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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题17.4勾股定理与网格问题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，
则∠ABC度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
【答案】B
【分析】在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：
AC=BC=√22+12=√5，AB=√32+12=√10，
∵(√5) 2+(√5) 2=(√10) 2 ，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点
三角形中利用勾股定理．
2．（2022春·山西运城·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点
上，则BC边长的高为（ ）√15 8 4 √13
A． B． √5 C． √5 D．
2 5 5 2
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．
1 1 1
【详解】解：∵S =3×4− ×2×3− ×2×1− ×2×4=4，
△ABC 2 2 2
∵BC=√22+42=2√5，
2×4 4√5
∴BC边长的高= = ，
2√5 5
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2解答．
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市第二十六中学阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、
B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
3√10 2√10 5√10 4√10
A． B． C． D．
10 5 4 5
【答案】D
【分析】连接AC、BC，利用割补法求出S =4，根据勾股定理求出AB=√10，设C点到AB的距离为
△ABC
1
h，根据S = AB⋅ℎ =4，即可求出h的值．
△ABC 2
【详解】解：如图，连接AC、BC，1 1 1
S =3×3− ×3×1− ×3×1− ×2×2=4，
△ABC 2 2 2
AB=√32+12=√10，
设C点到AB的距离为h，
1
∵S = AB·ℎ =4，
△ABC 2
8 4√10
∴ℎ = = ．
√10 5
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平
方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
4．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若
4√13
AC= ，则BC的长为（ ）
3
2√13
A． B．√13 C．2√13 D．3√13
3
【答案】A
【分析】根据勾股定理求得AB的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵AB=√42+62=2√13，
4√13 2√13
∴BC=AB−AC=2√13− = ，
3 3
故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的减法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2022·八年级单元测试）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线
段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．AB、CD、EF B．AB、CD、GH C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH
【答案】A
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的
逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
则AB2=32+42=25，CD2=12+22=5，EF2=42+22=20，GH2=22+32=13，
因为CD2+EF2=AB2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、EF．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的
关键．
6．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，则
下列关系正确的是（ ）
A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c
【答案】D
【分析】利用勾股定理求解出每条边的长度比较即可．
【详解】解：设正方形网格的边长为1，利用勾股定理得：
a=√32+12=√10,b=√12+22=√5,c=√22+32=√13，
∴b<a<c，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理求边长．
7．（2022春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图．每个小正方形的边长为1，格点线段ED与CG交于点
A，FH与DG交于点B，连接AB．有下列结论①CG⊥ED；②△ABD≅△HBD；③∠CGH=30°；④
AC=2.5；⑤∠EAB=∠EFB；⑥△ABD的面积为0.75．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】先证明△EFD≅△GMC，再逐个选项推理即可．
【详解】如图，
由图可得，EF=GM=4，CM=DF=3，∠EFD=∠GMC=90°
∴△EFD≅△GMC(SAS)，ED=CG=5
∴∠≝=∠CGM
∵∠CGE+∠CGM=90°，
∴∠CGE+∠≝=90°，
∴∠EAG=90°，
∴CG⊥ED，故①正确；
1 1
∵S = DF⋅EG= DE⋅AG，ED=EG=5
△EGD 2 2
∴DF=AG=3
∴DF=AG=CH=3
∴Rt△AGD≅Rt△HGD(HL)，∴∠ADG=∠HDG，AD=DH=1
∴△ABD≅△HBD(SAS)，故②正确；
∵Rt△CGM中，CG=5，CM=3
∴CG≠2CM，
∴∠CGH≠30°，故③错误；
∵CG=5，AG=3，
∴AC=CG−AG=2，故④错误；
连接BE，
∵△ABD≅△HBD(SAS)
∴AB=BF，
∵AD=DH=1，ED=CG=5
∴AE=EF=4，
∵BE=BE，
∴△ABE≅△FBE(SSS)
∴∠EAB=∠EFB，故⑤正确；
∵矩形DFGH，
1 1 3
∴S = S = ×1×3= ，
△DBH 4 矩形DFGH 4 4
∵△ABD≅△HBD(SAS)，
