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1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 1.7 角平分线的性质 课标要点 1. 理解角平分线的基本定义，能够准确区分角平分线与线段平分线，熟练运用文字、图 形、符号三种语言进行规范表述。 2. 自主探究角平分线的性质定理，掌握定理的推导过程，能规范完成几何证明，理清定 理成立的前提条件。 3. 熟记角平分线性质内容，明确角平分线上的点到角两边垂线段相等，可运用定理进行 线段长度计算和简单推理。 4. 掌握尺规作角平分线的方法步骤，理解作图原理，规范保留作图痕迹，独立完成标准 的角平分线作图。 5. 学会结合几何综合题型运用角平分线性质，挖掘题目隐藏条件，提升几何推理与数形 结合解题能力。 学习重难点 重点： 1. 掌握角平分线性质定理，熟练运用定理实现线段转化，解决基础计算与几何证明问题。 2. 熟练掌握尺规作角平分线的步骤，理解作图原理，规范作图格式与留存痕迹。 3. 准确运用几何符号语言表述角平分线性质，规范书写几何解题推理过程。 难点： 1. 精准识别角的垂线段，易错将斜线段当作垂线段，导致性质定理误用出错。 2. 灵活结合三角形题型，挖掘图形中隐藏的角平分线条件，完成等量代换解题。 第一章 认识三角形 2 / 74 学科网（北京）股份有限公司 知识点一 角平分线的性质定理 1 角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 即学即练 ．．．． 1．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知AC 平分 DAB ，CE AB ⊥ 于E ，若 6 AB = ， 3 / 74 学科网（北京）股份有限公司 4 AD = ， 6 ABC S = △ ，则ACD 的面积为（ ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，作CF AD ⊥ ，垂足为F ，根据角平分线的性质，得到CE CF = ，根据 三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作CF AD ⊥ ，垂足为F ， ∵AC 平分 DAB ，CE AB ⊥ 于E ， ∴CE CF = ， ∵ 1 1 6 6 2 2 ABC S AB CE CE = = = ， ∴ 2 CE = ， ∴ 2 CF CE = = ， ∴ 1 1 4 2 4 2 2 ACD S AD CF = = = ； 故选D． 2．（25-26 八年级下·广东清远·期中）如图，在ABC 中，CD是AB 边上的高，BE平分 ABC ，交CD于 点E ，已知， 8 BC = ， 2 DE = ，则BCE 的面积等于 ___________． 【答案】8 【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF BC ⊥ ，求出EF 的长． 先作辅助线EF BC ⊥ 交BC 于点F ，然后根据角平分线的性质，可以得到DE EF = ，再根据三角形的面积 4 / 74 学科网（北京）股份有限公司 公式，即可求得BCE 的面积． 【详解】解：如下图所示，作EF BC ⊥ 交BC 于点F ， ∵CD是AB 边上的高， ∴CD BA ⊥ ， ∵BE平分 ABC ， ∴DE EF = ， ∵ 2 DE = ， ∴ 2 EF = ， ∵ 8 BC = ， ∴ 8 2 8 2 2 BCE BC EF S = = = ， 故答案为：8． 3．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形ABDC 的面积为16，AD平分 BAC ，且 DE AC ⊥ ， 10 AB AC + = ． (1)求点D 到AC 的距离DE 的长； (2)若 180 C B += ，求证：BD DC = ． 【答案】(1) DE 的长为3.2 (2) 证明：如图，过点D作DF AB ⊥ ，交AB 的延长线于点F ， 5 / 74 学科网（北京）股份有限公司 由（1）得 , 90 DF DE DEC F = = = ， ∵ 180 C ABD + = ， 180 DBF ABD + = ， ∴ DBF C = ， ∴ ( ) AAS DBF DCE ≌ ， ∴BD DC = ． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点D 作DF AB ⊥ ，交AB 的延长线于点F ，根据角平分线的性质得出DF DE = ，然后根据图形的面 积即可求解； （2）过点D 作DF AB ⊥ ，交AB 的延长线于点F ，证明DBF DCE ≌ ，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点D 作DF AB ⊥ ，交AB 的延长线于点F ， ∵AD平分 BAC ，且DE AC ⊥ ， ∴DF DE = ， ∵ ABD ACD ABDC S S S = + 四边形 ， ∴ ( ) 1 1 1 1 10 16 2 2 2 2 AB DF AC DE DE AB AC DE + = + = = ， 解得 3.2 DE = ， ∴DE 的长为3.2； （2）略 6 / 74 学科网（北京）股份有限公司 知识点二 角平分线的画法 如图所示：作∠AOB 的角平分线 （1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB 于点D、E； （2）分别以点D、E 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C； （3）过O、C 两点作射线OC，射线OC 就是∠AOB 的角平分线. 即学即练 ．．．． 4．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知ABC ，用直尺和圆规作一点P，使它到点A 和点C 的距离相等，且到线段AC 与线段BC 所在直线的距离也相等（保留作图痕迹，不必写出作法）． 【答案】图见详解 【分析】本题主要考查线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的尺 规作图是解题的关键；因此此题可先作线段AC 的垂直平分线，然后再作 ACB 的角平分线，两线交于一点 P，则问题可求解 【详解】解：所作点P 如图所示： 7 / 74 学科网（北京）股份有限公司 5．（25-26 八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知ABC ， 90 C = ． (1)用尺规作图法作出ABC 的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作AB 的中垂线m （不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了尺规作图，解决本题的关键是掌握用尺规作图作已知角的平分线、用尺规作图作 线段的垂直平分线． ( ) 1 以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交AC 、AB 于点E 、F ，分别以点E 、F 为圆心，大于1 2 EF 为半径画弧，两弧交于点M ，连接AM 并延长交BC 于点D ，线段AD即为所求； ( ) 2 分别以点A、B 为圆心，大于1 2 AB 为半径画弧，两弧分别交于点P 、Q ，连接PQ 作直线m ，直线m 即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交AC 、AB 于点E 、F ， 分别以点E 、F 为圆心，大于1 2 EF 为半径画弧，两弧交于点M ， 连接AM 并延长交BC 于点D ， 线段AD即为所求； （2）解：如下图所示，分别以点A、B 为圆心，大于1 2 AB 为半径画弧， 8 / 74 学科网（北京）股份有限公司 两弧分别交于点P 、Q ，连接PQ 作直线m ， 直线m 即为所求． 6．（25-26 八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在ABC 中， 50 B = ∠ ． (1)请你用直尺，圆规作出ABC 的角平分线AN ．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若 82 ANC = ，求 C 的度数． 【答案】(1) 解：图形如图所示： (2)66 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运 用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ANC B BAN = + ， ∴ 82 50 32 BAN = − = ， ∵AN 平分 BAC ， ∴ 2 64 BAC BAN = = ， ∴ 180 50 64 66 C = − − = ． 9 / 74 学科网（北京）股份有限公司 题型01 角平分线的概念 典｜例｜精｜析 1．已知OC 是 AOB 的平分线，D 是OC 上一点，E 、F 分别OA、OB 上一点．有如下两个说法：①若 DE OA ⊥ 于E ，DF OB ⊥ 于F ，则DE DF = ；②若DE DF = ，则DE OA ⊥ ， ⊥ OF OB ．关于这两个说 法，正确的是（ ） A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①和②均正确 D．①和②均错误 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质，对两种说法逐个判断即可，角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：∵OC 是 AOB 的平分线，D 是OC 上一点 ∴点D到OA OB 、 的距离相等 ∵DE OA ⊥ ，DF OB ⊥ ， ∴DE DF = ，说法①正确， 由DE DF = ，不能得出DE OA ⊥ ， ⊥ OF OB，说法②错误 故选B 【点睛】此题考查了角平分线的性质，理解并掌握角平分线的性质是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 2．已知ABC 是一个任意三角形，用尺规作出 A ， B 的平分线，如果两条角平分线交于点O，下列说 法不正确的是（ ） A．点O 到ABC 三个顶点的距离一定相等 解题贴士 角平分线是平分角的射线，从顶点出发；需分成两个完全相等的角，三角形角平分线为线段，不可混淆 射线、线段两种形式。 10 / 74 学科网（北京）股份有限公司 B． C 的平分线一定经过点O C．点O 到ABC 三边的距离一定相等 D．点O 一定在ABC 的内部 【答案】A 【分析】根据三角形角平分线交点的性质判断各选项，找出错误说法即可. 【详解】解：∵任意三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于同一点，该交点（三角形的内心） 到三角形三边的距离相等， ∴点O 一定在ABC 内部， C 的平分线一定经过点O，点O 到ABC 三边的距离一定相等，故选项B、 C、D 说法均正确， ∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，不是角平分线的交点， ∴选项A 说法不正确. 3．下列说法错误的是（ ） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线和线段垂直平分线的性质与判定逐一判断即可． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等（角平分线的性质），故A 正确； B、到角两边距离相等的点一定在角的平分线上（角平分线的判定定理），选项中是“不一定”，故B 不正 确； C、到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定），故C 正确； D、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（线段垂直平分线的性质），故D 正确． 故选：B． 4．如图，在ABC 中， 90 C = ，D E ， 是AC 上两点，BD平分 EBC ，BE平分 ABD ，那么下列说 法中不正确的是（ ） A．CD的长度等于D 到BE的距离 B．BC 是ABE 的高 C． 1 2 3 = = D．BD是ABC 的角平分线 11 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的性质定理．根据三角形的高线，三 角形的角平分线定义逐一分析判断即可． 【详解】解：∵BD平分 EBC ， ∴CD的长度等于D 到BE的距离，选项A 说法正确，不符合题意； ∵ 90 C = ， ∴BC 是ABE 的高，选项B 说法正确，不符合题意； ∵BD平分 EBC ，∴ 2 3 = ， ∵BE平分 ABD ，∴ 1 2 = ， ∴ 1 2 3 = = ，选项C 说法正确，不符合题意； ∵BD平分 EBC ， ∴BD是ABE 的角平分线，选项D 说法错误，符合题意； 故选：D． 题型02 与角平分线有关的内角和问题 典｜例｜精｜析 5．如图，ABC 中，BO、CO分别是 ABC 、 ACB 的平分线， 50 A = ，则 BOC 等于（ ）． A．110 B．115 C．120 D．130 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得 130 ABC ACB + = ，再由角平分线的定义可得 ( ) 1 65 2 OBC OCB ABC ACB + = + = ，即可求解． 