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12.2.2 三角形全等的判定㈡SAS
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，AC与BD相交于点P，AP=DP，则需要“SAS”证明△APB≌△DPC，还需添加的条件是(
)
A．BA=CD B．PB=PC C．∠A=∠D D．∠APB=∠DPC
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】在△APB和△DPC中，当 时，△APB≌△DPC，
∴则需要“SAS”证明△APB≌△DPC，还需添加的条件是PB=PC，
故答案为：B
【分析】根据有两边及夹角对应相等的两个三角形全等可得还需添加的条件是PB=PC。
2．如图，下列三角形中全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：根据“SAS”可判断图①的三角形与图②的三角形全等.
②③，③④，①④均不符合题意，
故答案为：A.
【分析】观察各选项图形中已知的边长和角度，用“两边及夹角对应相等的两个三角形全等”可判断
求解.3．如图，将两根钢条 ， 的中点O连在一起，使 ， 可绕点O自由转动，就
做成了一个测量工件，则 的长等于内槽宽 ，那么判定 的理由是
（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】由已知
∵
∴ (SAS)
故答案为：A．
【分析】根据题意可得： ，结合对顶角相等，可利用“SAS”证明
。
4．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝
70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（ ）
A．50° B．65° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】根据题意 （SAS），
∴
∵ ，
∴
∴
故答案为：A．
【分析】利用“SAS”证出三角形全等，得到 ，再利用三角形的外角得到
∠BDM=∠A+∠C，再利用三角形的内角和求解即可。
5．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则 与 的和为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
设小正方形的边长为1
AB=DE=2，BC=EF=1，∠ABC=∠DEF=90°，
在△ABC和△DEF中{ AB=DE
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∠ABC=∠≝¿BC=EF
∴∠2=∠CAB，
∵∠1+∠CAB=90°，
∴∠2+∠1=90°.
故答案为：C.
【分析】利用图形可知AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF=90°，利用SAS证明△ABC≌△DEF，利用
全等三角形的对应角相等，可证得∠2=∠CAB；然后利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠1+∠2
的值.
6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝
CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（ ）
A．75° B．80° C．65° D．95°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，∠A=50°，
∴∠B=∠C= ×（180°﹣50°）=65°.
∵∠BFD=30°，∠BFD+∠B+∠FDB=180°，
∴∠FDB=85°.
在△BDF和△CED中，
∵ ，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE=30°.
又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE=180°，∴∠FDE=180°﹣30°﹣85°=65°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和等于180 可求得∠B=∠C的度数，在三角形
BFD中，由三角形内角和定理可求得∠FDB的度数，用边角边可证△BDF≌△CED，由全等三角形的
性质可得∠BFD=∠CDE，再结合图形和平角的定义计算即可求解.
二、填空题：
7．如图，∠ACB=∠DBC，AC，BD交于点O，若根据SAS来说明△ABC≌△DCB，需添加的一个条
件是 ．
【答案】AC=DB
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵BC=BC，∠ACB=∠DBC，
∵∠ACB和∠DBC的两边分别是BC、AC和BC和DB，
∴根据SAS来说明△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是AC=DB，
故答案为：AC=DB.
【分析】利用SAS定理证明三角形全等的条件是两条边以及两条边所夹的角对应相等，现知BC=BC，
∠ACB=∠DBC，则需添加的条件是AB=DC.
8．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是
50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是 cm.
【答案】80
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵O是FG和CD的中点
∴OF=OG，OC=OD在△OFC和△OGD中
∴△OFC≌△OGD（SAS）
∴CF=DG
又DG=30cm
∴CF=DG=30cm
∴小明离地面的高度=支点到地面的高度+CF=50+30=80cm
故答案为80
【分析】根据题意可得：OF=OG，OC=OD，利用已知条件判断出△OFC≌△OGD，得到CF=DG，
即可求出答案.
9．如图，小明同学把两根等长的木条AC、BD的中点连在一起，做成一个测量某物品内槽宽的工具，
此时CD的长等于内槽的宽AB，这种测量方法用到三角形全等的判定方法是 .