3
∴S =S = ，
△DBH △ABD 4
∴△ABD的面积为0.75，故⑥正确；
综上所述，正确的有①②⑤⑥；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．
8．（2022春·安徽·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，
以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）√2
A．√3−1 B．3−√5 C．√5 D．
2
【答案】B
【分析】如图，连接AD，利用勾股定理求得DE即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，则AD=AB=3，
∵∠E=90°，AE=2，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得：
DE=√AD2−AE2=√32−22=√5，
∴CD=EC−DE=3−√5，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，求出DE的长是解答的关键．
9．（2022·全国·八年级专题练习）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的
格点应是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【分析】根据勾股定理与网格得出AO=BO=MB=AM=√10，证明△AMO≌△BMO，根据全等三角形
的对应角相等即可求解．
【详解】解：如图，连接AM,BM,OM，根据网格得出AO=BO=MB=AM=√10，
在△AMO与△BMO中
¿
∴△AMO≌△BMO (SSS)，
∴∠MOA=∠MOB，
∴△AOM≌△BOM
即OM平分∠AOB
∴到∠AOB两边距离相等的格点应是点M，
故选A
【点睛】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明OM平分∠AOB
是解题的关键．
10．（2022春·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有
△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】延长PC到点C，使得PC=AP，连接BC，根据勾股定理的逆定理可得△PCB为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：延长AP到点C，使得PC=AP，连接BC，如下图：由勾股定理得：PC=AP=√12+22=√5，BC=√12+22=√5，BP=√12+32=√10，
∴PC=BC，BP2=PC2+BC2，
∴△PCB为等腰直角三角形，
∴∠CPB=∠CBP=45°，
∴∠PAB＋∠PBA=∠CPB=45°，
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角
形，正确进行求解．
二、填空题
11．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、B、C是小
正方形的顶点，则∠ABC的度数为________°．
【答案】45
【分析】连接AC根据勾股定理求出AC，BC，AB，根据勾股定理逆定理得到∠ACB=90°，即可得到
答案．
【详解】解：连接AC，由题意可得，
BC=√5 ，AC=√5，AB=√10，
∴AC2+BC2=AB2，AC=BC，
∴∠ACB=90°，90°
∴∠ABC= =45° ，
2
故答案为45．
【点睛】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理及等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是
根据勾股定理求出AC，BC，AB，得到∠ACB=90°．
12．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC各顶点均
在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为_____．
【答案】2
【分析】由勾股定理可求AC,BC,AB的长，由勾股定理的逆定理可证∠ACB=90°，由面积法可求解．
【详解】解：由题意可得：AC=√12+22=√5，BC=√22+42=2√5，AB=√32+42=5，
∵AC2+BC2=25,AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1
∵S = ×AB⋅CD= ×AC⋅BC，
△ABC 2 2
∴√5×2√5=5CD，
∴CD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面积公式，证明∠ACB=90°是解题的关键．
13．（2021春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，
D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于P，Q两点，则P点所表示的
数为 ___________．（可以用含根号的式子表示）【答案】√10+1
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，即为AP的长，再根据两点间的距离公式便可求出OP的长，则可
得出答案．
【详解】解：由勾股定理可得，AD=√12+32=√10，
则AP=AD=√10，
∵点A表示的数是1，
∴OP=√10+1，
∴P点所表示的数为√10+1．
故答案为：√10+1．
【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离＝较大的
数−较小的数，是解题的关键．
14．（2022春·湖北荆州·八年级统考期中）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长
度，点O，A，B，C在网格的交点（格点）上，点C(0,3)，在第三象限内的格点上找一点D，使△ABD与
△ABC全等，则点D的坐标为______．
【答案】(−1,−1)
【分析】根据网格及勾股定理确定点D的位置，然后读出点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，
AD=BC=√22+12=√5，BD=AC=√22+22=2√2，AB=AB，∴△ABD ≌ △ABC，
故点D(−1,−1)，
故答案为：(−1,−1)．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些
知识点是解题关键．
15．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在8×8的方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个
顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有_____（填写序号）．
