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1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 分层作业 13.3.1 三角形的内角 第2 课时 直角三角形的性质和判定 目 录 A 组 巩固过关 题型01 已知直角三角形中一锐角度数求另一个锐角度数 题型02 利用方程思想求直角三角形锐角度数 题型03 利用三角板求直角三角形锐角度数 题型04 利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 题型05 利用直角三角形性质综合解决问题 题型06 利用直角三角形的判定解决问题 B 组 能力进阶 C 组 思维拔高 拓展 链接中考 已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数 1． 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，若∠𝐴= 42°，则∠𝐵的度数为（ ） A．38° B．48° C．58° D．68° 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】已知直角∠𝐶和∠𝐴的度数，用90°减去∠𝐴的度数即可求出∠𝐵的度数． 【详解】∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,∠𝐴= 42°， ∴∠𝐵= 90° −∠𝐴= 90° −42° = 48°． 题型01 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 2．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，𝐶处有一灯塔，点𝐴表示轮船的初始位置，点𝐵表示轮船行进中某 一时刻的位置，当轮船从点𝐴行驶到距离灯塔最近点时，此时∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】C 【知识点】垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据垂线段最短的性质，当轮船行驶到距离灯塔最近点时，轮船与灯塔的连线垂直于航线，构成 直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵当轮船行驶到距离灯塔𝐶最近点时， ∴此时轮船位置（即点𝐵）与灯塔𝐶的连线垂直于航线𝐴𝐷， ∴𝐶𝐵⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°， 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝐴= 90° −30° = 60°． 利用方程思想求直角三角形锐角度数 3．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴: ∠𝐵= 1: 2，则两个锐角的度数为（ ） A．30°和60° B．45°和45° C．40°和80° D．以上说法都不对 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形中两锐角互余等知识点，掌握直角三角形两锐角 互余成为解题的关键． 由∠𝐶= 90°，则∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，然后按比例分配即可解答． 【详解】解：∵∠𝐶= 90°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°， ∵∠𝐴: ∠𝐵= 1: 2， ∴∠𝐴= 1 3 × 90° = 30°, ∠𝐵= 2 3 × 90° = 60°． 故选：A． 4.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，若两锐角之差为10°，则较大锐角的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 题型02 3 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中， 设较小锐角的度数为𝑥，则较大锐角的度数为𝑥+ 10， ∵直角三角形两锐角互余， 𝑥+ 𝑥+ 10 = 90 则𝑥= 40 则较大的锐角度数为50° 故选：B． 5.如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶与直角三角形𝐴𝐶𝐸中，∠𝐵= 50°，∠𝐵𝐶𝐷比∠𝐴𝐶𝐸大20°，则∠𝐸𝐴𝐷=________． 【答案】15°/15度 【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据∠𝐵𝐶𝐷比∠𝐴𝐶𝐸大20°，并结合它们互余可求出∠𝐴𝐶𝐸，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠𝐶𝐴𝐸， ∠𝐵𝐴𝐶，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴∠𝐵𝐶𝐷= 55°，∠𝐴𝐶𝐸= 35°， ∴在Rt △𝐴𝐶𝐸中，∠𝐶𝐴𝐸= 90° −∠𝐴𝐶𝐸= 90° −35° = 55°， ∵∠𝐵= 50°， ∴在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90° −∠𝐵= 40°， ∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐶= 55° −40° = 15°． 利用三角板求直角三角形锐角度数 6.将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则∠𝛼=（ ） 题型03 4 / 25 学科网（北京）股份有限公司 A．60° B．55° C．45° D．30° 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【详解】由图可知，∠𝛼= 90° −30° = 60°． 7.如图，三角尺𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐵分别在直线𝑙1，𝑙2上，若𝑙1 ∥𝑙2，且𝐵𝐴平分∠𝐶𝐵𝐷，则∠2的度数是（ ） A．20° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的定义求出∠𝐶𝐵𝐷的度数，再根据平行线的性质可得∠3的度数，最后利用直角三角形 两锐角互余求出∠2的度数即可． 【详解】解：∵𝐵𝐴平分∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= 30°， ∴∠𝐶𝐵𝐷= 2∠𝐴𝐵𝐶= 60°， 如图，∵𝑙1 ∥𝑙2， ∴∠3 = ∠𝐶𝐴𝐷= 60°， ∵∠𝐶= 90°， ∴∠2 = 90° −∠3 = 30°． 8.一副三角板（内角分别是90°，45°，45°；90°，30°，60°）按如图方式叠放在一起，则∠1的度数是（ ） A．55° B．65° C．70° D．75° 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 5 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【分析】由角度的和差关系得出∠5 = ∠3 −∠4，再由直角三角形两个锐角互余即可得出∠1 = 90° −∠5． 