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1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 13.3 三角形的内角与外角 课标要点 1. 通过度量、剪拼感知内角和为180°，说出“为何要证明”； 2. 添加辅助线，用平行线性质+平角定义证明内角和定理； 3. 用定理求未知角、判断三角形形状。 4. 由内角和定理推出“直角三角形两锐角互余”； 5. 逆用得到“有两角互余的三角形是直角三角形”； 6. 用Rt△性质与判定做简单计算/证明。 7. 说出外角定义（一边与另一边延长线组成），在图形中准确识别外角及“不相邻两 内角”； 8. 探索并证明“外角=不相邻两内角和”，推得“外角＞任一不相邻内角”； 9. 用外角性质做计算、推理，知道外角和=360°。 学习重难点 重点： 1. 三角形内角和定理及其证明，不仅能说出“180°”，更能独立添加辅助线（作平行 线），用几何语言完整书写证明过程。 2. 熟练运用“两锐角互余”进行计算，并能根据角度互余逆向判定直角三角形。 3. 掌握并证明“外角 = 与它不相邻的两个内角之和”，并能在复杂图形中识别、提取 该等量关系。 难点： 1.理解并表述添加辅助线证明内角和定理的思路； 2.在复杂图形中准确识别外角及其对应的不相邻内角，规范书写几何推理过程。 第十三章 三角形 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 3 / 28 学科网（北京）股份有限公司 知识点一 三角形的内角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180° . 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一 个平角．在转化中借助平行线. 即学即练 ．．．． 1． 1． 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°, ∠𝐵= 20°，则∠𝐶的度数为（ ） A．80° B．90° C．100° D．110° 2． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ） A．49° B．50° C．51° D．52° 3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 62°，∠𝐵= 74°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，点𝐸在𝐴𝐶上，且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，则 ∠𝐸𝐷𝐶的度数为（ ） 特别提醒 1）三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2）为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 A．20° B．22° C．27° D．37° 知识点二 直角三角形的性质与判定 直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可 以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC 可以记作 Rt△ABC 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 几何语言： ∵在Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： ∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形 即学即练 ．．．． 1． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点E．若∠𝐵𝐴𝐷= 40°， 则∠𝐴𝐸𝐵的度数为（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 2.如图，𝐶𝐴, 𝐶𝐵为∠𝐷𝐶𝐸的三等分线，𝐵𝐸⊥𝐶𝐵交𝐶𝐸于点E，已知∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴= 20°，则∠𝐸 的度数为（ ） A．75° B．70° C．65° D．60° 3．如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形． 5 / 28 学科网（北京）股份有限公司 知识点三 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角， 其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 三角形外角的性质 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵） ②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐴；∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐵.） ③三角形的外角和为360°（∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐷= 360°） （三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和） 即学即练 ．．．． 1．下图中∠1 是三角形一个外角的是（ ） A． B． C． D． 2. 如图所示，直线𝑎∥𝑏，直线𝐵𝐶与直线𝑎、𝑏分别交于点𝐵、𝐶、点𝐷在直线𝑎上，点𝐴在直线𝐵𝐶上，连接 𝐴𝐷．若∠2 = 25°，∠1 = 55°，则∠𝐴的度数为（ ） 6 / 28 学科网（北京）股份有限公司 A．30° B．35° C．40° D．45° 3. 如图，∠1和∠3都是△𝐴𝐵𝐶的外角，已知∠1 = 130°，则∠3 −∠2 =（ ） A．80° B．55° C．65° D．50° 题型01 三角形内角和的证明 典｜例｜精｜析 例1．