文档内容
11.2.2 直角三角形
夯实基础篇
一、单选题：
1．在Rt ABC中，∠C=90°，∠B=44°，则∠A=（ ）
A．36° B．46° C．56° D．66°
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵Rt ABC中，∠C＝90°，∠B＝44°，
∴∠A＝9△0°－∠B＝90°﹣44°＝46°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
2．在 中，BC是斜边，∠B＝35°，则∠C＝（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】
解：∵ 中，BC是斜边，
∴ ，
∵∠B＝35°，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，是解题的关键．
3．在 中，若 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
【答案】B【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理，结合 得出 即可判断．
【详解】
解：在 中， ，
，
，即 ，
，即 是直角三角形，
故选B．
【点睛】
本题考查三角形形状的判定，熟练掌握三角形内角和定理及直角三角形角内角特征是解决问题的关键．
4．有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④
．能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直角三角形的判定，对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：A、∠A+∠B＝∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
B、∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
C、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
D、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，△ABC是直角三角形，
故本选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
5．如图，把一副三角板叠放在一起．则∠1的大小为（ ）A．105° B．115° C．120° D．125°
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据三角板的性质得出∠A＝45°，∠E＝30°，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：如图
∵图中是一副直角三角板，
∴∠A＝45°，∠E＝30°，
∵
∴
∴
∵
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、对顶角相等，互余的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．如图，直线l∥l，直线 交 于点A，交 于点B，过点A的直线 ，交 于点C．若 ，则
1 2
的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABC=∠1=56°，再由 ，可得∠ACB=90°-∠ABC=34°，然后根据对顶角相等
是解题的关键．
【详解】
解：∵l1∥l2，∠1=56°，
∴∠ABC=∠1=56°，
∵ ，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=90°-∠ABC=34°，
∴∠2=∠ACB=34°．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，熟练掌握相关知识点
是解题的关键．
7．如图，BD是 ABC的角平分线 交BC于点E，若 ， ，则∠CAE的度数为
（ ） △
A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°
【答案】C【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，∠BAF＝
∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，即可得出∠CAE．
【详解】
解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC＝ =17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAF=95°-72.5°=22.5°故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用以上性质，进
行推理计算．
二、填空题：
8．在 中， ， 比 大 则 ______．
【答案】35°
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余可得 ，然后解方程组即可．
【详解】
解： ，，
比 大 ，
，
得， ，
．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出关于 、 的两个方程
是解题的关键．
9．如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则
∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为__________.
【答案】270°##270度
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的内角和定理可得
∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．
【详解】
解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE=90°，
∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，
故答案为：270°．【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
10．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，DE⊥AB于E，交AC于F，∠B=50°，∠CFD=60°，则
∠ACB=__．
【答案】100°
【解析】
【分析】
根据对顶角的定义、直角三角形的性质可以求得∠A=30°．然后由△ABC的内角和定理可以求得
∠ACB=100°．
【详解】解：如图，∵DE⊥AB，∠CFD=60°，
∴∠AEF=90°，∠AFE=60°，∴∠A=90°﹣∠AFE=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠A=100°
故答案为100°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的性质．由垂直得到直角、三角形内角和是180度是隐含在题
中的已知条件．
11．如图， 是 的高， 是 角平分线．若 ， ，则 ______°．
【答案】50
【解析】
【分析】
在 中，先利用三角形的内角和求出 ，再利用角平分线的性质求出 ，最后利用三角形的
内角和即可求出 ．【详解】
解： 是 的高，
．
．
．
是 的角平分线，
．
，
．
在 中， ．
故填50．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活应用三角形内角和定理成为解答本题
的关键．
12．将一副三角板如图放置，若 ，则 ________度．
【答案】75
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．
【详解】
因为 ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；
因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°， 90°-15°=75°．
故 的度数是75度．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．三、解答题：
13．如图，已知在 中， ，AE是BC边上的高，AD是 的角平分线，求
的度数．
【答案】10°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求
出∠BAE的度数即可得到答案．
【详解】
解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴ ，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=60°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关
键．
14．如图，直线 ， 与 ， 分别相交于点A， ，且 ， 交直线 于点 ．(1)若∠1=58°，求 的度数；
(2)若 ， ， ，求直线 与 的距离．
【答案】(1)32°
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出∠ABC，再利用平行线的性质求解即可；
（2）利用等面积法即可求解．
(1)
∵ ，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=58°，
∴∠ABC=90°-58°=32°,
∵ ,
∴∠2=∠ABC=32°．
(2)
如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D
所以线段AD的长度等于a与b之间的距离，
因为AB⊥AC
所以 AB·AC= BC·AD，
所以AD= ，
所以a与b的距离为 ．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、直角三角形两个锐角互余，平行线的性质、三角形的面积公式等内容，解题关键是牢记相关概念与性质．
15．如图， 中， 、 是角平分线，它们相交于点O， 是高， ，求 及
的度数．
【答案】∠DAC= 40°，∠BOA= 115°．
【解析】
【分析】
由直角三角形两锐角互余知∠DAC=40度，根据三角形内角和定理得∠CAB+∠ABC= 130°，AF、BE是角
平分线，则∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)=65°，从而得出答案．
【详解】
解：∵AD 是高，∠C=50°
∴∠ADC= 90°，
∴∠DAC= 90°-50°=40°，
∵∠C= 50°，
∴∠CAB+∠ABC = 130°，
∵AF、BE是角平分线，
∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×（180°-50°）= ×130°=65°，
∴∠BOA= 180°- 65° = 115°．
【点睛】
本题主要考查了高的概念、直角三角形的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义，做题的关键是角平
分线性质的运用．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE
＝（ ）A．5° B．4° C．8° D．6°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理求出∠C，利用直角三角形两个锐角互余求出∠DAC，利用角平分线的定义求出
∠EAC，∠EAC减去∠DAC即可求出∠DAE．
【详解】
解：△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，
AD是BC边上的高，
，
，
AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
，
．
故选A．
【点睛】
此题主要考查三角形内的角度求解，解题的关键是熟知角平分线、高及三角形的内角和定理的性质．
2．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）
A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135°
【答案】B
【解析】
【分析】
①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角
互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．
【详解】
①如图1，
ABC是锐角三角形时，
△∵BD、CE是 ABC的高线，
∴∠ADB=90°△，∠BEC=90°，
在 ABD中，∵∠A=45°，
∴△∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；
②如图2， ABC是钝角三角形时，
△
∵BD、CE是 ABC的高线，
∴∠A+∠ACE△=90°，∠BHC+∠HCD=90°，
∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC=∠A=45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选B.【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分 ABC是锐角三角形与钝角三角形两
种情况讨论，作出图形更形象直观． △
3．如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB= ∠CGE．其中正确的结论是
（ ）
A．只有①③ B．只有②④
C．只有①③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
解：①∵EG//BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+ （∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝ ∠CGE，故本选项正确．
故正确的是①③④
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
二、填空题：
4．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，
则∠EDB的度数△为_____．
【答案】6°
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠B，在△BDE中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和列式进行计算即可得解．
【详解】
∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°，
∵△CDE是△CDA翻折得到，
∴∠CED＝∠A＝48°，
在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，
即48°＝42°+∠EDB，
∴∠EDB＝6°．
故答案为：6°．【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两
条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C.若∠A＝52°，则∠1＋∠2＝__________；
【答案】38°
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理易求∠ABC＋∠ACB的度数．已知∠P＝90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC＋
∠PCB的度数，进而得到∠1＋∠2的度数．
【详解】
∵∠A＝52°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−52°＝128°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC＋∠PCB＝90°，
∴∠ABP＋∠ACP＝128°−90°＝38°，
即∠1＋∠2＝38°．
故答案为：38°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识，注意运用整体法计算，解决问题的关键是
求出∠ABC＋∠ACB，∠PBC＋∠PCB的度数．
6．在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为
50°，则∠A的度数为 _____．
【答案】40°或140°
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，如图1：由翻折的性质可知：EF⊥AB，所以∠A+∠AFE＝90°，从而可求得∠A＝40°，如图2；由翻折的性质可知：EF⊥AB，∠D+∠DAE＝90°，故此∠DAE＝40°，即得∠BAC＝140°．
【详解】
解：如图1：
由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠A+∠AFE＝90°．
∵∠AFE＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
如图2，
由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠D+∠DAE＝90°．
∵折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，
∴∠EDA＝50°，
∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝140°，
故答案为：40°或140°．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质和三角形内角和定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
7．如图，C为∠AOB的边OA上一点，过点C作CD∥OB交∠AOB的平分线OE于点F，作CH⊥OB交BO的延长线于点H，若∠EFD＝α，现有以下结论：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；
④∠OCH＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
分别根据平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论．
【详解】
解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，
∴∠EOB＝∠EFD＝α，
∵OE平分∠AOB，
∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正确；
∠AOB＝2α，
∵∠AOB+∠AOH＝180°，
∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正确；
∵CD∥OB，CH⊥OB，
∴CH⊥CD，故③正确；
∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，
∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相
关知识点是解题关键．
三、解答题：
8．如图，在 中， ， 于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．(1)若 ，求∠DAE的度数?
(2)若 ，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．
【答案】(1)20°；
(2)图见解析，20°
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理求得∠B=60°，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得
∠EAC和∠DAC即可求得∠DAE的度数；
（2）根据等角的余角相等得到 即可求解．
(1)
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：如图， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）中知∠DAE=20°，
∴ ．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、等角的余角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握
它们的联系与运用是解答的关键．
9．已知 ABC．
（1）如△图（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 与∠B，∠C 之间
的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE 平分∠BAC，F 为 AE 上一点，FM⊥BC 于点 M，∠EFM 与∠B，∠C之间有何
数量关系？并说明理由．
【答案】（1）∠EAD= (∠C-∠B)；理由见解析；（2）∠EFM= (∠C－∠B) ；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）分析题意，观察图形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分别表示出∠EAC、∠DAC即可；
首先根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再根据直角三角形两锐角互
余可得∠DAC=90°-∠C，据此可解答；对于（2）过点A作AD⊥BC于D，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再结合（1）的结
论进行解答即可
【详解】
解：（1）∵AE 平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= (180º－∠B－∠C)，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90º－∠C，
∴∠EAD=∠EAC－∠DAC= (180º－∠B－∠C)－(90º－∠C)= (∠C－∠B)，
即∠EAD= (∠C-∠B)；·
（2）如图，过点 A 作 AD⊥BC 于 D，
∵FM⊥BC，
∴AD∥FM，
∴∠EFM=∠EAD= (∠C－∠B).
【点睛】
本题的关键是利用三角形内角和的关系用∠A表示出其他角