①△ABC的形状是直角三角形；
②△ABC的周长是3√5+5；
③点B到AC边的距离是2；
④若点D在格点上（不与A重合），且满足S =S ，这样的D点有3个不同的位置．
△BCD △BCA
【答案】①②③
【分析】根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，即可判断②，再根据勾股定理的逆定理即可判断①，根
据三角形面积公式即可判断③和④．
【详解】由勾股定理得：AB= √22+12 =√5，AC= √32+42 =5，BC= √22+42＝=2√5，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC的形状是直角三角形，且∠ABC=90°，故结论①正确；
△ABC的周长是√5+5+2√5=3√5+5，故结论②正确；设点B到AC边的距离是h，
1 1
由三角形面积公式得： AC·ℎ = AB·BC ，
2 2
AB⋅BC √5×2√5
∴ h= = =2，故结论③正确；
AC 5
∵S =S ，
△BCD △BCA
∴D点到BC的距离等于A点到BC的距离，如图所示，
D点可以是直线m、n上的任意一点，
又∵点D在格点上（不与A重合），
∴这样的D点有3+4=7 个不同的位置，故结论④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2022秋·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）如图，在小正方形边长为1的方格中，以
线段AB、BC、CD为边的三角形的面积为 _____．
【答案】√10
【分析】结合图形根据勾股定理求得线段AB、BC、CD的长度，从而得出BC2+DC2＝AB2，推出以线段
AB、BC、CD为边的三角形是以线段AB为斜边的直角三角形，进而根据直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：在Rt△ABD中，AB=√AD2+BD2=√22+32=√13，
同理，BC=√12+22=√5，DC=√22+22=2√2，∵（√5）2+（2√2）2＝（√13）2，
即BC2+DC2＝AB2，
∴以线段AB、BC、CD为边的三角形是以线段AB为斜边的直角三角形，
1 1
∴该直角三角形的面积为： BC×DC= ×√5×2√2=√10．
2 2
故答案为：√10．
【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是由三角形三边满足BC2+DC2=AB2得出该三角形是个直
角三角形，从而利用直角三角形的面积公式求解．
17．（2022秋·重庆武隆·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的
中点，则线段CD的长为________
√26 1
【答案】 ## √26
2 2
【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出 ABC是直角三角形，然后
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． △
【详解】解：根据勾股定理，AB=√12+52=√26，
BC=√22+22=2√2，
AC=√32+33=3√2，
∵AC2+BC2=AB2=26，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
1 1 √26
∴CD= AB= ×√26= ．
2 2 2
√26
故答案为： ．
2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，
判断出 ABC是直角三角形是解题的关键．
18．（△2022春·八年级课时练习）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，
C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是______度．
【答案】45
【分析】作C点关于AB的对称点E，连接DE，由对称性知ΔABC≌ΔABE，得到∠CAB＝∠BAE，再结
合网格利用勾股定理得出AD，DE，AE的长，进而利用勾股逆定理解答即可．
【详解】解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：
由对称性知ΔABC≌ΔABE，
∴∠CAB＝∠BAE，
在正方形网格，每个小正方形的边长均为1，
在RtΔADG中，AG=3,DG=2，由勾股定理得：AD=√22+32=√13，
在RtΔDEF中，DF=3,EF=2，由勾股定理得：ED=√22+32=√13，
∴ AD=DE，
在RtΔABE中，AB=5,BE=1，由勾股定理得：AE=√12+52=√26，
∴AD2+DE2=13+13=26=AE2，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°＝∠DAB＋∠BAE＝∠DAB＋∠CAB，故答案为：45．
【点睛】本题考查网格中运用勾股定理、勾股逆定理及等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据勾股定
理得出AD，DE，AE的长解答．
19．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的
顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB−∠ABD=__________．
【答案】45°##45度
【分析】连接AE，BE，设AE与BD交于点F，根据勾股定理的逆定理先证明ΔABE是等腰直角三角形，
从而可得∠BAE=45°，再根据题意可得∠AFD=∠ADF，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，
由题意得：
AB2=12+32=10，
AE2=12+22=5，
EB2=12+22=5，
∴AE=EB，BE2+AE2=AB2，
∴ΔABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∵BD // EC，
∴∠ADB=∠ACE，∠AFD=∠AEC，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
∴∠AFD=∠ADF，
∵∠AFD是ΔABF的一个外角，
∴∠AFD−∠ABD=∠BAE=45°，∴∠ADB−∠ABD=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题目的已知条件并
结合图形添加适当的辅助线．
20．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）在边长为1的网格图形中，以顶点都是格点的正方形ABCD的
边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正
方形，在图1所示的格点图形中，正方形ABCD的边长为√26，此时正方形EFGH的面积为52．写出正方
