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专题 11.9 三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值
范围．
2.三角形按“边”分类：
不等边三角形
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称
三角形的高．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角
形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等
的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角
平分线.
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【知识点二】三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
【知识点三】三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余；2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【知识点四】多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形；
(2)n边形共有 条对角线．
【知识点五】多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用三角形三边关系求边或证明
【例1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知 的三边长是 ．
（1）若 ，且三角形的周长是小于22的偶数，求 的值；
（2）化简 ．
【答案】(1) 或 ；(2)
【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
（1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出 ，即可得出答案；
（2）由三角形三边关系得 ，再利用绝对值的性质化简即可．
（1）解： 的三边长是 ， ，
，即 ，
三角形的周长是小于22的偶数，
，
或 ；
（2）解：由三角形三边关系得： ，
， ，．
【变式1】（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）在周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是
，则x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形三边关系、一元一次不等式组的解法，根据三角形的三边关系和最短边是x列
出不等式组，即可求出答案．
解：∵周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是 ，
∴第三边长为 ，
∴ ，或
∴ 或
解得 ，或
∵最短边是x，
∴
解得， ，
综上可知， ．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为
．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角
形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以
要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形．
解：若3为腰长，7为底边长，
∵ ，∴三角形不存在，
若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边，
∴这个三角形的周长 ，
故答案为： ．
【题型2】利用三角形三条重要线段进行求值或证明
【例2】（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图： 中，点D在 上，且 ，E
是 的中点， 交 于点F.
（1）写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？
（2）若 ，且 的面积为3，求出 的面积.
【答案】(1) 是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的中线， 是 的中
线 (2)18
【分析】（1）根据三角形角平分线、中线的定义即可求解；（2）根据三角形中线的性质求解．
（1）解：由题意知， 是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的中线， 是
的中线．
（2）解： 的面积为3，E是 的中点，
，
，
．
【点拨】本题考查三角形有关的线段，三角形中线的性质，解题的关键是掌握“等高三角形的面积比等
于底边长度之比”．
【变式1】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图， 为 的中线， 为 的中线．若
的面积为12， ，则 中 边上的高为（ ）A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据三角形中线平分三角形的面积得到 的面积是3，设 中 边上的高h，列得
，求出h即可．
解：∵ 为 的中线， 的面积为12，
∴ 的面积为6，
∵ 为 的中线，
∴ 的面积是3，
设 中 边上的高h，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形中线的性质：三角形的中线平分三角形的面积，熟记该性质是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则
∠DAE= .
【答案】10°
【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的性质可得出∠CAD的度
数，在△ACE中利用三角形内角和定理可求出∠CAE的度数，再根据∠DAE=∠CAD-∠CAE即可求出结论．
∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°．
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD= ∠BAC=40°.
∵∠ACB=60°，AE⊥BC，∠CAE+∠AEC+∠ACB=180°，
∴∠AEC=90°，∠CAE=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°.
故答案为10°．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及角平分，根据三角形内角和定理（角平分线的性质）求出
∠CAD、∠CAE的度数是解题的关键．
【题型3】利用三角形内角和定理进行求值或证明
【例3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 中， 是 上一点，过 作 交 于
点， 是 上一点，连接 ．若 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判
定和性质是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同位角相等可得 ，推得 ，根据同位角相等，两直线平行即可
证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得 ，再根据角的平分线可得 ，根
据三角形内角和是 即可求解．
（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故 的度数为 ．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将长方形纸片 沿对角线 折叠，点C
的对应点为点E， 交 于点O．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及三角形内角和定理，根据折叠的性质，可以得到
的度数，然后再根据平行线的性质得到 的度数，最后由三角形内角和定理可得结论．
解：由折叠的性质得到， ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∴
故选：A．
【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点 ，
， ，斜边 ，垂足为 ，则 ．【答案】 /15度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是
解题的关键．
先在 中，利用直角三角形的两个锐角互余求出 ，再根据垂直定义可得 ，从而
可得 ，然后利用对顶角相等可得 ，从而利用三角形内角和定理求出
，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【题型4】利用三角形外角性质进行求值或证明
【例4】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知 是 的角平分线， 是 的外
