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专题 11.5 与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180 ；
特别指出：三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形
°
中最大的内角不小于60
【知识点二】直角三角形的性质与判定；
°
性质：直角三角形的两锐角互余；
判定：有两个内角互余的三角形是直角三角形；
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号 Rt 表示，如直角三角形 ABC 可
以表示为Rt ∆
【知识点三】∆A三B角C.形的外角
1、三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；
2、三角形内角和定理的推论（三角形外角性质）：三角形的外角等于与它不
相邻的两个内角的和；
3、三角形的外角和为等于360
°.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】三角形内角和定理的证明
【例1】（23-24七年级下·广东江门·期中）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根
据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理
证明．（1）如图①，在三角形 中，直线 经过点 ， ，试推理说明 ；
（2）如图②，在三角形 中，点 在 边上，过点 作 交 于点 ，作 交
于点 ，试推理说明 ；
（3）如图③，在三角形 中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明 ．
【变式1】（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小
组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． 过 作 ∥
B． 延长 到 ，过 作
C． 作 于点
D． 过 上一点 作 ，
【变式2】如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是 ．
【题型2】利用三角形内角和求角度
【例2】（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在 上， 与 交于
M点，连接 ，已知 ， ．（1）求证： ；
（2）若 是 的平分线， ，请判断 与 的位置关系，并说明理由．
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在 中， ，现将
分别沿边 翻折 得到 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图， ， 分别是 的高和角平分线， ，
，则 的度数为 ．
【题型3】利用三角形外角性质求角度
【例3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在 中，
（1）证明： ；
（2） ， ，求 的度数．
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， 平分 交 于点 ，
平分 交 于点 ，若 ， ，则 的度数为 ．
【题型4】利用直角三角形性质与判定求角度
【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 是 边上的高，E是 边上一点，
交 于点M，且 ．求证： 是直角三角形．
【变式1】（2024·陕西咸阳·三模）如图，一束光线 先后经平面镜 反射后，反射光线 与
平行，根据光的反射原理， ， ，当 时， 的度数为（ ）A． B． C． D．
【变式2】如图，在Rt ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝
∠A，则 EDC 是 △ ．
△
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·湖北宜昌·中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点 在 上，其中
， ， ， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片 中， ，点 是边 上的
动点，将三角形纸片沿 对折，使点 落在点 处，当 时， 的度数为 ．2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级上·山西晋中·期末）综合与实践
将两个完全相同的直角三角板（ ），按图1的方式放置，使边 和边 与直线
重合， 和 的顶点O重合．
（1）如图1， 度；
（2）如图2，若 平分 ，求 的度数；
（3）如图3所示，把三角板 和 绕点O同时以相同的速度顺时针旋转，当 平分 时，
和 的度数之间有怎样的数量关系，请直接写出结论．
【例2】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 、 、 分别平分 的
内角 、外角 、外角 ．其中不正确的结论有（ ）
A． B．
C． D．
