文档内容
13.3.3 等边三角形的性质与判定
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形
的判定定理对CD作判断.
2．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．
A．30 B．20 C．25 D．15
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠DAC= ∠BAC=30°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED= = =75°，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°.
故答案为：D.
【分析】由等边三角形的各个内角都是60°，再根据三线合一得到∠DAC的度数，再根据三角形内角
和定理求出∠EDC的度数.
3．一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西
20°的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距( )
A．30 海里 B．40 海里 C．50 海里 D．60 海里
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】依题可得：∠ABC=60°，AB=BC=40，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=40（海里），
故答案为：B.
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形，再由等边三角
形的性质得出AC的长度即可.
4．如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ，则下列结论错
误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，
又CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，
∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，
故A、B、C均正确．
故答案为：D．
【分析】利用等边三角形性质得∠ABC=∠ACB＝60°，∠ADB＝∠CDB＝90°；∠ABD＝∠CBD＝
30°，再利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质可得到∠CDE＝∠CED＝30°，可对A作出判断；
由此可推出∠CBD=∠DEC，同时可求出∠BDE的度数，可对B作出判断；利用等角对等边可证得
DE=DB，可对C作出判断；不能证明DE=AB，可对D作出判断.
5．如图， ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，∴△ABC是等边三角形，又∵ ，∴∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°，
∵∠ACB=60°， ，∴∠CED=∠CDE=30°，
∴∠AEF=30°，∴∠FEB=60°，∴∠BFE=90°，
∵ ，∴BE=4，
∵∠DBE=∠CDE=30°∴ED=BE=4，
∴ ED+EF=6，
故答案为：D.
【分析】由 ， 得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质和
，推出BE=4，再由∠DBE=∠CDE=30°，推出ED=BE=4，从而求出DF的长度.
6．如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中， ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．
故选C
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
二、填空题：
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E
＝ 度．
【答案】15
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
【分析】根据题意可知，∠ACB为三角形GCD的一个外角，根据三角形GCD为等腰三角形，即可求
得∠FDC为30°，同理可得即可得到∠E=15°。
8．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为 .
【答案】a+b
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF为等边三角形
∴∠A＝∠B，EF＝DF∵∠BFD+∠BDF＝120°，∠BFD+∠AFE＝120°
∴∠BDF＝∠AFE
∴△AEF≌△BFD（AAS）
∴AF＝BD，AE＝BF
∵△AEF的周长＝AF+AE+EF＝AF+BF+EF＝a+b.
故答案为：a+b.
【分析】由等边三角形的性质可得∠A＝∠B，EF＝DF，推出∠BDF＝∠AFE，证明△AEF≌△BFD，
得到AF＝BD，AE＝BF，据此解答.
9．如图，将边长为 的等边 向右平移 ，得到 ，此时阴影部分的周长为
．
【答案】12
【知识点】等边三角形的性质；平移的性质
【解析】【解答】 为等边三角形，
， ，
等边 向右平移 得到 ，
， ，
， ，
阴影部分为等边三角形，
阴影部分的周长为 ．
故答案为：12．
【分析】由等边三角形的性质可得 ， 由平移的性质可得
，从而得出 ， =4cm，即得
阴影部分为等边三角形，从而求出结论即可.10．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分
∠DBC，则∠D＝ .
【答案】30°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】连接CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△BCE与△ACE中，
∴△BCE≌△ACE（SSS）
∴∠BCE=∠ACE=30°
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
在△BDE与△BCE中，
∴△BDE≌△BCE（SAS），
∴∠BDE=∠BCE=30°.
【分析】连接CE，先利用SSS证明△BCE≌△ACE，得到∠BCE=∠ACE=30°，再利用SAS证明△BDE≌△BCE，得出∠D=∠BCE，即可求出∠D的度数。
11．已知：如图，点E、F分别在等边三角形ABC的边CB、AC的延长线上，BE＝CF，FB的延长线
交AE于点G则∠AGB＝ ．
【答案】60°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∵BE=CF，
∵∠ABE=∠BCF=180°-60°=120°，
∴△ABE≌△BCE（SAS），
∴∠GEB=∠F，
∴∠AGB=∠GEB+∠GBE=∠F+∠CBF=∠ACB=60° .
