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专题 12.25 全等三角形（全章常考核心考点分类专题）（培优练）
【考点目录】
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长； 【考点2】利用“SSS”求值与证明；
【考点3】利用“SAS”求值与证明； 【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
【考点5】利用“HL”求值与证明； 【考点6】添加条件证明三角形全等；
【考点7】尺规作图与三角形全等； 【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明； 【考点10】全等全角形综合问题.
一、单选题
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知 ， 平分 ，若 ，
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图， ， ， 三点共线，则
下列结论中：① ； ② ；③ ；④ ；正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点2】利用“SSS”求值与证明；
3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在 和 中，
， 与 相交于点 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各
个顶点均为格点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点3】利用“SAS”求值与证明；
5．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的 网格，图形
中各个顶点均为格点，设 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， ， 平分 ，下列结论∶① 平
分 ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
7．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置 处， 与
地面垂直，当她荡到距地面 高的 处时，与 的水平距离 为 ，当她荡到与 的水平距离为
的 处， ，此时小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 与 中，A、C、E三点在一条直线上，
， ， ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．10 B．14 C．24 D．8
【考点5】利用“HL”求值与证明；
9．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图， ， ， ， ，则
（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在 和 中， ，
过 作 ，垂足为 交 的延长线于点 ，连接 ．四边形 的面积为 ，
则 的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
【考点6】添加条件证明三角形全等；
11．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在 和 中，点B，F，C，E在同一直线上．已知
， ．给出下列条件：① ，② ，③ ，④ ，能判定
的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④
12．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知 ，要使得 ，还需要添加一个
条件，那么这个条件可以是（ ）A． B．
C． D．
【考点7】尺规作图与三角形全等；
13．（20-21八年级上·江苏扬州·期末） 为锐角， ，点C在射线AM上，点B到射线AM的距
离为d， ，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
14．（17-18七年级下·北京海淀·期末）小明同学在学习完全等三角形以后，思考怎么用三角板平分一个
角，经过研究他得到一种方法：如图，在已知 的两边上，分别取 ，再分别用三角板过点
， 作 ， 的垂线，交点为 ，画射线 ，则 ，所以 平分 ．在此画
图过程中 的判定依据是（ ）
A． B． C． D．
【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
15．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形 中， ， ，
，且 ， ，则五边形 的面积为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
16．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在 中， ， 平分 ， 为线
段 上一动点， 为 边 上一动点，当 的值最小时， 的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；
17．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图， 平分 ，在 上取一点 ，过 作 ，
垂足为 ，点 是射线 上一动点，连接 ，若 ，则 的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点 ， 分别是 ， 平分线上的点，
于点 ， 于点 ， 于点 ，则以下结论错误的是（ ）A． B．
C．与 相等的角只有 D．
【考点10】全等全角形综合问题.
19．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图， 交 于点 ，交 于点 ， ，
， ，给出下列结论： ；② ；③ ； ，其中
正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
20．（23-24八年级上·新疆克拉玛依·期末）如图，点 是 上的一点，若 ，给出以
下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）．
A．①② B．③④ C．②④ D．②③
二、填空题
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；
21．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图， ， ， ， 分别为线段 和射
线 上的一点，若点 从点 出发，以 的速度向点 运动，同时点 以 的速度从点 出发
沿射线 的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线 上取一点G，使 与 全等，则
的长为 ．22．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知 ， ， ，
，则 ．
【考点2】利用“SSS”求值与证明；
23．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在 与 中，E在 边上， ， ，
，若 ，则 ， ．
24．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图， ，则 ．
【考点3】利用“SAS”求值与证明；
25．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在 中， ， ，将 沿过点
B的直线折叠，使点C落在点 处，折痕是 ，延长 交 边于点M，若 是 的中点，则图中的 的度数为 ．
26．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图在 中 ， 平分 ， ， 的面积为
78，M、N分别是 、 上的点，则 的最小值是 ．
【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
27．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， ， 于点E，
于点D， ， ，则 的长是 ．
28．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在四边形 中， 平分 ， ，
， ，则 面积的最大值为 ．
【考点5】利用“HL”求值与证明；
29．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在 和 中， ， ， ，则 ．
30．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）在 和 中， ， ，
，若边 和 上的高都是3， ，则 ．
【考点6】添加条件证明三角形全等；
31．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，已知： 与 交于O点， ，请添加一个你认为
合适的条件： ，使 ．
32．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图， 与 相交于点 ， ，添加一个条件 ，
使得 ．（填一个即可）
【考点7】尺规作图与三角形全等；
33．（21-22八年级上·河南南阳·期中）如图，已知∠MAB是锐角， ， ， ．
点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角
形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若 的形状、大小是唯一确定的，
则BC的取值范围是 ．34．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小
于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画
弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数
为 ．
【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
35．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示，在 中， ，则 边上的中线 的
长 取值范围是 ．
36．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， ，过点 作 ，且
，连接 ，若 ，则 的长为 ．
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；
37．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，在 中， 平分 ， 于点 ，的面积为 ， ，则 的长为 ．
38．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上分别截取
线段 ， ，使 ；分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交
于点P，作射线 ，交 于点M，过点M作 于点N．若 ， ，则
．
【考点10】全等全角形综合问题.