【详解】解：∵ 50 A = ， ∴ 180 130 ABC ACB A + = −= ， ∵BO、CO分别是 ABC 、 ACB 的平分线， 解题贴士 分清内外角平分线类型，结合三角形内角和列式，记得作垂线用等距性质，找准角度等量关系再计算。 12 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 2 OBC ABC = ， 1 2 OCB ACB = ， ∴ ( ) 1 1 1 65 2 2 2 OBC OCB ABC ACB ABC ACB + = + = + = ， ∴ ( ) 180 115 BOC OBC OCB = − + = ． 变｜式｜巩｜固 6．如图，ABC 中，CD是边AB 上的高， 30 BCD = ， 80 ACB = ，AE 是 CAB 的平分线，则 AEB 的度数为________． 【答案】100 【分析】先根据角的和差关系求出 ACD 的度数，再在Rt ADC 中，利用三角形的内角和定理求出 CAB ，结合角平分线的定义求出 CAE ，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解： 30 BCD = ， 80 ACB = ， ∴ 50 ACD ACB BCD = − = ， ∵CD是边AB 上的高， 90 ADC = ， 180 40 CAB ADC ACD = − − = ， AE 是 CAB 的平分线， 1 20 2 CAE CAB = = ， ∴ 180 180 20 80 80 AEC CAE ACB = − − = − − = , ∴ 180 100 AEB AEC = − = ． 7．如图所示，ABC 中， A x = ，BP，CP ，BM ，CM 分别是 ABC ， ACD ， PBC ， PCB 的平 分线，则 M 的度数为_________（结果用x 表示） 13 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1 90 4 x + 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出 1 1 2 2 P A x = = ，再根据三角形内角和定理及 角平分线的性质求出 1 90 2 M P = + ． 【详解】解：∵ ACD 、 PCD 分别是ABC 、 PBC △ 的一个外角 ∴ ACD A ABC = + ， PCD P PBC = + ， 又 ∵BP、 CP 分别是 ABC 、 ACD 的平分线， ∴ 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCD ACD = ， ∴1 1 2 2 ACD P ABC = + ， ∴( ) 1 2 ACD ABC P − = ， ∴ 2 A P = ， ∵ A x = ， ∴ 1 1 2 2 P A x = = ， ∵ PBC △ 中，BM 、CM 分别是 PBC 和 PCB 的平分线， ∴ 1 2 MBC PBC = ， 1 2 MCB PCB = ， ∴ 180 M MBC MCB = − − ( ) 1 180 2 PBC PCB = − + ( ) 1 180? 180 2 P = − − 1 90 2 P = + 1 90 4 x = + ． 8．如图，在直角ABC 中， 90 ACB = ，CD AB ⊥ 于D，AF 平分 CAB 交CD于点E，交BC 于点F． 14 / 74 学科网（北京）股份有限公司 (1)试说明 CEF CFE = ． (2)若 50 B = ∠ ，求 AEC 的度数． 【答案】(1)解：∵CD AB ⊥ ， ∴ 90 ADC = ， ∴ 90 AED BAF = − ， ∵ 90 ACB = ， ∴ 90 CFE CAF = − ， ∵AF 平分 CAB ， ∴ CAF BAF = ， ∴ AED CFE = ， ∵ CEF AED = ， ∴ CEF CFE = ． (2)110 【分析】（1）根据余角的性质可得 AED CFE = ，即可解答； （2）先求出 CAB 的度数，再结合角平分线的定义可得 EAB 的度数，再根据三角形外角的性质，即可 求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 50 B = ∠ ， ∴ 90 50 40 CAB = − = ， ∵AF 平分 CAB ， ∴ 1 20 2 EAB CAB = = ， ∵CD AB ⊥ ， ∴ 90 ADC = ， ∴ 20 90 110 AEC EAD ADC = + = + = ． 题型03 角平分线的判定定理 典｜例｜精｜析 9．如图，BP为 MBN 的平分线，点A、C 分别在MB 、BN 上，连接AC 、AP ，AP 恰为 MAC 的平分 解题贴士 需满足点在角内部，到角两边垂线段长度相等，缺一不可；不可用斜线段判定，分清判定与性质的条件 结论，避免颠倒。 15 / 74 学科网（北京）股份有限公司 线，过P 作PE BM ⊥ 于E，PF AC ⊥ 于F，PG BN ⊥ 于G．求证：点P 在 ACN 的平分线上． 【答案】证明： BP 为 MBN 的平分线，AP 恰为 MAC 的平分线， PE PG = ，PE PF = ， PF PG = ， PF AC ⊥ ，PG BN ⊥ ， ∴点P 在 ACN 的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到PE PF = ，PE PG = ，可知PF PG = ，根据角平分线的判定定理证 明即可． 【详解】略． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上， , DE AB DF AC ⊥ ⊥ ，垂足分别为E，F，连接AD，EF ．当 AD与EF 满足什么条件时，AD是ABC 的角平分线？为什么？ 【答案】解：当AD垂直平分EF 时，AD是ABC 的角平分线； 理由如下：∵AD垂直平分EF ， ∴DE DF = ， ∵ , DE AB DF AC ⊥ ⊥ ， ∴AD是ABC 的角平分线． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE DF = ，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是ABC 的 角平分线． 【详解】略 11．已知ABC 中，BE平分 ABC ，BE交AC 于点E ，CD平分 ACB ，交AB 于点D，BE与CD交于点 16 / 74 学科网（北京）股份有限公司 O． (1)如图1．求证： 1 90 2 BOC BAC = + ； (2)如图2，连接OA，求证：OA平分 BAC ． 【答案】(1) 证明： BE 平分 ABC ，CD平分 ACB ， 设 1 2 ABE CBE ABC = = = ， 1 2 ACD BCD ACB = = = ， 180 180 2 2 BAC ABC ACB = − − = − − ， 180 180 BOC CBO BCO = − − = − − ， 1 90 2 BOC BAC = + ； (2) 证明：过O作OF AB ⊥ 于点F ，作OG BC ⊥ 于点G ，作OH AC ⊥ 于点H ， BE 平分 ABC ， OF OG = ， CD 平分 ACB ， OG OH = ， OF OH = ． OA 平分 BAC ． 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的 性质和判定是关键． （1）根据角平分线和三角形内角和定理得到 180 180 2 2 BAC ABC ACB = − − = − − ， 180 180 BOC CBO BCO = − − = − − ，即可得到结论； （2）过O作OF AB ⊥ 于点F ，作OG BC ⊥ 于点G ，作OH AC ⊥ 于点H ，根据角平分线的性质得到 OF OG = ，OG OH = ，则OF OH = ．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 17 / 74 学科网（北京）股份有限公司 （2） 略 12．如图，ABC 的角平分线BM CN ， 相交于点P．求证： (1)点P 到三边AB BC CA ， ， 的距离相等； (2) ABC 的三条角平分线交于一点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理和性质 定理． （1）作PD AB PE BC PF AC ⊥ ⊥ ⊥ ， ， ，由角平分线的性质，可得PD PE PE PF = = ， ，即可证得结论； （2）由（1）可知PD PF = ，根据角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作PD AB ⊥ 于点D，PE BC ⊥ 于点E，PF AC ⊥ 于点F， ∵ABC 的角平分线BM CN ， 相交于点P， ∴根据角平分线的性质可得，PD PE PE PF = = ， ， 即PD PE PF = = ， 所以点P 到三边AB BC CA ， ， 的距离相等； （2）解：根据（1）可知PD PF = ， 又∵PD AB PF AC ⊥ ⊥ ， ， ∴点P 在 BAC 的角平分线上， 又∵ABC 的角平分线BM CN ， 相交于点P， 所以ABC 的三条角平分线交于一点． 题型04 利用角平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 18 / 74 学科网（北京）股份有限公司 13．如图，四边形ABDC 中， 20 DAB DAC = = ， 114 ABD = ， 66 CBD = ，则 BCD 的度数为 （ ） A．40 B．44 C．46 D．48 【答案】B 【分析】作DE AB ⊥ 于E ，DF AC ⊥ 于F ，DG BC ⊥ 于G ，根据角平分线的性质定理得到 DF DE DG = = ，可知CD平分 BCF ，即 1 2 BCD BCF = ，根据三角形外角的性质求出 BCF 的值即 可． 【详解】解：如图，作DE AB ⊥ 于E ，DF AC ⊥ 于F ，DG BC ⊥ 于G ， ∵ 20 DAB DAC = = ， ∴AD平分 BAC ， ∵DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， DF DE = ， ∵ 114 ABD = ， ∴ 180 66 EBD ABD = − = ， ∴ EBD CBD = ， ∴BD平分 CBE ， ∵DE AB ⊥ ，DG BC ⊥ ， ∴DG DE = ， ∴DG DF = ， ∵DF AC ⊥ ，DG BC ⊥ ， CD 平分 BCF ， ∴ 1 2 BCD BCF = ， ∵ 20 DAB DAC = = ， 114 ABD = ， 66 CBD = ， 19 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 40 BAC DAB DAC = + = ， 114 66 48 ABC ABD CBD = − = − = ， ∴ 40 48 88 BCF BAC ABC = + = + = ， ∴ 1 44 2 BCD BCF = = ． 变｜式｜巩｜固 14．如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ，分别以点A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于M、 N 两点，作直线MN ，分别交AC AB 、 于点P、D，连接BP．若点P 到AB BC 、 的距离相等，则 APD 的 度数为（ ） A．30 B．45 C．60 D．75 【答案】C 【分析】由作图可知，PD是AB 的垂直平分线，得到PA PB = ， 90 PDA PDB = = ，再得到 PAB PBA = ，根据题意得到BP是 ABC 的角平分线，得到 PBA PBC = ，进一步得到 30 PAB = ， 即可求解． 【详解】解：由作图可知，PD是AB 的垂直平分线， ∴PA PB = ， 90 PDA PDB = = ， ∴ PAB PBA = ， ∵点P 到AB BC 、 的距离相等， ∴PD PC = ， 又∵ 90 PDB = ， 90 C = ， ∴BP是 ABC 的角平分线， ∴ PBA PBC = ， ∴ 3 90 PAB PBA PBC PAB + + = = ， ∴ 30 PAB = ， ∴ 90 90 30 60 APD PAB = − = − = ． 15．如图，ABC 的内角 ABC 与外角 ACF 的平分线交于点D ，连接AD，若 35 BDC = ，则 DAC 的度数是_____________． 20 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】55 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的 关键． 根据角平分线的性质，可得DM DO DN = = ，从而得AD是 EAC 的平分线，再根据三角形外角的性质， 可求 70 BAC = ，进而 110 = EAC ，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点D 作DM BE ⊥ ，DN AC ⊥ ，DO BF ⊥ ，垂足分别为M ，N ，O， BD是 ABC 的平分线，DM BE ⊥ ，DO BF ⊥ ， 1 1 2 ABC = ，DM DO = ， 同理可得 1 2 2 ACF = ，DM DO = ， DM DN = ， DM BE ⊥ ，DN AC ⊥ ， AD是 EAC 的平分线， 1 3 2 EAC = ， 2 1 BDC = + ， 35 BDC = 1 1 35 2 2 ACF ABC = + ，即 70 ACF ABC = + ACF ABC BAC = + ， 70 BAC = ， 180 110 EAC BAC = − = ， 1 1 3 110 55 2 2 EAC = = = ， 即 55 DAC = ． 