形EFGH的面积的所有可能值是__________（不包括52）．
【答案】36或50
【分析】设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b，正方形EFGH的面积＝FE2＝（a+b）
2，只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可，线段的端点在格点上时，
还有两种可能，画出图形即可．
【详解】解：设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b，
则在Rt AED中，不妨使ED＝b，AE＝a，AE2+ED2＝AD2＝（√26）2＝26，
∴a2+b2＝△26，
∵FE＝FA+AE＝a+b，
∴正方形EFGH的面积＝FE2＝（a+b）2，
∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可，
∴线段的端点在格点上时，还有两种可能，
①a＝5，b＝1时，如图2，此时正方形E'F'G'H'的面积为36，
②当a＝2√2，b＝3√2时，如图3，
此时正方形E'F'G'H'的面积为50，
故答案为：36或50．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是清楚只要能把
长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上．
三、解答题
21．（2022春·吉林长春·八年级期末）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、
√13，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为
1)，再在网格中画出格点△ABC．(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)．如图①所示，这样不需求
△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上___________；
(2)在图②中画△≝¿，使DE、EF、DF三边的长分别为√2、2√2、√10；
(3)这个三角形的形状是____________．7
【答案】(1)
2
(2)画图见解析
(3)直角三角形
【分析】（1）用一个长方形的面积分别减去三个三角形的面积可求出△ABC的面积；
（2）利用勾股定理和网格特点分别画出△DFE；
（3）根据勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形．
1 1 1 7
【详解】（1）解：△ABC的面积=3×3− ×1×3− ×2×1− ×2×3= ；
2 2 2 2
7
故答案为： ；
2
（2）如图，△≝¿即为所求作的三角形；
（3）△≝¿为直角三角形．
理由：∵DE=√2 ，EF=2√2，DF=√10，
∴DE2+EF2=DF2，
∴△≝¿为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，网格三角形面积的计算，画网格三角形，熟练的利用勾股定理画网格三角形是解本题的关键．
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）图1、图2分别是10×6的网格，网
格中每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，A、B两点在格点上，请在下面的网格中
按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)在图1中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形，且△ABC的面积为10；
(2)在图2中画一个平行四边形ABEF，使其周长为10+2√13
(3)在图2中连接BF，并直接写出BF的长，BF=_________．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)3√2
【分析】（1）先根据面积，求出AB边上的高，再画出符合要求的图形即可；
（2）平行四边形ABEF的周长为10+2√13，AB=5即可求出BE=√13，依据勾股定理构造斜边为√13的
直角三角形，即可画出图形；
（3）依据勾股定理求解即可
【详解】（1）解：∵ △ABC为钝角等腰三角形，且△ABC的面积为10，AB=5
2S 20
∴ AB边上的高= △ABC = =4，利用勾股定理构造图如下：
AB 5
如图所示（答案不唯一）BC=√32+42=√25=5=AB
故△ABC为钝角等腰三角形符合题意．
（2）解：∵平行四边形ABEF的周长为10+2√13，AB=5
∴ BE=AF=√13
利用勾股定理构造图如下：
如图所示，BE=√22+32=√13符合题意．
故四边形ABEF是平行四边形，其周长为10+2√13（答案不唯一）．
（3）解：如下图：
如图BF=√32+32=3√2．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质以及勾股定理及作图，属于基础题，熟练掌
握等腰三角形的性质是关键．
23．（2022春·福建漳州·八年级漳州三中校考阶段练习）作图．网格中每个小正方形的边长都是1，(1)在图1网格中作一个直角三角形，使它的三边长都是整数；
(2)在图2网格中作一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图3网格中作一个钝角三角形，使它的面积等于6．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意作出相应三角形即可；
（2）根据题意作出相应三角形即可；
（3）根据题意作出相应三角形即可．
【详解】（1）解：如图所示，AB=4，BC=3，AC=√AB2+BC2=5，
∴△ABC即为所求；
（2）如图所示：DE=√32+32=3√2，DF=√22+42=2√5，EF=√12+12=√2，
∵DE2+EF2=DF2，
∴△≝¿为直角三角形，符合题意；
（3）如图所示，NO=3且NO边上的高为4，
1
∴△MNO的面积为： ×3×4=6，
2
∴△MNO即为所求．【点睛】题目主要考查勾股定理与网格问题，理解题意，根据勾股定理作出相应三角形是解题关键．
24．（2022春·江西吉安·八年级统考期中）图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每
个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列
作图：
(1)如图1，请以线段AB为斜边作等腰直角△ABC；
(2)如图2，请以线段AB为底边作等腰△ABD，且使得腰长为有理数；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图所示，取格点C，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形即
可；
5
（2）如图证明CF是线段AB的垂直平分线，从而推出AD=BD，在利用勾股定理求出AD=BD= 即可．
2