【详解】由三角板可知：∠2 = 90°，∠3 = 45°，∠4 = 30°， ∴∠5 = ∠3 −∠4 = 15°， ∴∠1 = 90° −∠5 = 75°． 利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 9.如图，将长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐴𝐸折叠，使点D 落在长方形内的点𝐷′处，已知∠𝐷𝐴𝐸= 25°，则 ∠𝐶𝐸𝐷′ =_______°． 【答案】50 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查折叠性质、平角定义、角度的运算，根据折叠性质得到∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷′，再根据平角定义 求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐴𝐸折叠，使点D 落在长方形内的点𝐷′处， ∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷′， ∵∠𝐷𝐴𝐸= 25°， ∴∠𝐴𝐸𝐷= 90° −∠𝐷𝐴𝐸= 65° ， ∴∠𝐶𝐸𝐷′ = 180° −∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴𝐸𝐷′ = 50°， 故答案为：50． 10 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，𝐷是边𝐴𝐵上的一个动点，连接𝐶𝐷，当𝐶𝐷为∠𝐴𝐶𝐵的平 分线时，将△𝐶𝐷𝐵沿着𝐶𝐷翻折，得到△𝐶𝐷𝐸．如下结论：①点𝐸落在𝐴𝐶上；②𝐷𝐸⊥𝐴𝐶；③𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶．结 论正确的是_________ 题型04 6 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【答案】①②③ 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算 【分析】根据三角形内角和及角平分线求出∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 30°，结合翻折得到∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷， 由此判断①；根据翻折性质得到∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵= 90°，结合①即可判断②；根据直角三角形两锐角互余判 断③． 【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 30°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝐴= 60°， 当𝐶𝐷为∠𝐴𝐶𝐵的平分线时，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 30°， 由翻折得∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 30°， ∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 30°， ∴点𝐸落在𝐴𝐶上，故①正确； 由翻折得∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵= 90°， 由①知点𝐸落在𝐴𝐶上， ∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，故②正确； ∵∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷= 90°， ∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸= 60°， ∴𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，故③正确． 11.如图，把△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺时针旋转28°，得到△𝐴′𝐵′𝐶，𝐴′𝐵′交𝐴𝐶边于点𝐷．若∠𝐴′𝐷𝐶= 90°，则∠𝐴=_______ 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【答案】62° 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】由题意得旋转角∠𝐴𝐶𝐴′ = 28°，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺时针旋转28°，得到△𝐴′𝐵′𝐶， ∴∠𝐴𝐶𝐴′ = 28°， 又∵∠𝐴′𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐴= 180° −90° −28° = 62°． 利用直角三角形性质综合解决问题 12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是角平分线，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°，则∠𝐸𝐴𝐷的度数为（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算 【分析】根据已知条件𝐴𝐷是高, ∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°,得出∠𝐵𝐴𝐷= 50°,∠𝐶𝐴𝐷= 10°,又因为𝐴𝐸是角平分线, 得出∠𝐷𝐴𝐸= 20°． 【详解】解：∵ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 ∴ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90° ∵ ∠𝐵= 40°,∠𝐶= 80° ∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐷= 90° −40° = 50° ∴ ∠𝐶𝐴𝐷= 90° −80° = 10° ∵ 𝐴𝐸是角平分线 ∴ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ 10° ∴ ∠𝐵𝐴𝐷= 50° = ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ 10° + ∠𝐷𝐴𝐸 ∴ 2∠𝐷𝐴𝐸+ 10° = 50° ∴ ∠𝐷𝐴𝐸= 20° 13.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为__________ 【答案】130° 题型05 8 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求 出∠𝐶= 25°，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求∠𝐵𝐴𝐶的度数． 