文档内容
专题 13.4 等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹
的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，
∠B、∠C是底角．
【要点提示】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，
不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 2 .
【知识点二】等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有
一条对称轴．【知识点三】等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【要点提示】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系
转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】等腰三角形的定义
【例1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）已知等腰三角形的两边 ， ，满足
，求此等腰三角形的周长．
【答案】11或13
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性，建立关于a、b的二元一次方程，即可分别求出a、b，再根据三
角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．
解： ，
，
，
当这个等腰三角形的腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、3、5，
，
能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为： ；
当这个等腰三角形的腰长为5时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、5、5，
，
能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为： ；
综上，这个等腰三角形的周长为：11或13．
【点拨】本题考查的是偶次方的非负性、解二元一次方程组，等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系．
【变式1】（22-23七年级下·宁夏银川·期中）等腰三角形的一边长是 ，另一边长是 ，则这个三
角形的周长是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分 是腰长和底边两种情况，求出三角形的三边，再根据三
角形的三边关系判定求解．
解：①若 是腰长，则三角形的三边分别为 ， ， ；能组成三角形，
周长 ，
②若 是底边，则三角形的三边分别为 能组成三角形，
周长 ，
综上所述，这个等腰三角形的周长是 或
故选：C．
【变式2】（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为 ，则
顶角的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确
的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角
三角形，即可推出顶角的度数为 ．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度
数为 ．
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
， ，
，
即顶角的度数为 ；
②如图，等腰三角形为钝角三角形，， ，
，
，
即顶角的度数为
综上，顶角的度数为 或
故答案为： 或 ．
【题型2】“等边对等角”进行求值与证明
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在 中， ，过点A作 ，且 ，
求证： ．
【分析】根据等边对等角得到 ，再利用平行线的性质可以得到 ，进而证
明 ，即可得到结论．
证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西
方向，C在B的南偏东 方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（ ）A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
【答案】C
【分析】根据题意可得 ， ， ，再根据等腰三角形的性质可得
，从而求出 的度数，然后利用平行线的性质可得 ，从而求
出 的度数，即可解答．
解：如图：
由题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东 ，
小岛A相对于小岛C的方向是南偏西 ．
故选C
【点拨】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌
握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， ，以 为边向外作等腰直角三角形 ，连接 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点B作 交 延长线于E，连接 ，证明 得到
，则 ，再利用面积公式可得答案．
解：如图所示，过点B作 交 延长线于E，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是以B为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构
造全等三角形是解题的关键．【题型3】“三线合一”进行求值与证明
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ，E为边 上的点，且
， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于F．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，熟练运用全等三角形
的判定是本题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得 ，由余角的性质可得 ；
（2）由“ ”可证 ，可得 ．
（1）证明： ， 为线段 的中点，
，
，
，
，
；
（2）证明：∵ ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．【变式1】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在等腰 ， ， ，
为 的角平分线，过点 作 交 的延长线与点 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长 交 的延长线
于点 ，证明 ，得 ，再证 ，得 ，然后由等腰三角
形的性质得 ，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键．
解：如图，延长 交 的延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故选：B．
【变式2】（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，在 中， ，边 的垂直
平分线为l，点D是边 的中点，点P是l上的动点，当 的周长取最小值4时，则 ．
【答案】2或6/6或2
【分析】连接 ，由于 ，点D是 边的中点，故 ，再根据三角形的面积公式求出
，再根据直线l是线段 的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD的长
为 的最小值，得 ，由此即可得出结论．
解：连接 ，
∵ ，点D是 边的中点，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∵直线l是线段 的垂直平分线，
∴点C关于直线l的对称点为点B，
∴ 的长为 的最小值，
∴ 的周长最短 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或6．
故答案为：2或6．
【点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【题型4】“等角对等边”进行求值与证明
【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在 中 ， 平分 ， 平
分 ．若过点 作直线 和边 平行，与 交于点 ，与 交于点 ，则线段 和 ，
之间有怎样的数量关系并证明？
【答案】 ．理由见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定
是解本题的关键．由 为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由 与 平行，利用