如图，已知△𝐴𝐵𝐶，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为180°的是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． 解题贴士 转化思想，把三角形三个分散的内角，通过作平行线平移、拼接成平角（180°），这是所有证法的根本 7 / 28 学科网（北京）股份有限公司 A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为180°． 2．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学习 了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)（1）如图1，过△𝐴𝐵𝐶的顶点A 作𝐵𝐶的平行线𝐸𝐷，请你证明三角形的内角和为180°； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ①若∠𝐸𝐴𝐵= 60°，∠𝐸𝐶𝐷= 40°，则∠𝐴𝐸𝐶的度数为____． ②若𝐴𝐸∥𝐵𝐷，∠𝐴𝐸𝐶= 80°，求∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐸𝐶𝐷 的度数． 8 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型02 运用三角形内角和定理求角的角度 典｜例｜精｜析 例2. 根据条件，在△ABC 中，求∠A 的度数： (1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________； (2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________； 变｜式｜巩｜固 3.若一个三角形的三个内角的比为2: 3: 4，则此三角形的最大内角度数是_______ 4.已知：如图，𝐸𝐹∥𝐶𝐷，𝐺𝐷∥𝐶𝐴． (1)求证：∠1 + ∠2 = 180°； (2)若𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐺平分∠𝐶𝐷𝐵，且∠𝐴= 35°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数． 解题贴士 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 9 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型03 直角三角形的性质 典｜例｜精｜析 例3.如图，直线𝑀𝑁∥𝐸𝐹，Rt △𝐴𝐵𝐶的直角顶点C 在直线𝑀𝑁上，顶点B 在直线𝐸𝐹上，𝐴𝐵交𝑀𝑁于点D， ∠1 = 50°，∠2 = 60°，求∠𝐴的度数． 变｜式｜巩｜固 5.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 4∠𝐵．求∠𝐴，∠𝐵的度数． 6.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐴𝐸平分∠𝐷𝐴𝐶交𝐶𝐷于点E，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于点F，求 ∠𝐴𝐸𝐹的度数． 解题贴士 直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐 角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形. 10 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型04 直角三角形的判定 典｜例｜精｜析 例4.在下列条件：①∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 2: 3；②∠𝐴= ∠𝐵= 2∠𝐶；③∠𝐴+ ∠𝐵= 90°；④∠𝐴= 1 2 ∠𝐵= 1 3 ∠𝐶 中，能确定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的条件有（ ）． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 变｜式｜巩｜固 7.已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐶为直角三角形． 8.如图，𝐴𝐷、𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高线和角平分线，相交于点𝐹，且∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸． (1)请证明：𝐴𝐵⊥𝐴𝐶； (2)若∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐵𝐶，求∠𝐴𝐵𝐸的度数． 解题贴士 1.有一个角为90°，判定为直角三角形； 2.两个内角互余，判定为直角三角形； 3. 三角形两边互相垂直，判定为直角三角形。 11 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型05 三角形外角的定义 典｜例｜精｜析 例5.如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐶边上，点𝐹在𝐵𝐶延长线上，下列是△𝐴𝐵𝐷的外角的是（ ） A．∠𝐴𝐶𝐵 B．∠𝐴𝐶𝐹 C．∠𝐵𝐷𝐶 D．∠𝐴𝐵𝐶 变｜式｜巩｜固 9.如图所示，下列说法错误的是（ ） A．∠ACD 是△ABC 的一个内角； B．∠BAD 是△ABD 的一个内角； C．∠BEC 是△ACE 的一个外角； D．∠AOC 是△ABD 的一个外角； 10.关于三角形的外角，下列说法错误的是（ ） A．一个三角形只有三个外角 B．三角形的每个顶点处都有两个外角 C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角 D．一个三角形共有六个外角 解题贴士 1.找外角：先看边，必须由一条边 + 另一边延长线构成。 