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14.1 全等三角形及其性质 （导学案）
【学习目标】
1. 理解全等形和全等三角形的概念，能识别全等三角形及其对应边、对应角。
2. 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，并能运用性质解决简单的几何计算和证明问题。
3. 经历观察、操作、归纳等过程，体会图形变换（平移、旋转、翻折）中全等关系的不变性，发展几
何直观和推理能力。
【学习重点】
全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），并能运用性质进行简单的计算和推理。
【学习难点】
在较复杂的图形中正确识别全等三角形的对应边和对应角，理解对应关系的确定方法。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1. 全等形的概念：
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫作全等形。能够完全
重合的两个三角形叫作全等三角形。
把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫
作对应角。
2. 全等三角形的表示方法
"全等"用符号"≌"表示，读作"全等于"。
3. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
几何语言：
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
【课堂探究】
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情景导入
展示四组全等形实例，引出概念
观察与思考1：下列各组图形的形状与大小有什么特点？
各组图形：形状相同，大小相等。
全等形的概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫作全等
形。能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
新知探究
1.全等三角形的概念
观察与思考2：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但是形状、大小没有改变，即平移、翻折、
旋转前后的图形全等。
图形全等只与形状和大小有关，与位置无关。
知识小练
1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ B ）
2. 下列各组中的两个图形属于全等形的是（ C ）
3.下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（C）
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观察与思考3.观看ppt 动画演示
把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作
对应角。
你能指出上面两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？
对应顶点：点A 与点D，点B 与点E，点C 与点F；
对应边：AB 与DE，AC 与DF，BC 与EF；
对应角：∠A 与∠D，∠B 与∠E，∠C 与∠F
2. 全等三角形的表示方法
"全等"用符号"≌"表示，读作"全等于"。
记两个三角形全等，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
几何语言：
∵ △ABC≌△DEF
∴ AB=DE，AC=DF，BC=EF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
写出下列图形全等式，并指出对应顶点、对应边和对应角
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△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
对应点：点𝐴与点𝐷,点𝐵与点𝐸,点𝐶与点𝐹,
对应边：𝐴𝐵与𝐷𝐸, 𝐴𝐶与𝐷𝐹, 𝐵𝐶与𝐸𝐹,
即：𝐴𝐵= 𝐷𝐸, 𝐴𝐶= 𝐷𝐹, 𝐵𝐶= 𝐸𝐹
对应角：∠𝐴与∠𝐷, ∠𝐵与∠𝐸, ∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐷𝐹𝐸
即：∠𝐴= ∠𝐷, ∠𝐵= ∠𝐸, ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
对应点：点𝐴与点𝐴,点𝐵与点𝐷,点𝐶与点𝐸,
对应边：𝐴𝐵与𝐴𝐷, 𝐴𝐶与𝐴𝐸, 𝐵𝐶与𝐷𝐸,
即：𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐴𝐶= 𝐴𝐸, 𝐵𝐶= 𝐷𝐸
对应角：∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐴𝐸, ∠𝐵与∠𝐷, ∠𝐶与∠𝐸
即：∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸, ∠𝐵= ∠𝐷, ∠𝐶= ∠𝐸
规律一：有对顶角的，对顶角是对应角。
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷
对应点：点𝐴与点𝐴,点𝐵与点𝐵,点𝐶与点𝐷,
对应边：𝐴𝐵与𝐴𝐵, 𝐴𝐶与𝐴𝐷, 𝐵𝐶与𝐵𝐷,
即：𝐴𝐵= 𝐴𝐵, 𝐴𝐶= 𝐴𝐷, 𝐵𝐶= 𝐵𝐷,
对应角：∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵𝐴𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐵𝐷, ∠𝐶与∠𝐷
即：∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷, ∠𝐶= ∠𝐷
规律二：有公共边的，公共边是对应边。
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△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
对应点：点𝐴与点𝐴,点𝐵与点𝐷,点𝐶与点𝐸,
对应边：𝐴𝐵与𝐴𝐷, 𝐴𝐶与𝐴𝐸, 𝐵𝐶与𝐷𝐸,
即：𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐴𝐶= 𝐴𝐸, 𝐵𝐶= 𝐷𝐸
对应角：∠𝐴与∠𝐴, ∠𝐵与∠𝐷, ∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴𝐸𝐷
即：∠𝐴= ∠𝐴, ∠𝐵= ∠𝐷, ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷
规律三：有公共角的，公共角是对应角
典例分析
例1.（1）如图，△ABD≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，∠ABD=30°，则：BC=5，CD=4，∠CDB=30°
（2）如图，点D、A、E 在同一直线上，BD⊥DE 于点D，CE⊥DE 于点E， △ABD≌△CAE，CE=2，
BD=4，则∠BAC 的度数是90°，四边形DBCE 的面积是18。
例2.如图，△𝐸𝐹𝐺≌△𝑁𝑀𝐻，
(1)写出对应边及对应角；
(2)𝐸𝐹= 2.1，𝐸𝐻= 1.1，𝑁𝐻= 3.3,求线段𝑁𝑀及𝐻𝐺的长度
(3)若∠𝐹= 60°，∠𝑁= 80°，求∠𝐸𝐺𝐹的度数
(4)求证：𝐸𝐹//𝑁𝑀,𝐹𝐺//𝑀𝐻
解：（1）对应边有𝐸𝐹和𝑁𝑀，𝐹𝐺和𝑀𝐻，𝐸𝐺和𝑁𝐻；
对应角有∠𝐸和∠𝑁， ∠𝐹和∠𝑀， ∠𝐸𝐺𝐹和∠𝑁𝐻𝑀.