【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°， ∴∠𝐷𝐴𝐶= 90°， ∴∠𝐶= 90° −∠𝐴𝐷𝐶= 25°， ∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶， ∴∠𝐶= ∠𝐵= 25°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 130°． 14.如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵= 50°，求∠𝐴𝐷𝐶的度数． 【答案】85° 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出∠𝐶𝐴𝐸= 90 −∠𝐴𝐶𝐸= 70°，∠𝐵𝐶𝐸= 90° −∠𝐵= 40°，得到∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸= 60°，由角平分线的定义得出∠𝐶𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 35°，最后由三角形内角和定理即可得出 ∠𝐴𝐷𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐴𝐶𝐷= 85°． 【详解】解：∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵= 50°， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 90 −∠𝐴𝐶𝐸= 70°，∠𝐵𝐶𝐸= 90° −∠𝐵= 40°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸= 60°， ∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 35°， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐴𝐶𝐷= 85°． 15.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50∘，∠𝐵= 70∘，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，𝐷𝐹⊥𝐶𝐸于F，求∠𝐶𝐷𝐹的度数． 【答案】80° 9 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠𝐴𝐶𝐵的度数，根据角的平分线的定义求得∠𝐵𝐶𝐸的度数，再根据 直角三角形两锐角互余求出∠𝐵𝐶𝐷，根据角的和差求出∠𝐷𝐶𝐸，进而在直角△𝐶𝐷𝐹中求出∠𝐶𝐷𝐹． 【详解】解：∵∠𝐴= 50°，∠𝐵= 70°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −50° −70° = 60°， ∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐵𝐶𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 30°， ∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐵𝐶𝐷= 90° −∠𝐵= 90° −70° = 20°， ∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 30° −20° = 10°， ∵𝐷𝐹⊥𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐹𝐷= 90°， ∴∠𝐶𝐷𝐹= 90° −∠𝐶𝐹𝐷= 90° −10° = 80°． 利用直角三角形的判定解决问题 15.具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ） A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶 B．∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶 C．∠𝐴= 1 2 ∠𝐵= 1 3 ∠𝐶 D．∠𝐴= ∠𝐵= 3∠𝐶 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形内角和定理，结合各选项给出的角的数量关系，计算各角度数，判断是否为直角三角 形即可． 【详解】解：A、将∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶代入∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°得2∠𝐶= 180°，解得∠𝐶= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是 直角三角形，不符合题意； B、由∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶得∠𝐴= ∠𝐵+ ∠𝐶，代入∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°得2∠𝐴= 180°，解得∠𝐴= 90°，则△𝐴𝐵𝐶 是直角三角形，不符合题意； C、由∠𝐴= 1 2 ∠𝐵= 1 3 ∠𝐶得∠𝐵= 2∠𝐴、∠𝐶= 3∠𝐴，代入∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°得∠𝐴+ 2∠𝐴+ 3∠𝐴= 180°， 解得∠𝐴= 30°、∠𝐶= 3 × 30° = 90°，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，不符合题意； D、将∠𝐴= ∠𝐵= 3∠𝐶代入∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°得3∠𝐶+ 3∠𝐶+ ∠𝐶= 180°，解得∠𝐶= 180° 7 、∠𝐴= ∠𝐵= 540° 7 ，则三个角都不是90°，故△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，符合题意． 16.如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形． 题型06 10 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【答案】详见解析 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关 键； 先通过三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵= 82°，再通过角平分线求出∠𝐵𝐶𝐸，进而可求出∠𝐵𝐶𝐷，从而可得到 ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，进而得证． 