【答案】SAS
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵木条AC、BD的中点连在一起，
∴AO=CO，DO=BO，
在△DCO和△BAO中，
，
∴△DCO≌△BAO（SAS），
∴AB=CD．
故答案为：SAS.【分析】首先根据题意可得AO=CO，DO=BO，再加上对顶角相等可得△DCO≌△BAO，根据全等三
角形的性质可得AB=CD．
10．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则
EF= .
【答案】6
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）；线段的计算
【解析】【解答】解：∵AB∥CD、AE∥CF，
∴∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，又
AE=CF，
∴△AEF≌△CFD，
∴DF=EB，
∴DE=BF，
∴EF=BD-2BF=6.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质得∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，利用AAS证明△AEF≌△CFD，得
DF=EB，推出DE=BF，然后根据EF=BD-2BF进行计算.
11．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则 的度数为 .
【答案】90º
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，根据方格纸的性质，在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，
∴ =90°.
故答案为：90°.
【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换
可得∠1与∠2的和为90°.
12．如图，在 中， ， 平分 ， 点在 上， ，
若 ，则 ．
【答案】20°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE，
在△ACD和△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CED=∠A=55°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-55°=35°，
在△BDE中，∠BDE=∠CED-∠B=55°-35°=20°．
故答案为：20°．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ACD=∠DCE，再证明△ACD和△ECD全等，可得∠CED=∠A，
再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
列式计算即可得解．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠C＝60°，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则
∠AFE＝ .
【答案】60°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°.
∵AB=BC，∠DBA=∠ECB=60°，BD=CE，
∴△BCE≌△ABD，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠AFE=60°.
【分析】由等边三角形的性质用边角边可证△BCE≌△ABD，由全等三角形的对应角相等可得
∠BAD=∠CBE，然后三角形外角的性质即可求解.
三、解答题：14．如图， ， ， ，求证： .
【答案】证明：
∵
∴
即
∴在 与 中
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】直接利用SAS证明 ，再根据全等三角形的对应角相等即可求解.
15．如图， 是 的中线，F为 上一点，E为 延长线上一点，且 .
求证： .【答案】证明： 是 边上的中线，
.
在 和 中，
，
.
.
.
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用三角形的中线，可证得BD=CD，再利用SAS证明△BDE≌△CDF，然后根据全
等三角形的对应角相等可证得∠E=∠DFC，利用平行线的判定定理可证得结论.
16．已知：如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD.求证：△ABC≌△ADE.
【答案】证明：∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴ ∠ CAB=∠ EAD ，
在△ABC和△ADE中，{
AC=AE
∵ ∠CAB=∠EAD，
AB=AD
∴ △ABC≌△ADE （SAS）.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先由∠1=∠2推得 ∠ CAB=∠ EAD ，然后利用边角边定理即可证明
△ABC≌△ADE .
17．如图所示，已知△ABF≌△DEC，说明AC∥DF成立的理由.
【答案】解：∵△ABF DEC,
∴AB=DE,BF=CE, ∠B=∠E△
∴BF＋FC=CE＋CF,即 BC=EF.
在△ABC和ADEF中,∵
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据三角形全等的性质可得BC=EF，于是利用边角边定理可证△ABC≌△DEF，则
∠ACB=∠DFE，因此根据平行线的判定定理证出AC∥DF。
能力提升篇
一、单选题：
1．如图， ， ， ， ， ，连接 ，
点 恰好在 上，则 （ ）A．60º B．55º C．50º D．无法计算
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】先利用“SAS”证明 ，再利用全等三角形的性质可得 ，最后
利用三角形的外角计算即可。
2．如图， ， 且 ， ，下列结论：① ；
② ；③ ；其中正确的结论是A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解： ， ，
.
，
即 .
在 和 中，
，
，
， .
在 和 中
，
，
，
即 .综上所述，①②③都是正确的.
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠AOB=∠COD=90°，推出∠COB=∠AOD，证明△AOB≌△COD，得到
AB=CD，∠ABO=∠CDO，进而证明△AOD≌△COB，得到∠CBO=∠ADO，推出∠ABC=∠CDA，据
此判断.