2.区分关系：外角只和不相邻两个内角存在数量关系，和相邻内角互为邻补角（和为180°）。 3.识图技巧：复杂图形中，优先标出所有外角，借助外角性质转化角度，简化计算。 12 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型06 利用三角形外角的性质计算与证明 典｜例｜精｜析 例6.侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1 = 112°，则∠2等于_______度． 变｜式｜巩｜固 11.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐶边上一点，过𝐷作𝐷𝐸∥𝐴𝐵，交𝐵𝐶于𝐸，𝐹为𝐴𝐵边上一点，连接𝐷𝐹并延长，交 𝐶𝐵的延长线于𝐺，且∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐴． (1)𝐷𝐸平分∠𝐶𝐷𝐹吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若∠𝐶= 80°，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，求∠𝐺的度数． 解题贴士 找准外角及对应的不相邻内角，利用外角 = 不相邻两内角和列式计算 13 / 28 学科网（北京）股份有限公司 12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D，E 分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐶上的点，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸． (1)若𝐵𝐸⊥𝐴𝐶, ∠𝐴𝐶𝐵= 66°，则∠𝐴𝐵𝐸的度数为______； (2)若𝐷是𝐵𝐶的中点，∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，求证：𝐵𝐸⊥𝐴𝐶； (3)若𝐴𝐷, 𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的中线和角平分线，∠𝐶𝐴𝐷= 20°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数； (4)连接𝐷𝐸，若𝐴𝐷= 𝐴𝐸， ①当𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，且∠𝐵𝐴𝐷= 30°时，则∠𝐸𝐷𝐶的度数为______； ②当𝐴𝐷不是边𝐵𝐶上的高时，请判断∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐷𝐶之间的数量关系，并加以证明． 14 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型07 三角形与平行线之间的角度问题 典｜例｜精｜析 例7.如图，将一个含30°角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若∠1 = 16°，则∠2的度数为（ ） A．74° B．66° C．64° D．76°． 变｜式｜巩｜固 13.如图，直线𝑎∥𝑏，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，若∠1 = 130°，则∠2等于（ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 14.如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°, ∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ） A．20° B．30° C．80° D．100° 题型08 三角形折叠中的角度问题 典｜例｜精｜析 解题贴士 主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理、直角三角形性质和三角 形外角性质来解决问题. 解题贴士 三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角 和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题. 15 / 28 学科网（北京）股份有限公司 例8.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，将纸片的一角沿𝐷𝐸折叠，使点C 落在△𝐴𝐵𝐶内，记为点𝐶′．若∠𝐶= 40°，则∠1 + ∠2等于（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 变｜式｜巩｜固 15.如图，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐵𝐷折叠，点𝐴落在𝐴′处，𝐴′𝐷交𝐵𝐶于点𝐸．将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折叠，点𝐶落在 △𝐵𝐷𝐸内的𝐶′处，下列结论一定正确的是（ ） A．𝛼+ 2∠1 = 90° B．𝛼+ ∠2 = 90° C．2𝛼+ ∠1 = 90° D．2𝛼+ ∠2 = 90° 16.如图，有一张三角形纸片𝐴𝐵𝐶，∠𝐵= 30°，∠𝐶= 50°，点D 是𝐴𝐵边上的固定点(𝐵𝐷< 1 2 𝐴𝐵)，在𝐵𝐶上 找一点E，将纸片沿𝐷𝐸折叠（𝐷𝐸为折痕），点B 落在点F 处，使𝐸𝐹∥𝐴𝐶，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为_________． 题型09 三角板放置中的角度计算 典｜例｜精｜析 例9.两个直角三角板如图摆放，其中∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸= 30°，若𝐶是𝐷𝐸上一点且 𝐴𝐶∥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐸的大小为（ ） 解题贴士 利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问 题. 16 / 28 学科网（北京）股份有限公司 A．