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专题 13.13 轴对称（精选精练）（全章常考知识点分类专题）
【考点目录】
【考点1】识别轴对称图形； 【考点2】利用轴对称图形性质求解；
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题； 【考点 4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求
值；
【考点5】利用轴对称性质求最值； 【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
【考点7】等腰三角形（三线合一）； 【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
【考点9】等腰三角形性质与判定求值证明；【考点10】等边三角形的性质与判定求；
【考点11】含30度的直角三角形； 【考点12】课题学习（最短路径问题）.
一、单选题
【考点1】识别轴对称图形；
1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）银行是现代金融业的主体，是国民经济运转的枢纽，下列银行标志
图案是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形
【考点2】利用轴对称图形性质求解；
3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图， 和 关于直线l对称，l交 于点D，若
，则五边形 的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
4．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点 关于点 对称的
点 在x轴上，则m的值为（ ）A． B． C． D．3
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果 比 大 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把 纸片沿 折叠，当点 落在四边形 的
外面时，此时测得 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；
7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，用直尺和圆规作 的角平分线，根据作图痕迹，
下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，边 的
垂直平分线 交 于点 ．已知 的周长为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；
9．（15-16八年级上·重庆荣昌·期末）如图，四边形 中， ， ，在 ，
上分别找一点 ， ，使 的周长最小时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（19-20九年级·安徽·阶段练习）如图，在 中， ， 是
的平分线．若 分别是 和 上的动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
11．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在 中， 分别是 上的
点，且 ，若 ，则 （ ）°A．66 B．92 C．96 D．98
12．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在 中， ， 分别是 和 的平分线，
，交 于点D， 于点F．若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【考点7】等腰三角形（三线合一）；
13．（2024·广西·模拟预测）如图，在 中， ，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径
作弧，两弧分别交于E，F，作直线 ，D为 的中点，M为直线 上任意一点．若 面积为
40，且 长度的最小值为10，则 长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
14．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图， 中， ， ， 的平分线
交 于点 ， 平分 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确的结论是（ ）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
15．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知a，b是等腰三角形的两腰，c为底边，若
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． 或
16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在 中， ， 的垂直平分线与 所在直线的夹角
为 ，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；
17．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图， 的平分线相交于F，过点F作 ，交
于D，交 于E，那么下列结论正确的是① 都是等腰三角形；② ；③
的周长为 ；④ ．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
18．（2024·四川泸州·二模）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长
为半径作弧，分别交 于点D和点E；②以点B为圆心， 长为半径作弧，交 于点F；③以F
为圆心， 长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点G；④过点G作射线 交 于点H．若
，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明;
19．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，以 为边在 外作等边
，过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
20．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在 中， ，分别以点B，A为圆心，
， 长为半径作弧，两弧交于点D，连接 ，交 的延长线于点 ．有下列结论：①
；② ；③ ；④ 垂直平分线段 ．其中，正确结论是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点11】含30度的直角三角形；
21．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以的长为半径画弧交 于点 ，连接 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交
于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长
为半径画弧分别交 于点 和点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
交于点 ，连接 并延长交 于点 ．若 的面积为8，则 的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【考点12】课题学习（最短路径问题）.
23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 中，
分别是 边上的动点，则 的周长的最小值
是（ ）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
24．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形 中，
，点P，Q分别在边 ，DE上，连接
， ， ，当 的周长最小时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【考点1】识别轴对称图形；
25．（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对
称图形的是 ．
26．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若
棋盘中心的圆形棋子位置用 表示，两人都将第 枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则
小亮放第 枚方形棋子的位置可能是 ．【考点2】利用轴对称图形性质求解；
27．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 与 关于直线 对称， ，延
长 交 于点F，当 时， ．
28．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在锐角 中，点O为 和 的角平分线交点，
过点O作一条直线l，交线段 ， 分别于点N，点M．点B关于直线l的对称点为 ，连接 ，
，分别交线段 于点E，点F．连接 ， ．若 ，那么 的度数为
（用含有m的代数式表示）．
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；
29．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片
沿 向下折叠，点A落在点 处，当 时， 度．
30．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）将一张长方形纸片 按如图所示方式折叠， 、 为
折痕，点B、D折叠后的对应点分别为 、 ，若 ，则 的度数为 ．【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；
31．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在 中， ， 的平分线 交 于点
D，分别以A、B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线 刚好经过点D，则
的度数是 ．
32．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线 ，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，
与直线m，n均不垂直，点P为线段 的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若
，m，n之间的距离为2，则 的值为 ．
【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；
33．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ，
，若点 是直线 上一动点， 是直线 上的一动点， ， ， ， ，则
的最小值为 ．34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图， ，点 、 分别是边 、 上的定点，点
、 分别是边 、 上的动点，记 ， ，当 最小时，则 的
值为 .