【详解】证明：∵∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 82°． ∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐵𝐶𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 41°． ∵∠𝐷𝐶𝐸= 11°， ∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐸= 30°， ∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°， ∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形． 17.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°,∠𝐵= 60°，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点E． (1)求∠𝐴𝐸𝐶的度数； (2)若𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，∠𝐶𝐷𝐹= 75°．判断△𝐶𝐹𝐷的形状，并说明理由． 【答案】(1)105° (2)△𝐶𝐹𝐷是直角三角形，理由见解析 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的 应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个 角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠𝐴𝐸𝐶的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到∠𝐷𝐶𝐹的度数，进而得出∠𝐶𝐹𝐷的度数即可得答 案． 11 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵∠𝐴= 30°,∠𝐵= 60°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 90°， ∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 45°， ∴∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐸= 105°； （2）解：△𝐶𝐹𝐷是直角三角形，理由如下： 由（1）得：∠𝐵𝐶𝐸= 45°， ∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐵𝐶𝐷= 90° −∠𝐵= 30°， ∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 15°， ∵∠𝐶𝐷𝐹= 75°． ∴∠𝐶𝐹𝐷= 180° −∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐷𝐶𝐹= 90°， ∴△𝐶𝐹𝐷是直角三角形． 1．将一副分别含30°角和45°角的直角三角板按如图所示方式摆放，∠𝐵= ∠𝐹= 90°，点𝐷在𝐴𝐵边上，保持 点𝐷位置不动，将△𝐷𝐸𝐹绕点𝐷旋转，始终保持𝐷𝐸边与𝐵𝐶边相交，则∠1和∠2的数量关系是（ ） A．∠1 + ∠2 = 75° B．∠1 + ∠2 = 90° C．∠1 −∠2 = 30° D．∠1 −∠2 = 45° 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据平角的定义可得：∠3 = 120° −∠1，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：∠1 −∠2 = 30°． 【详解】解：如下图所示，在△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐸= 30°，∠𝐹= 90°， ∴∠𝐹𝐷𝐸= 60°， ∴∠1 + ∠3 = 180° −60° = 120°， ∴∠3 = 120° −∠1， ∵∠𝐵= 90°， 12 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠2 + ∠3 = 90°， ∴∠2 + 120° −∠1 = 90°， ∴∠1 −∠2 = 30°． 2.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，过点𝐴作直线𝐷𝐸，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线分别交𝐷𝐸于点𝐸、𝐷，则∠𝐷+ ∠𝐸=（ ） A．30° B．45° C．60° D．65° 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】设𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝑂，易得∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理 即可求解． 【详解】解：如图，设𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝑂， ∵∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐶， ∴∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵． ∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线分别交𝐷𝐸于点𝐸、𝐷， ∴∠𝐸𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵． ∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°． ∴∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1 2 × 90° = 45°． 3.如图，将一个直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶(∠𝐴𝐶𝐵= 90°)，沿线段𝐶𝐷折叠，使点𝐵落在𝐵′处，若𝐵′𝐷//𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵′ = 3∠𝐴𝐷𝐵′，则∠𝐵的度数为________． 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 【答案】22.5°． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质可得∠𝐴𝐶𝐵′ = 3∠𝐵′，结合直角三角形的锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵𝐵′𝐷//𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝐵′ = ∠𝐵， ∵∠𝐴𝐶𝐵′ = 3∠𝐴𝐷𝐵′， ∴∠ACB′=3∠B， ∵折叠， ∴∠𝐵= ∠𝐵′， ∴∠𝐴𝐶𝐵′ = 3∠𝐵′， ∵𝐵′𝐷//𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴∠𝐵′𝐸𝐶= 90°，即∠𝐵′ + ∠𝐴𝐶𝐵′ = 90°， ∴∠𝐵′ + 3∠𝐵′ = 90°， ∴∠𝐵′ = 22.5°． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握平行线的性 质和折叠的性质． 4.如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵的值为________ 【答案】135° 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练 掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 设𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝐸，由𝐴𝐶⊥𝐵𝐷可得∠𝐴𝐸𝐵= 90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸= 90°， 由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 1 2 (180° −∠𝐵𝐴𝐸)，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵= 1 2 (180° − ∠𝐴𝐵𝐸)，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵= 1 2 (180° −∠𝐵𝐴𝐸) + 1 2 (180° −∠𝐴𝐵𝐸) = 180° − 1 2 (∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸)，由此即可求 出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵的值． 【详解】解：如图，设𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝐸， 14 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐵= 90°， ∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸= 90°， ∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 1 2 (180° −∠𝐵𝐴𝐸)， ∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵= 1 2 (180° −∠𝐴𝐵𝐸)， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵 = 1 2 (180° −∠𝐵𝐴𝐸) + 1 2 (180° −∠𝐴𝐵𝐸) = 90° −1 2 ∠𝐵𝐴𝐸+ 90° −1 2 ∠𝐴𝐵𝐸 = 180° −1 2 (∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸) = 180° −1 2 × 90° = 180° −45° = 135°. 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角为_____度． 【答案】40 或140 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质及高的位置关系，根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝 角等腰三角形两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形， 由题意可知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上高，且∠𝐴𝐵𝐷= 50°， ∴∠𝐴= 90° −50° = 40°； 15 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形， 由题意可知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上高，且∠𝐴𝐵𝐷= 50°， ∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −50° = 40°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −40° = 140°； 综上所述：等腰三角形的顶角度数为40 度或140 度． 故答案为：40 或140． 6.如图，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，点𝐶，𝐷分别落在𝐶′，𝐷′的位置，𝐶′𝐹的延长线交𝐶𝐷于点𝐺，∠𝐸𝐹𝐺= 2∠𝐴𝐸𝐷′，则∠𝐵𝐻𝐷′度数为________ 【答案】54° 【知识点】折叠问题、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【分析】由折叠性质、平行线的性质、对顶角相等求出相关角度，再由直角三角形两锐角互余求出∠𝐹𝐻𝐶′ = 54°，最后由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，则∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐷′𝐸𝐹，∠𝐶′ = ∠𝐶= 90°， 设∠𝐴𝐸𝐷′ = 𝛼，∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐷′𝐸𝐹= 𝛽，则∠𝐸𝐹𝐺= 2∠𝐴𝐸𝐷′ = 2𝛼， ∴𝛼+ 2𝛽= 180°，∠𝐴𝐸𝐹= 𝛼+ 𝛽， 在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，则∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐹𝐸= 180°， ∴∠𝐵𝐹𝐸= 180° −(𝛼+ 𝛽)， 将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，则𝐷′𝐸∥𝐶′𝐹， ∴∠𝐷′𝐸𝐹+ ∠𝐶′𝐹𝐸= 180°，则𝛽+ 180° −(𝛼+ 𝛽) + ∠𝐵𝐹𝐶′ = 180°， ∴∠𝐵𝐹𝐶′ = 𝛼， 则∠𝐶𝐹𝐺= ∠𝐵𝐹𝐶′ = 𝛼， 在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，则∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶， ∴𝛼+ 𝛽= 2𝛼+ 𝛼，即𝛽= 2𝛼， ∵𝛼+ 2𝛽= 180°， ∴𝛼+ 2 × 2𝛼= 180°，解得𝛼= 36°， 在Rt △𝐻𝐹𝐶′中，∠𝐹𝐻𝐶′ = 90° −∠𝐻𝐹𝐶′ = 90° −36° = 54°， 16 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵𝐻𝐷′ = ∠𝐹𝐻𝐶′ = 54°． 