故答案为：55． 16．如图，在ABC 中，AD平分 BAC ，P 为线段AD上的一个动点，PE AD ⊥ 交BC 的延长线于点E ． 21 / 74 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 30 B = ， 60 ACB = ，求 E 的度数； (2)求证： ( ) 1 2 E ACB B = − ． 【答案】(1)15 (2) 证明：∵AD平分 BAC ，且 180 BAC B ACB = −− ， ∴ ( ) 1 1 180 2 2 BAD CAD BAC B ACB = = = −− ， ∴ ( ) 1 1 1 180 90 2 2 2 ADE B BAD B B ACB B ACB = + = + −− = + − ， ∵PE AD ⊥ ， ∴ 90 DPE = ， ∴ ( ) 1 1 1 90 90 90 2 2 2 E ADE B ACB ACB B = − = − + − = ﹣ ， 即 ( ) 1 2 E ACB B = ﹣ ． 【分析】本题考查了角平分线的概念，三角形的内角和的应用，解题的关键是根据题意，灵活变化，最终 求出所要求的问题的答案． （1）首先根据三角形的内角和定理求得 BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得 DAC 的度数，从而 根据三角形的内角和定理即可求出 ADC 的度数，进一步求得 E 的度数； （2）同（1）的思路进行推导，即可证明． 【详解】（1）解：∵ABC 中， 30 B = ， 60 ACB = ， ∴ 180 90 BAC B ACB = −− = ， ∵AD平分 BAC ， ∴ 1 45 2 BAD CAD BAC = = = ， ∴ 75 ADE B BAD = + = ， ∵PE AD ⊥ ， ∴ 90 DPE = ， ∴ 90 15 E ADE = − = ， ∴ E 的度数为15． 22 / 74 学科网（北京）股份有限公司 （2）略 题型05 利用角平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 17．如图，在ABC 中，BD是ABC 的角平分线，DE BC ⊥ ，若 3 ABD S = ， 2 DE = ，则AB 的长度为 （ ） A．3 B．2 C．6 D．12 【答案】A 【分析】过点D作DF AB ⊥ 于点F ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF DE = ，再利用三角 形面积公式即可求出AB 的长． 【详解】解：过点D作DF AB ⊥ 于点F ， BD 是ABC 的角平分线，DE BC ⊥ ，DF AB ⊥ ， DF DE = ， 2 DE = ， 2 DF = ， 1 3 2 ABD S AB DF = = ， 1 2 3 2 AB = ， 3 AB = ． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，连接AD， 5 CD BD = ，CI 平分 ACB 交AD于点I ，IH AC ⊥ 于点H ，若 6, 8, 2 ABD BC AC S = = = ，则IH 的长为_____． 23 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】20 13 / 7 113 【分析】过点I 作IE BC ⊥ 于点E，根据角平分线的性质得到IE IH = ，根据 5 CD BD = 得到 5 CD = ， 10 5 ACD ABD S S = = ，根据 ACD ACI DCI S S S = + 求解即可． 【详解】解：过点I 作IE BC ⊥ 于点E， CI 平分 ACB 交AD于点I ，IH AC ⊥ 于点H ， IE IH = ， 5 CD BD = ， 6, 2 ABD BC S = = ， 5 5 6 CD BC = = ， 10 5 ACD ABD S S = = ， ACD ACI DCI S S S = + ， 8 AC = ， 1 1 10 2 2 AC IH CD IE + = ， 1 1 8 5 10 2 2 IH IH + = ， 解得 20 13 IH = ． 19．如图，AD为ABC 的中线，BE为ABD 的角平分线，过点E 作EN AB ⊥ 于点N ，EM 为BED 的 高． (1)若 140 BEA = ， 25 BAD = ，求 ABD 的度数； 24 / 74 学科网（北京）股份有限公司 (2)若 16 AB = ， 8 BD = ， 64 = ABC S ，求EM 的长． 【答案】(1)30 (2) 8 3 【分析】（1）由三角形内角和定理可得 15 ABE = ，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得ABD 的面积为32，再根据角平分线的性质可得NE ME = ，再根据 32 ABD ABE BDE S S S = + = 列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ 25 BAD = ， 140 BEA = ， ∴ 180 180 140 25 15 ABE BEA BAD = − − = − − = ， ∵BE为ABD 的角平分线， ∴ 2 30 ABD ABE = = ． （2）解：∵AD为ABC 的中线， 64 = ABC S ， ∴ABD 的面积为32， ∵BE为ABD 的角平分线，EN AB ⊥ ，EM 为BED 的高， ∴NE ME = ， ∵ 32 ABD ABE BDE S S S = + = ， ∴1 1 32 2 2 AB NE BD ME + = ， ∵ 16 AB = ， 8 BD = ，NE ME = ， ∴1 1 16 8 32 2 2 ME ME + = ， 解得： 8 3 ME = ． 20．如图，在ABC 中，CD平分 ACB 交AB 于点D ，DE AC ⊥ 于点E ，DF BC ⊥ 于点F ， : 9:7 AC BC = ．若 14 BD = ，求AB 的长． 【答案】 32 AB = 【分析】该题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，根据角平分线的性质得出DE DF = ，再根据 等面积得出 9 7 AD BD = ，即可求解． 【详解】解： CD 平分 ACB ，DE AC ⊥ ，DF BC ⊥ ， 25 / 74 学科网（北京）股份有限公司 DE DF = ， 设ABC 中AB 边上的高为h ， 1 9 2 1 7 2 ADC BCD AC DE S AC S BC BC DF = = = ， 又 Δ 1 2 1 2 DC BCD AD h S AD S BD BD h = = ， 9 7 AD BD = ， ∵ 14 BD = ， 18 AD = ， 18 14 32 AB = + = ． 题型06 利用角平分线的性质求面积 典｜例｜精｜析 21．如图，AD是ABC 的角平分线，DE AB ⊥ ，垂足为E ，若 6 AB = ， 4 AC = ， 2 DE = ，则ABC 的面 积为（ ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D 作DF AC ⊥ 于F，利用角平分线的性质定理可得 2 DF DE = = ，再利用三角形的面积 关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D 作DF AC ⊥ 于F， 26 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∵AD是ABC 的角平分线，DE AB ⊥ ，垂足为E ， ∴ 2 DF DE = = ， ∴ABC 的面积为 1 1 1 1 2 2 2 2 ABD ACD S S AB DE AC DF + = + = + = ． 变｜式｜巩｜固 22．如图，在ABC 中， ACB 和 BAC 的平分线交于点O， 6cm AB = ， 8cm BC = ，ABO 的面积为 2 9cm ，则BOC 的面积为______． 【答案】 2 12cm 【分析】过点O作OM AB ⊥ 于点M ，ON BC ⊥ 于点N ，OP AC ⊥ 于点P ，由角平分线的性质推出 OM OP ON = = ，由三角形的面积求出 3cm OM = ，得到 3cm ON = ，即可求出BOC 的面积． 【详解】解：如图，过点O作OM AB ⊥ 于点M ，ON BC ⊥ 于点N ，OP AC ⊥ 于点P ， ∵OA平分 BAC ，OM AB ⊥ ，OP AC ⊥ ， OM OP = ， ∵OC 平分 ACB ，ON BC ⊥ ，OP AC ⊥ ， ON OP = ， OM ON = ， ∵ 2 1 9cm 2 ABO S AB OM = = ， 1 6 9 2 OM = ， 3cm OM = ， 3cm ON = ， 27 / 74 学科网（北京）股份有限公司 8cm BC = ， ∴ 2 1 1 8 3 12cm 2 2 BOC S BC ON = = = ． 23．如图，在ABC 中，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ． (1)若 70 A = ， 60 ABC = ，求 BDC 的度数； (2)若DE AB ⊥ 于点E， 2 DE = ， 9 BC = ，求BCD 的面积． 【答案】(1)125 (2)9 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出 50 ACB = ，再利用角平分线的定义得到 30 25 DBC DCB = = ， ，则由三角形内角和定理可得 180 125 BDC DBC DCB = − − = ； （2）如图所示，过点D 作DF BC ⊥ 于F，利用角平分线的性质得到 2 DF DE = = ，进而利用三角形面积 公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ 70 60 A ABC = = ， ， ∴ 180 50 ACB A ABC = −− = ， ∵BD平分 ABC ，CD平分 ACB ， ∴ 1 1 30 25 2 2 DBC ABC DCB ACB = = = = ， ， ∴ 180 125 BDC DBC DCB = − − = ； （2）解：如图所示，过点D 作DF BC ⊥ 于F， ∵BD平分 ABC ，DE AB DF BC ⊥ ⊥ ， ， ∴ 2 DF DE = = ， ∴ 1 1 2 9 9 2 2 BCD S BC DF = = = △ ． 24．阅读与思考 28 / 74 学科网（北京）股份有限公司 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，AD是ABC 的 角平分线，AB ，AC ，BD，CD之间的关系为： : : AB AC BD CD = ． 思路：“关联”角平分线的性质，过点D 分别作DE AB ⊥ 垂足为E，作 DF AC ⊥ 垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D 作DE AB ⊥ 于点E，DF AC ⊥ 于点F，过点A 作AG BC ⊥ 于点G，因为AD是 BAC 的角平分线，且DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， 所以DE DF = （依据）． 因为 1 2 ABD S AB DE = ， 1 2 ACD S AC DF = ， 所以 : : ABD ACD S S AB AC = ． 因为AG BC ⊥ ， 所以 ABD S = ACD S = …… 解后反思： 关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质 完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务： (1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ； (2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在ABC 中，点E 为AC 的中点，AD平分 BAC ， : 4:3 CD DB = ，AD与BE交于点 O，OP AC ⊥ 于点P，OQ AB ⊥ 于点Q，已知 AOE △ 的面积为6，则ABC 的面积为 ． 29 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)补充如下： 所以 1 2 ABD S BD AG = ， 1 2 ACD S CD AG = △ ， 所以 : : ABD ACD S S BD CD = △ △ ， 所以 : : AB AC BD CD = (3)30 【分析】（1）依据为角平分线的性质； （2）利用三角形的面积为底乘以高除以2 即可求证； （3）先求出 9 AOB S = ，进一步得出 9 6 15 ABE S = + = ，再利用中线平分三角形面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵在ABC 中， AD平分 BAC ， : 4:3 CD DB = ， ∴ : 4:3 AC AB = ， ∵点E 为AC 的中点， ∴ 1 2 AE AC = ， ∴ : 2:3 AE AB = ， ∴ : 2:3 OE OB = ， ∴ : 2:3 AOE AOB S S = 已知 AOE △ 的面积为6， ∴ 9 AOB S = ， ∴ 9 6 15 ABE S = + = ， ∵点E 为AC 的中点， ∴ 30 2 ABC ABE S S = = ． 