3．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是( )
A．6<AD<8 B．2<AD<4 C．1<AD<7 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示：
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴BE=AC=6，
在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
即8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：C.【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接BE，利用SAS易证△ADC≌△EDB，从而可得
AC=BE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AB-BE＜AE＜AB+BE，从而易求1＜AD＜7.
4．如图，在 中，已知 于点 ， 平分 ，交 于点 ，
过点 作 ，分别交 、 于点 、 ， .则下列结论：①
；② ；③点 是 的中点；④ ；⑤ 为等边
三角形.其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AC∥EF，
∴∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，
又∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠EAD=∠AEF，
∴AG=GE，
又∵GF=GD，∠AGF=∠EGD，
∴△AGF≌△EGD（SAS），
∴∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，故①正确；
∴∠EFB=∠AFE=90°
∵AC∥EF，
∴∠BAC=∠EFB=90°，故②正确；
∵∠AEG+∠EAG=∠AGF，∴2∠AEF=∠AGF，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠GAF+∠B=90°，
∴2∠AEF=∠AGF=∠B，故④正确；
根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，
故无法证明三角形AEB是等边三角形，故③⑤错误；
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠ADB=90°，由平行线的性质可得∠ACE=∠FEB，
∠CAE=∠AEF，由角平分线的概念可得∠CAE=∠EAD，进而推出AG=GE，证明△AGF≌△EGD，得
到∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，据此判断①；由平行线的性质可得
∠BAC=∠EFB=90°，据此判断②；由外角的性质可得∠AEG+∠EAG=∠AGF，则2∠AEF=∠AGF，由
同角的余角相等可得∠AGF=∠B，据此判断④；根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明
CE=AE=EB，据此判断③⑤.
二、填空题：
5.如图， ， ，且 ，则
.
【答案】140°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△ACE中
{
DC=EC
∠DCB=∠ECA∴△BDC≌△ACE（SAS）
BC=AC
∴∠DBC=∠CAE，∵∠EBC=50°，
∴∠CAE+∠CBE=50°，
在Rt ABC中，∠ABE+∠BAE+∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠A△BE+∠BAE=90°-50°=40°，
∴∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE）=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】利用已知可证得∠DCB=∠ACE，利用SAS证明△BDC≌△ACE，利用全等三角形的性质可
得到∠DBC=∠CAE；利用∠EBC=50°，可得到∠CAE+∠CBE=50°，在Rt ABC中，利用三角形的内
角和定理求出∠ABE+∠BAE的值；然后根据∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE△），代入计算可求解.
6．如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别
是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是
【答案】5
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，在 和 中， ，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】在AC上取一点E，使AE=AN，连接ME，由角平分线的概念可得∠EAM=∠NAM，证明
△AEM≌△ANM，得到ME=MN，由两点之间线段最短得：当点B、M、E共线时，BM+ME取最小值，
最小值为BE，然后由三角形的面积公式求出BE即可.
三、解答题：
7．如图， AD 是 的角平分线，且 AB>AC ，E 为 AD 上任意一点， 求证：
.
【答案】证明：如图，在AB上截取AF=AC，连接EF，∵AD是 的角平分线
∴∠1=∠2
在 与 中
∵AF=AC，∠1=∠2，AE=AE
∴ ≌ （SAS）
∴
在 中，
而
∴
即 .
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】 在AB上截取AF=AC，连接EF， 证出△AEF≌△AEC，得出EF=EC，根据三角形
三边关系得出EB-EF＜BF，从而得出EB-EC＜AB-AC，即可得出AB-AC＞EB-EC.
8．如图， 是 的中线， 是 的中线， 。求证： 。【答案】解：延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，
∵AC是△ABD的中线，
∴BC＝DC．
∵∠ACB＝∠FCD，
在△ABC和△FDC中
∴△ABC≌△FDC（SAS）．
∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，
又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线，
∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF，
在△ADE和△ADF中
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF＝2AC
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，根据SAS证明△ABC≌△FDC，可得∠B＝
∠FDC，DF＝BA，再由SAS证明△ADE≌△ADF，可得结论．
