文档内容
人教版初中数学八年级下册
17.2.1 勾股定理的逆定理 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．9， ， C． ， ， D．7， ，
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
B、 ，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
C、 ，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
D、 ，能作为直角三角形的三边，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的三边关系是解本题的关键．
2． 的三边为 ， ， ，下列条件不能确保 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
即 为直角三角形，故A选项不符合题意；
设 ，
∴ ，即 不为直角三角形，故B选项符合题意；
∵ ，
∴ ，
即 为直角三角形，故C选项不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 为直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内
角和定理是解题的关键．
3．下列条件：① ，② ，③ ，④ ．⑤
中，能确定 是直角三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：① 时，
∵
∴
∴ ，是直角三角形，符合题意；
② ，是直角三角形，符合题意；
③ ，设 ，
则 ，
从而 ，是直角三角形，符合题意；
④当 时，显然 是最大角，则
，是锐角三角形，不符合题意；
⑤ ， ，是直角三角形，符合题意；综上所述，能确定△ABC是直角三角形的有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形
就是直角三角形，同时也考查了三角形内角和定理．
4．如图， 中， ， 为 的角平分线，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】如图，过点D作 于点E．根据勾股定理逆定理，推出 是 ，再证明
，从而推断出 ，得 ．设 ，利用勾股定
理，求出 ，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，过点D作 于点E．
∵ ，
∴ ．
∴ 是 ， ．
∵ 于E，
∴ ．
在 和 中，∴ ．
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ．
在 中， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 的面积为 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理，熟练掌握角平
分线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理是解决本题的关键．
5． 的三边长a，b，c满足 ，则 的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．26
【答案】C
【分析】首先根据非负数的性质可得 、 、 的值，再利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，然
后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解： ，
， ， ，
， ， ，
，
是直角三角形，
，
故选：C．【点睛】此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理以及三角形的面积，解题的关键是掌握如果三角形的
三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形．
6．若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】首先根据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.
【详解】（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，
∵a+b≠0，
∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，
∴△ABC直角三角形，
故选：B．
【点睛】此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形状，熟练掌握，即可解题.
7．如果 的三边分别为 ，且满足 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】将原式整理得出 ，计算出 ，判断出 为直角三角
形，即可求出．
【详解】解： ，
，
，
，
又 ，
，
为直角三角形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的非负性，勾股定理的逆运用，解题的关键是求出 的值．
二、填空题：8．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是__.（填写序
号）
（1） ，（2） （3） ，（4）
，（5）a＝ ，b＝2n，c＝ （n为大于1的正整数）
【答案】（1）（2）（3）（5）
【分析】(1)(2)(3)(5)根据勾股定理的逆定理进行判断，(4)根据直角三角形的定义判断．
【详解】解：（1） ，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合
题意；
（2） ，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（3）由 ，可得： ，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，
符合题意；
（4） ，此时∠C＝75°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
（5） ，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
故答案为：（1）（2）（3）（5）.
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，掌握勾股定理的逆定理是关键．
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上．判断 是______三角
形；计算 的面积 ______．
【答案】 直角
【分析】根据勾股定理求得 ，根据勾股定理的逆定理证明 是 ，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 ，且 ,
∴ ，
故答案为：直角； ．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
10．已知a，b，c是 的三边长，且满足关系 ，则 的形状是_______．
【答案】等腰直角三角形
【分析】由算术平方根和绝对值的非负性可求出 ，再根据勾股定理逆定理和等腰三角形
的定义即可判断该三角形为等腰直角三角形．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的形状是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理和等腰三角形的定义．掌握算术平方根和绝对值的非负
性是解题关键．
11．已知 中， ， ， （n为大于2的整数），则∠_____
．
【答案】
【分析】先计算 ，再计算 ，再利用勾股定理的逆定
理进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，整式的乘法运算，熟练的利用勾股定理的逆定理判定直
角三角形是解本题的关键．
12．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且 ，则 三条角平分线的
交点到一条边的距离为______．
【答案】2
【分析】先利用完全平方式进行变形求a，b，c的值，再证明 如图， 为 的三条角平
分线的交点，过 作 垂足分别为 则 再利用等面积
法可得答案.