【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
35．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， ，以 为边向外作等腰直角三
角形 ，连接 ，若 ，则 ．
36．（2024八年级上·全国·专题练习）（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图， ， 为 ，
的中点， ， ，则 的长为 ．
【考点7】等腰三角形（三线合一）；
37．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，D为 内一点， 平分 ， ，垂足为
D，交 与点E， ．若 ， ，则 的长为 ．38．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰 中，点 是底边 的中点，过点 分别作
，垂足分别为点 ，若 ，则 的面积为 ．
【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
39．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）等腰三角形一个外角是 ，则该等腰三角形的顶角度数是
．
40．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图， 是 延长线上的一点， ，动点
从点 出发，沿 以 的速度移动，动点 从点 出发，沿 以 的速度移动．如果点
同时出发，用 表示移动的时间，那么当 时， 是等腰三角形．
【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；
41．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图， ，D为 的垂直平分线上一点，且
， ，则 ．42．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在 中， ， ， ， 是
上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点 的运动
时间为 ．过点 作 于点 ．在点P的运动过程中，当t为 时，能使 ？
【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明.
43．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图， 中， ， 的垂直平分线 交
于点 ，交边 于点 ，若 ，则 的周长为 ．
44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，
得到折痕 ；折叠纸片，使点B落在 上，并使折痕经过点A，得到折痕 ，点B，E的对应点分别
为G，H，展平纸片，连结 ， ，则 与 的关系是 ．【考点11】含30度的直角三角形；
45．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图， 平分 ， ， ，
于点 ， ，则 ．
46．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图， 是等边三角形， ．过点A作 于
点D，点P是直线 上一点，以 为边，在 的下方作等边 ，连接 ，则 的最小值为
．
【考点12】课题学习（最短路径问题）.
47．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在 中， ， ， ，点E是边 的中
点， 的角平分线交 于点D．作直线 ，在直线 上有一点P，连结 、 ，则
的最大值是 ．48．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形 中， ，点E、F分别是边AD、
BC上的动点，且 ，当 取得最小值时，AE的长为 ．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D A C D C B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C B C C B C C D A D
题号 21 22 23 24
答案 D B C B
1．D
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个
图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选： ．
2．D
【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完
全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【详解】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意；
B． 正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意；
C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意；
D．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意．
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质，得到每边的长度即可求出周长．
【详解】解：∵ 和 关于直线l对称，l交 于点D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴五边形 的周长为： ．
故选：A．
4．A【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，过A作 轴于
H，则 ， ，由轴对称的性质得到 ，证明 ，得到
，据此可得答案．
【详解】解：过A作 轴于H，
∵点 ，
∴ ， ，
∵点A与点 关于点 对称，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了平行线性质及折叠的性质． 根据平行线的性质、折叠的性质得到
，进而求出 ，结合“ 比 大 ”求解即可．【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵长方形纸条折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 比 大 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题
的关键．
根据折叠的性质得出 ，根据三角形外角的性质得出 ，再次利用三角
形外角的性质即可求出 的度数．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ，
，根据折叠的性质， ，
， ，
，
，
，
故选： ．
7．C
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由
作图方法可知 ，则可证明 得到 ，进一步可
证明 垂直平分 ，据此可得答案．
【详解】解：由作图方法可知 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
根据现有条件无法得到 ，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得 ， ，结合
的周长 ，得出 ，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的
关键．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 的周长 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故选：D．9．C
【分析】作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，
