，
∵直线 ，
，
，
，
故答案为：40．7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 ， ， ， 是 的外角
的平分线，且 交 的延长线于点E，求 和 的度数．
【答案】
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形内角和定理求出 的度数，
由三角形外角的性质得到 ．由三角形内角和定理求出 ，由角平分线定义得到
，由三角形的外角性质求出 ．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角 的平分线，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
，
∴ ．
8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图， 是 的中线， 是 的中线．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）根据三角形中线的性质即可求解．
【详解】（1）解：由图可知， 是 的一个外角，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是 的中线， ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ．
9．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在 中， ， 分别是 的中线和高， 是
的角平分线．(1)若 的面积为 ， ，求 的长；
(2)若 ， ，求 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关
键是掌握相关知识．
（1）由三角形的中线定理可得： ， ，再结合 ，即
可求解；
（2）根据三角形的外角性质可求出 ，根据角平分线的定义可得 ，最后根据三角形
的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解： 是 的中线， 的面积为 ，
， ，
，
，
；
（2） ， ，
，
是 的角平分线，
，
是 的高，
，
，
．1．（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在 的两边 ， 上，连接 ，已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得 ，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
2．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在 中，点 在 上，过点 作 ，交
于点 ， 平分 ，交 的平分线于点 ， 与 相交于点 ， 的平分线 与
相交于点 ．(1)若 ， ，则 ______ ， ______ ；
(2)若 ，当 的度数发生变化时， 、 的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数______．
【答案】(1)115，25
(2)不会发生变化，理由见解析
(3) 或 或 或
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设 ，则 ，再由 不变，即可分类讨论： 当 时， 当
① ②
时， 当 时， 当 时，分别列出关于 的等式，解出 即可．
③ ④
【详解】（1）解： ， ，
．
平分 ，
．
，
， ．
平分 ，
．
；
，
．
平分 ， 平分 ，
， ．
，
，即 ，．
故答案为：115，25；
（2）解：不会发生变化，理由如下：
，
．
，
， ．
平分 ， 平分 ，
， ．
．
，
，
，
．
当 的度数发生变化时， 、 的度数不发生变化；
（3）解：设 ，
．
，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，．
．
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
当 时， ，
①
解得：
当 时， ，
②
解得：
当 时， ，
③
解得：
当 时， ，
④
解得：
综上可知， 或 或 或 ．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类
讨论的思想是解题关键．
3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在 中，O是 和 的平
分线的交点，若 ，则 ________；如图②， ， ， ，则 ________（用含 的式子表示）
（2）如图③， ， ， ，请猜想 ________（用含 的式子
表示），并说明理由．
（3）类比研究： ， 分别是 的外角 ， 的n等分线，它们交于点O，
， ， ，请猜想 ________．
【答案】（1） ； （2） （3）
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）由三角形内角和定理可求得 ，根据角平分线的定义可求得 ，在
中利用三角形内角和定理可求得 ；
（2）方法同（1）；
（3）根据三角形的内角和等于 列式整理即可得 ．
【详解】解：（1）∵ ， ,
∴ ，
∵点O是 和 平分线的交点，
∴ ，∵ ，
∴ ；
同法，在 中，
，
故答案为： ； ；
（2）
理由如下：在 中，
；
故答案为： ；
（3）类似（2），可得在 中，；
故答案为： ．
4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图， 是 的外角， 平分 ， 平分 ，
且 交于点E．
(1)若 ，求证： ；
(2)试探究 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟记三角形的一个外角等于与
它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出 ，结合已知推出 ，于是问题得证；
（2）根据 是 的一个外角得出 ，再根据角平分线的定义推出
，再根据 是 的一个外角得出 ，从而推出 与
之间的数量关系．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
，
，
，
；
（2）解： ，理由：
∵ 是 的一个外角，
，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
，
．
