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第 03 讲 三角形的内角
课程标准 学习目标
1. 阐述并验证三角形的内角和定理。
①三角形内角和定理
2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定。
②直角三角形的性质与判定
3. 能够利用三角形的内角和进行角度的计算
知识点01 三角形的内角和定理
1. 三角形内角和定理的内容：
三角形的三个内角之和等于 180° 。
即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180 ° 。
2. 三角形内角和定理的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。
如图：过点A作DE平行于BC。
∵DE∥BC
∴∠B＝ ∠ DAB ；∠C＝ ∠ EAC 。
∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180 ° 。
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180 ° 。
【即学即练1】1．在△ABC中，∠A+∠B＝140°，∠C+∠B＝160°，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
【分析】先由题意和三角形的内角和定理求出∠C＝40°，∠A＝20°，∠B＝120°，求解方程确定三角形
各角的度数得结论．
【解答】解：∵∠A+∠B＝140°，∠C+∠B＝160°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝40°，∠A＝20°，
∴∠B＝120°．
∴该三角形是钝角三角形．
故选：C．
【即学即练2】
2．在△ABC中，如果∠A＝ ∠B＝ ∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度．
【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A+2∠A+2∠A＝180°，求出∠A＝36°，即可得出∠B＝
∠C＝72°．
【解答】解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠C，
∴∠B＝∠C＝2∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
解得：∠A＝36°，
∴∠B＝∠C＝72°．
知识点02 直角三角形的性质与判定
1. 直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形。用 表示直角三角形ABC。
2. 直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角 互余 。
数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝ 90 ° 。
3. 直角三角形的判定：
有两个角 互余 的三角形是直角三角形。
数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是 直角 三角形。
【即学即练1】
3．在直角三角形中，如果一个锐角为40°，则另一个锐角为 50 ° ．
【分析】直角三角形的两个锐角互余．【解答】解：∵在直角三角形中，一个锐角为40°，则另一个锐角为：90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
【即学即练2】
4．如图，CD是△ABC 的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（ ）
A．55° B．35° C．30° D．50°
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠B，再根据直角三角形的性质求出∠BCD．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°，
∵CD是△ABC 的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
题型01 利用三角形的内角和进行计算
【典例1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C
的度数为（ ）
A．60° B．64° C．74° D．80°
【分析】根据三角形的内角和定理即可判断．
【解答】解：∵∠A＝48°，∠B＝68°，
∴∠C＝180°﹣48°﹣68°＝64°，
故选：B．
【变式1】在△ABC中，∠A﹣∠B＝36°，∠C＝2∠B．求∠A、∠B、∠C的度数．
【分析】求出∠A＝36°+∠B，根据三角形内角和定理得出2∠B+∠B+∠B+36°＝180°，求出∠B即可．
【解答】解：∵∠A﹣∠B＝36°，
∴∠A＝36°+∠B，
∵∠C＝2∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B+∠B+∠B+36°＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠A＝∠B+36°＝72°，∠C＝2∠B＝72°
【变式2】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，求∠A、∠B和∠C的度数，它是什么三角形？
【分析】设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝5x，再根据三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：3：5，
∴设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝5x，
∴∠A+∠B+∠C＝180°，即x+3x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
【变式3】如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点
N，则∠AMN的大小是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．55°
【分析】先根据已知条件和三角形的内角和为 180°，求出∠BAC的度数，再根据已知条件和角平分线
的定义，求出∠BAM，最后根据MN∥AB，求出∠AMN即可．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣110°＝70°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝ ，
∵MN∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝35°，
故选：B．
【变式4】如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数
是（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据三角形内角和定理，可得：∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC，∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB，
∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，再根据三角形的内角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的值即可．
【解答】解：在△ABC和△CGF中，
∵∠ACB＝∠GCF，
∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC；
在△ABC和△ANM中，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB；
在△ABC和△BDE中，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，
∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N
＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB）
＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB）
＝2×180°
＝360°．
故选：B．
【变式5】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，DE，∠ADE＝
∠AED，若∠BAD＝m°，则∠CDE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角形内角和定理，可求出∠ADB及∠BAC的度数，结合∠BAD＝m°，可求出∠CAD的
度数，在△ADE中，利用三角形内角和定理，可求出∠ADE的度数，再结合∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣
∠ADE，即可求出∠CDE＝ m°．
【解答】解：在△ABD中，∠B＝45°，∠BAD＝m°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣45°﹣m°＝135°﹣m°．
