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13.2.1 三角形的边 （导学案）
【学习目标】
1、理解并掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。
2、能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求已知两边时第三边的取值范围。
3、理解三角形的稳定性，能识别生活中利用三角形稳定性的实例。
4、会解决等腰三角形边长、周长的相关计算问题，掌握分类讨论和检验构三角形的解题规范。
【学习重点】
三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。
【学习难点】灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养
成解题时验证三角形的习惯。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1. 三角形三边的关系
(1)任意两边之和 第三边：_____________________
(2)任意两边之差 第三边：_____________________
2. 三角形的稳定性
三角形具有 ，四边形
【课堂探究】
探究一、三边的关系
1. 三边满足的关系
“哪吒从家到太乙真人洞府的三条路线”问题：
【提问】：哪条路最短？为什么？
引导推导：结合路线问题，给出△ABC 的三边AB、AC、BC，
【提问】由“AC 是最短路径”能得到什么不等式？
同理，BC+AB 和AC 是什么关系？AC+BC 和AB 呢？
【归纳总结】： ___________________________。
【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小
于第三边”。
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𝑨𝑩+ 𝑨𝑪> 𝑩𝑪 →__________________________________
𝑩𝑪+ 𝑨𝑩> 𝑨𝑪 →__________________________________
𝑨𝑪+ 𝑩𝑪> 𝑨𝑩 →__________________________________
【追问】：要判断三条线段能否组成三角形，需要验证所有三组关系吗？有没有更简单的方法？
2. 新知应用
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3，3，6 （2）2，5，6
（3）15，16，2 （4）3，8，20
2.三条线段𝑎, 𝑏, 𝑐分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( )
A.𝑎+ 𝑏= 4, 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 5 B.𝑎: 𝑏: 𝑐= 1: 2: 3
C.𝑎: 𝑏: 𝑐= 2: 3: 4 D.𝑎: 𝑏: 𝑐= 2: 2: 4
3.从长为9，6，5，4的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选 (写出所有的方案)
4.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边长𝑎的取值范围为
【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，
小于已知两边之和。
探究二、三角形的稳定性
1. 探究三角形的稳定性
【演示实验】
（1）拿出预先做好的三角形木架，扭动它，提问：形状改变吗？
（2）拿出四边形木架，扭动它，提问：形状改变吗？
（3）在四边形木架上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动，提问：现在形状改变吗？
【总结】：
2. 针对训练
1.如图，在建筑工地我们常看见用木条EF 固定矩形门框ABCD 的情形，这种做法的根据是( )
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A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角是直角
2.下列不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁
C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条
3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是
4.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？
(2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
【规律与方法】怎样判断一个图形是否具有稳定性
典例分析
例1(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为__________
(2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为__________
(3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为_______
【易错题型】：必须验证是否能够构成三角形
例2.如果𝑎, 𝑏, 𝑐是△ABC 的三边，满足
ξ𝑏2−36+ξ36−𝑏2
𝑏+6
+ ξ𝑐−3 = 0
(1)求𝑎的取值范围；
(2)若a 为偶数，求三角形的周长.
例3.已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑚−3,2𝑚+ 1,10,求𝑚的取值范围．
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
图
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例4.用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边的2 倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm 的等腰三角形吗？为什么？
（3）能围成有一边的长为9cm 的等腰三角形吗？为什么？
（4）假设等腰三角形的腰长为𝑎𝑐𝑚,求𝑎的取值范围？
（5）假设等腰三角形的底边长为b𝑐𝑚,求𝑏的取值范围？
（6）假设等腰三角形的最长边为𝑐𝑐𝑚,求𝑐的取值范围？
（7）三角形每条边的长度都是整数，最多可以围出几个满足条件的等腰三角形？请分别写出各等腰
三角形的边长
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变式训练
1.已知三角形的三边长分别为3,2𝑎−1,4，求𝑎的取值范围
2.已知三角形三条边的长分别为𝑎+ 4，𝑎+ 5，𝑎+ 6，求𝑎的取值范围
3.若𝑎, 𝑏, 𝑐是△ABC 的三边，化简：ඥ(𝑎+ 𝑐−𝑏)2 −ȁ𝑐−𝑎−𝑏ȁ + ȁ𝑎+ 𝑏+ 𝑐ȁ
4.若等腰三角形的三边长分别为𝑎，2𝑎−1，5𝑎−3，求三角形的周长
5.如图，𝐴𝐵𝐶𝐷是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在𝐴𝐶或𝐵𝐷上钉上一根木条，现量得
𝐴𝐵＝80𝑐𝑚，𝐵𝐶＝60𝑐𝑚，𝐶𝐷＝40𝑐𝑚，𝐴𝐷＝50𝑐𝑚，试问所需的木条长度至少要多长(结果保留整厘米数)
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【课堂总结】
1.三角形的三边关系（核心考点）
(1)任意两边之和大于第三边：______________________________
(2)任意两边之差小于第三边：______________________________
2.判断三条线段能否围成三角形
最快方法：最短两边之和>最长边只要这一条成立，其余自动成立。
3.已知两边，求第三边的取值范围
设已知两边为 𝑎、𝑏(𝑎≥𝑏)，第三边为𝑥，则：__________如果是整数边，再在这个范围内数整数解
即可
4.三角形具有稳定性，四边形没有稳定性
【课堂练习】
1．下列图形中，不具有稳定性的是( )
2．王师傅用4 根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条( )
A．0 根 B．1 根 C．2 根 D．3 根
3.若三角形的两边分别为2 和3，则第三条边可能是( )
A.1 B. 2 C.5 D.6
4.三角形ABC 中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
5.若一个三角形有两边长为5 和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为________
6.在三角形ABC 中，AB=7,BC=3，并且AC 为奇数,那么三角形ABC 的周长______________。
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