故答案为：60°.
【分析】由等边三角形的性质得边和角相等，利用边角边定理可证△ABE≌△BCF，则对应角
∠GEB=∠F，利用三角形外角的性质把 ∠AGB转化成∠F和∠BFC之和，则可知其值为60°.
三、解答题：
12．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°，
∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°，
∴∠D=∠E=∠F=90°﹣30°=60°，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，边相等及三个角等于60°，再根据三角形的内角和等于
180°得到 DF=DE=EF ，再判断 △DEF是等边三角形，进行作答即可。
13．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，
垂足为M，求证：M是BE的中点．
【答案】证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE 为等腰三角形，利用等腰三角
形三线合一的性质即可得证。 △
14．如图，已知等边 分别在 上，且 ，连接 交
点．求证：
【答案】∵ 是等边三角形
∴ ，
在△ABD和△BCE中
∴
∴
∴ ．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据 是等边三角形得出 ， ，利用SAS证明
，得出 ，即可得出结论。
15．如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且
，连接 交 于点 .求证：
【答案】过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵ 是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴ 是等边三角形，
∴BD=DE，
∵ ，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴∆EMD ∆CME，
∴ ≅ .
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 过点D作DF∥AC，交BC于点F， 由等边三角形和平行线的性质可得
∠MDE=∠MEC ， DE=CE ，再根据AAS可证 ∆EMD ∆CME ，进而根据全等三角形对应边相等可得
结果. ≅
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，点P在边长为1的等边△ABC的边AB上，过点P作PE⊥AC于点E．Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点P作PM∥BQ，交AC于点M.
∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠B=∠ACB=60°
∵PM∥BQ
∴∠MPD=∠Q，∠APM=∠AMP=∠ACB=∠B=60°
∴△APM是等边三角形
∴PA=MP
又∵PA=CQ
∴MP=CQ
在△PMD和△QCD中
∴△PMD≌△QCD
∴DM=DC= MC
又∵PE⊥AC∴EM=AE= AM
∴DE=EM+DM= （AM+CM）= AC= ×1= .
故答案为：B.
【分析】过点P作PM∥BQ，综合运用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质得出线段
的关系，从而得证。
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若
△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接
OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，
OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，
即可得出结果.
3．如图，已知： ，点 、 、 在射线ON上，点 、 、
在射线OM上， 、 、 均为等边三角形，若 ，
则 的边长为（ ）A．2017 B．2018 C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
、 是等边三角形，
， ，
，， ，
， ，
，
，
，
，
，
当 时，
，
故答案为：C.
【分析】此题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，图形、数字规律问题，由等边三角形性质与
直角三角形性质，找三角形边的关系，然后通过观察分析，找出规律，再按规律求解即可.
4．如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边
△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC．以下五个结论：
①△ACD≌△BCE；②△AOC≌△BQC ; ③△APC≌△BOC; ④△DPC≌△EQC;⑤ ∠AOB＝60°．其
中正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①④⑤ C．①④ D．①③④
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： ①∵△ACB是等边三角形，∴AC=BC，
∵△ECD是等边三角形，CD=CE，∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），符合题意；
②③如图，连接OC，
∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60，
∘
∴∠BCD=180−60−60=60，
∘ ∘ ∘ ∘
∴∠ACP=∠BCQ=60，
∘
在△ACP和△BCQ中，
{∠ACP=∠BCQ
∠PAC=QAC ∴△ACP≌△BCQ（ASA），
AC=BC
∴△AOC和△BQC， △APC和△BOC不全等，②③不符合题意 ；
④在△DPC和△EQC中，
{∠QEC=∠PDC
∠PCD=∠QCE∴△DPC≌△EQC （AAS），
DC=CE
符合题意；
⑤ ∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠OAC，
∵∠ACB=∠CED=60°，
∴AB∥CD，∴∠EBC=∠BED，
∴∠OAC=∠BED，
∠AOB=∠OAC+∠OEA=∠OEA+∠BED=60°，符合题意；
故答案为：B.