7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶> ∠𝐵，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶． (1)若∠𝐵= 30°，∠𝐶= 64°，则∠𝐷𝐴𝐸=_________； (2)计算：若∠𝐶−∠𝐵= 50°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数； (3)猜想：∠𝐷𝐴𝐸、∠𝐵、∠𝐶的关系_________． 【答案】(1)17° (2)∠𝐷𝐴𝐸= 25° (3)∠𝐷𝐴𝐸= 1 2 (∠𝐶−∠𝐵) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角 互余、角平分线的有关计算 【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 86°，再利用角平分线定义得 ∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 43°，接着由𝐴𝐷⊥𝐵𝐶得∠𝐴𝐷𝐶= 90°，根据三角形内角和得到∠𝐶𝐴𝐷，然后利用∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷进行计算； （2）由三角形内角和定理得∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶，再根据角平分线定义得∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 90° − 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶，接着利用互余得到∠𝐶𝐴𝐷= 90° −∠𝐶，所以∠𝐸𝐴𝐷= 1 2 (∠𝐶−∠𝐵)，然后整理得出，将其代入 计算即可． （3）同（2）得出∠𝐸𝐴𝐷= 1 2 (∠𝐶−∠𝐵)，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵∠𝐵= 30°，∠𝐶= 64°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 86°， ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 43°， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° −∠𝐶= 26°， ∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 43° −26° = 17°； 故答案为：17°； （2）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 (180° −∠𝐵−∠𝐶) = 90° − 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶， 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° −∠𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 90° − 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶−(90° −∠𝐶) = 1 2 (∠𝐶−∠𝐵)， ∵∠𝐶−∠𝐵= 50°， ∴∠𝐷𝐴𝐸= 25°， 故答案为：25°； （3）解：猜想：∠𝐷𝐴𝐸= 1 2 (∠𝐶−∠𝐵)． ∵∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶， ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 (180° −∠𝐵−∠𝐶) = 90° − 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° −∠𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 90° − 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶−(90° −∠𝐶) = 1 2 (∠𝐶−∠𝐵)， 即∠𝐷𝐴𝐸= 1 2 (∠𝐶−∠𝐵)． 故答案为：∠𝐷𝐴𝐸= 1 2 (∠𝐶−∠𝐵)． 8.已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，则∠1与∠2之间的数量关系是___________． (2)如图2，𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，则∠1与∠2之间的数量关系是___________． (3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 【答案】(1)∠1 = ∠2 (2)∠1 + ∠2 = 180° (3)20°，20°或55°，125° 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】 （1）根据垂直可得∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°，由直角三角形的两锐角互余可得∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠4 = 90°，再结合对顶角相等等量代换即可得解； 小学 初中 18 / 25 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据垂直可得∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°，由四边形的内角和列式计算即可得解； （3）设其中一个角的度数为𝛼，则另一个角的度数为3𝛼−40°，根据这两个角相等或者互补列方程计算即 可． 【详解】（1）解：如图所示，设𝐵𝐶与𝐸𝐹的交点为𝐺，𝐴𝐵与𝐷𝐸的交点为𝐻， ∵𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹， ∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°， ∴∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠4 = 90°， ∵∠3 = ∠4， ∴∠1 = ∠2． （2）解：如图所示，设𝐴𝐵与𝐷𝐸的交点为𝐺，𝐵𝐶与𝐸𝐹的交点为𝐻， ∵𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹， ∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°， ∵∠1 + ∠2 + ∠𝐸𝐺𝐵+ ∠𝐸𝐻𝐵= 360°， ∴∠1 + ∠2 = 180°． （3）解：设其中一个角的度数为𝛼，则另一个角的度数为3𝛼−40°． 根据题意，得𝛼= 3𝛼−40°或𝛼+ 3𝛼−40° = 180°， 解得𝛼= 20°或𝛼= 55°． 当𝛼= 20°时，3𝛼−40° = 20°； 当𝛼= 55°时，3𝛼−40° = 125°， ∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°． 19 / 25 学科网（北京）股份有限公司 1．