50° B．60° C．75° D．80° 变｜式｜巩｜固 17.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠𝛼的度数为（ ） A．105° B．120° C．135° D．150° 18.将一副三角板按图中的位置摆放，使得点𝐷落在边𝐵𝐶上，若𝐴𝐶∥𝐸𝐹，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为（ ） A．10° B．15° C．20° D．25° 题型10 等腰三角形角度探究 典｜例｜精｜析 例10.如果等腰三角形有一个角是30°，则它的顶角是_____________ 变｜式｜巩｜固 19.若一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为 _________________________________________________________ 20.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐶𝐴𝐷= 30°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数是_________ 解题贴士 利用等腰三角形的两底角相等解决问题 17 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型11 三角形与角平分线、高线综合运用 典｜例｜精｜析 例11. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别为𝐵𝐶边上的高线和∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐸于点F，当 ∠𝐴𝐷𝐹= 69°，∠𝐶= 65°时，∠𝐵的度数为（ ） A．21° B．23° C．25° D．30° 变｜式｜巩｜固 21.如图，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线． (1)若∠𝐵= 70°，∠𝐶= 30°，求∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数； (2)若∠𝐵= 𝛼，∠𝐶= 𝛽，且𝛼> 𝛽，直接写出∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数（用含𝛼，𝛽的代数式表示）． 解题贴士 解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义 综合解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键 18 / 28 学科网（北京）股份有限公司 22.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐸，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，交∠𝐴𝐶𝐵的平分线于 点𝑃，𝐶𝑃与𝐷𝐸相交于点𝐺，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑄与𝐷𝑃的延长线相交于点𝑄． (1)若∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，求∠𝐷𝑃𝐶与∠𝑄； (2)若∠𝐴= 𝑥°时，求∠𝐷𝑃𝐶与∠𝑄； (3)若△𝑃𝐶𝑄中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的∠𝐴的度数． 题型12 三角形中的新定义问题 典｜例｜精｜析 例12.当三角形中一个内角𝛽是另一个内角𝛼的 1 2时，我们称此三角形为希望三角形，其中𝛼称为希望角．若 一个希望三角形中有一个内角为54°，求这个希望三角形的希望角𝛼的度数． 解题贴士 理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问 题 19 / 28 学科网（北京）股份有限公司 变｜式｜巩｜固 23.如果三角形的两个内角𝛼与𝛽满足2𝛼+ 𝛽= 90°，则称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，已知点 𝐵、𝐶、𝑃是直线𝑙上的点，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，若△𝐴𝐵𝑃是“类直角三角形”，则∠𝐴𝑃𝐵=___________°． 24.定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的 1 2，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三 角形叫作“和谐三角形”．例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 70°，∠𝐵= 35° ，那么∠𝐴与∠𝐵互为“和谐角”，△ 𝐴𝐵𝐶为“和谐三角形”． (1)如图①，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 60°，D 是线段AB 上一点（不与点A，B 重合），连接CD． ①△𝐴𝐵𝐶________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，请判断△𝐵𝐶𝐷是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 60°，∠𝐴= 80°，D 是线段AB 上一点（不与点A，B 重合），连接CD．若 △𝐴𝐶𝐷是“和谐三角形”，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为________． 20 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型13 双角角平分线模型的角度探究 典｜例｜精｜析 例13.