连接 、 、此时 的周长有最小值，由对称性求出 ，则有 ，
即可求 ．
【详解】
解：如图，作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于
，连接 、 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，此时 的周长有最小值，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的
关键．
10．B
【分析】由题意可以把 关于AD对称到 的 点，如此 的最小值问题即变为 与线段 上
某一点 的最短距离问题，最后根据 垂线段最短 的原理得解．【详解】解：如图，作 关于AD的对称点 ，则 ，连接 ，过点 作 于点 ，所
以 、 、 三点共线时， ，此时 有可能取得最小值，
当 垂直于 即 移到 位置时， 的长度最小，
的最小值即为 的长度，
，
，即 的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外
一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
11．C
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即 ，同理得出 ，因为 ，
运用平角性质算出 ，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查
等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
【详解】解： ，
，
如图：
∵
∴∵
∴
∵
∴
∴
在 中，
故选：B．
12．B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是
熟练掌握相关性质．过E作 于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得 ，根据平
行线和角平分线的性质易证 ，根据等角对等边求得 ，从而求得 ，最后根据三角形
面积公式求解即可．
【详解】解：过E作 于M，
平分 ， ， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
13．C【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，
垂线段最短等知识．如图，连接 ，过点 作 于点 ．根据等腰三角形的三线合一的性质得
出点 与点 重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出
最后利用三角形的面积公式求出 即可．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ．
∵ 为 中点， ，
∴点 与点 重合，
垂直平分线段 ，
，
，
，
，
故选：C．
14．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、线段垂直平分线的性质等知识，熟
练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．根据直角三角形的性质可得 ，
，再根据角平分线的定义可得 ，由此即可判断①正确；假设
成立，可求出 ，根据已知条件即可判断②错误；先证出 ， 是等腰三
角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断③正确；先根据等腰三角形的性质可得 ，
从而可得 ，再根据平行线的判定即可判断④正确．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，结论①正确；
假设 成立，
∵ ， ，
∴ ，但已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论②错误；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴ ， 垂直平分 （等腰三角形的三线合一），结论③正确；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，结论④正确；
综上，正确的结论是①③④，
故选：C．
15．B
【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义以及整式加减运算，解题的关键是得出 ．
根据题意得出 ，代入即可求解；
【详解】解：∵a，b是等腰三角形的两腰，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
16．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
根据题意分两种情况，当 是锐角三角形时，当 是钝角三角形时，讨论求解即可；
【详解】解：分两种情况：当 是锐角三角形时，如图：
是 的垂直平分线，
，
，
；
当 是钝角三角形时，如图：
是 的垂直平分线，
，
，
，
；
综上所述：这个等腰三角形的顶角为 或 ，
故选：C．
17．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内
错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相
等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
， ，
是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
， ，
， 都是等腰三角形．故①正确，
， ，即有 ，故②正确，的周长 ．故③正确，
不一定相等，故④错误，
故选：C．
18．D
【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，证明 ，
，推出 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ．
故选：D．
19．A
【分析】根据等边 可得 ，再根据 可以得出 ，过点 作
于点 ，进而证明全等三角形，将线段 一分为二，分别求出两段的长度，进而求出 的长
度．
【详解】解： 等边 ，
， ．
．
，
．
．
过点 作 于点 ，．
，
．
在 和 中，
．
．
，
．
在 中， ，
∴ ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用
已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键．
20．D
【分析】连接 ， ，根据等角对等边可得 ，再利用三角形的外角性质可得 ，然
后根据题意可得： ， ，从而可得 是 的垂直平分线，进而可得 ，再利
用直角三角形的两个锐角互余可得 ， ，从而在 中，利用含30度角的直
角三角形的性质可得 ，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得 ，最后再根
据等边三角形的判定可得 是等边三角形，从而可得 ，即可解答．
【详解】解：连接 ， ，，
，
是 的一个外角，
，
由题意得： ， ，
是 的垂直平分线，
，
， ，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
所以，上列结论，其中正确的是①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．D
【分析】先根据 角的直角三角形的性质得到 ，证明 ，再根据全等三
角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
由题意得： ， 平分 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余， 角的直角三角形，全等三角形的判定和
性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题
的关键．
22．B
