文档内容
11.2.2 直角三角形 教学设计
一、教学目标：
1.了解直角三角形两个锐角的关系.
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
二、教学重、难点：
会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
三、教学准备：
课件、三角尺等。
四、教学过程：
复习回顾
求出下列各图中x的值.
解：180°-40°-60°=80°； 180°-90°-55°=80°；
x+2x+90=180； x+x+50=180；
x=30 x=65
【设计意图】通过练习巩固三角形内角和定理并熟练应用，为直角三角形的新知学习做好铺
垫。
知识精讲
你能把下列推理补充完整吗？
如图，在△ABC中，
∠A +∠B +∠C =_____( )
∵ ∠C = 90°( )
∴ ∠A +∠B =_____
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt ”表示，直角三角ABC可以写成Rt ABC.
定理应用格式：在Rt ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°.
△ △
【设计意图】根据已有知识来得到直角三角形的两个内角之间的数量关系，让学生体会知识
△
之间的内在联系，学会用旧知引发新知生成。
探究：1.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由.
2.如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
1.解：∠A=∠D. 理由如下：
方法一：(利用平行的判定和性质)
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ AB∥CD，
∴ ∠A=∠D.
方法二：(利用直角三角形的性质)
在Rt AOB和Rt COD中，
∵ ∠B=∠C=90°，
△ △
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°，
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠A=∠D.
①两个图形的相同点和不同点各是什么？
②图(1)的两种解答方法能用于图(2)的解答吗？哪个更具一般性？
2.解：∠A=∠C. 理由如下：
在Rt AOB和Rt COD中，
∵ ∠B=∠D=90°，
△ △
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°，
∵ ∠AOB=∠COD，∴ ∠A=∠C.
【设计意图】两个探究活动的设计让学生在活用直角三角形性质的同时，有图形归纳总结初
中几何的基本图形，由形得数量，让学生学会在复杂图形中找到基本图形，掌握基本解题策
略。
典例解析
例1.如图，∠C=∠D=90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE=∠DBE. 理由如下：
在Rt ACE中，∠CAE=90°-∠AEC，
在Rt BDE中，∠DBE=90°-∠BED，
△
∵ ∠AEC=∠BED，
△
∴ ∠CAE=∠DBE.
【针对练习】
如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD=∠B. 理由如下：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD+∠BCD=90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠B+∠BCD=90°，
∴ ∠ACD=∠B.
探究：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，
有两个角互余的三角形是直角三角形吗?请你说说理由.问题：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
解：△ABC是Rt ，理由如下：
在△ABC中，
△
∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形.
直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理应用格式：
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
例2.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°.
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
【针对练习】
如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：在Rt ABC中， ∠2+∠A=90°.
∵ ∠1=∠2,
△
∴∠1+∠A=90°.
即△ADE是直角三角形.
例3.如图所示，有一个三角尺 （足够大），其中 ，把直角三角尺 放置在
锐角 上，三角尺 的两边 恰好分别经过点 ．
(1)若 ，则 _________°， __________°，
___________°；
(2)若 ，求 的度数；
(3)请你猜想一下 与 所满足的数量关系，并说明理由．
(1)解：∵∠A=35°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°；
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=55°，
故答案为：145°；90°；55°；
(2)解：∵∠A=60°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°；∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=30°；
(3)解：∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由如下：
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A；
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=180°-∠A-90°，
∴∠ABD+∠ACD+∠A=90°．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.已知Rt ABC的一个锐角为25°,则另一个锐角为______.
2.三角形的两个锐角分别为35°和55°，则它是_____三角形.
△
3.已知等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个三角形的顶角为_____，它是____________三
角形.
4.如图，已知∠1=20°，∠2=25°,∠A=35°，则∠BDC为______.
5.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______.
6.在三角形中，最大的内角不能小于_____,最小的内角不能大于_____.
7.如图，已知等腰三角 ABC，底角的平分线 BE 与底边上的高 AD 相交与点 O，且∠BOD=55°，则∠BAC=______.
8.如图，直线a//b，Rt ABC如图放置，若∠1=28°，∠2=80°，则∠B的度数为( )
A．62° B．52° C．38° D．28°
△
9.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点
F．
(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
(2)试说明：∠AEF＝∠AFE．
【参考答案】
1.65°
2.直角
3.90°，等腰直角
4.80°
5.280°
6.60°，60°
7.40°
8.C9.(1)解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE= ∠ABC＝18°，
2
∴∠AEF＝90°-∠ABE＝72°.
(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
五、教学反思
本节课的内容是直角三角形的性质与判定：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角
互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.上节课已经学过三角形的内角和是180°，据此证
明直角三角形两锐角互余这个定理并不难，教学中应该加强学生应用三角形内角和定理、直
角三角形两内角互余定理解诀一些简单的实际间题的能力.
