文档内容
专题 12.24 全等三角形（全章常考核心考点分类专题）（基础练）
【考点目录】
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长； 【考点2】利用“SSS”求值与证明；
【考点3】利用“SAS”求值与证明； 【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
【考点5】利用“HL”求值与证明； 【考点6】添加条件证明三角形全等；
【考点7】尺规作图与三角形全等； 【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明； 【考点10】全等全角形综合问题.
一、单选题
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， ， 的延长线交 于点 ，交 于点
．若 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，点 在同一直线上，若 ， ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【考点2】利用“SSS”求值与证明；
3．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明
和 的全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，已知 ， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【考点3】利用“SAS”求值与证明；
5．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，在 的正方形网格中， 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，
则 （ ）
A． B． C． D．
【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入
一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部 上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B
恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长 ，厚度为 ，则两摞书之间的距离 为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在 中， ， ， 于E， 于D， ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点5】利用“HL”求值与证明；
9．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图， ，垂足为 ， 是 上一点，且 ，
．若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5.5
10．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在 和 中， ，
过 作 ，垂足为 交 的延长线于点 ，连接 ．四边形 的面积为 ，
则 的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
【考点6】添加条件证明三角形全等；
11．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图， ， ，添加下列条件后仍然不能判
断 的是（ ）A． B． C． D．
12．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，点 ， 在 上， ， ，添加：①
；② ；③ ；④ ．四个条件中的一个，能使 的是
（ ）
A．①或③ B．①或④ C．②或④ D．②或③
【考点7】尺规作图与三角形全等；
13．（23-24七年级上·山东淄博·期中）利用尺规作 ，根据下列条件作出的 不唯一的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
14．（20-21八年级上·广东东莞·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图， ABC中，若
AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围，小明在组内经过合作交流,得到了如下的解△决方法:延长
AD到E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到 ADC≌△EDB，依据是（ ）
△
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
15．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， ，中线 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．16．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知： ， ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． 或 D．
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；
17．（2024·云南文山·模拟预测）如图，射线 平分 ， ，垂足为C，点M是射线 上
的一个动点，若 ，则线段 最短为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
18．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在 中， ，以顶点 为圆心，取适当长为半径画弧，
分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，
作射线 交边 于点 ，若 ，则点 到 的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
【考点10】全等全角形综合问题.
19．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在 和 中， 与 相交于点 ，与
相交于点 ， 与 相交于点 ， ， ， ．给出下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
20．（23-24七年级下·河南郑州·期中）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所
示）．
（2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示， 是一个任意角，在边 ， 上分
别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线 就是
的平分线．
（3）如图③，小敏做了一个角平分仪 ，其中 ， ，将仪器上的点A与 的顶
点R重合，调整 和 ，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线 ， 就是 的
平分线．
（4）小颖在作业本上画的 被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的 ．
以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
二、填空题
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；
21．（23-24八年级上·江苏·周测）如图， 中， ，P是边 上一动点，过C
作射线 ，Q是射线 上一动点，连接 交 于E，在点P、Q的运动过程中，当 与
全等时， 的度数为 ．22．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图， ， ，垂足分别为点 、 ． 若
， ， ，则 ．
【考点2】利用“SSS”求值与证明；
23．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 的上方有一点 ，连接 ， ， ，
， ，则 的度数为 ．
24．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且 ， ，
，若 ，则 的度数为 ．
【考点3】利用“SAS”求值与证明；
25．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在 中， ， 是高，E是 外一
点， ， ，若 ， ， ，则 的面积为 ．26．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交
于点D，M、N分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
27．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）如图，在 中， ，D是 边的中点，E是 边上
一点，过点B作 ，交 的延长线于点F，若 ， ，求 的长 ．
28．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图， 中， 平分 ， 于点 ，交 于点
，如果 ， ，那么 ．
【考点5】利用“HL”求值与证明；
29．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，D为 中斜边 上的一点，且 ，过
D作BC的垂线，交 于E．若 ，则 的长为 cm30．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，
于点 ，点 在 上， ，若 ， ，则 的长为 ．
【考点6】添加条件证明三角形全等；
31．（23-24七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知 ，要使 ，只需添加一个条件：
（写一个即可）．
32．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在 和 中， ， ，要使
，则需添加的条件是 ．（只需添加一个即可）
【考点7】尺规作图与三角形全等；
33．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知 ，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，
分别交 于点E，F，再以点E为圆心， 的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线 ．若
，则 的度数为 ．34．（19-20八年级上·江苏盐城·期中）如图所示，要测量池塘 AB 宽度，在池塘外选取一点 P，连接
AP、BP 并分别延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接 CD．测得 CD 长为 9 m，则池塘宽 AB 为 m.