【分析】本题考查了尺规作图，含 的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知
平分 ，则可求 ，利用含 的直角三角形的性质得出 ，利用等角
对等边得出 ，进而得出 ，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，由作图知： 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 的面积为8，
∴ 的面积是 ，
故选B．
23．C
【分析】如图作 关于直线 的对称点 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，CD，
， ， ， ．由 ， ， ，推出
，可得 、 、 共线，由 ，
，可知当 、 、 、 共线时，且 时， 的值最小，最小
值 ，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作 关于直线 的对称点 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，
CD， ， ， ， ．
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴M、C、N共线，
∵ ，
∵ ，
∴当M、F、E、N共线时，且 时， 的值最小，
最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用
轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
24．B
【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长AB到点G使得 ，延长 到点F使得 ，连
接 交 、DE于点 、 ，则这时 的周长最小，根据无变形的内角和求出 的度数，根
据轴对称的性质得到 ， ，然后计算解题即可．
【详解】解：延长AB到点G使得 ，延长 到点F使得 ，
∵ ，
∴ 、DE垂直平分 、 ，
连接 交 、DE于点 、 ，
则 ， ，∴ ，这时 的周长最小，
∵
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
25．直角梯形
【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可；
【详解】解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条) 直线，使图形沿一条直线折叠
直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是
轴对称图形；
所以不是轴对称图形的是直角梯形，
故答案为：直角梯形．
26．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义确定第4枚方形的位置，即可解答．
此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．
【详解】解：如图：符合题意的点为 ．故答案为： ．
27．36
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明
，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
【详解】解： 与 关于直线 对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：36．
28．
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，
过点O作 ， ， ， ， ，根据角平分线的性质定理得到
，然后证明出 ，得到 ， ，然后求出
，然后根据对称的性质得到 ，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点O作 ， ， ， ，∵点O为 和 的角平分线交点，
∴
∵点B关于直线l的对称点为 ，
∴ 平分 ， 平分
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
同理可得，
∴
∵点B关于直线l的对称点为 ，
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为： ．
29．70
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理．先根据已知条件求出
的度数，然后根据折叠可知： AED＝ A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出 ，最后利用
三角形内角和求出 即可． ∠ ∠
【详解】解：由折叠可知： ，，
∵
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ．
∴故答案为：70．
30． /41度
【分析】本题考查了折叠的性质，由长方形和折叠的性质结合题意可求出 ．再根据
，即可求出答案．掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：由长方形的性质可知：
，
∴ ，
即 ，
由折叠的性质可知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
31． /75度
【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定
理，由线段垂直平分线的性质得出 ，推出 ，由角平分线的定义得出
，最后再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：由作法可得： 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
32．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长 交 于点 ，过点 作
，证明 ，得到 ，进而得到 ，证明 ，得到 ，
再根据等积法，得到 ，等量代换，即可得出结果．
【详解】解：延长 交 于点 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点P为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
33．
【分析】本题考查了最短线段问题及线段的垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直
平分线的性质，过点A作 ，交直线 于点G，连接 ，此时 的值最小，根据面积法
求得 ，再根据线段垂直平分线的性质可得答案．
【详解】如图，过点A作 ，交直线 于点G，连接 ，此时 的值最小，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
34． /40度
【分析】本题考查轴对称 最短问题、三角形的内角和定理．作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，则 最小易知 ，
，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】如图，作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，
则 最小，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
35．
【分析】如图所示，过点B作 交 延长线于E，连接 ，证明 得到
，则 ，再利用面积公式可得答案．
【详解】解：如图所示，过点B作 交 延长线于E，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是以B为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构
造全等三角形是解题的关键．
36．2
【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的