39．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在 中， 延长 到E，使得
，连接 ，过点A作 ，且 ．连接 与 的延长线交于D点，则 的
长为 ．
40．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知点B是 边上的动点（不与A、C重合），在 的
同侧作等边 和等边 ，连接 交于点H， 交 于G， 交 于F，连接 ，
则当 最小时， ．参考答案：
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形的外角，解题的关键是能熟记全等
三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等得到 ，外角的性质，求出
，进而求出 ，三角形的内角和定理，求出 ，即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
2．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小
题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】延长 交 于H，延长 交 于F，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
故①②正确，
∴ ，
故③是错误的，
∵ ，
∴ ，故④是正确的，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由条件可证 ，可求得
，再利用三角形内角和求得 ，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题
的关键．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据
网格特点，可得出 ，进而可求解．
【详解】解：如图，
由图可知： ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选C．
5．B
【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得
，从而可得 ，再根据三角形外角的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：如图， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．6．C
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出 ，再由角平分线及等量代换可判断①；
根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴
，
∵ 平分 ，
，
∴ 平分 ，故①正确；
在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
∴，
在 和 中，
， ，
故②不正确，④正确；
，
∴ ，
故③正确；
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性
质．通过证明 ，得出 、 ，求出
，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 、 ，
∴ ，
∵点B与地面距离为 ，
∴点E到地面的距离为 ，
∴ ，
∴点D到地面的距离为： ，
小丽距离地面的高度为： ．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是关键；证明 ，由全
等三角形对应边相等即可求解．
【详解】解： ，
；
，
；
， ，
；
， ，
，
，
；
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形中两个锐角互余，根据条件证明出两个直
角三角形全等是解题的关键．
【详解】解： ， ，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识．过点 作 于 ，证
，得 ，再证 ，同理 ，得 ，进
而得到 的长．
【详解】解：过点 作 于 ，如图所示：
在 和 中，
，
∴ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
解得： ；
故选：A．
11．C
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，利用三角形全等
的判定方法一一判断即可．
【详解】解： ，
，
，
，
添加①，由 ，
可得 ；
添加②，不能证明 ；添加③，由 ，不能得到 ；
添加④，
，
，
由 ，
可得 ．
能判断全等的条件是①④．
故选：C．
12．B
【分析】本题主要考查全等三角形的证明条件，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．根据
证明即可．
【详解】解：在 ， 中，
，
，
故选B．
13．A
【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点拨】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．14．D
【分析】根据条件可知OM=ON，OP为公共边，再结合两三角形为直角三角形，则可求得答案．
【详解】解：∵两三角尺为直角三角形，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
故选D．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，掌握直角三角形的特殊判定方法HL是解题的关键．
15．D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质
将面积进行转化．
将 绕点A逆时针旋转至 ，首先证明点D，E，F三点共线，证明 ，得
到 ， ，再将所求面积转化为 进行计算即可．
【详解】如图，将 绕点A逆时针旋转至 ，
， ，
则 ， ，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即 ，在 和 中
，
，
，
，
五边形 的面积为：
，
，
．
故选：D．
16．D
【分析】先在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ，说明
，找出当A、P、E在同一直线上，且 时， 最小，即 最小，
过点A作 于点E，交 于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ 平分 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当A、P、E在同一直线上，且 时， 最小，即 最小，过点A作 于点
E，交 于点P，如图：
∵ ， ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理
与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使 最小时点P的位置．
17．D
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的
关键．过点 作 ，如图所示，由角平分线的性质可得 ，根据点与直线上各点的距
离中垂线段最短可得 ，从而得到答案．
【详解】解：过点 作 ，如图所示：
平分 ，点 是射线 上一点， 于点 ， ，
由角平分线性质可得 ，点 是射线 上一动点，
由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得 ，
综合四个选项可知， 的长度不可能是 ，
故选：D．
18．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，余角的定
义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 ， ，再利用“HL”证明
，根据全等三角形对应边相等可得 ， ，同理可得 ，
，然后求出 ，然后对各项分析判断即可．
【详解】解：∵A，B分别是 ， 平分线上的点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，故选项A结论正确，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
同理可得 ， ，
∴ ，故B选项结论正确，
∵ ，
∴ ，
∵A，B分别是 ， 平分线上的点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 于点C， 于点D，
∴ ， ，
∴ ， ，与 互余的角有 ， ， ， 共4个，故选项C结论错误
∵ ，
故选项D结论正确．
故选：C．
19．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明 得出 ，
即可判断①②；证明 即可判断③；证明 得出 ，即可
判断④，从而得出答案．
【详解】解： ， ， ，
，
， ，故②正确，符合题意；
，即 ，故①正确，符合题意；
，
，
， ，
，故③正确，符合题意；
，
，
，
，
，
， ，
，
，
和 不一定相等，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．20．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解： ，
，故①错误； ， ， ， ， ，
，故②正确；
又 ，
，故③正确；
，
，
，即内错角不相等，
与 不平行，故④错误；
故选：D．
21． 或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键．
设运动时间为 设 ， ， ，因为 ，使 与
全等，可分两种情况，情况一：当 时，列方程解得t，可求出 ，情况二：当
时，列方程解得t，可求出 ．
【详解】解：设运动时间为 设 ， ， ，
因为 ，使 与 全等，可分两种情况：
情况一：当 时，
有： ，
解得： ，
，
情况二：当 时，
有 ，
解得： ，
，综上所述， 或 ；
故答案为： 或 ．
22． /100度
【分析】根据全等三角形的性质可得 ，再求出 的度数，再根据三角形内角和定理即
可求出 的度数．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】 ，
，
， ，
，
．
故答案为：
23．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据 证明 ，进而根据三角形内角和
即可求出结果．
【详解】解：如图，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故答案为： ， ．
24．70
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，证明 ，可得
，即可求解．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
故答案为：70．
25． / 度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和
定理求出 ，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得 ， ，证
明 ，即可得到 ．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
26．12【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确找出
取得最小值时的位置是解题关键．
在 上取一点E，使得 ，连接 ，证明 ，可得 ，则
，进而可得当点B，M，E共线且 时， 取最小值即 ，再利用
三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，在 上取一点E，使得 ，连接 ，过点 作 于点F.
