13.3.1三角形的内角（第2课时直角三角形的性质和判定）（分层作业）（答案版）数学新教材人教版八年级上册_2026秋初中教辅合集_2027学科网&

 
 
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分层作业 
13.3.1 三角形的内角 
第2 课时 直角三角形的性质和判定 
参考答案 
 
已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数 
1. B 
2．C  
利用方程思想求直角三角形锐角度数 
3.A  
4.B  
5.15°/15度 
利用三角板求直角三角形锐角度数 
6.A  
7.B 
8.D 
利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 
9.50  
10.①②③ 
11. 62° 
题型04 
题型03 
题型02 
题型01 
 
 
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利用直角三角形性质综合解决问题 
12.B 
13. 130° 
14.解：∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵= 50°， 
∴∠𝐶𝐴𝐸= 90 −∠𝐴𝐶𝐸= 70°，∠𝐵𝐶𝐸= 90° −∠𝐵= 40°， 
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸= 60°， 
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， 
∴∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 35°， 
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐴𝐶𝐷= 85°． 
15.解：∵∠𝐴= 50°，∠𝐵= 70°， 
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −50° −70° = 60°， 
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵， 
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 30°， 
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， 
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°， 
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90° −∠𝐵= 90° −70° = 20°， 
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 30° −20° = 10°， 
∵𝐷𝐹⊥𝐶𝐸， 
∴∠𝐶𝐹𝐷= 90°， 
∴∠𝐶𝐷𝐹= 90° −∠𝐶𝐹𝐷= 90° −10° = 80°． 
利用直角三角形的判定解决问题 
15.D  
16.证明：∵∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°， 
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 82°． 
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵， 
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 41°． 
∵∠𝐷𝐶𝐸= 11°， 
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐸= 30°， 
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°， 
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形． 
题型06 
题型05 
 
 
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17.（1）解：∵∠𝐴= 30°, ∠𝐵= 60°， 
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 90°， 
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵， 
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 45°， 
∴∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐸= 105°； 
（2）解：△𝐶𝐹𝐷是直角三角形，理由如下： 
由（1）得：∠𝐵𝐶𝐸= 45°， 
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， 
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°， 
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90° −∠𝐵= 30°， 
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 15°， 
∵∠𝐶𝐷𝐹= 75°． 
∴∠𝐶𝐹𝐷= 180° −∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐷𝐶𝐹= 90°， 
∴△𝐶𝐹𝐷是直角三角形． 
 
1．C 
2.B  
3. 22.5° 
4. 135° 
5. 40 或140 
6. 54° 
7.（1）解：∵∠𝐵= 30°，∠𝐶= 64°， 
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 86°， 
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， 
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 43°， 
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， 
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， 
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° −∠𝐶= 26°， 
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 43° −26° = 17°； 
故答案为：17°； 
（2）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， 
 
 
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∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (180° −∠𝐵−∠𝐶) = 90° −
1
2 ∠𝐵−
1
2 ∠𝐶， 
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， 
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， 
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° −∠𝐶， 
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 90° −
1
2 ∠𝐵−
1
2 ∠𝐶−(90° −∠𝐶) =
1
2 (∠𝐶−∠𝐵)， 
∵∠𝐶−∠𝐵= 50°， 
∴∠𝐷𝐴𝐸= 25°， 
故答案为：25°； 
（3）解：猜想：∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 (∠𝐶−∠𝐵)． 
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶， 
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， 
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (180° −∠𝐵−∠𝐶) = 90° −
1
2 ∠𝐵−
1
2 ∠𝐶， 
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， 
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， 
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° −∠𝐶， 
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 90° −
1
2 ∠𝐵−
1
2 ∠𝐶−(90° −∠𝐶) =
1
2 (∠𝐶−∠𝐵)， 
即∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 (∠𝐶−∠𝐵)． 
故答案为：∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 (∠𝐶−∠𝐵)． 
8.（1）解：如图所示，设𝐵𝐶与𝐸𝐹的交点为𝐺，𝐴𝐵与𝐷𝐸的交点为𝐻， 
∵𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹， 
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°， 
∴∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠4 = 90°， 
∵∠3 = ∠4， 
∴∠1 = ∠2． 
（2）解：如图所示，设𝐴𝐵与𝐷𝐸的交点为𝐺，𝐵𝐶与𝐸𝐹的交点为𝐻， 
 
 
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∵𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹， 
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°， 
∵∠1 + ∠2 + ∠𝐸𝐺𝐵+ ∠𝐸𝐻𝐵= 360°， 
∴∠1 + ∠2 = 180°． 
（3）解：设其中一个角的度数为𝛼，则另一个角的度数为3𝛼−40°． 
根据题意，得𝛼= 3𝛼−40°或𝛼+ 3𝛼−40° = 180°， 
解得𝛼= 20°或𝛼= 55°． 
当𝛼= 20°时，3𝛼−40° = 20°； 
当𝛼= 55°时，3𝛼−40° = 125°， 
∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°． 
 
1． B 
2． D 
3． 90°或18° 
4． 29°或119° 
5．（1）解：①∵△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐴> ∠𝐵）， 
∴∠𝐴= 2∠𝐵， 
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°， 
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180° −90° = 90°，即2∠𝐵+ ∠𝐵= 90∘，解得∠𝐵= 30°， 
∴∠𝐴= 60°； 
②△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”， 
理由：∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高， 
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°， 
∵∠𝐴= 60°, ∠𝐵= 30°， 
∴∠𝐴𝐶𝐷= 30°,∠𝐵𝐶𝐷= 60° 
 
 
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在△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴= 60°, ∠𝐴𝐶𝐷= 30°， 
∴∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴， 
∴△𝐴𝐶𝐷为“友爱三角形”； 
在△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 60°, ∠𝐵= 30°， 
∴∠𝐵= 1
2 ∠𝐵𝐶𝐷 
∴△𝐵𝐶𝐷为“友爱三角形”； 
（2）解：∵△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与点𝐴, 𝐵重合）， 
∴∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴或∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶， 
当∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴时，∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴= 33°； 
当∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶时， 
∴∠𝐴+ 3∠𝐴𝐶𝐷= 180°，即3∠𝐴𝐶𝐷= 114°， 
∴∠𝐴𝐶𝐷= 38°， 
综上所述，∠𝐴𝐶𝐷的度数为33°或38°． 
 
1． B 
2．A 
3.直角