【详解】解：∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
如图， 为 的三条角平分线的交点，过 作
垂足分别为 则而
又
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查完全平方式的应用，非负数的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，解题
关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．
三、解答题：
13．根据下列条件，判断以 为边的三角形是不是直角三角形．
(1) ， ， ．
(2) ， ， ．
(3) ， ， ．
【答案】(1)是直角三角形
(2)不是直角三角形
(3)是直角三角形
【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（3）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
【详解】（1）∵ ，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形；
（2）∵ ，即较小的两边的平方和不等于最长的边的平方，∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形；
（3）∵ ，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，解题关键是牢记“如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的
平方，那么这个三角形是直角三角形”．
14．已知 满足 ．
(1)求 的值；
(2)试问以 为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)不能构成直角三角形，见解析
【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；
（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ， ＝0，
∴ ， ， ；
（2）∵ ，
∴不能构成直角三角形．
【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关
键．
15．如图，已知在 中， ，D是 上一点，且 ， ．求证：
是直角三角形．【答案】见解析
【分析】先计算出 的三条边长，再利用勾股定理的逆定理判定是 是直角三角形．
【详解】证明： ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵
，
∴
，
∴即 是直 角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键是求出三边并且满足两边的平方和等于第三边的平方．
16．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点 ， 在小正方形的顶点上，在图中画 （点
在小正方形的顶点上），使 为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
【答案】 为直角三角形，理由详见解析.
【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.
【详解】解：如图所示.
图1 图2
如图1，在 中，， ，
因为 ，
所以 ，
即 为直角三角形.
如图2，在 中，
.
在 中， .
在 中， .
所以 ，
所以 ，即 为直角三角形.
【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.
17．在 的三边分别是 ，且 ，判断 的形状，证明你的结论．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵
∴ ，
，
，
∴ ，
故 是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，会利用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角
三角形是解答的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是
（ ）A． 的面积为10 B．
C． D．点A到直线 的距离是2
【答案】A
【分析】求出AC，AB，根据三角形的面积公式可判断A；根据勾股定理的逆定理可判断B；根据勾股定
理可判断C；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D．
【详解】解：B、∵ ， ， ，
∴ ，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
A、∵∠BAC＝90°， ， ，
∴ ，本选项结论错误，符合题意；
C、由勾股定理得： ，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵ ，
∴ ，
∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，
b，斜边长为c，那么 ．
2．已知 的三边之比为 ，其中 ，点 是 边上的动点，则 的长不
可能是（ ）A．5.9 B．6.5 C．8.9 D．10.5
【答案】A
【分析】由 ，设AC=x，BC= x，AB=2x，先求出AC=6，BC= ，然后由勾股定
理求得AC ，从而求得 ，即可得出结论．
【详解】解：由 ，设AC=x，BC= x，AB=2x，
∵ ，
∴2x=12，
解得x=6，
∴AC=6，BC= ，
∴ ， ，
∴ ，
∴∠ACB=90°，
∴AC ，
∵点 是 边上的动点，
∴ 即 ，故B、C、D不符合题意，A项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理及垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．如图，P是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，以 为边在 外作
，连接 ，则以下结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据 ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据 BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，
PB=QB=4，PA△=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即△可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断
B；根据 BPQ是等边三角形， PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，
可得∠Q△PC≠30°，即可判断C．△
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴ BPQ是等边三角形，
∴△∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
二、填空题：
4．如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得 是直角三角形，则这样的格点C的个
数是__________个．
【答案】8
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：如图所示：
点 的位置如，
其中 ， ，AB=2，
由勾股定理得： ，
为直角三角形，
同理： 为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
5．如图，在 中， ，且周长为 ，点 从点 开始，沿 边向点 以每秒的速度移动；点 从点 开始，沿 边向点 以每秒2cm的速度移动．若同时出发，则过 秒时，
的面积为___________ ．
【答案】18
【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定
理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【详解】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
则AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝ BP•BQ＝ ×（9﹣3）×6＝18（cm2）．
故答案为：18．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，
是解题的关键．
6．如图，在 中， ， ， ， 是 的平分线，若 、 分别是 和
上的动点，则 的最小值是________【答案】
【分析】作 ， ，根据角平分线的性质，得出 ，再根据垂线段最短，可得
有最小值，最小值为 的长，再根据等面积法，列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作 交 于点 ，交 于点P，过点P作 交 于点Q，
是 的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时 有最小值，最小值为 的长，
， ， ，
由勾股定理可知， ，
，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确找出符合条件的点P、Q的位
置是本题关键．
三、解答题：
7．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， ABC的顶点在格点上．(1)直接写出AB=________，BC=________，AC=________；
(2)判断 ABC的形状，并说明理由；
(3)直接写出BC边上的高=________．
【答案】(1) ， ， ；
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析；
(3) ．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解；
（3）根据三角形的高的定义可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，
， ， ；
故答案为： ， ， ；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ， ， ；
∴ ，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：∵在△ABC中，∠ABC=90°
∴BC边上的高为AB，
∴BC边上的高为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是
解题的关键．
8．如图，已知在 中， ，垂足为点 ， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1)12
(2)证明见解析
【分析】（1）在 中利用勾股定理求得 的长即可；
（2）在 中，由勾股定理求出 的长，得出 的长，利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】（1） 于 ，且 ， ， ，
，
在 中， ，
，
；
（2）在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
是直角三角形，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，通过运用勾
股定理求出 是解决（2）的关键．