∵ 是 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∴ ，
∴当点B，M，E共线且 时， 取最小值即 ，
∵ ， 的面积为78，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值是12．
故答案为：12．
27．6
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明 ，得到 ，再根据线段
的和差关系计算即可．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：6．
28．7.5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长 与 交于点 ，作
交 延长线于点 ，可证明 ，得到 ，求面积最大值转化成求线段 的最
大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．
【详解】分别延长 与 交于点 ， 作 交 延长线于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当点 重合时， 最大，最大值为3，∴ ，
故答案为：7.5．
29．
【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质，理解用HL判断直角三角形全等的方法是解题关键．
根据HL定理判定三角形全等，然后根据全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：∵
在Rt 和Rt 中 ，
∴Rt ≌Rt ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
30． 或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作 于点D，过
作 于点 ，可得 ，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵边 和 上的高都是3，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的同侧， 在点 的同侧时，如图，同理可得： ， ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
当 在点D的同侧， 在点 的两侧时，如图，
同理可得： ；
综上， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
31． （或 或 ）
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．
可以添加 ，根据 ，或添加 根据 ，添加 根据 可证明
△AOC≌△BOD，从而得到答案．
【详解】解：①添加 ，理由如下：
在 和 中，
，
，②添加 ，理由如下：
在 和 中，
，
，
③添加 ，理由如下：
在 和 中，
，
，
故答案为： （或 或 ）（答案不唯一）．
32． 或 或 或 （答案不唯一）
【分析】此题考查了添加条件判定三角形全等，首先根据图形，可知 ，又由已知
，可添加 或 或 或 ，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判
定方法及其应用．
【详解】解：∵ ， ，
添加 ，
∴ ；
添加 ，
∴ ；
添加 ，
∴ ；
添加 ，
∴ ， ，同 理，
故答案为： 或 或 或 （答案不唯一）．
33． 或【分析】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形
是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
【详解】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意，
此时 ；
故答案为： ；
当BC=BN=1时，三角形是唯一的；
当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键．
34．35°/35度
【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知： ， ．可证 ，
所以 ，可得 ．所以 ．由于AH平分 ，所以
．即： ．
【详解】解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知： ，
在 和 中
AH平分故答案为： ．
【点拨】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的
判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及
判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．
35．
【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在
新的三角形中运用三边关系定理求解．延长 到E，使 ，连接 ，证 ，推出
，根据三角形的三边关系求出即可．
【详解】解：如图所示，延长 到 ，且 ，并连接 ，
是 中点，
，
又 ，
，
，
在 中，
有 ，
，即 ，
．36．3
【分析】过点 作 交 延长线于点 ，先证明 ，则 ，然后
根据 求 即可．
【详解】解：过点 作 交 延长线于点 ，
则∠DMC=90°=∠ABC，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
．
故填 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角
形证得 成为解答本题的关键．
37．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点 作 于 ，由角平分线的性质可得
，进而由 的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
38．6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知 平分 ，根据角平分线的
性质可知 ，结合 求出 ， ．
【详解】解：作图可知 平分 ，
∵ 是边 上的高， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
39．
【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作 ，交 的延长线于点 ，可证明 ，得 ，因为
，所以以 ，求得 ，再证明 ，得 ，
则 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：作 ，交 的延长线于点 ，，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为： ．
40．【分析】由题意可证 得 ，在 上截取 可证
，推出 ，当 时， 最小，
据此即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴
即：
∵
∴
∴
在 上截取
∴
∴ ，
∴
即：
∴ 是等边三角形
∴
∴
∴
当 时， 最小
此时，
∵
∴
∴
∴
故答案为： ．【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，
考查了学生的推理论证能力．