【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；
∵AC=BC=√12+32=√10，AB=√22+42=2√5，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：如图所示，△ABD即为所求；
由（1）得AC=BC，
∵F是AB的中点，
∴CF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
设AD=BD=x，则DE=AE−AD=4−x，
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，
∴22+(4−x) 2=x2，
5
解得x= ，
2
5
∴AD=BD= ，
2
∴△ABD即为所求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质与判
定，线段垂直平分线的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键．25．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个
单位．
(1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
(2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为√10的直角三角形；
(3)请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平分线CE．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析；
(3)图形见解析．
【分析】（1）利用数形结合的思想，根据三角形面积确定底为4，高为3，再利用垂直平分线的性质，即
可作出等腰三角形；
（2）利用数形结合的思想，根据勾股定理构造直角边边长为√10的直角三角形即可；
（3）根据三角形的高和角平分线的定义，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求作；
（2）解：如图，△ABC即为所求作；
（3）解：线段AD、CE，即为所求作．【点睛】本题考查了作图—设计作图，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形
的高以及角平分线的性质，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
26．（2022春·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四
1 1
个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4+(b−a) 2 ，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2 ，
2 2
化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双
求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三
边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶
点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
【答案】(1)见解析
6√5
(2)
59
(3)x=
4
【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2=c2；
（2）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高；
（3）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；
1 1 1
【详解】（1）证明：∵S = c2 ，S = (b+a)b，S = (a−b)a，
四边形ABCD 2 梯形AEDC 2 △BED 2
S =S +S
四边形ABCD 梯形AEDC △BED
1 1 1
∴ c2= (b+a)b+ (a−b)a
2 2 2
1 1 1 1 1
∴ c2= b2+ ab+ a2− ab
2 2 2 2 2
∴a2+b2=c2
1 1 1
（2）S =4×4− ×2×4− ×2×4− ×2×2=6，
△ABC 2 2 2
AB=√22+42=2√5，
1 1
∵S = AB×ℎ = ×2√5ℎ =6，
△ABC 2 2
6√5
∵ℎ =
5
6√5
即AB边上的高是
5
（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD2=AB2−BD2=42−x2=16−x2
∵BD+CD=BC=6，
∴CD=BC−BD=6−x
在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD2=AC2−CD2=52−(6−x) 2=−11+12x−x2
∴16−x2=−11+12x−x2，
9
∴x=
4
【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
27．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）作图：
(1)如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中：
①画出△ABC关于直线l轴对称的△≝¿（其中D、E、F分别是A、B、C的对应点）；
②直接写出△ABC中AB边上的高=___________．
(2)如图2，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也
相等．（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
19
【答案】(1)①见解析，②
5
(2)见解析
【分析】（1）①分别作出点A，B，C关于直线l的对称点D、E、F，再顺次连接D、E、F即可；②
求得△ABC的面积，勾股定理求得AB的长，即可求解；
（2）作∠ABC的角平分线，作线段AD的垂直平分线，交点即为点P．
【详解】（1）解：①如图△≝¿即为所求的三角形；
1 1 1 19
②S =4×5− ×1×4− ×3×4− ×1×5= ，
△ABC 2 2 2 2由勾股定理可得：AB=√32+42=5，
2S 19
△ABC中AB边上的高= △ABC = ，
AB 5
19
故答案为：
5
（2）作∠ABC的角平分线和线段AD的垂直平分线，其交点即为所求的点P，如下图：
【点睛】此题主要作图−轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性
质，割补法求三角形的面积，勾股定理，也考查了角平分线与中垂线的尺规作图与性质．
28．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期中）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分