【跨学科试题·物理】一个小长方体木块静止在斜面𝑂𝐴上，其受力分析如图，重力𝐺的方向与水平地面𝑂𝐵 垂直，摩擦力𝐹1的方向与斜面平行，支持力𝐹2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1 = 28°，则支持力𝐹2与重 力𝐺方向的夹角∠2的度数是（ ） A．162° B．152° C．142° D．118° 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【分析】重力𝐺与水平地面垂直，得∠𝑂𝐷𝐶= 90°．由∠1 = 28°，得∠𝑂𝐶𝐷= 62°，由对顶角得∠𝐸𝐶𝐴= 62°．摩 擦力𝐹1与斜面平行，故∠𝐶𝐸𝐹1 = 180° −62° = 118°．支持力𝐹2与斜面垂直，即与𝐹1垂直，得∠𝐹2𝐸𝐹1 = 90°．由 周角360°得∠2 = 360° −90° −118° = 152°． 【详解】解：如图，设重力𝐺的作用线与斜面𝑂𝐴交于点𝐶，与水平地面𝑂𝐵交于点𝐷． ∵重力𝐺的方向与水平地面𝑂𝐵垂直， ∴∠𝑂𝐷𝐶= 90°． ∵ ∠1 = 28°， ∴∠𝑂𝐶𝐷= 90° −28° = 62°． ∴ ∠𝐸𝐶𝐴= 62°． ∵摩擦力𝐹1的方向与斜面平行， ∴∠𝐶𝐸𝐹1 = 180° −∠𝐸𝐶𝐴= 180° −62° = 118°， ∵支持力𝐹2的方向与斜面垂直， ∴支持力𝐹2的方向与摩擦力𝐹1的方向垂直， ∴ ∠𝐹2𝐸𝐹1 = 90°， 20 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠2 = 360° −∠𝐹2𝐸𝐹1 −∠𝐶𝐸𝐹1 = 360° −90° −118° = 152°． 2．【跨学科试题·物理】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点𝐴′实 际是在更深处的池底点𝐴处（点𝐴，𝐴′, 𝑂在一条竖直直线上）．若∠1 = 132°，则∠2的度数为（ ） A．48° B．46° C．44° D．42° 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余 【分析】利用邻补角的性质求出∠𝑂𝐴′𝐵的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠𝑂𝐵𝐴′，最后利用对顶角 相等即可求解． 【详解】解：∵点𝐴，𝐴′，𝑂在一条竖直直线上， ∴∠𝑂𝐴′𝐵+ ∠1 = 180°， ∵∠𝐴𝐴′𝐵= 132°， ∴∠𝑂𝐴′𝐵= 180° −132° = 48°， ∵水面𝑂𝐷 水平，竖直直线𝑂𝐴垂直于水面， ∴∠𝐴′𝑂𝐵= 90°， ∴∠𝑂𝐵𝐴′ = 90° −∠𝑂𝐴′𝐵= 90° −48° = 42°， ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从𝐴′发出的， ∴点𝐶，𝐵，𝐴′在同一直线上， 又∵点𝑂，𝐵，𝐷在同一直线上， ∴∠𝐶𝐵𝐷 和∠𝑂𝐵𝐴′是对顶角， ∴∠2 = ∠𝑂𝐵𝐴′ = 42°． 3．【分类讨论】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，垂足为𝐷，∠𝐵= 36°，且∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 18°，则∠𝐵𝐴𝐶 的度数为__________． 【答案】90°或18° 【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足𝐷的位置，垂足𝐷在线段𝐵𝐶上和垂足 𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐵𝐴𝐷，再结合已知条件求出∠𝐶𝐴𝐷，最后根据角 的和差关系计算∠𝐵𝐴𝐶的度数． 【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= 90°， 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 在Rt △𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵= 36°， ∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐵= 90° −36° = 54°， ∵∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 18°， ∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷−18° = 54° −18° = 36°， 分两种情况讨论： ①当垂足𝐷在线段𝐵𝐶上时， ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 54° + 36° = 90°， ②当垂足𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上（点𝐶在𝐵，𝐷之间）时， ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 54° −36° = 18°， 综上可得：∠𝐵𝐴𝐶的度数为90°或18°． 4．【分类讨论】已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，∠𝐵比∠𝐴大26°，点M，N 分别在边𝐴𝐶, 𝐴𝐵上，连接𝑀𝑁，将 △𝐴𝑀𝑁沿着𝑀𝑁折叠，得到△𝐴′𝑀𝑁，当𝐴′𝑁所在直线与𝐴𝐶垂直时，∠𝐴𝑀𝑁的度数是__________ 【答案】29°或119° 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、折叠问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的 应用 【分析】先求出∠𝐴= 32°，∠𝐵= 58°，再分两种情况讨论，𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶，且点𝐴′与点C 在直线𝐴𝐵的异侧；𝐴′𝑁⊥ 𝐴𝐶，且点𝐴′与点C 在直线AB 的同侧，即可求解． 【详解】解：∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐶= 90°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°， ∵∠𝐵比∠𝐴大26°， ∴∠𝐵= ∠𝐴+ 26°， ∴∠𝐴+ ∠𝐴+ 26° = 90°， ∴∠𝐴= 32°， ∴∠𝐵= 32° + 26° = 58°， 如图1，𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶，且点𝐴′与点C 在直线𝐴𝐵的异侧， 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶, 𝐵𝐶⊥𝐴𝐶， ∴𝐴′𝑁∥𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝑁𝐴′ = ∠𝐵= 58°， ∴∠𝐴𝑁𝐴′ = 180° −∠𝐵𝑁𝐴′ = 122°， 由折叠得：∠𝐴𝑁𝑀= ∠𝐴′𝑁𝑀， ∵∠𝐴𝑁𝑀+ ∠𝐴′𝑁𝑀+ ∠𝐴𝑁𝐴′ = 360°， ∴2∠𝐴𝑁𝑀+ 122° = 360°， ∴∠𝐴𝑁𝑀= 119°， ∴∠𝐴𝑀𝑁= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝑁𝑀= 180° −32° −119° = 29°； 如图2，𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶，且点𝐴′与点C 在直线AB 的同侧， ∵𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶, 𝐵𝐶⊥𝐴𝐶， ∴𝐴′𝑁∥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝑁𝐴′ = ∠𝐵= 58°， 由折叠得∠𝐴𝑁𝑀= ∠𝐴′𝑁𝑀= 1 2 ∠𝐴𝑁𝐴′ = 29°， ∴∠𝐴𝑀𝑁= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝑁𝑀= 180° −32° −29° = 119°， 综上所述，∠𝐴𝑀𝑁的度数是29°或119°． 