在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣m°．
在△ADE中，∠DAE＝90°﹣m°，∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝ [180°﹣（90°﹣m°）]＝45°+ m°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣（135°﹣m°）﹣（45°+ m°）＝ m°．
故选：D．
题型02 直角三角形的性质与判定
【典例1】Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝（ ）
A．60° B．30° C．50° D．40°
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝50°，
故选：C．
【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】直接利用三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A+∠B＝∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
故选：B．
【变式2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．38° C．50° D．30°
【分析】根据“同角的余角相等”解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD．
∴∠A＝∠BCD＝40°．
故选：A．【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，
交AD于点F，则∠BFD的度数是（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，再根据角平分线定义求出∠CBE＝ ∠ABC＝
30°，进而根据AD⊥BC得△BDF为直角三角形，由此可得∠BFD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ ∠ABC＝30°，
∵AD⊥BC，
∴△BDF为直角三角形，
∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝60°．
故选：C．
【典例1】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝ ∠C
【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方
法进行判断．
【解答】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，
设∠A＝x，
∴∠B＝ x，∠C＝ x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+ x+ x＝180°，
解得x＝（ ）°＞90°，
∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；
D、∵∠A＝∠B＝ ∠C，
设∠A＝∠B＝x，
∴∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+2x＝180°，
解得x＝45°，
∴∠C＝2x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A
＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C＝ ×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝6x，∠B＝3x，∠C＝2x，则6x+2x+3x＝180°，
解得x＝（ ）°，故6x≠90°，∴△ABC是不直角三角形，故本小题符合题意；
综上所述，是直角三角形的是①②共2个．
故选：B．
【变式2】在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；
④∠A＝ ∠C；⑤∠A＝∠B＝ ∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有 ②④⑤ ．
【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：①∠A+∠B+∠C＝180°时，不能判定△ABC为直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
③设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠C＝36°，则∠A＝∠B＝72°，△ABC不是直角三角形；
④设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
⑤∵∠A＝∠B＝ ∠C，
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
故答案为：②④⑤．
题型03 三角形的内角和与直角三角板
【典例1】一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2＝ 9 0 度．
【分析】根据对顶角相等可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，再根据直角三角形两锐角互余解答．
【解答】解：如图，∠1＝∠3，∠2＝∠4（对顶角相等），
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90．
【变式1】如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．85° B．60° C．50° D．95°
【分析】根据平角的定义求出∠3，再依据平行线的性质，即可得到∠2．
【解答】解：如图，
∵∠1＝70°，
∴∠3＝180°﹣60°﹣∠1＝50°，
∵∠4＝45°，
∴∠2＝∠3+∠4＝50°+45°＝95°，
故选：D．
【变式2】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】在图中标上∠2，∠3，∠4，利用三角形内角和定理，可求出∠2，∠3的度数，结合邻补角互
补，可求出∠4的度数，由直尺的对边平行，利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出∠1的度数．
【解答】解：在图中标上∠2，∠3，∠4，如图所示．
∵45°+90°+∠2＝180°，30°+90°+∠3＝180°，
∴∠2＝45°，∠3＝60°，
∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
∵直尺的对边平行，
∴∠1＝∠4＝75°．
故选：D．【变式3】将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝
90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根据直角三角形互余及平角的定义即可求解．
【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠E＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠EAD＝45°，
∵∠FAB+∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵∠ABF＝90°，∠F+∠FAB＝90°，
∴∠F＝90°﹣75°＝15°．
故选：B．
【变式4】如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝
30°，∠E＝45°，∠ECB＝ ，则∠CFB＝（ ）
α
A． +90° B． +45° C．105°﹣ D．180°﹣
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCE，进而得到∠CFB，即可解题．
α α α α
【解答】解：∵∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝ ，∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝45°，
α
∴∠CFB＝180°﹣∠B﹣∠DCE﹣∠ECB＝105°﹣ ，
故选：C．
α
题型04 三角形内角和与角平分线和高线
【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝44°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是（
）A．10° B．12° C．13° D．15°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合AE平分∠BAC，可求出
∠CAE，由AD⊥BC，可得出∠ADC＝90°，利用三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再结合
∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝44°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣70°＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×66°＝33°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝33°﹣20°＝13°．
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，
∠C＝40°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【分析】由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝
40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由 FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得
∠DFE．
【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
又∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝ ＝40°．
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°．∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
故选：A．
【变式2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（
）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】由AE平分∠BAC，可得∠1＝∠EAD+∠2，由∠1＝40°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在
直角三角形ABD中再利用两锐角互余可求得答案．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°，
Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°．
故选：B．
【变式3】如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高．
（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求：①∠DAC的度数；②∠DAE的度数．
（2）已知∠C＞∠B，则∠DAE＝ （用∠B、∠C表示）．
【分析】（1）①由高可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和即可求∠DAC的度数；
②由三角形的内角和可求得∠BAC的度数，再由角平分线可求得∠CAE的度数，从而可求∠DAE的度
数；
（2）结合（2）进行求解即可．
【解答】解：（1）①∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝30°；
②∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝40°，
由①得∠DAC＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝10°；
（2）∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝90°﹣∠C；
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AE是角平分线，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝90°﹣ ，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC
＝90°﹣ ﹣（90°﹣∠C）；
＝90°﹣ ﹣90°+∠C；
＝ ．
故答案为： ．
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】先根据三角形内角和定理和已知角的度数求出∠C，再根据平行线的性质求出∠FAC的度数即
可．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠FAC＝∠C＝30°，
故选：A．
2．在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用三角形的内角和定理进行推导即可．
【解答】解：①∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故可确定△ABC为直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝36°，
则∠A＝∠B＝2∠C＝72°，故不能确定△ABC为直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5x+3x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，故可确定直角三角形；
④∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故可确定直角三角形；
⑤∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝ ∠A，∠C＝ ∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+ ＝180°，
解得：∠A＝（98 ）°，
故不能确定△ABC为直角三角形．
则能确定△ABC为直角三角形的条件有3个，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，将△ABC沿AB向右平移得△DEF，则∠F的度数为
（ ）A．50° B．45° C．40° D．30°
【分析】先根据直角三角形的性质得出∠ABC的度数，再由平移的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵将△ABC沿AB向右平移得△DEF，
∴∠F＝∠ABC＝40°．
故选：C．
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，
则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】如图，作CK∥a利用平行线的性质可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性质即可
解决问题．
【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
5．将两块大小相同的含60°角的直角三角板按如图所示放置，Rt△DBE的直角边BE恰好平分Rt△ABC的
直角∠ABC，则∠AFB的度数为（ ）
A．75° B．95° C．105° D．120°
【分析】利用角平分线的定义，可求出∠ABF的度数，再在△ABF中，利用三角形内角和定理，即可求出∠AFB的度数．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝ ∠ABC＝ ×90°＝45°．
在△ABF中，∠A＝60°，∠ABF＝45°，
∴∠AFB＝180°﹣∠A﹣∠ABF＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故选：A．
6．将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°，如果∠CAD＝150°，则∠4＝
（ ）
A．75° B．80° C．60° D．65°
【分析】先计算∠3＝∠CAD﹣∠CAB＝60°，根据对顶角相等得∠EFB＝∠AFD，根据三角形内角和得
∠4+∠B＝∠3+∠D，即可得解．
【解答】解：如图，根据题意，∠CAB＝90°，
∵∠CAD＝150°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°，
∴∠3＝∠CAD﹣∠CAB＝150°﹣90°＝60°，
∵∠EFB＝∠AFD，
∴∠4+∠B＝180°﹣∠EFB＝180°﹣∠AFD＝∠3+∠D，
∴∠4+45°＝60°+60°，
∴∠4＝75°．
故选：A．
7．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（ ）A．80° B．95° C．110° D．140°
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此得到∠CAD＝50°，∠CBE
＝60°，∠ABE＝80°，求出∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝20°，由平行线的性质得到∠DAB＝100°，求出
∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝50°，由三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向上，
∴∠CAD＝50°，
∵C岛在B岛的北偏西60°方向上，
∴∠CBE＝60°，
∵A岛在B岛北偏西80°方向上，
∴∠ABE＝80°，
∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝20°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠DAB＝100°，
∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣20°＝110°．
故选：C．
8．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是
（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平
分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，∵AF是角平分线，
∴∠1＝ ∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
9．我们定义：若一个三角形的两个内角 与 ，满足2 + ＝90°，则这样的三角形称为“奇妙互余三角
形”．已知△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
α β α β
A．10° B．20° C．25° D．50°
【分析】通过2 + ＝90°和三角形内角和定理求出∠B的度数．
【解答】∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°，
α β
∴∠A+2∠B＝90°，
∴ ，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB，
则∠D与∠E的数量关系可表示为（ ）
A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180°
C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90°
【分析】根据角平分线的性质可得，∠DBC＝ ，∠DCB＝ ，由∠EBC＝ ∠ABC，
∠ECB＝ ∠ACB，可得∠DBC＝ ， ，由三角形内角和定理可得
∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，由三角形外角的性质可得∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，从而可求得∠D与
∠E的数量关系．
【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，
∴∠DBC＝ ，∠DCB＝
∵∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB，
∴∠DBC＝ ， ，∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠D+ ，
∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，
∴∠D+ ，
整理得3∠E﹣2∠D＝180°，
故选：A．
11．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：2：1，那么△ABC是 等腰直角 三角形．
【分析】根据三角形内角和、三个内角比计算出每个内角度数即可判断．
【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
12．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB
的度数是 100 ° ．
【分析】由CD是边AB上的高，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，可求得∠CAB、∠CBA的度数，因为AE
是∠CAB的平分线，可得∠EAB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠AEB的度数．
【解答】解：∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝50°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝60°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ACD＝40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB＝ ∠CAB＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝100°，
故答案为：100°．13．如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝ 16 ° ．
【分析】由三角形内角和定理求得∠BAC，则根据角平分线的定义易求∠EAC，根据三角形外角定理，
即可求得∠AED，在直角△AED中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EAD，即可作答．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝36°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝38°+36°＝74°，
∵AD是△ABC的高线，
∴△AED为直角三角形，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣74°＝16°，
故答案为：16°．
14．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝ 115 ° ．
【分析】由角平分线的定义可得 ， ，再利用三角形的内角和定理可求
解．
【解答】解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴ ， ，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝
＝
＝
＝115°．故答案为：115°．
15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG
于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB＝
∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 ①③④⑤ ．
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明∠ADC+∠ACD＝90°，
∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC＝
135°，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故结论①正确；
∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，即∠BCG＝90°，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
又∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠GDC，故结论③正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°，
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠FBC＝ ∠ABC，∠FCB＝ ∠ACB，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°，
∴∠DFB＝ ∠A，故结论④正确；
∵∠BFC＝135°，
∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故结论⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故结论②错误．
故答案为：①③④⑤．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，即可得出
∠EAF的度数，进而得到∠ADC的度数；
（2）依据BE⊥AD，即可得到∠AEF＝90°，由（1）可得∠EAF＝40°，即可得出∠AFE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF＝ ∠BAC＝40°，
∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°；
（2）∵BE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
由（1）可得∠EAF＝40°，
∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG∥BE．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案；
（2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠GDC＝∠EBC．再根据平行线的判定方法可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
∵AC⊥BE，
∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣80°＝10°．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝60°+40°＝100°．
∵DG平分∠ADC，
∴ ．
∵∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣10°＝50°，
∴∠EBC＝∠GDC．
∴DG∥BE．
18．三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种
证明方法．
已知：如图甲， △ ABC ．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：如图乙，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE＝∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B＝∠ECD（ 两直线平行，同位角相等 ）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B＝180°（ 等量代换 ）．
（1）请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
（2）该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【分析】（1）在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE＝∠A．根据平行线的判定与性质及平角定义求
解即可；
（2）过点A作AD∥BC，根据平行线的性质∠DAC＝∠C，∠BAD+∠B＝180°，由此证明即可．【解答】解：（1）已知：如图甲，△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：如图乙，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE＝∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B＝180°（等量代换）．
故答案为：△ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换；
（2）如图丙，过点A作AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∠BAD+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
即∠BAC+∠DAC+∠B＝180°．
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
19．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 AB、CD 和一块含 60°角的直角三角尺 EFG
（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点 E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与
∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上请你探索并说明∠AEG
与∠CFG间的数量关系．
【分析】（1）根据平行线的性质可知∠1＝∠EGD，依据∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，可求出∠1的度
数；
（2）过点F作FP∥AB，得到FP∥AB∥CD，通过平行线的性质把∠AEF和∠FGC转化到∠EFG上即可；
（3）依据AB∥CD，可知∠AEF+∠CFE＝180°，再代入∠AEF＝∠AEG﹣30°，∠CFE＝∠CFG﹣90°，
即可求出∠AEG+∠CFG＝300°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1+60°+∠1＝180°，
解得∠1＝40°；
（2）∠AEF+∠FGC＝90°，理由如下：
如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP，
∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）∠AEG+∠CFG＝300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴∠AEG﹣∠FEG+∠CFG﹣∠EFG＝180°，
∵∠FEG＝30°，∠EFG＝90°，
∴∠AEG﹣30°+∠CFG﹣90°＝180°，
∴∠AEG+∠CFG＝300°．
20．【定义】如果两个角的差为36°，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金
角”．
例如： ＝76°， ＝40°， ﹣ ＝36°，则 和 互为“黄金角”，即 是 的“黄金角”， 也是 的
“黄金角”．
α β α β α β α β β α
（1）已知∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2，若∠1和∠2互余，则∠1＝ 63 ° ；
（2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交
AC、CM于D、E两点．
①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“黄金角”，则∠A＝ 54 ° ；②如图2所示，过点C作AB的垂线，垂足为F，BD、CF相交于点N．若∠DCN与∠CDN互为“黄金
角”，求∠A的度数；
③如图3所示，∠ACM的平分线CH交BE于点H，当∠A和∠BHC互为“黄金角”时，则∠A＝ 9 °
或 81 ° ．
【分析】（1）根据“黄金角”的定义，互余的意义进行计算即可；
（2）①根据角平分线的定义，“黄金角”的定义以及平行线的性质进行计算即可；
②设未知数，根据“黄金角”的定义，角平分线的定义以及平行线的性质进行计算即可；
③根据角平分线的定义，“黄金角”的定义，以及角平分线的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2，
∴∠1﹣∠2＝36°，
∵∠1和∠2互余，即∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝ ＝63°，
故答案为：63°；
（2）①∵∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“黄金角”，
∴∠A﹣∠BEC＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵CM∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE＝ ∠ABC，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
即∠A+2∠BEC＝90°，
∴∠A+2（∠A﹣36°）＝90°，
即∠A＝54°，
故答案为：54°；
②设∠DCN＝x，
∵∠DCN与∠CDN互为“黄金角”，
∴∠CDN＝x+36°或∠CDN＝x﹣36°，
当∠CDN＝x+36°时，∵∠ACB＝90°，
∴∠CBN＝90°﹣∠CDN
＝90°﹣（x+36°）
＝54°﹣x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD＝108°﹣2x，
∵CF⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠DCN＝90°﹣x，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴108°﹣2x+90°﹣x＝90°，
解得x＝36°，
∴∠A＝90°﹣36°＝54°，
当∠CDN＝x﹣36°时，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠CDN
＝90°﹣（x﹣36°）
＝126°﹣x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBN＝252°﹣2x，
∵CF⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠DCN＝90°﹣x，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴252°﹣2x+90°﹣x＝90°，
解得x＝84°，
∴∠A＝90°﹣84°＝6°，
综上所述，∠A＝54°或∠A＝6°；
③∵CM∥AB，
∴∠A＝∠ACM，
∵CH平分∠ACM，
∴∠ACM＝∠A＝2∠HCM，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴ ，
设∠A＝y，则∠DCH＝∠ECH＝ x，∠ABE＝∠CBE＝ （90°﹣x）＝45°﹣ x，
∵∠A和∠BHC互为“黄金角”，
∴∠BHC＝x+36°或∠BHC＝x﹣36°，当∠BHC＝x+36°时，
∵∠BHC+∠BCH+∠CBE＝180°，
∴x+36°+（90°+ x）+（45°﹣ x）＝180°，
解得x＝9°，
当∠BHC＝x﹣36°时，
∵∠BHC+∠BCH+∠CBE＝180°，
∴x﹣36°+（90°+ x）+（45°﹣ x）＝180°，
解得x＝81°，
综上所述∠A＝9°或∠A＝81°．
故答案为：9°或81°．