角 的平分线，延长 ， 分别交 于点F，P．
（1）求证： ；（2）小轩同学探究后提出等式： ，请通过推理论证判断“小轩发现”是否正确；
（3）若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)“小轩发现”正确，理由见解析；(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ， ，根据三角形的外角的性质
即可证明结论；
（2）根据（1）中的结论变形后可得结论；
（3）根据三角形的外角和角平分线的定义，综合已知，等量代换可得结论．
（1）证明：∵ 是 的平分线，
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）知 ，
∴ ，
即：
∴“小轩发现”是正确的；
（3）在 中， ，
在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进
行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【变式1】（2024·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意
图，已知直线EF与BD相交于点P， ， ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．85°
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到 ，再由三角形外角定理即可求解．此题考查了平行线的性质，
熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
解： ， ，
，
， ，
，
故选：C．
【变式2】（2024·河北邯郸·三模）如图，从A观察公路 的走向是北偏东 ，在A的北偏东 方
向上有一点C，在点B处测得点C在北偏东 的方向上．（1）点B位于点C的 方向上；
（2） °．
【答案】 南偏西 （或西偏南 ）
【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握方向角，平行线的性
质，三角形外角的性质是解题的关键．
（1）根据方向角求解作答即可；
（2）如图，由题意知， ，则
， ， ，根据
，求解作答即可．
（1）解：∵点B处测得点C在北偏东 的方向上，
∴点B位于点C的南偏西 方向上，
故答案为：南偏西 ；
（2）解：如图，
由题意知， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【题型5】利用直角三角形两锐角关系进行求值
【例5】如图， 中， ．
（1）试说明 是 的高；
（2）如果 ，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【分析】（1）由等量代换可得到 ，故 是直角三角形，即 ；
（2）由面积法可求得 的长．
（1）∵
∴
∵
∴
∴ 是直角三角形，即 ，
∴ 是 的高；
（2）∵
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定
是解题的关键．
【变式1】（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定 为直角三角形的是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直
角就不是直角三角形．
解：A、 ， ，所以 ，即 是直角，能判定三角
形是直角三角形，不符合题意；
B、 ， , ，所以 是直角，能判定三角形是
直角三角形，不符合题意；
C、 ，可得 ， ，所以 ，解
得 ， ， ，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
D、 ，可得 ， ，所以 ，
解得 ，即 是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意
故答案为：C
【点拨】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）在直角三角形 中， 比 的3倍还多 ，则
的大小为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当
为直角时，当 为直角时，分别求出结果即可．
解：当 为直角时， ，
当 为直角时， ，
∵ 比 的3倍还多 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【题型6】利用多边形内角和与外角和求边数或度数
【例6】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多．
（1）求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
（2）求这个多边形的对角线的条数．
【答案】(1)这个多边形的内角和是 ，是十二边形；(2)54
【分析】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构
建方程求解即可．
（1）设外角为 ，则内角为 ，根据内角与相邻的外角是互补关系可得 ，解方
程可得 的值，再利用外角和 外角的度数可得边数；利用内角和公式可得该多边形内角和
（2）利用公式 解答即可．
解：（1）设外角为 ，
由题意得： ，
解得： ，
，
，
这个多边形的内角和是 ，是十二边形；
（2） 时，
对角线的条数为： ．
【变式1】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图， 平分 交 于点E，
， ，M，N分别是 延长线上的点， 和 的平分线交于点F．则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了四边形的内角和，垂直的定义，角平分线的定义．利用平角的定义结合角平分线的定义求得 ，再利用四边形的内角和定理即可求解．
解：∵ 和 的平分线交于点F，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）若一个多边形的内角和是它的外角和的 倍，则这
个多边形的边数为 ．
【答案】7/七
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和的公式是解题的关键．
设这个多边形的边数为 ，根据多边形内角和公式和外角和为 列方程求解即可得出答案．
解：设这个多边形的边数为
边形的内角和为 ，多边形的外角和为
解得
这个多边形的边数为
故答案为：7．
第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考
【例1】（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线
的性质．首先根据平行线的性质得出 ，再根据垂直与三角形的内角和即可求出
．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：B．
【例2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在 中， ， 分别是内角 、外角 的
三等分线，且 ， ，在 中， ， 分别是内角 ，外角
的三等分线．且 ， ，…，以此规律作下去．若 ．则
度．【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先分别对 运用三角形的外角定理，设 ，则 ， ，则
，得到 ， ，同理可求： ，所以可得
．
解：如图：
∵ ， ，
∴设 ， ，则 ， ，
由三角形的外角的性质得： ， ，
∴ ，
如图：同理可求： ，
∴ ，
……，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图， ，N为 上一点，直线 交 于M，交
于F，且 ，若点P为射线 上一点， 平分 ， 平分 交 于H，
交 于T，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，
分点 在线段 上和在射线 上，两种情况进行讨论求解即可．
解：当点 在线段 上时，如图：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当点 在射线 上时，如图：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上： 或 ；
故选D．
【例2】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在 中， ， 的角平分线交于点
O，则 ．
如图2，在 中， ， 的两条三等分角线分别对应交于 ， ，则
，则 ．
根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有 个点）（用n的代数式表示）
．
【答案】
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到
，进而得到 再根据三角形内角和定理得到
，化简即可得到 ；如图3，求出 ，， ， ，问题得解．
解：如图2，∵ 中 ， 的两条三等分角线分别对应交于 ， ，
∴
，
如图3，
，
，
，……，
∴
．
故答案为： ，
