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13.3.1 三角形的内角（第2 课时 直角三角形的性质和判定）
【学习目标】
1. 理解并掌握“直角三角形两锐角互余”的性质及其几何符号语言。
2. 掌握直角三角形的判定定理：“有两个角互余的三角形是直角三角形”。
3. 能运用上述性质和判定进行简单的角度计算和推理论证。
【学习重点】
1. 直角三角形两锐角互余的性质及其应用；
2. 有两个角互余的三角形是直角三角形的判定及应用。
【学习难点】
1. 含高线的复杂图形中角度关系的转化与分析；
2. 分类讨论思想在求角度时的规范应用
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1.直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角_______
几何语言：
∵_______________________________，
∴_______________________________。
2. 直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是__________
几何语言：
∵______________________
∴_______________________
【课堂探究】
导入新课
①一个三角形，三个内角度数比是2:5:3，则这个三角形的三个内角是__________________
②在△ABC 中，∠A=4∠B，∠C 比∠A 大18°，则这个三角形的三个内角是_________________。
新知探究
1.引导学生观察计算结果回答问题
问1.这两个三角形是什么三角形？
问2.这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？
问3.任何直角三角形的两个锐角都互余吗？
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你能证明上面的结论吗？
2.如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°
新知应用
1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是________
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝3∠B，则∠A＝_________．
3.如图AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=_______.
4.如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为_______.
5. 如图，AB//CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且
∠BEP＝50°，则∠EPF的度数为____________
6.如图,在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E.若∠ABE=25°，则∠DAC
的度数为_____
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新知再探
1. 逆向设问：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有
两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由.
2. 如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，求证： △ABC是直角三角形
针对训练
1．已知在△ABC中，∠A＝45°＋α，∠B＝45°－α，则△ABC的形状是()
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A:∠B:∠C＝1:2:3；③∠A＝90°－∠B；④3∠A＝2∠B＝∠C.其中能确
定△ABC是直角三角形的条件有()
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
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典例分析
例1.已知点D是△ABC的边BC的延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求
∠ACD的度数．
例2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．
（1）若∠CEF=62°，求∠A的度数；
（2）证明：∠CFE=∠CEF．
变式训练
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1.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数
2.问题情景：如图1，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内部)，使三角板PMN的两
条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若∠A＝ 50°，则∠ABC＋∠ACB＝__________．
又∵∠PBC＋∠PCB＝_________，
∴∠ABP＋∠ACP＝__________．
(2)类比探究：请探究∠ABP＋∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由．
(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置，使点P在△ABC外部，直角三角板PMN的两条直
角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由．
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【课堂总结】
【课堂练习】
1.如图，把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝12°，那么∠2的度
数是_____
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将三角形纸片ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若
∠A＝25°，则∠EDC＝______．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．若∠B−∠A＝10°，则∠ACD的度数是 ．
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4.如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=70°，∠C=90°，则∠2的度数为___．
5.将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF//BC，则∠BND＝____．
6.如图，AB//DE，ED垂直于BD，垂足是D，且∠BAC=∠DCE．求证：△ACE是直角三角形．
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AC于点F，若∠C=70°，∠ABF=30°，求∠ADC的
度数．
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【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