【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
35．（19-20八年级上·上海静安·期末）如图，已知在 中， 平分 ，
，则 . （用含 的代数式表示）.
36．（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽
宽的工具（卡钳）在图中，只要量出 的长，就能求出工件内槽的宽 的长，依据是 ．
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；
37．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图， 的三边 ， ， 长分别是 ， ， ，其三
条角平分线将 分为三个三角形，已知 ，则 ．38．（2024·吉林长春·一模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，其中“将一个几何图形任意
切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内
容之一．如图， 分别平分 ，且点O到 的距离 为3．若 的周长为
16，则 的面积为 ．
【考点10】全等全角形综合问题.
39．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中， ．点 为 外一点，
于 ． ， ， ，则 的长为 ．
40．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰 中， 的邻
补角的角平分线 交 的角平分线 于点D，交直线 于点E，作 交 于点F，连接
．
下列四个结论：
① ；② 垂直平分 ；
③ ；
④ ．
其中正确的是 ．（填写序号）参考答案：
1．B
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由 ，则 与 是
一组对应角， 与 是一组对应角，对于 ，外角 等于除 外的两个内角之和，求
得 ，再在 中，由三角形内角和即可求得结果．
【详解】解： ， ， ，
， ．
∵由三角形外角的性质可得 ，
．
．
， ，
．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出 ， ，
再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
3．A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握 证明三角形全等是关键．
根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案
【详解】解：从角平分线的作法得出， 与 的三边全部相等，
则 ．
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据 证明 ，得出 即可得
出答案．【详解】解：∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了正方形网格的特点，以及全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握全等三角
形的判定方法以及全等三角形的对应角相等．证明 ，则 ，根据
，利用等量代换即可得到答案．
【详解】解： ， ，
故选：C
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格性质，先证明 ，再运
用全等三角形的对应角相等、对应边相等，分别得出 ，
，即可作答．
【详解】解：如图所示：
结合网格特征
∴
∴∴
∴ ，
∴
同理得
∵
∴
∴
故选：D
7．A
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得 ，
，即可证明 ，则有 ，结合 即可求得答案．
【详解】解：∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵每本书长 ，厚度为 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
8．A
【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明 是解题的关
键．
由 于D， 于E，得 ，而 ，则
，而 ，即可证明 ，则 ，所以．
【详解】解：∵ 于D， 于E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长是 ．
故选A．
9．A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到
，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出 ，代值求
解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识．过点 作 于 ，证
，得 ，再证 ，同理 ，得 ，进
而得到 的长．
【详解】解：过点 作 于 ，如图所示：
在 和 中，
，
∴ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
同理： ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
解得： ；
故选：A．
11．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的
判定定理有 ．
【详解】解：∵ ， ，
添加条件 ，结合条件 ， ，可以根据 证明 ，故A不符
合题意；
添加条件 ，结合条件 ， ，可以根据 证明 ，故B不符
合题意；
添加条件 ，结合条件 ， ，可以根据 证明 ，故C
不符合题意；
添加条件 ，结合条件 ， ，不可以根据 证明 ，故D符
合题意；
故选D．
12．D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
．添加条件 得 ，根据 得出全等，也可以加上条件
可以用 证明三角形全等．
【详解】解：根据题意，∵ ，
∴ ，∴加上条件 ，利用 证明三角形全等；
∴添加条件 ，
得 ，根据 得出全等；
故选：D．
13．C
【分析】本题考查结合尺规作图的全等问题，根据全等三角形的判定方法逐个分析即可．
【详解】解：A， ， ， ，根据 ，可以作出唯一三角形；
B， ， ， ，根据 ，可以作出唯一三角形；
C， ， ， ， 形式，作出的 不唯一；
D， ， ， ，根据 ，可以作出唯一三角形．
故选C．
14．B
【分析】根据全等三角形的判定定理解答．
【详解】解：在 和 中，
，
，
故选： .