两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出 ，利用等角对等边得到 ，
同理得到 ，再由 ，等量代换可得证．
解： ．
理由： ， 分别是 ， 的平分线，
， ．又∵ ，
， ，
， ，
即 ， ，
．
【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）在 中，已知两个内角的度数如下，则能判断
为等腰三角形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．
解：A. ∵ ，
∴ ，不能判断 为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵ ，
∴ ，不能判断 为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C. ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 为等腰三角形，故该选项正确，符合题意；
D. ∵ ，
∴ ，不能判断 为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图， ， 为 ， 的中点， ，
，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明 得到 ， ，再根据等角对等边得到 ，
，设 ，由 结合已知列方程求解x值即可．
解：∵ 为 ， 的中点，
∴ , ，又 ，
∴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为：2．
【题型5】利用等腰三角形的性质与判定进行证明与求值
【例5】（23-24七年级下·上海·期末）如图， ，点D在 边上， 和
相交于点O．
（1）试说明 的理由；
（2）若 ，试判断 和 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析 (2) ，理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等腰三角形的判定与
性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理求出 ，则 ，利用 即可证明
；
（2）过点E作 ，垂足为H ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出 ，
结合三角形内角和定理求出 ，等量代换求解即可．
（1）解： ， ，
又 ， ，
，
，
，
，
即 ，
在 与 中，
，
；
（2）如图，过点E作 ，垂足为H ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，，
，
，
【变式1】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图， 和 的边 交于点 ，
添加一个条件，不能证明 和 全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据等腰三角形性质可知 ，再根据已知条件
和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
解：∵ ，
∴ ，
当添加 ，则 ，
又∵ ， ，
∴ ，故选项A不符合题意；
当添加 ，
又∵ ， ，
∴ ，故选项B不符合题意；
当添加 ，
又∵ ， ，
∴ ，故选项C不符合题意；
当添加 ，
又∵ ， ，∴由 不能证明 和 全等，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形 中， ， ，
，若 的面积为32，则 长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，作 交 的延长线于 ，
连接 ，则 为等腰直角三角形，证明 ，得出 ， ，
证明 ，结合 的面积为32，得出 ，计算即可得出答案，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，作 交 的延长线于 ，连接 ，
，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵在 ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 的面积为32，
∴ ，
∵ ，
∴
故答案为：8．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得
，再由三角形外角的性质，即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故选：B
【例2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线
、点 为射线 上的两个动点，当 的周长最小时，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了轴对称 最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于
， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点时， 的周长最短，
根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
解：作 关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点时，
的周长最短，连接 ，
关于 对称，
∴ ，
同理， ， ，， ，
是等腰三角形．
，
故答案为： ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】
（1）如图 ，在 和 中， ， ， ，连接 ， ， 交
于点 ，延长 交 于点 ．
试说明： ；
求 的度数．
【问题探究】
（2）如图 ，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，延长
， 交于点 ，请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由．
【答案】（1） 证明见解析；（2） ， ，理由见解析
【分析】（1） 利用 证明 ，即可得出结论； 由全等三角形的性质以及三角形外角
的性质可得出结论；
（2）利用 证明 ，由全等三角形的性质即可得出 ；然后，根据等腰三角形的
性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可求出 的度数．
解：（1） ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
；
如图，设 与 交于点 ，
，
，
，
，
；
（2） ， ，理由如下：
，
，
即 ，在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内
角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）
【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证：
；
【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中，
三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若
点 为 中点，
① 求 的大小； ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与
交于点 的面积为 32，求 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）① ，② ；（3）
【分析】（1）由 证 即可；
（2）①同（1）得 ，得 ，即可得出结论；
②过点A作 于点G，证 ，得 ， ，再由等腰直角三角形
的性质得 ，则 ，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接 ，同（2）得 ，则 ， ，得 ，再
证 ，得 ， ，然后证 ，得 ，进而
由 ，得 ，则 ，即可得出结论．
（1）证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
；
（2）解：① ， ，
，
，
同（1）得： ，，
；
②如图2，过点A作 于点G，
则 ，
由①可知， ，
，
点F为 中点，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，
，
；
（3）解：如图3，连接 ，
同（2）得： ，
， ，，
在 和 中，
，
，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，负值舍去，
即 的长为8．
【点拨】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的
判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等
是解题的关键，属于中考常考题型．