如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐴𝐷分别平分△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶，外角∠𝐴𝐶𝐹，外角∠𝐸𝐴𝐶．则下列 结论中不一定成立的是（ ） A．𝐴𝐷∥𝐵𝐶 B．∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵 C．𝐴𝐷= 𝐶𝐷 D．∠𝐵𝐷𝐶= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶 变｜式｜巩｜固 25.探究以下问题： (1)探究一：如图（a），𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，请确定∠𝐴与∠𝐷的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑀，请确定∠𝐴与∠𝐸的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝑃，𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝑄，请确定∠𝐴与∠𝐹的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 56°，𝐵𝐷，𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，M，N，Q 分别在𝐷𝐵，𝐷𝐶，𝐵𝐶 的延长线上，𝐵𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑁，𝐵𝐹，𝐶𝐹分别平分∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑄，则∠𝐹=________． 解题贴士 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 26.【初步认识】 (1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐴= 70°，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵 =_____； ∠𝐵𝑃𝐶=_____； 【继续探索】 (2)如图2，∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐴𝐶𝐸的平分线𝐵𝐹，𝐶𝐹相交于点𝐹，若∠𝐴= 70°，∠𝐵𝐸𝐶= 130°，求∠𝐵𝐹𝐶的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝑁平分外角∠𝐸𝐵𝐶，𝐶𝑁平分外角∠𝐹𝐶𝐵，延长 𝐵𝑃，𝑁𝐶交于点𝑀．在△𝐵𝑀𝑁中，有一个内角为30°，直接写出∠𝐴的度数． 22 / 28 学科网（北京）股份有限公司 题型14 不规则图形内角和 典｜例｜精｜析 例14.如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数为__________． 变｜式｜巩｜固 27.如图，已知∠𝐵𝑂𝐹= 120°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹为______°． 28.在五角星形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数=_______． 解题贴士 利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题 23 / 28 学科网（北京）股份有限公司 基础通关 1.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,∠𝐵= 54°，则∠𝐴的度数是（ ） A．56° B．46° C．36° D．26° 2.如图，直线𝑎∥𝑏，若∠1 = 40°，∠2 = 70°，则∠3等于（ ） A．30° B．40° C．50° D． 70° 3.具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ） A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶 B．∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 1: 2 C．∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶 D．∠𝐴= 1 2 ∠𝐵= 1 3 ∠𝐶 4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ） A．125° B．130° C．135° D．140° 5.如图，△𝐴𝐵𝐶的外角平分线𝐴𝐷交射线𝐵𝐶于点𝐷, 𝐸在𝐵𝐴延长线上，若∠𝐵= 35°，∠𝐷𝐴𝐸= 60°，则∠𝐴𝐶𝐷 的度数为______________ 6.如图，直线𝑎∥𝑏，直角三角板𝐴𝐵𝐶的直角顶点C 在直线b 上，若∠1 = 55°，则∠2度数为_______ 24 / 28 学科网（北京）股份有限公司 7.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，点𝐷为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐷𝐶沿直线𝐴𝐷折叠后，点𝐶落到 点𝐸处，若𝐷𝐸∥𝐴𝐵，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为_______ 8.如图是𝐴，𝐵，𝐶三岛的平面图，𝐶岛在𝐴岛的北偏东58°方向，𝐶岛在𝐵岛的北偏东24°方向．那么从𝐶岛看 𝐴，𝐵两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵的度数为______． 9.如图，在△𝐴𝐸𝐶中，D 为边𝐴𝐶上一点，B 为𝐶𝐸延长线上一点，连接𝐵𝐷交𝐴𝐸于点F，若∠𝐵= 45°，∠𝐶= 38°，∠𝐴= 25°，则∠𝐴𝐹𝐷等于_________ 10.