题型07 角平分线与垂直平分线结合问题 典｜例｜精｜析 30 / 74 学科网（北京）股份有限公司 25．如图，AD是ABC 的角平分线，DE DF ， 分别是AED 和ACD 的高，得到下列四个结论：① OA OD = ；② ⊥ AD EF ；③AE AF = ；④ 2 2 2 2 AE DF AF DE + = + ．其中正确的是（ ） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，可证明 ( ) AED AFD AAS ≌ 得到AE AF DE DF = = ， ，进而可证明AD垂直平分EF ，据此逐一分析判断即可． 【详解】解：∵AD是ABC 的角平分线，DE DF ， 分别是AED 和ACD 的高， ∴ 90 DAE DAF AED AFD = = = ∠ ∠ ，∠ ∠ ， 又∵AD AD = ， ∴ ( ) AED AFD AAS ≌ ， ∴AE AF DE DF = = ， ， ∴AD垂直平分EF ， ∴ ⊥ AD EF ， ∵ 2 2 2 2 AE AF DF DE = = ， ， ∴ 2 2 2 2 AE DF AF DE + = + ， 根据现有条件无法证明OA OD = ， ∴正确的有②③④， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 26．如图，在ABC 中， 75 A = ，BP是 ABC 的角平分线，根据图中尺规作图的痕迹推断，若 12 ACP = ，则 ABP 的度数为（ ） 31 / 74 学科网（北京）股份有限公司 A．12 B．31 C．53 D．75 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握以上知识是解题的关 键． 根据作图得到有作图痕迹且过点P 的直线为线段BC 的垂直平分线，即 PBC PCB = ，，根据BP是 ABC 的角平分线，即可得到 ABP 的度数． 【详解】解：由作图知，有作图痕迹且过点P 的直线为线段BC 的垂直平分线， ∴BP PC = ， ∴ PBC PCB = ， ∵ 75 A = ， 12 ACP = ， ∴ 180 75 12 93 ABP PBC PCB + + = − − = ， 又∵BP是 ABC 的角平分线，即 ABP CBP = ， ∴3 93 ABP = ， 即 31 ABP = ， 故选：B． 27．如图，在ABC 中，CD是角平分线， 90 BAC = ，直线l 垂直平分AC ，交BC 于点E ．若 4 AD = ， 5 BD = ，ABE 的周长为24，则BCD 的面积为____________． 【答案】30 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，根据线段垂直平分线的性质得出 AE CE = ，结合已知可求出 15 BC = ，过D 作DF BC ⊥ 于F，根据角平分线的性质得出 4 DF AD = = ，然 后根据三角形的面积公式计算即可． 32 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵直线l 垂直平分AC ， ∴AE CE = ， ∵ABE 的周长为24， ∴ 24 AB BE AE AB BE CE AB BC + + = + + = + = ， 又 4 AD = ， 5 BD = ， ∴ 9 AB = ， ∴ 15 BC = ， 过D 作DF BC ⊥ 于F， ， ∵CD是角平分线， 90 BAC = ， ∴ 4 DF AD = = ， ∴BCD 的面积为1 15 4 30 2 = ， 故答案为：30． 28．如图，AD是ABC 的角平分线， , DE AB DF AC ⊥ ⊥ ，垂足分别是E ，F ，连接EF ，EF 与AD相交 于点G ． (1)求证：AD垂直平分EF ； (2)若ABC 的面积为24， 7, 4 AC DF = = ，求AB 的长． 【答案】(1) 证明∵AD是ABC 的角平分线， , DE AB DF AC ⊥ ⊥ ， ∴ 90 EAD FAD AED AFD = = = , ， 在AED 和AFD 中， EAD FAD AED AFD AD AD = = = ， ∴ ( ) AAS AED AFD ≌ ， 33 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∴ , AE AF DE DF = = ， ∴点A、点D都在EF 的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF ； (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识． （1）证明 ( ) AAS AED AFD ≌ ，得到 , AE AF DE DF = = ，即可得到点A、点D 都在EF 的垂直平分线 上，从而得到AD垂直平分EF ； （2）先求出 4 DE DF = = ，根据三角形面积公式得到1 1 24 2 2 AC DF AB DE + = ，即可求出 5 AB = ． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 4 DF = ， ∴ 4 DE DF = = ， ∵ABC 的面积为24， , DE AB DF AC ⊥ ⊥ ， ∴1 1 24 2 2 AC DF AB DE + = ， 即1 1 7 4 4 24 2 2 AB + = ， ∴ 5 AB = ． 题型08 尺规作角平分线 典｜例｜精｜析 29．如图，在Rt ABC △ 中， 90 A = ， 8 BC = ． (1)请用尺规作出 ABC 的平分线，交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若 4 AD = ，求BCD 的面积． 【答案】(1)所作图形如图所示： 34 / 74 学科网（北京）股份有限公司 (2)16 【分析】（1）以点B 为圆心，任意长为半径，画弧分别交AB ，BC 于点 , E F ，再以 , E F 为圆心，大于 1 2 EF 长为半径画弧，交 ABC 内一点P，连接BP，交AC 于点D． （2）过点D 作DH BC ⊥ ，由题意易得 4 DH AD = = ，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点D 作DH BC ⊥ ，如图所示： 由作图可知：BD平分 ABC ， ∵ 90 A = ，DH BC ⊥ ， ∴ 4 DH AD = = ， ∴ 1 1 8 4 16 2 2 BCD S BC DH = = = ． 变｜式｜巩｜固 30．如图，请在图①中作出ABC 的内角平分线BD，在图②中作出ABC 的边BC 上的中线AD，在图 ③中作出ABC 的边BC 上的高AH ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作 线段用实线） 【答案】由题意，作图如下， , , BD AD AH 即为所求. 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用尺规作垂线的方法确定中点D ，连接AD即可； 35 / 74 学科网（北京）股份有限公司 （3）利用尺规作垂线的方法作图即可. 【详解】略 31．如图，AD是ABC 中BC 边上的高． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作ABC 的角平分线BE，交AD于点F ； (2)在（1）的条件下，若 46 ABC = ，求 AFE 的度数． 【答案】(1)如图，线段BE就是所要求作的ABC 的角平分线． (2)67 【分析】（1）根据尺规作一个角的平分线的基本作图方法，作图即可； （2）先根据直角三角形两锐角互余求出 90 90 46 44 BAD ABC = − = − = ，再根据角平分线定义求出 1 1 46 23 2 2 ABF ABC = = = ，最后根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解： AD 是ABC 中BC 边上的高， AD BC ⊥ ， 90 ADB = ， 90 ABC BAD + = ， 46 ABC = ， 90 90 46 44 BAD ABC = − = − = ， BE 是ABC 的角平分线， 46 ABC = ， 1 1 46 23 2 2 ABF ABC = = = ， 44 23 67 AFE ABF BAD = + = + = ． 32．用无刻度直尺和圆规作图： 36 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ①画出 BCA 的角平分线CD； ②在线段BC 上找一点E，使得ABE 和 ACE △ 面积相等 【答案】 【分析】①作 BCA 的角平分线CD； ②作BC 的垂直平分线交BC 于点E ，则ABE 和 ACE △ 面积相等 【详解】略 题型09 角平分线的辅助线添加问题 典｜例｜精｜析 33．已知点C 是 MAN 平分线上一点， BCD 的两边CB ，CD分别与射线AM ，AN 相交于B ，D 两点， 过点C 作CE AB ⊥ ，垂足为E ， 180 ABC ADC + = ． (1)若 4 CE = ，则点C 到AN 的距离是________； (2)如图1，当点E 在线段AB 上时，则BC 和CD满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，若 5 AE = ， 6 AD = ， 3 CE = ，求 BCE S ． 【答案】(1)4 (2) 37 / 74 学科网（北京）股份有限公司 BC CD = 理由：如图1，过点C 作CF AN ⊥ 于点F ，则 90 CEB CFA = = ， ∵点C 是 MAN 平分线上一点， CF CE = ， 180 ABC ADC + = ， 180 ADC CDF + = ， ABC CDF = ， 在△CBE 和 CDF △ 中， CEB CFD ABC CDF CE CF = = = ， ( ) AAS CBE CDF ≌ ， BC CD = ； (3) 3 2 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点C 作CF AN ⊥ 于点F ，利用角平分线的性质定理证明 CBE CDF △ ≌△ 即可； （3）过点C 作CF AN ⊥ 于点F ，利用角平分线的性质定理证明 CBE CDF △ ≌△ ，再证明 Rt Rt ACE ACF ≌ 即可求解． 【详解】（1）解：∵点C 是 MAN 平分线上一点，CE AB ⊥ ， 4 CE = ， ∴点C 到AN 的距离是4； （2）解：BC CD = ； 理由略； （3）解：过点C 作CF AN ⊥ 于点F ，如图， 则 90 CEB CFA = = ， 38 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∵点C 是 MAN 平分线上一点， 3 CF CE = = ， 180 ABC ADC + = ， 180 ABC CBE + = ， CBE CDF = ， 在△CBE 和 CDF △ 中， CEB CFD CBE CDF CE CF = = = ， ( ) AAS CBE CDF ≌ ， ∴BE DF = ， ∵AC AC CE CF = = ， ， ∴ ( ) Rt Rt HL ACE ACF ≌ ， ∴ 5 AF AE = = ， ∴ 6 5 1 BE DF AD AF = = − = −= ， ∴ 1 1 3 1 3 2 2 2 BCE S BE CE = = = ． 变｜式｜巩｜固 34．如图，在四边形ABCD中，AC 平分 DAB ， 180 ABC ADC + = ，CE AB ⊥ ． (1)求证：BC CD = ． (2)若 7 AE = ， 4 BC = ，求四边形ABCD的周长． 【答案】(1) 证明：如图，过点C 作CF AD ⊥ 交AD的延长线于F ， AC 平分 BAD ，CE AB ⊥ ，CF AD ⊥ ， 90 CEB CFD = = ，CE CF = ， 180 ABC ADC + = ， 180 CDF ADC + = ， ABC CDF = ， 39 / 74 学科网（北京）股份有限公司 在△CBE 和 CDF △ 中， EBC CDF CEB CFD CE CF = = = ( ) AAS CBE CDF ≌ ， BC DC = ； (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． （1）如图所示，过点C 作CF AD ⊥ 交AD的延长线于F ，根据角平分线的性质得出CE CF = ，再证明 ABC CDF = ，证明 CBE CDF △ ≌△ ，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据 CBE CDF △ ≌△ ，得出DF BE = ，证明Rt Rt ACE ACF ≌ ，得出AE AF = ，再根据四边形周长 定义及线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： CBE CDF ≌ △ △ ， DF BE = ，CD BC = ， 90 CFA CEA = = ， AC 平分 BAD ， FAC EAC = ， 在Rt ACE 和Rt ACF △ 中， CFA CEA FAC EAC AC AC = = = ( ) Rt Rt AAS ACE ACF ≌ ， ∴AE AF = ． 