关键．先证明 得到 ， ，再根据等角对等边得到 ，
，设 ，由 结合已知列方程求解x值即可．
【详解】解： 为 ， 的中点，
， ，
又 ，
， ，
，
，
， ，
设 ，
， ，
， ，
，
解得 ，
，
故答案为：2．37．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据 平分
， ，证出 ，得到 ， 即可．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
38．
【分析】由等腰三角形的性质得 ，由 ，得
，根据 证明 得 ， ，求出 的长，进
而可求出 的面积．
【详解】解：∵点D是等腰 的底边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了等腰三角形的“三线合一”，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，
证明 是解题的关键．
39． 或
【分析】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．学会分类讨论思想
解决数学问题是解题的关键．根据外角与相邻的内角的和为 求这个内角的度数，再分这个角是顶角
与底角两种情况讨论求解．
【详解】解： 一个外角是 ，
与这个外角相邻的内角是 ，
当 角是顶角时，它的顶角度数是 ，
当 角是底角时，它的顶角度数是 ，
综上所述，它的顶角度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
40． 或10
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是
解题的关键．
根据点P，Q的移动时间与速度，表示出 ， 的长，分两种情况讨论：①当点 在线段 上时，②
当点 在 的延长线上时，根据 建立方程求解即可．
【详解】解：点P，Q移动 时，， ．
分两种情况：
①当点 在线段 上时，
若 是等腰三角形，则 ，
即 ，
解得， ；
②当点 在 的延长线上时，
，
若 是等腰三角形，又 ，
则 是等边三角形，
∴ ，
即 ，
解得， ；
综上所述，当 或 时， 是等腰三角形．
故答案为： 或10．
41． /36度
【分析】连接 ，过点D作 交于点 ， 与 交于点 ，根据垂直平分线的性质得出
，根据等边对等角得出 ，等量代换得出 ，根据三条边对应相等的两个三
角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出 ，根据等角对等边
得出 ，推得 ，根据等边对等角得出 ，结合对顶角相等得出
，即 ，据此设 ，则 ，
根据三角形内角和定理列出方程，求得 ，即 ．
【详解】解：连接 ，过点D作 交于点 ， 与 交于点 ，如图：∵D为 的垂直平分线上一点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
故 ，
解得： ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形
内角和定理，对顶角的性质等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
42．5或11
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①点 在线段 上时，过点 作 于 ，如图2所示：
则 ，，
平分 ，
，
又 ，
∴ ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点 在线段 的延长线上时，过点 作 于 ，如图3所示：
同①得： ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
综上所述，在点 的运动过程中，当 的值为5或11时，能使 ．
故答案为：5或11．
43．15
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性
质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可 ，从而利用等腰三角形的性质可得 ，进而利用
三角形外角的性质可得 ，然后结合已知可得 是等边三角形，从而利用等边三角形的性
质进行计算即可解答．
【详解】解： DE是AB的垂直平分线，
， ∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长为15，
∴故答案为：15，
44．相等
【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的
性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知， 垂直平分 ，则 ；又由翻折知，
， ；从而得 是等边三角形，则得 ；再证明
得 ，即可得两角的关系．
【详解】解：由第一次翻折知， 垂直平分 ，
；
又由第二次翻折知， ， ；
，
是等边三角形，
，
， ；
点的对应点为点H，
；
，
，
，
．故答案为：相等．
45．
【分析】本题主要考查角平分线的性质及含的直角三角形的性质，能够熟练运用性质是解题关键．过
作 于 ，根据角平分线的性质可得 ，根据平行线的性质可得 ，由
直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得 ，即可求得 ．
【详解】 解：如图，过 作 于 ，
∵ ， ， ，
∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴ ，
故答案是： ．
46．1
【分析】连接 ，先证 ，则可得 ，由此可知Q点在过B点且
与 成 角的直线上运动．根据垂线段最短可知，当 时， 最小，求出 的值即可．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握以上知识，
找出Q点的运动轨迹是解题的关键．
【详解】解：连接 ，∵ 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
，
，
∵ 是等边三角形， ，
， ，
，
， ，
，
∴Q点在过B点且与 成 角的直线上运动．
当 时， 最小，
此时 ，
∴ 的最小值为1．
故答案为：1．
47．2
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在 上取点 ，使得 ，可知
，得 ，可知 ，利用转化思想和线段的
和差是解题的关键．
【详解】解：∵点 是边 的中点，∴ ，
在 上取点 ，使得 ，
∵ 的角平分线交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
48．
【分析】作 ，点 关于 的对称点 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，由矩
形 , ， ，得到 ， ，
，根据对称的性质得到 ，由 ，得到
，由 是平行四边形，得到 ， ，进而得到 ，由
，点到当点 在点 时， 取得最小值， 长即为所求，由 ，求出
，由 为梯形 的中位线，求出 ，根据 ，即可求解，
本题考查了，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数，梯
形的中位线，解题的关键是：通过对称、平移找到 ．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，交于点 ，连接 与 交于点 ，
∵矩形 , ， ，
∴ ， ， ，
∵ 、 关于 对称，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中 ，
∴当点 在点 时， 取得最小值， 长即为所求，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵ 为 中点， ，
∴ 为梯形 的中位线，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