别为√5，√10，√13，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正
方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所
示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)△ABC的面积为______．
(2)若△≝¿的三边DE、EF、DF长分别为√8，√13，√17，请在图2的正方形网格中画出相应的△≝¿，并
求出△≝¿的面积为______．
(3)在△ABC中，AB=√10，AC=3、BC=1，以AB为边向△ABC外作△ABD（D与C在AB异侧），使
△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为______．7
【答案】(1) ；
2
(2)图见解析，5；
(3)2√2．
【分析】（1）利用割补法求△ABC的面积即可；
（2）利用割补法求△≝¿的面积即可；
（3）画出符合题意的图形，运用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图：将△ABC填补成梯形BCDE，
1 1 1 7
则S = ×(2+3)×3− ×1×2− ×2×3= ．
△ABC 2 2 2 2
7
故答案为：
2
（2）解：△≝¿如图所示：
同（1）中的方法，将△≝¿填补成梯形FGHD，S
∴ 1 1 1 ．
△≝¿= ×(2+3)×4− ×2×2− ×2×3=5¿
2 2 2
故答案为：5
（3）解：∵AB=√10，AC=3、BC=1，
∴AB2=AC2+BC2，即△ABC是直角三角形，
∵D与C在AB异侧，
∴点D如图：
此时AD=BD=√12+22=√5，AB2=AD2+BD2=(√5) 2+(√5) 2=(√10) 2 ，
∴CD=√22+22=2√2．
故答案为：2√2
【点睛】本题考查网格问题，解题的关键是掌握割补法求三角形面积，以及勾股定理，结合图形进行求解．
29．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）数学王老师组织了“探究√2”的活动，下面是同学们的探究过
程：
(1)√2到底有多大？
下面是小明探究√2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是√2，且√2>1.4设√2=1.4+x，画出如下示意图：由面积公式，可得x2+______+1.96=2
因为x的值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，
解得x≈______（保留到0.001），
即√2≈______．
(2)怎样画出√2？
下面是小亮探索画√2的过程，请补充完整：
现在有2个边长为1的正方形，如图（1），请把它们分割后拼成一个新的正方形．要求：画出分割线并在
正方形网格中画出拼接成的新正方形．
小亮的做法是：设新正方形的边长为x(x>0)，割补前后图形的面积相等，则x2=2，结合实际解得x=√2．
把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中画出拼接成的新正方形．
请参考小亮的做法，现有5个边长为1的正方形，如图（3），请把它们分割后拼成一个边长为√5的新的
正方形，在图（4）中画出即可．
【答案】(1)2.8x，2.8x+1.96=2；0.014；1.414
(2)图见详解
【分析】（1）根据完全平方公式，以及解一元一次方程进行计算即可求解；
（2）根据勾股定理求得长为√2，√5的线段，根据网格的特点画出正方形即可求解．
【详解】（1）解：图中大正方形的边长是√2，面积为：(√2) 2=2，
大正方形的面积还可以表示为：(x+1.4) 2=x2+2.8x+1.96.∴x2+2.8x+1.96=2，
略去x2得：2.8x=2−1.96=0.04，
∴x≈0.04÷2.8=0.014.
∴√2≈1.414.
故答案为：2.8x，2.8x+1.96=2；0.014；1.414；
（2）小亮同学的做法图示为：
【点睛】本题考查了完全平方公式，解一元一次方程，勾股定理与网格问题，掌握勾股定理与无理数是解
题的关键．
30．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）
(1)问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求此三角形的面积小辉同学
在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即
△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高而借用网格就能计算出它
的面积请你将△ABC的面积直接填写在横线上______．
(2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做方格构图法．如果△ABC三边的长分别为√5a、√8a、
√17a(a>0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
(3)探索创新：若△ABC三边的长分别为√m2+16n2，√9m2+4n2，2√m2+n2（m>0，n>0，且m≠n），
试运用构图法在图③网格中画出相应的△ABC示意图，并求出这个三角形的面积．
7
【答案】(1)
2(2)3a2，见解析
(3)5mn，见解析
1 1 1
【分析】(1) S =3×3− ×1×3− ×1×2− ×2×3计算即可．
△ABC 2 2 2
（2）根据AB=√5a=√(2a) 2+a2、BC=√8a=√(2a) 2+(2a) 2、AC=√17a=√a2+(4a) 2，画图计算即
可
（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，AB=√m2+16n2=√m2+(4n) 2、
BC=√9m2+4n2=√(3m) 2+(2n) 2、AC=2√m2+n2=√(2m) 2+(2n) 2，画图计算即可．
1 1 1
【详解】（1）根据提意思，得S =3×3− ×1×3− ×1×2− ×2×3
△ABC 2 2 2
7
= ．
2
7
故答案为： ．
2
（2）根据题意，得AB=√5a=√(2a) 2+a2、BC=√8a=√(2a) 2+(2a) 2、AC=√17a=√a2+(4a) 2，画
图如下：
1 1 1
根据题意，S =2a×4a− ×a×2a− ×2a×2a− ×a×4a
△ABC 2 2 2
=8a2−5a2=3a2．
（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，AB=√m2+16n2=√m2+(4n) 2、
BC=√9m2+4n2=√(3m) 2+(2n) 2、AC=2√m2+n2=√(2m) 2+(2n) 2，画图如下：1 1 1
根据题意，S =3m×4n− ×m×4n− ×2m×2n− ×3m×2n
△ABC 2 2 2
=5mn．
【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