四边形ABCD的周长 AB BC CD AD = + + + AE BE BC CD AD = + + + + AE DF BC BC AD = + + + + 2 AE AD DF BC = + + + 2 AE AF BC = + + 2 AE AE BC = + + 2 2 AE BC = + ， 7 AE = ， 4 BC = ， 四边形ABCD的周长 22 = ． 35．已知：OP 平分 MON ，点A，B 分别在边OM ON ， 上，且 180 OAP OBP + = ． 40 / 74 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，当 90 OAP = 时，求证：OA OB = ； (2)如图2，当0 90 OAP < 时，作PC OM ⊥ 于点C．求证： ①PA PB = ； ②请直接写出OA OB AC ， ， 之间的数量关系为___． 【答案】(1) 证明：∵ 180 OAP OBP + = ， 90 OAP = ， ∴ 90 OAP OBP = = ， ∵OP 平分 MON ， ∴ POB POA = ， ∵OP OP = ， ∴ ( ) AAS OPB OPA ≌ ， ∴OA OB = ； (2) ①证明：如图，过点P 作PD ON ⊥ 于点D ， ∵OP 平分 MON ，且PC OM ⊥ ，PD ON ⊥ ， ∴PC PD = ， ∵ 180 OBP PBD + = ， 180 OAP OBP + = ， ∴ PBD PAC = ， ∵ 90 PCA PDB = = ， ∴ ( ) AAS PBD PAC ≌ ， ∴PA PB = ； ② 2 OA OB AC − = 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差 41 / 74 学科网（北京）股份有限公司 等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出 90 OAP OBP = = ，根据角平分线定义得出 POB POA = ，证明 OPB OPA ≌ △ △ ，即可得出结论； （2）①过点P 作PD ON ⊥ 于点D ，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明PBD PAC ≌ ，即可 得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵PBD PAC ≌ ， ∴AC BD = ， ∵PC OM ⊥ ，PD ON ⊥ ， ∴ 90 PDO PCO = = ， 由①得PC PD = ，且OP OP = ， ∴ ( ) Rt Rt HL POD POC ≌ ， ∴OC OD = ， ∴ 2 OB OD BD OC AC OA AC = − = − = − ， ∴ 2 OA OB AC − = ． 36．如图，在ABC 中，点D 在BC 边上， 40 BAD = ， ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作 EF AB ⊥ ，交BA的延长线于点F ，且 20 AEF = ，连接DE ． (1)求证：DE 平分 ADC ； (2)若 6 5 7 AB AD CD = = = ， ， ，且 12 ACD S = △ ，求ABE 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练 掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E 作EM AD ⊥ 于点M EN BC ⊥ ， 于点N ，先通过计算得出 70 EAF = ， 70 DAE = ，根据角 平分线的判定与性质得EF EM = ，则EM EN = ．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“ ACD 的面积 ADE = 的面积 CDE +△ 的面积”列式求出 2 EM = ，得 2 EF = ，再求ABE 的面积 即可． 42 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）证明： EF AB ⊥ ，交BA的延长线于点F ， 90 AFE = ． 20 = AEF ， 90 90 20 70 EAF AEF = − = − = ． 40 BAD = ， 180 40 70 70 DAE = − − = ． 如图，过点E 作EM AD ⊥ 于点M EN BC ⊥ ， 于点N ， BE 平分 ABC EF AB ⊥ ， ，交BA的延长线于点F ， EF EN = ． 70 EAF DAE = = ， AE 平分 DAF ， EF EM = ， EM EN = ． EM AD EN CD ⊥ ⊥ ， ， DE 平分 ADC ； （2）解： ACD 的面积 ADE = 的面积 CDE +△ 的面积， 1 1 12 2 2 AD EM CD EN + = ， ( ) 1 12 2 AD CD EM + = ， ( ) 1 5 7 12 2 EM + = ， 2 EM = ， 2 EF = ， ABE 的面积 1 1 6 2 6 2 2 AB EF = = = ． 题型10 角平分线的新定义问题 典｜例｜精｜析 37．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为 “最小角割比Ω”（ 1 ），那么三边长分别为7，24，25 的三角形的最小角割比Ω 是______． 43 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】25 24 ． 【分析】根据题意作出图形，然后根据角平分线的性质得到DE DF = ，再根据三角形的面积和最小角割比 Ω 的定义计算即可． 【详解】解：如图示， 7 BC = ， 24 AB = ， 25 AC = ， 则，根据题意，作 BAC 的角平分线AD交BC 于点D ， 过点D，作DF AC ⊥ 交AC 于点F ， 过点D，作DE AB ⊥ 交AB 于点E ， 则DE DF = ∵ 1 2 ACD S AC DF ， 1 2 ABD S AB DE ， 则 1 2 1 2 25 24 ACD ABD AC DF S S AB D AC B E A （ 1 ） 故答案是：25 24 ． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质和三角形的面积计算，熟悉相关性质是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 38．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友 谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形ABCD中，AC 平分 BAD ，AD AB ，ABC 与ACD 是友谊三角形，请探究 D 与 B 之间的关系． 【答案】(1)是 44 / 74 学科网（北京）股份有限公司 (2) 180 B D + = 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新 定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在AD上取一点H ，使得AH AB = ，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2） AC 平分 BAD ， BAC DAC = ， AC AC = ，AD AB ，ABC 与ACD 是友谊三角形， BC CD = ， 在AD上取一点H ，使得AH AB = ，连接CH ，如图 在BAC 和 HAC △ 中， AB AH BAC HAC AC AC = = = ， ( ) SAS BAC HAC ≌ ， BC CH = ， B AHC = ， BC CD = ， CD CH = ， DHC D = ， 180 AHC DHC + = ， 180 B D + = ； 39．我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果 A = ， 180 C = − ，对角线BD平分 ABC ，我们 称这种四边形为“分角对补四边形”． 45 / 74 学科网（北京）股份有限公司 (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” ABCD中，当 90 = 时，根据教材中一个重要性质直接可得 DA DC = ，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想DA与DC 的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰ABC 中， 100 BAC = ，BD平分 ABC ，求证：BD AD BC + = ． 【答案】(1)③； (2) DA DC = ，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2 中，作DE BA ⊥ 交BA延长线于点E，DF BC ⊥ 于点F，证明 DEA DFC ≌ △ △ 即可解决问题； （3）如图3 中，在BC 上截取BG BD = ，连接DG ，根据（2）的结论得到AD DG = ，根据等腰三角形的 判定定理得到GD GC = ，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵BD平分 ABC ， 90 BAD = ， 90 BCD = ， ∴DA DC = ， ∴根据角平分线的性质定理可知AD CD = ， 故答案为：③； （2）解：DA DC = ，理由如下： 如图2 中，作DE BA ⊥ 交BA延长线于点E，DF BC ⊥ 于点F， ， ∵BD平分 EBF ，DE BE ⊥ ，DF BF ⊥ ， ∴DE DF = ， ∵ 180 BAD C + = ， 180 BAD EAD + = ， 46 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∴ EAD C = ， ∵ 90 E DFC = = ， ∴ ( ) AAS DEA DFC ≌ ， ∴DA DC = ； （3）证明：如图3，在BC 上截取BG BD = ，连接DG ， ∵AB AC = ， 100 A = ， 180 ABC C A ++= , ∴ 40 ABC C = = ， ∵BD平分 ABC ， ∴ 1 20 2 DBG ABC = = ， ∵BD BG = ， ∴ ( ) 1 180 80 2 BGD BDG DBG = = − = ， 即 180 A BGD + = ， 由（2）的结论得AD DG = ， ∵ BGD C GDC =+ ， ∴ 40 GDC C = = ， ∴DG CG = ， ∴AD DG CG = = ， ∴BD AD BG CG BC + = + = ． 40．我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果 A = ， 180 C = − ，对角线BD平分 ABC ，我们 称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形” ABCD中，当 90 = 时，根据教材中一个重要性质直接可 得DA DC = ，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想DA与DC 的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在ABC 中，AB AC = ， 100 BAC = ．BD 平分 ABC ，求证：BD AD BC + = ． 47 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）③ ； （2）DA DC = ，理由如下： 如图2 中，作DE BA ⊥ 交BA延长线于点E，DF BC ⊥ 于点F， ∵BD平分 EBF ，DE BE ⊥ ，DF BF ⊥ ， ∴DE DF = ， ∵ 180 BAD C + = ， 180 BAD EAD + = ， ∴ EAD C = ， ∵ 90 E DFC = = ， ∴ ( ) AAS DEA DFC ≌ ， ∴DA DC = ； （3）证明：如图3，在BC 上截取BG BD = ，连接DG ， ∵AB AC = ， 100 A = ， ∴ 40 ABC C = = ， ∵BD平分 ABC ， ∴ 1 20 2 DBG ABC = = ， ∵BD BG = ， ∴ 80 BGD BDG = = ，即 180 A BGD + = ， 由（2）的结论得AD DG = ， ∵ BGD C GDC =+ ， ∴ 40 GDC C = = ， ∴DG CG = ， 48 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∴AD DG CG = = ， ∴BD AD BG CG BC + = + = ． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键 是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2 中，作DE BA ⊥ 交BA延长线于点E，DF BC ⊥ 于点F，证明 ( ) AAS DEA DFC ≌ 即可解决问 题； （3）如图3 中，在BC 上截取BG BD = ，连接DG ，根据（2）的结论得到AD DG = ，根据等腰三角形的 判定定理得到GD GC = ，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵BD平分 ABC ， 90 BAD = ， 90 BCD = ， ∴DA DC = ， ∴根据角平分线的性质定理可知AD CD = ， 故答案为：③； （2） 略 （3） 略 基础通关 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，点P 是 AOB 的角平分线上一点，PE OA ⊥ 于点E，点F 是射线OB 上任 意一点，则（ ） A． PF PE B． PF PE C． PF PE D． PF PE 【答案】B 【分析】先结合角平分线的性质得点P 到OB 的距离 EP = ，又因为垂线段最短得出PF PE ，即可作答． 【详解】解：∵点P 是 AOB 的角平分线上一点，PE OA ⊥ 于点E， ∴点P 到OB 的距离 EP = ， 49 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∵点F 是射线OB 上任意一点， ∴PF PE ． 2．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图射线OC 平分 AOB ，点D 在OC 上，DE AO ⊥ ，DF BO ⊥ ，若 3 DE = ，则DF 的长度为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵OC 平分 AOB ，DE AO ⊥ ，DF BO ⊥ ， ∴ 3 DF DE = = ． 3．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，AD是ABC 的平分线，DE AB ⊥ 于点E，DF AC ⊥ 于点 F．若 16.8 ABC S = △ ， 2.8 DE = ， 5 AC = ，则AB 的长是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由角平分线的性质定理可得 2.8 DE DF = = ，再根据 ABC ABD ACD S S S = + 计算即可得出结果． 【详解】解：∵AD是ABC 的平分线，DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， ∴ 2.8 DE DF = = ， ∵ ABC ABD ACD S S S = + ， ∴1 1 16.8 2 2 AC DF AB DE + = ， ∴1 1 5 2.8 2.8 16.8 2 2 AB + = ， ∴ 7 AB = ． 4．（25-26 八年级上·四川南充·期末）在Rt ABC △ 中， 90 C = ，以A为圆心，适当长为半径画弧，交 AC ，AB 于D，E 两点，再分别以D ，E 为圆心，大于1 2 DE 的长为半径画弧，两弧交于点M ．作射线 AM 交BC 于点F ，若 3 BF = ， 5 BC = ，则点F 到AB 的距离为（ ） 50 / 74 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】过F 点作FH AB ⊥ 于H 点，利用基本作图得到AF 平分 CAB ，则根据角平分线的性质得到 FC FH = ，即可得答案． 【详解】解：如图，过F 点作FH AB ⊥ 于H 点， 3 BF = ， 5 BC = ， 2 FC BC BF = − = ， 由作图知，AF 平分 CAB ， 90 C = ， FC AC ⊥ ， 2 FH FC = = ， 点F 到AB 的距离为2． 5．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知 50 CAB = ，可以求出 DAB =______． 【答案】25/25 度 【详解】解：由尺规作图可知AD是 BAC 的角平分线， 1 1 50 25 2 2 DAB CAB = = = ． 6．（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 B = ，AD平分 BAC ， 10 BC = ， 6 CD = ，则点D到AC 的距离为______． 51 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】4 【分析】过点D 作DE AC ⊥ 于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进 行解答． 【详解】解：过点D 作DE AC ⊥ 于点E， ∵ 10 BC = ， 6 CD = ， ∴ 10 6 4 BD BC CD = − = −= ， ∵AD平分 BAC ， 90 B = ，DE AC ⊥ ， ∴ 4 DE BD = = ，即点D 到AC 的距离为4． 7．（25-26 八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在ABC 中，AD为BAC 的平分线，DE AB ⊥ 于E， DF AC ⊥ 于F，ABC 的面积是30， 12 AB = ， 10 AC = ，则DE =____________ 【答案】30 11 / 8 211 【分析】根据角平分线的性质可得DE DF = ，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】 AD 为BAC 的平分线，DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， DE DF = ， ∵ABC 面积是30， 1 1 30 2 2 AB DE AC DF + = ， 即1 1 12 10 30 2 2 DE DE + = ， 解得 30 11 DE = ． 8．（25-26 八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知AD BC ， ABC 的平分线BP与 BAD 的平分线AP 相交 于点P ，作PE AB ⊥ 于点E ，作MN AD ⊥ 于点M ，交BC 于点N ．若 2 PE = ，则两平行线AD与BC 之间 的距离MN 为_________． 52 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；由 ABC 的平分线BP与 BAD 的平分线AP 相交于点P ，可得PE PM = , PE PN = ，然后由MN PM PN = + 即可求解. 【详解】解：∵AP 平分 BAD ，MN AD ⊥ ，PE AB ⊥ ， ∴ 2 PE PM = = ， ∵AD BC ，MN AD ⊥ ， ∴MN BC ⊥ ， ∵BP平分 ABC ，MN BC ⊥ ，PE AB ⊥ ， ∴ 2 PE PN = = ， ∴ 2 2 4 MN PM PN = + = + = . 故答案为：4. 9．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，在ABC 中， 60 BAC = ， 45 B = ． (1)画出ABC 的角平分线AD； (2)求 ADB 的度数． 【答案】(1) 由题意，画图如下： (2)105 【分析】1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出 BAD 的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）解：略； 53 / 74 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：∵ 60 BAC = ， 45 B = ，AD为ABC 的角平分线， ∴ 1 30 2 BAD BAC = = ， ∴ 180 45 30 105 ADB = − − = ． 10．（25-26 八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在ABC 中，O 为 ABC ， ACB 的平分线的交点， OD AB ⊥ ，OE AC ⊥ ，OF BC ⊥ ，垂足分别为 , , D E F ． (1)OD 与OE 是否相等，请说明理由； (2)若ABC 的周长是40，且 6 OF = ，求ABC 的面积． 【答案】(1)OD OE = ，理由见解析 (2)120 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到OD OF OF OE = = ， ，则OD OE = ； （2）如图所示，连接OA，根据 ABC AOB AOC BOC S S S S = + + △ △ △ △ 推出 ( ) 3 ABC S AB AC BC = + + ，再由ABC 的 周长是40，得到 40 AB AC BC + + = ，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：OD OE = ，理由如下： ∵O 为 ABC ， ACB 的平分线的交点，OD AB ⊥ ，OE AC ⊥ ，OF BC ⊥ ， ∴OD OF OF OE = = ， ， ∴OD OE = ； （2）解：如图所示，连接OA， 由（1）得 6 OD OE OF = = = ， ∵ ABC AOB AOC BOC S S S S = + + △ △ △ △ ， ∴ 1 1 1 2 2 2 ABC S AB OD AC OE BC OF = + + △ 54 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 1 6 2 AB AC BC = + + ， ( ) 3 AB AC BC = + + ∵ABC 的周长是40， ∴ 40 AB AC BC + + = ， ∴ ( ) 3 120 ABC S AB AC BC = + + = ． 素养提升 11．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在ABC 中，CD平分 ACB ，DE BC ⊥ 于点E ，ABC 的面积为28 ， 4 DE = ， 9 BC = ，则AC 的长是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】过点D作DF AC ⊥ 于点F ，利用角平分线的性质得出 4 DF DE = = ，再根据 ABC ACD BCD S S S = + 即可求解． 【详解】解：过点D作DF AC ⊥ 于点F ， ∵CD平分 ACB ，DE BC ⊥ ， 4 DE = ， ∴ 4 DF DE = = ， ∴ 1 1 4 4 2 2 ABC ACD BCD S S S AC BC = + = + ， ∵ 28 ABC S = ， 9 BC = ， ∴28 2 18 AC = + ， ∴2 10 AC = ， ∴ 5 AC = ． 12．（2026·陕西渭南·一模）如图，在ABC 中， 3 2 BC AB = ， ABC 的平分线BD交AC 边于点D．若 ABC 的面积为15，则ABD 的面积为（ ） 55 / 74 学科网（北京）股份有限公司 A．9 B．6 C．5 D．5.5 【答案】B 【详解】解：过点D作DE AB ⊥ 于点E ，DF BC ⊥ 于点F ， BD 平分 ABC ，DE AB ⊥ ，DF BC ⊥ ， DE DF = ， 设DE DF h = = ， 1 2 ABD S AB h = ， 1 2 CBD S BC h = ， 3 2 BC AB = ， 1 3 3 2 2 2 CBD ABD S AB h S = = ， 15 ABC ABD CBD S S S = + = ， 3 15 2 ABD ABD S S + = ， 5 15 2 ABD S = ， 6 ABD S = ． 13．（25-26 九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在ABC 中，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，两弧 交AB ，AC 于点E，F；分别以点E，F 为圆心，大于1 2 EF 的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG 交BC 于点D．若 9 AB = ， : 3:2 BD CD = ，则AC 的长为（ ） 56 / 74 学科网（北京）股份有限公司 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点D 分别作DH AB ⊥ 于点H，DI AC ⊥ 于点I，过点A 作AJ BC ⊥ 于点J，根据题意可得AD 平分 BAC ，可得DH DI = ，再通过两种方法表示出 ABD S 和 ACD S△ 面积，进而即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD平分 BAC ，过点D 分别作DH AB ⊥ 于点H，DI AC ⊥ 于点I，过点 A 作AJ BC ⊥ 于点J， ∴DH DI = ， 由图可得， 1 3 2 1 2 2 ABD ACD BD AJ S BD S CD CD AJ = = = ； 1 2 1 2 ABD ACD AB DH S AB S AC AC DI = = ， ∴ 3 2 AB BD AC CD = = ， ∴9 3 2 AC = 3 9 2 AC = 解得 6 AC = ． 