如图，∠𝐵= 60°，且∠𝐵𝐴𝐶: ∠𝐴𝐶𝐵= 2: 1，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高． (1)求∠𝐴𝐶𝐵的度数． (2)求∠𝐴𝐹𝐸的度数． 25 / 28 学科网（北京）股份有限公司 11.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐸交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐷𝐸∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点D，过点D 作𝐷𝐹∥𝐵𝐸 交𝐴𝐶于点F． (1)求证：𝐷𝐹是∠𝐴𝐷𝐸的平分线； (2)若∠𝐵𝐸𝐷= 20°，∠𝐴𝐶𝐵= 81°，求∠𝐴𝐹𝐷的度数． 素养提升 1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑂，∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线所在直线与∠𝐴𝐵𝐶的平分线相 交于点𝐷，与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线相交于点𝐸，则下列结论中，错误的是（） A．∠𝐷= 1 2 ∠𝐴 B．∠𝐸= 90° −∠𝐴 C．∠𝐵𝑂𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐴 D．∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹−∠𝐴𝐵𝐷= 90° 2.如图，已知∠𝐵𝐴𝐷= 30°，∠𝐵𝐶𝐷= 75°，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，则∠𝐷𝐸𝐵的度数 26 / 28 学科网（北京）股份有限公司 为（ ） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 3.如图，𝐺𝐴∥𝐹𝐷，一副三角板如图摆放，∠𝐸𝐷𝐹= 60°，∠𝐵𝐴𝐶= 45°，若𝐵𝐶∥𝐷𝐸，下列结论：①𝐸𝐹∥ 𝐴𝐵；②∠𝐺𝐴𝐵= 30°；③𝐸𝐶平分∠𝐹𝐸𝐷；④∠𝐴𝐸𝐷= 135°．其中正确的是______． 4.图形变换中，图中的角与角之间的大小关系通常由图形运动的不同位置所决定，即位置决定数量关 系．如图，直角三角板𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 60°，将三角板𝐴𝐵𝐶沿着射线𝐶𝐴方向平移，得到三角 形𝐴′𝐵′𝐶′，连接𝐶′𝐵，在平移过程中，若∠𝐵𝐶′𝐵′与∠𝐶′𝐵𝐴之间存在两倍关系，则∠𝐶′𝐵𝐴=__________°． 5.如图①，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 60°． (1)求∠𝐷𝐴𝐸的度数； (2)如图②，若把“𝐴𝐸⊥𝐵𝐶”变成“点F 在𝐷𝐴的延长线上，𝐹𝐸⊥𝐵𝐶”，其他条件不变，求∠𝐷𝐹𝐸的度数； (3)如图③，若把“𝐴𝐸⊥𝐵𝐶”变成“𝐴𝐸平分∠𝐵𝐸𝐶”，其他条件不变，∠𝐷𝐴𝐸的大小是否变化，并请说明理 由． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 6.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在𝐵𝐴延长线上，连接𝐶𝐸交𝐴𝐷于F，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶． (1)求证：𝐴𝐷∥𝐵𝐶； (2)如图1，若∠𝐸𝐹𝐴= 90° − 1 2 ∠𝐴𝐷𝐶，求证：𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝐷； (3)如图2，在（2）的条件下，∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐴𝐵𝐶= 40°，点M 在𝐵𝐶上，点N 在𝐵𝑀上，∠𝑀𝐹𝑁= ∠𝑀𝑁𝐹，𝐹𝐻 平分∠𝐸𝐹𝑀交𝐴𝐵于点H，连接𝐻𝑁，𝐻𝑁⊥𝐻𝐹，求∠𝐻𝑁𝐹的度数． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 迁移创新 1.如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠1 = 50°，∠2 = 30°，则∠3的度数为 （ ） A．90° B．80° C．70° D．60° 2.如图，一束光线照射到平面镜𝐶𝐷上，然后在平面镜𝐴𝐵和𝐶𝐷之间来回反射，光线的反射角等于入射 角．若∠1 = 50∘，∠3 = 76∘，则∠2的度数为（ ） A．50° B．55° C．63° D．65° 3.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2 倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形 叫作“友爱三角形”，例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 40°，∠𝐵= 80°，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”，△𝐴𝐵𝐶 为“友爱三角形”． (1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴），∠𝐴𝐶𝐵= 90° ①则∠𝐴=_________，∠𝐵=__________． ②将△𝐴𝐵𝐶沿过点𝐶的直线翻折，使得点𝐵落在𝐴𝐵边上的点𝐵′处，折痕为𝐶𝐷（𝐷在𝐴𝐵上）．判断△𝐴𝐶𝐷是 否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵> ∠𝐴，∠𝐵= 72°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与𝐴、𝐵重合），连接𝐶𝐷．将△𝐶𝐷𝐵沿 𝐶𝐷翻折得到△𝐶𝐷𝐵′，𝐵′落在𝐴𝐶边上，若△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”，求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