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
15．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，
作辅助线（延长 至 ，使 ，连接 ）构建全等三角形 ，然后由全等三
角形的对应边相等知 ；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求
得 的取值范围．
【详解】解：延长 至 ，使 ，连接 ，则 ，∵ 是边 上的中线， 是中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由三角形三边关系，得 ，
即 ，
∴ ．
故选：B．
16．B
【分析】连接 ，可证 ≌ ，根据全等三角形对应角相等可以得到
， ，代入角度即可求出 和 的度数，最后利用三角
形内角和定理即可求解．
【详解】连接 ，如图，
在 与 中，
≌ ，
， ，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
17．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、垂线段最短等知识点，熟练掌握垂线段最短、角平分线的
性质定理是解题的关键．
如图，过P作 ．根据垂线段最短以及经角平分线的性质定理即可解答．
【详解】解：如图，过P作 ．
根据垂线段最短可知，当 时，即点M和点D重合时， 最短，
∵射线 平分 ， ， ，
∴ ，
∴PM的最小值为10．
故选B．
18．C【分析】本题考查了作图-基本作图：角平分线的作法；由作法得 是 的角平分线，，然后根据
角平分线的性质求解．
【详解】解：由题可知， 是 的角平分线，
点P到 和 的距离相等，
， ，
，
点D到 的距离为 的长，即点D到 的距离为3，
∴点D到 的距离为3．
故选：C．
19．A
【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边
及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运
用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴①③都正确，
在 中，
，
∴ ，
故④正确，
根据已知条件无法证明②是否正确，
故①③④正确，故选：A．
20．D
【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根
据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可．
【详解】解：（1）从作图可知： ， ，
根据“ ”可得： ，
所以 ；
（2）从操作可得： ， ， ，根据“ ”得 ；
（3）因为 ， ， ，根据“ ”得 ，
所以 是 的平分线；
（4）从图形可知：应该先画 ，然后边 和 上分别截取 ， ，连接
，根据“ ”得 ；
综上分析可知：判定方法不一样的是（4）．
故选：D．
21． 或
【分析】先求得 ，再分当 和 时两种情况讨论，利用三角形的
外角性质即可求解．
【详解】解：∵ 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的外角，
当 时，则 ，
∴ ；当 时，则 ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关
键．
22．3
【分析】本题考查全等三角性的性质，属于基础题型，根据全等三角形的性质，得到
，再根据线段的和差关系，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：3．
23．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明 ，即可得出
，即可求解．
【详解】解：在 中，
，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故答案为： ．
24． /48度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用 可证明 ，
从而得到 ， ，再利用三角形外角性质即可求出最后结果．
【详解】解：在 与 中，，
，
， ，
在 中，由三角形性质得： ，
，
，
故答案为： ．
25．30
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据 证明 全等，是
解题的关键．根据 证明 与 全等， ，然后利用 代数
求解即可．
【详解】解：∵ 是高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 上截取 ，如图所示：
在 与 中
，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：30．
26．4
【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，再根据两点之间线段最短可得
的最小值为 ，然后根据垂线段最短可得当 时， 取得最小值，最后利用三角形的面积公式
即可得．
【详解】解：如图，在 上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为 ，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为4，
故答案为：4．【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短
等知识点，正确找出 取得最小值时 的位置是解题关键．
27．3
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据
可证明 ，得出 ，则可求出答案．
【详解】解：∵
∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
28．4
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
首先得到 ，然后证明出 ，得到 ，进而求解即可．
【详解】∵ 平分 ，
∴
∵
∴又∵
∴
∴
∴ ．
故答案为：4．
29．6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接 ，再根据“ ”证明 ，
然后根据全等三角形的性质得出答案．
【详解】连接 ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
30．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由 为角平分线，利用角平分线定
理得到 ，再由 ，利用 得到三角形 与三角形 全等，利用全等三角形对应
边相等得出 ，利用 得到三角形 与三角形 全等，利用全等三角形对应边相等得到
，由 ，即可求解．
【详解】解： 是 的平分线， ， ，
，
在 和 中，
，，
，
；
在 和 中，
，
，
，
，
故答案： .