5．【新定义】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 1 2，我们称这两个角互为“友爱角”，这个 三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 80∘, ∠𝐵= 40∘，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”，△𝐴𝐵𝐶 为“友爱三角形”． 23 / 25 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐴> ∠𝐵），∠𝐴𝐶𝐵= 90°． ①求∠𝐴、∠𝐵的度数． ②若𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高，则△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐴= 66°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与点𝐴，𝐵重合），连接𝐶𝐷，若△𝐴𝐶𝐷 是“友爱三角形”，直接写出∠𝐴𝐶𝐷的度数． 【答案】(1)①∠𝐴= 60°，∠𝐵= 30°；②△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)33°或38° 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据∠𝐴与∠𝐵互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①∵△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐴> ∠𝐵）， ∴∠𝐴= 2∠𝐵， ∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180° −90° = 90°，即2∠𝐵+ ∠𝐵= 90∘，解得∠𝐵= 30°， ∴∠𝐴= 60°； ②△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”， 理由：∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高， ∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°， ∵∠𝐴= 60°, ∠𝐵= 30°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 30°,∠𝐵𝐶𝐷= 60° 在△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴= 60°, ∠𝐴𝐶𝐷= 30°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴， ∴△𝐴𝐶𝐷为“友爱三角形”； 在△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 60°, ∠𝐵= 30°， ∴∠𝐵= 1 2 ∠𝐵𝐶𝐷 ∴△𝐵𝐶𝐷为“友爱三角形”； （2）解：∵△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与点𝐴, 𝐵重合）， 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴或∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐷𝐶， 当∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴时，∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴= 33°； 当∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐷𝐶时， ∴∠𝐴+ 3∠𝐴𝐶𝐷= 180°，即3∠𝐴𝐶𝐷= 114°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 38°， 综上所述，∠𝐴𝐶𝐷的度数为33°或38°． 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1 = 50°，则∠2的度数 是（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求 解． 【详解】解：如图所示， 由题意得∠3 = ∠1 = 50°，∠5 = 90°，∠2 = ∠4， ∴∠2 = ∠4 = 180° −90° −∠3 = 90° −50° = 40°， 故选：B． 2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线𝑙1∥𝑙2，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷于点D，∠1 = 50°，则∠2的度数是（ ） 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出∠𝐴𝐵𝐶 的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵𝑙1∥𝑙2，∠1 = 50°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠1 = 50°， ∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷， ∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°， ∴∠2 = 180° −90° −50° = 40°，故A 正确． 故选：A． 3.一个三角形的三个内角的度数的比为1: 2: 3，这个三角形是______三角形 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求 出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：180° × 3 1+2+3 = 90°， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角．