14．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图所示，AP 垂直于 ABC 的平分线BP于点P ，BPC 的面积为 2 10cm ，则ABC 的面积为（ ） A． 2 15cm B． 2 20cm C． 2 25cm D． 2 30cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形中线的性质，延长AP 交BC 于 点D，由PB为 ABC 的角平分线，则 ABP CBP = ，又AP BP ⊥ ，所以 90 APB BPD = = ，然后证 明 ( ) ASA ABP DBP ≌ ，所以AP DP = ，可得 ABP DBP S S = △ △ ， APC DPC S S = ，从而有 2 ABC ABP APC DBP DPC BPC S S S S S S = + + + = ，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长AP 交BC 于点D ， 57 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∵PB为 ABC 的角平分线， ∴ ABP CBP = ， ∵AP BP ⊥ ， ∴ 90 APB BPD = = ， ∵BP BP = ， ∴ ( ) ASA ABP DBP ≌ ， ∴AP DP = ， ∴ ABP DBP S S = △ △ ， APC DPC S S = ， ∴ ABP APC DBP DPC S S S S + = + ， ∴ BPC ABP APC S S S = + ， ∴ 2 ABC ABP APC DBP DPC BPC S S S S S S = + + + = ， ∵BPC 的面积为 2 10cm ， ∴ABC 的面积为 2 20cm ， 故选：B． 15．（15-16 八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在ABC 中，CD是AB 边上的高线，BE平分 ABC ，交 CD于点E， 5 BC = ， 2 DE = ，则BCE 的面积等于__________． 【答案】5 【分析】作EF BC ⊥ 于F，根据角平分线的性质定理得到 2 EF DE = = ，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E 作EF BC ⊥ 于F， ∵CD是AB 边上的高线，BE平分 ABC ， 58 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 EF DE = = ， ∵ 5 BC = ， ∴BCE 的面积为1 1 5 2 5 2 2 BC EF = = ， 16．（25-26 八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，ABC 的面积为42，AD平分 BAC ，M 为AD的中 点，点N 在CM 上， : 2:1 CN MN = ，若阴影部分的面积为4 ，则AB AC 的值为______． 【答案】3 4 【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积的结合，利用角平分线的 “到角两边距离相等” 及面积比 例关系是解题关键．先根据线段比例推出三角形面积关系，再结合角平分线性质（角平分线上的点到角两 边的距离相等），通过面积比建立AB AC 的比例关系． 【详解】解： : 2:1 CN MN = ， : 1:2 MND NCD S S ， 又 4 MND S ， 8 NCD S ， 12 MCD S ， M 为AD的中点， 12 AMC DMC S S ， 24 ADC S ， 42 24 18 ABD ABC ADC S S S ， 如图，过点D作DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， 1 18 3 2 1 24 4 2 ABD ACD AB DE S S AC DF ， 又 AD 平分 BAC ， DE DF = ， 59 / 74 学科网（北京）股份有限公司 1 18 3 2 1 24 4 2 ABD ACD AB DE S AB S AC AC DF ， 即 3 4 AB AC = ． 17．（25-26 八年级上·四川南充·期中）如图，点P 为定角 AOB 平分线上的一个定点．且 MPN 与 AOB 互补．若 MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：① MN 的长不变；②OM ON + 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④ : : PMO PNO S S MO NO = △ △ ，其 中，正确的结论有______（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作PE OA ⊥ 于 , E PF OB ⊥ 于F ，只要证明 , POE POF PEM PFN △ ≌△ △ ≌△ ，即可一一判断， 【详解】解：作PE OA ⊥ 于 , E PF OB ⊥ 于F ． 90 PEO PFO = = ， 180 EPF AOB + = ， 180 MPN AOB + = ， EPF MPN = ， EPM FPN = ， 在 POE △ 和POF 中， 60 / 74 学科网（北京）股份有限公司 90 PEO PFO POE POF OP OP = = = = ， ( ) AAS POE POF ≌ ， , OE OF PE PF = = ， 在 PEM △ 和PFN 中， 90 PEM PFN PE PF EPM FPN = = = = ， ( ) ASA PEM PFN ≌ ， , NF PM PN EM = = ， PEM PNF S S = △ △ ， ∴ PMON PEOF S S = = 四边形 四边形 定值，故③正确， ∵P 到 , OA OB的距离相等， ∴ : : PMO PNO S S MO NO = △ △ ，故④正确； 2 OM ON OE ME OF NF OE + = + + − = = 定值，故②正确； PM PN = ，PMN 是等腰三角形， ∵P 固定不动，M 和N 在动， ∴PM 和PN 长度会变，导致底边MN 长度是变化的，故①错误． 故答案为：②③④ 18．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 BAC = ， 5 AB = ， 12 AC = ， 13 BC = ，BD平分 ABC 交AC 于点D，点E，F 分别是BD，AB 上的动点，则： （1）AD的长为______； （2）AE EF + 的最小值为______． 【答案】 10 3 60 13 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线， 借助面积法列方程求解． （1）过点D 作DM BC ⊥ ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知DA DM = ，再根据 61 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ABC ADB BCD S S S = + 列方程求出AD的长； ( ) 2 过点A作AN BC ⊥ 交BD于点E，作NF BD ⊥ 交AB 于点F，此时有AN AE E F = + ，利用面积法列 方程求出AN 的长度即为AE EF + 的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点D 作DM BC ⊥ ， BD 平分 ABC 交AC 于点D ， DA DM = ， ABC ADB BCD S S S = + ， 1 1 1 · · · 2 2 2 AB AC AB AD BC DM = + ， 5 AB = ， 12 AC = ， 13 BC = ， 5 12 18AD = ， 解得： 10 3 AD = ， 故答案为：10 3 ； （2）解：如下图所示，过点A作AN BC ⊥ 交BD于点E，作NF BD ⊥ 交AB 于点F，连E F， BD 平分 ABC 交AC 于点D ， 点N 与点F关于BD对称， AN AE E F = + 在ABC 中， 90 5, =12, 13 BAC AB AC BC = = = ， ， 1 1 · · 2 2 AB AC BC AN = ， 5 12 13AN = ， 解得： 60 13 AN = ， 由“两点之间线段最短”知，AE EF + 的最小值为 60 13 AE E F AN + = = ， 故答案为：60 13 ． 19．（25-26 八年级上·四川泸州·期中）如图，ABC 的外角 CBD ， BCH 的平分线BP，CP 相交于点 62 / 74 学科网（北京）股份有限公司 P，PE AD ⊥ 于点E，PF AC ⊥ 于点F． (1)求证：PE PF = ； (2)连接AP ，若 36 ABC = ，求 APC 的度数． 【答案】(1) 证明：过P 作PG BC ⊥ 于G，如图所示： ∵PB平分 CBD ，PE BD ⊥ ， ∴PE PG = ， 同理：PF PG = ， ∴PE PF = ； (2)18 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题 的关键． （1）过P 作PG BC ⊥ 于G，根据角平分线性质得出PE PG = ，PF PG = ，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出AP 平分 BAC ，根据角平分线定义得出 1 2 CAP BAC = ，根据三角形外 角性质得出 PCH CAP APC = + ，根据 BCH BAC ABC = + ，得出 ( ) 1 1 2 2 BAC ABC BAC APC + = + ，最后求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵PE AD ⊥ ，PF AC ⊥ ，PE PF = ， ∴AP 平分 BAC ， ∴ 1 2 CAP BAC = ， ∵CP 平分 BCH ， 63 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 2 PCH BCH = ， ∵ PCH CAP APC = + ， ∴1 1 2 2 BCH BAC APC = + ， ∵ BCH BAC ABC = + ， ∴( ) 1 1 2 2 BAC ABC BAC APC + = + ， ∴ 1 1 36 18 2 2 APC ABC = = = ． 20．（25-26 八年级上·广西南宁·阶段检测）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，OC 是 AOB 的平分 线，P 是OC 上任一点，作OA与OB 的垂线，垂足分别为点D 和点E，通过测量，我们发现PD与PE相 等．再类似取点 1P ， 2P ，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1 写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形ABCD中， B C = ，点E 在BC 边上，AE 平分 BAD ，DE 平分 ADC ．求证：BE CE = ． 【答案】(1) 已知：OC 平分 AOB ，PE OB ⊥ 于E 点，PD OA ⊥ 于D 点，如图1， 求证： . PE PD = 证明： OC 平分 AOB ， 64 / 74 学科网（北京）股份有限公司 POE POD = ， PE OB ⊥ 于E 点，PD OA ⊥ 于D 点， 90 PEO PDO = = ， 在 POE △ 和POD 中， PEO PDO POE POD OP OP = = = ， POE ≌POD ， PE PD = ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； (2) 证明：过E 点作EF AB ⊥ 于F 点，EG AD ⊥ 于G 点，EH CD ⊥ 于H 点，如图2， AE 平分 BAD ，DE 平分 ADC ， EF EG = ，EG EH = ， EF EH = ， 在BEF 和 CEH △ 中， B C EFB EHC EF EH = = = ， BEF ≌ CEH △ ， . BE CE = 【分析】本题考查了命题，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）先结合图1 写出已知、求证，然后证明POE ≌POD ，从而得到PE PD = ， （2）证明：过E 点作EF AB ⊥ 于F 点，EG AD ⊥ 于G 点，EH CD ⊥ 于H 点，如图2，根据角平分线的性 质可证明EF EH = ，然后证明 BEF≌ △ CEH △ ，从而得到 . BE CE = 【详解】（1）略 （2）略 65 / 74 学科网（北京）股份有限公司 迁移创新 21．