31． （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知 ，推出 ，
，则可添加条件 ，利用 即可证明 ．
【详解】解：添加条件 ，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
32． （答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据全等三角形的判定定理添加条件即可求解．
【详解】解：∵在 和 中， ， ，
添加条件 ，则 ，
故答案为： （答案不唯一）．
33．52°
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠EOD=∠EOF=26°，
∴∠BOD=2∠AOB=52°，故答案为：52°．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
中考常考题型．
34．9
【分析】这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB=CD．
【详解】解：在△APB和△DPC中
，
∴△APB≌△DPC（SAS）；
∴AB=CD=9米（全等三角形的对应边相等）．
故池塘宽AB为9m，
故答案为9．
【点拨】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全
等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
35．a-b
【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出
DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.
【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中， ，
∴△ADC≌△A′DC（SAS），
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，
∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，
∴BA′=A′D=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD
∴AD=BC-AC=a-b，
故答案为：a-b.
【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添
加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
36．全等三角形的对应边相等
【分析】连接AB， ，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得 所以
测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长．
【详解】解：连接AB， ，如图，
∵点O分别是AC、BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD．
在 AOB和 COD中，
OA△＝OC，∠△AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：全等三角形的对应边相等．
【点拨】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三
角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
37．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点 分别作 ， ， 的垂线，可得
，从而可得 ，求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 分别作 ， ， 的垂线，垂足分别为点 ， ， ，由角平分线的性质定理得： ，
的三边 ， ， 长分别是 ， ， ，
，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
38．24
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出 ，
由三角形面积公式得到 ．
【详解】解：连接 ，过O作 于M， 于N，
分别平分 ，
，
，
，故答案为：24．
39．5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
方法一：过 作 ，交 的延长线于 ，证 ，得 ， ，再证
，得 ，则 ，即可求解．
方法二：在 上截取 ，连接 ，设 交 于 ，先证明 ，再证明
，得出 ，由等腰三角形三线合一的性质得 ，即可得出答案．
【详解】解：方法一：过 作 ，交 的延长线于 ，如图所示：
则 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，故答案为：5．
方法二：在 上截取 ，连接 ，设 交 于 ，如图2所示：
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
40．①②④
【分析】根据角平分线的定义以及外角等于 ，即可证明①是正确的；证明
，得 ，则②是正确的；将 绕点D顺时针旋转90度，
与 重合，点F与点M是对应点，结合外角性质以及等角对等边，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵ 的邻补角的角平分线 交 的角平分线 于点D，
∴在 中，
∴①是正确的；
∵
∴
∵ 的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴ 垂直平分
∴②是正确的；
将 绕点D顺时针旋转90度， 与 重合，点F与点M是对应点，如图：
易得
∴
∵ ，且
∴
∴
则
∴④是正确的；
过点 作 ，如图所示：
∵∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴③是错误的
综上①②④是正确的
故答案为：①②④
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角以及内角和性质，角平分线，等角对等边
等知识内容，难度较大，解题的关键是正确作出辅助线证明全等．