【分析】 ① 根据等边三角形的性质，推得∠ACD=∠BCE，然后利用边角边定理证明
△ACD≌△BCE；
②③由△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由平角的定义推得∠BCQ=60°，然后利用角边角定理证得
△ACP≌△BCQ，从而得出△AOC和△BQC， △APC和△BOC不全等；
④ 利用角角边定理即可证明 △DPC≌△EQC;
⑤ 由 ∠ACB=∠CED=60°，得AB∥CD，∠EBC=∠BED，推得∠OAC=∠BED，则由三角形的外角性
质求得 ∠AOB＝60° .
二、填空题：
5．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作PE⊥AC点E，过
点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为 ．
【答案】5
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵PF∥BQ，
∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∵在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴DE＝ AC，
∵AC＝10，
∴DE＝ AC＝5．
故答案为：5．
【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，
推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度．
6．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，
连接CQ，PQ，当BP长为 cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
【答案】3
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接AQ，∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴CQ＝AQ，
∴CQ+PQ＝AQ+PQ，
∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，
此时，P为BC的中点，
又∵等边△ABC的周长为18cm，
∴BP＝ BC＝ ×6＝3cm，
故答案为：3．
【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且
AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．
7．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，
∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为 ．
【答案】69°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD=AB=AC，
∠DAC=∠BAC-∠BAD=18°，
∴∠ACD=∠ADC=81°，
∵AB=AC，∠BAC=78°，
∴∠ABC=∠ACB=51°，
∴∠CDB=141°=∠BPC，
又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵∠PCD=60°，
∴△DPC是等边三角形，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP=∠CAP=9°，
∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=9°+60°=69°．
故答案为：69°
【分析】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC，根据等边三角形的性
质及等量代换得出AD=AB=AC，根据等边三角形的每一个内角都是60º，及角的和差得出
∠DAC=∠BAC-∠BAD=18°，根据等腰三角形的两底角相等得出∠ACD=∠ADC=81°，
∠ABC=∠ACB=51°，根据三角形的内角和得出∠CDB=141°=∠BPC，然后利用AAS判断出
△BDC≌△BPC，根据全等三角形的对应边相等得出PC=DC，由有一个角是60º的等腰三角形是等边
三角形得出△DPC是等边三角形，然后利用SSS判断出△APD≌△APC，根据全等三角形对应角相等
得出∠DAP=∠CAP=9°，根据角的和差即可得出答案。
三、解答题：
8．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠AEB的度数；（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一
直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的
数量关系，并说明理由。
【答案】（1） ∵△ACD和△DCE为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴在三角形ACD和三角形BCE中，
AC=BC，DC=CE，∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
（2） 根据（1）可得，△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC
∵∠ADC+∠CDE=180°，∠CDE=60°
∴∠ADC=120°
∴∠BEC=120°
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°
（3）略
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到∠ACD=∠BCE，根据三角形全等的判定定理
计算得到三角形全等即可。
（2）根据（1）的结论即可得到∠ADC=∠BEC，根据邻补角即可得到∠AEB的度数。
（3）根据等腰直角三角形的性质，由三角形的内角和为180°即可进行求解，根据线段之间的数量关
系得到三条线段之间的数量关系。
9．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边
△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．
【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵ ，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；
（2）证明：∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，
∵ ，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1））先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，
∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根据SAS定理可知
△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM=∠CDN，再根据∠ACD=∠ECB=60°，A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°，由全等三角形的
判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC=NC，再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形，故
∠NMC=∠DCN=60°故可得出结论．