（25-26 八年级上·河北邢台·期中）如图，已知AC 平分 DAB ，CE AB ⊥ 于E， 2 AB AD BE = + ，则 下列结论：① 2 AB AD AE + = ；② 180 DAB DCB + = ；③CD CB = ；④ △ △ △ = − ACE BCE ADC S S S ；其中正 确结论的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作CF AD ⊥ 交AD的延长线于点F，则CF CE = ， 90 F AEC BEC = = = ，即可证明 ( ) Rt Rt HL ACF ACE ≌ ，得 AF AE = ，所以 2 AB AD DF BE AD BE = + + = + ，可推导出DF BE = ，则 2 AB AD AE BE AF DF AE + = + + − = ，可判断①正确；证明 ( ) SAS DCF BCE ≌ ，得CD CB = ， CDF B = ，可判断③正确；由 180 ADC CDF + = ，得 180 ADC B += ，所以 180 DAB DCB + = ，可判断②正确；由AF AE = ，DF BE = ，CF CE = ，可推导出 1 1 1 2 2 2 ACE BCE ADC S S CE AE CE BE CF AD S − = − = = ，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作CF AD ⊥ 交AD的延长线于点F， ∵AC 平分 DAB ，CE AB ⊥ 于E， ∴CF CE = ， 90 F AEC BEC = = = ， 在Rt ACF △ 和Rt ACE 中， AC AC CF CE = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL ACF ACE ≌ ， ∴AF AE = ， ∴AD DF AB BE + = − ， 小学 初中 66 / 74 学科网（北京）股份有限公司 ∴AB AD DF BE = + + ， ∵ 2 AB AD BE = + ， ∴ 2 DF BE BE + = ， ∴DF BE = ， ∴ 2 AB AD AE BE AF DF AE AF AE + = + + − = + = ， 故①正确； 在DCF 和BCE 中， CF CE F BEC DF BE = = = ， ∴ ( ) SAS DCF BCE ≌ ， ∴CD CB = ， CDF B = ， 故③正确； ∵ 180 ADC CDF + = ， ∴ 180 ADC B += ， ∴ 180 DAB DCB + = ， 故②正确； ∵AF AE = ，DF BE = ，CF CE = ， ∴ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ACE BCE ADC S S CE AE CE BE CE AE BE CF AF DF CF AD S − = − = − = − = = ， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4 个． 故选：D． 22．（25-26 八年级上·山东临沂·期中）如图，在 AOB 的边OA，OB 上取点M ，N ，连接MN ，MP 平分 , AMN NP 平分 MNB ，若 2 MN = ，PMN 的面积是4， OMN △ 的面积是6，则OM ON + 的长是 _____． 【答案】5 【分析】本题主要考查角平分线；过点P 作PE OB ⊥ ，垂足为点E，过点P 作PF MN ⊥ ，垂足为点F， 67 / 74 学科网（北京）股份有限公司 过点P 作PG OA ⊥ ，垂足为点G，连接OP ．得到1 · 4 2 MN PF = ， 4 PG PE = = ，根据 OMN △ 的面积是 6，求出 + 6 − = OMP ONP PMN S S S ，得到1 1 · · 4 6 2 2 OM PG ON PE + − = ，即可求出结果． 【详解】解：过点P 作PE OB ⊥ ，垂足为点E，过点P 作PF MN ⊥ ，垂足为点F，过点P 作PG OA ⊥ ， 垂足为点G，连接OP ． ∵P 是 MON △ 外角平分线的交点， ∴PF PG PE = = ， ∵ 2 MN = ，PMN 的面积是4， ∴1 · 4 2 MN PF = ， ∴ 4 PF = ， ∴ 4 PG PE = = ， ∵ OMN △ 的面积是6， ∴ + 6 − = OMP ONP PMN S S S ， ∴1 1 · · 4 6 2 2 OM PG ON PE + − = ， ∴ 5 OM ON + = ． 故答案为：5． 23．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在ACB 中， 90 ACB = ，AD平分 , 5, 12, 13 BAC BC AC AB = = = ，其中E 是AC 上的动点，F 是AD上的动点，则EF FC + 的最小值为 _____ ． 68 / 74 学科网（北京）股份有限公司 【答案】60 13 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线， 借助面积法列方程求解． 过点C 作CN AB ⊥ 交AD于点G，作HN AD ⊥ 交AC 于点H，连接HG ，此时有CN CG GH = + ，利用面 积法列方程求出CN 的长度即为EF FC + 的最小值． 【详解】解：过点C 作CN AB ⊥ 交AD于点G，作HN AD ⊥ 交AC 于点H，连接HG ，如图： ∵AD平分 BAC 交BC 于点D ， ∴点N 与点H 关于AD对称， ∴HG NG = ， ∴CN CG GN CG GH = + = + ， ∵在ABC 中， 90 BCA = ， 13 AB = ， 12 AC = ， 5 BC = ， ∴1 1 2 2 BC AC AB CN = ， ∴5 12 13CN = ， 解得： 60 13 CN = ， 由“两点之间线段最短”知，EF FC + 的最小值为 60 13 CG GH CN + = = ， 故答案为：60 13 ． 24．（25-26 八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：OP 平分 AOB ， DCE 的顶点C 在射线OP 上，射线 CD交射线OA于F ，射线CE 交射线OB 于G ． 69 / 74 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图①，若CD OA ⊥ ，CE OB ⊥ ，请直接写出线段CF 与CG 的数量关系：___________； (2)如图②，若 120 AOB = ， DCE AOC = ，试判断线段CF 与线段CG 的数量关系并加以证明； (3)若 AOB = ，当 DCE 满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出 DCE 满足 的条件． 【答案】(1)CF CG = (2) 解：CF CG = ，理由如下： 证明：过点C 作CM OA ⊥ 于M，CN OB ⊥ 于N． ∵OC 平分 AOB ， ∴CM CN = ①， 90 CMF CNG = = ②， AOC BOC = ． ∵ 120 AOB = ， ∴ 60 AOC BOC = = ， 360 60 MCN AOB CMF CNO = − − − = ． ∴ 60 DCE AOC = = ． ∴ MCN FCG = ． ∴ MCN FCN FCG FCN − = − ． 即 1 2 = ③ 由①②③得 ( ) ASA CMF CNG ≌ ． ∴CF CG = ； (3) 180 DCE = − 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识点，解题 的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）根据角平分线性质定理即可求解； 70 / 74 学科网（北京）股份有限公司 （2）过点C 作CM OA ⊥ 于M，CN OB ⊥ 于N，证明 ( ) ASA CMF CNG ≌ 即可； （3）过点C 作CM OA ⊥ 于M，CN OB ⊥ 于N，证明 ( ) ASA CMF CNG ≌ 即可． 【详解】（1）解：∵OP 平分 AOB ，CD OA ⊥ ，CE OB ⊥ ， ∴CF CG = ， 故答案为：CF CG = ； （2）略 （3）解：当 180 DCE = − ，（2）中结论仍然成立， 证明：过点C 作CM OA ⊥ 于M，CN OB ⊥ 于N． ∵OC 平分 AOB ， ∴CM CN = ①， 90 CMF CNG = = ②， ∵ AOB = ， ∴ 360 180 MCN AOB CMF CNO = − − − = − ． ∴ MCN DCE = ． ∴ MCN FCN FCG FCN − = − ． 即 1 2 = ③ 由①②③得 ( ) ASA CMF CNG ≌ ． ∴CF CG = ． 25．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段检测）在ABC 中， 5 AB = ， 3 AC = ．若点D 在 BAC 的平分线所在 的直线上． (1)如图1，当点D在ABC 的外部时，过点D 作DE AB ⊥ 于E ，作DF AC ⊥ 交AC 的延长线于F ，且 BE CF = ．求证：点D 在BC 的垂直平分线上； (2)如图2，当点D在线段BC 上时，若 90 C = ，BE平分 ABC ，交AC 于点E ，交AD与点F ，过点F 71 / 74 学科网（北京）股份有限公司 作FG BE ⊥ ，交BC 于点G ． ① DFG = ； ②若 4 BC = ， 4 3 EC = ，求GC 的长度． (3)如图3，过点A的直线l BC ，若 90 C = ， 4 BC = ，点D 到ABC 三边所在直线的距离相等，则点D 到直线l 的距离是______． 【答案】(1) 证明：连接BD，CD，如图1， 点D 在 BAC 的平分线所在的直线上，过点D 作DE AB ⊥ 于E ，作DF AC ⊥ 交 AC 的延长线于F ， DE DF = ， 在BDE 和 CDF △ 中， 90 BE CF BED CFD DE DF = = = = ， (SAS) BDE CDF ≌ ， BD CD = ， 点D在BC 的垂直平分线上； (2)①45；②2 3 (3)1 或2 或3 或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质 定理是解决问题的关键． （1）①点D在 BAC 的平分线所在的直线上，过点D 作DE AB ⊥ 于E ，作DF AC ⊥ 交AC 的延长线于 F ，得出DE DF = ，借助Rt Rt (SAS) BDE CDF ≌ ，得到BD CD = ，即可证明点D 在BC 的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得 45 ABF BAF + = ，再利用三角形的外角性质求得 45 DFB ABF BAF = + = ，即可求解； ②延长FG 交AB 于H ，证明 (ASA) AFH AFE ≌ ，得到 5 3 AH AE = = ，再由 (ASA) BFG BFH ≌ ，即可求 解； 72 / 74 学科网（北京）股份有限公司 （3）分4 种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：① BE 平分 ABC ，AD平分 BAC ， 90 C = ， 1 1 1 90 45 2 2 2 ABC BAC + = = ，即 45 ABF BAF + = ， 45 DFB ABF BAF = + = ， FG BE ⊥ ，即 90 BFG = ， 90 45 DFG DFB = − = ； 故答案为：45； ②延长FG 交AB 于H ，如图2， 45 AFH DFG = = ， 45 AFE BFD = = ， AFH AFE = ， 在 AFH △ 和 AFE △ 中， AFH AFE AF AF HAF EAF = = = ， (ASA) AFH AFE ≌ ， AH AE = ， ∵ 5 AB = ， 3 AC = ， 4 BC = ， 4 3 EC = ， 3 5 3 4 3 AE AC CE = − = − = ， 5 3 AH AE = = ， 3 10 BH AB AH = − = ， CBE ABE = ， 90 BFH BFG = = ，BF BF = ， (ASA) BFG BFH ≌ ， 10 3 BH BG = = ， 3 2 10 4 3 GC BC BG = − = − = ； 73 / 74 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：当点D 在ABC 内部时，如图3: 1 1 1 1 2 2 2 2 ABC S AC BC AB h AC h BC h = = + + ， 3 4 (3 4 5) h = + + ， 1 h = ， 点D到直线l 的距离是 3 1 2 AC h − = −= ； 当点D在BC 的下方时，如图4: 设点D到三边的距离为x ， 由题意得： 4 BE x = −，AE AF = ， 5 4 3 x x + − = + ， 3 x = ， 点D到直线l 的距离是 6 AF = ； 综上，点D到直线l 的距离是2 或6． 当点D 在AC 的右边时，如图： 74 / 74 学科网（北京）股份有限公司 设点D 到三边的距离为y， 同理可得：4 5 3 y y + = + − ， ∴ 2 y = ， 点D 到直线l 的距离是3 1 y − = ； 当点D 在AB 的上方时，如图： 设点D 到三边的距离为z， 同理可得： 3 4 5 z z −+ − = ， ∴ 6 z = ， 点D 到直线l 的距离是 3 3 z −= ； 综上，点D 到直线l 的距离是1 或2 或3 或6． 故答案为：1 或2 或3 或6．
