文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题17.4勾股定理与网格问题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，
则∠ABC度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
【答案】B
【分析】在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：
AC=BC=√22+12=√5，AB=√32+12=√10，
∵(√5) 2+(√5) 2=(√10) 2 ，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点
三角形中利用勾股定理．
2．（2022春·山西运城·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点
上，则BC边长的高为（ ）√15 8 4 √13
A． B． √5 C． √5 D．
2 5 5 2
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．
1 1 1
【详解】解：∵S =3×4− ×2×3− ×2×1− ×2×4=4，
△ABC 2 2 2
∵BC=√22+42=2√5，
2×4 4√5
∴BC边长的高= = ，
2√5 5
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2解答．
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市第二十六中学阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、
B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
3√10 2√10 5√10 4√10
A． B． C． D．
10 5 4 5
【答案】D
【分析】连接AC、BC，利用割补法求出S =4，根据勾股定理求出AB=√10，设C点到AB的距离为
△ABC
1
h，根据S = AB⋅ℎ =4，即可求出h的值．
△ABC 2
【详解】解：如图，连接AC、BC，1 1 1
S =3×3− ×3×1− ×3×1− ×2×2=4，
△ABC 2 2 2
AB=√32+12=√10，
设C点到AB的距离为h，
1
∵S = AB·ℎ =4，
△ABC 2
8 4√10
∴ℎ = = ．
√10 5
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平
方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
4．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若
4√13
AC= ，则BC的长为（ ）
3
2√13
A． B．√13 C．2√13 D．3√13
3
【答案】A
【分析】根据勾股定理求得AB的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵AB=√42+62=2√13，
4√13 2√13
∴BC=AB−AC=2√13− = ，
3 3
故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的减法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2022·八年级单元测试）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线
段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．AB、CD、EF B．AB、CD、GH C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH
【答案】A
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的
逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
则AB2=32+42=25，CD2=12+22=5，EF2=42+22=20，GH2=22+32=13，
因为CD2+EF2=AB2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、EF．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的
关键．
6．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，则
下列关系正确的是（ ）
A．a1.4设√2=1.4+x，画出如下示意图：由面积公式，可得x2+______+1.96=2
因为x的值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，
解得x≈______（保留到0.001），
即√2≈______．
(2)怎样画出√2？
下面是小亮探索画√2的过程，请补充完整：
现在有2个边长为1的正方形，如图（1），请把它们分割后拼成一个新的正方形．要求：画出分割线并在
正方形网格中画出拼接成的新正方形．
小亮的做法是：设新正方形的边长为x(x>0)，割补前后图形的面积相等，则x2=2，结合实际解得x=√2．
把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中画出拼接成的新正方形．
请参考小亮的做法，现有5个边长为1的正方形，如图（3），请把它们分割后拼成一个边长为√5的新的
正方形，在图（4）中画出即可．
【答案】(1)2.8x，2.8x+1.96=2；0.014；1.414
(2)图见详解
【分析】（1）根据完全平方公式，以及解一元一次方程进行计算即可求解；
（2）根据勾股定理求得长为√2，√5的线段，根据网格的特点画出正方形即可求解．
【详解】（1）解：图中大正方形的边长是√2，面积为：(√2) 2=2，
大正方形的面积还可以表示为：(x+1.4) 2=x2+2.8x+1.96.∴x2+2.8x+1.96=2，
略去x2得：2.8x=2−1.96=0.04，
∴x≈0.04÷2.8=0.014.
∴√2≈1.414.
故答案为：2.8x，2.8x+1.96=2；0.014；1.414；
（2）小亮同学的做法图示为：
【点睛】本题考查了完全平方公式，解一元一次方程，勾股定理与网格问题，掌握勾股定理与无理数是解
题的关键．
30．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）
(1)问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求此三角形的面积小辉同学
在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即
△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高而借用网格就能计算出它
的面积请你将△ABC的面积直接填写在横线上______．
(2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做方格构图法．如果△ABC三边的长分别为√5a、√8a、
√17a(a>0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
(3)探索创新：若△ABC三边的长分别为√m2+16n2，√9m2+4n2，2√m2+n2（m>0，n>0，且m≠n），
试运用构图法在图③网格中画出相应的△ABC示意图，并求出这个三角形的面积．
7
【答案】(1)
2(2)3a2，见解析
(3)5mn，见解析
1 1 1
【分析】(1) S =3×3− ×1×3− ×1×2− ×2×3计算即可．
△ABC 2 2 2
（2）根据AB=√5a=√(2a) 2+a2、BC=√8a=√(2a) 2+(2a) 2、AC=√17a=√a2+(4a) 2，画图计算即
可
（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，AB=√m2+16n2=√m2+(4n) 2、
BC=√9m2+4n2=√(3m) 2+(2n) 2、AC=2√m2+n2=√(2m) 2+(2n) 2，画图计算即可．
1 1 1
【详解】（1）根据提意思，得S =3×3− ×1×3− ×1×2− ×2×3
△ABC 2 2 2
7
= ．
2
7
故答案为： ．
2
（2）根据题意，得AB=√5a=√(2a) 2+a2、BC=√8a=√(2a) 2+(2a) 2、AC=√17a=√a2+(4a) 2，画
图如下：
1 1 1
根据题意，S =2a×4a− ×a×2a− ×2a×2a− ×a×4a
△ABC 2 2 2
=8a2−5a2=3a2．
（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，AB=√m2+16n2=√m2+(4n) 2、
BC=√9m2+4n2=√(3m) 2+(2n) 2、AC=2√m2+n2=√(2m) 2+(2n) 2，画图如下：1 1 1
根据题意，S =3m×4n− ×m×4n− ×2m×2n− ×3m×2n
△ABC 2 2 2
=5mn．
【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