（2）∵ △𝐸𝐹𝐺≌△𝑁𝑀𝐻，
∴𝑁𝑀= 𝐸𝐹= 2.1𝑐𝑚，𝐸𝐺= 𝑁𝐻= 3.3𝑐𝑚.
∴𝐻𝐺= 𝐸𝐺 −𝐸𝐻= 3.3 −1.1 = 2.2𝑐𝑚.
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(3)∵ △𝐸𝐹𝐺≌△𝑁𝑀𝐻 ∴∠𝐸= ∠𝑁
∵∠𝑁= 80°,∴∠𝐸= 80°
∵∠𝐸𝐺𝐹= 180° −∠𝐸−∠𝐹, ∠𝐹= 60°
∴∠𝐸= 40°
证明(4)∵ △𝐸𝐹𝐺≌△𝑁𝑀𝐻，
∴∠𝐸= ∠𝑁, ∠𝐸𝐺𝐹= ∠𝑁𝐻𝑀
∴𝐸𝐹//𝑁𝑀, 𝐹𝐺//𝑀𝐻.
例3.如图点𝐴，𝐵，𝐶在同一直线上，点𝐸在𝐵𝐷上，且△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶.判断直线𝐴𝐷与直线𝐶𝐸的位置关
系，并说明理由．
解：直线𝐴𝐷与直线𝐶𝐸互相垂直．
理由：如图，延长𝐶𝐸交𝐴𝐷于点𝐹.
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶 ，
∴∠𝐷＝∠𝐶，∠𝐴𝐵𝐷＝∠𝐸𝐵𝐶.
∵点𝐴，𝐵，𝐶在同一直线上，
∴∠𝐴𝐵𝐷＋∠𝐸𝐵𝐶＝180°.
∴∠𝐴𝐵𝐷＝∠𝐸𝐵𝐶＝90°.
∴∠𝐴＋∠𝐷＝∠𝐴＋∠𝐶＝ 90°.
∴∠𝐴𝐹𝐶＝ 90°.
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐷
变式训练
1.如图，将△𝑂𝐴𝐵绕点𝑂按逆时针方向旋转至△𝑂𝐴′𝐵′的位置，使点𝐵恰好落在边𝐴′𝐵′上．已知
𝐴𝐵＝4𝑐𝑚，𝐵𝐵′＝1𝑐𝑚，则𝐴′𝐵的长是__3__cm.
2.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵＝90°，∠𝐴＝50°，将其折叠，使点𝐴落在边𝐶𝐵上的点𝐴′处，折痕为
𝐶𝐷，则∠𝐴′𝐷𝐵的度数为_10°___．
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3.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵＝90°，且𝐴𝐶＝𝐵𝐶＝6𝑐𝑚，已知△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐸.求四边形𝐴𝐸𝐶𝐷的面
积．
解：∵△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，
∴△𝐴𝐶𝐸与△𝐵𝐶𝐷的面积相等．𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐷
∴ 𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐷＝𝑆∆𝐴𝐶𝐷+ 𝑆∆𝐴𝐶𝐸＝ 𝑆∆𝐴𝐶𝐷+ 𝑆∆𝐵𝐶𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐵
∵∠𝐴𝐶𝐵＝90°，𝐴𝐶＝𝐵𝐶＝6𝑐𝑚，
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐷＝ 𝑆∆𝐴𝐶𝐵 ＝
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐶=
1
2 × 6 × 6 = 18𝑐𝑚2
4.如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，点𝐷在𝐴𝐶上，𝐵𝐶与𝐷𝐸交于点𝑃.
(1)若∠𝐴𝐵𝐸＝160°，∠𝐷𝐵𝐶＝30°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
(2)若𝐴𝐷＝𝐷𝐶＝3𝑐𝑚， 𝐵𝐶＝4.5𝑐𝑚，求△𝐷𝐶𝑃与△𝐵𝑃𝐸的周长之和．
解：(1)∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐷𝐵𝐸.
∴∠𝐴𝐵𝐶－∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸－∠𝐷𝐵𝐶，
即∠𝐴𝐵𝐷＝∠𝐶𝐵𝐸.
∵∠𝐴𝐵𝐷＋∠𝐶𝐵𝐸＝∠𝐴𝐵𝐸－∠𝐷𝐵𝐶＝130° ，
∴∠𝐶𝐵𝐸＝
1
2 × 130° = 65°
(2)∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，
∴𝐵𝐸＝𝐵𝐶＝4.5𝑐𝑚，𝐷𝐸＝𝐴𝐶＝𝐴𝐷＋𝐷𝐶＝6𝑐𝑚.
∴△𝐷𝐶𝑃与△𝐵𝑃𝐸的周长之和＝𝐷𝐶＋𝐷𝑃＋𝑃𝐶＋𝐵𝑃＋𝑃𝐸＋𝐵𝐸
＝(𝐷𝑃＋𝑃𝐸)＋( 𝐵𝑃＋𝑃𝐶)＋𝐷𝐶＋𝐵𝐸＝𝐷𝐸＋𝐵𝐶＋𝐵𝐸＋𝐷𝐶＝18𝑐𝑚
【课堂总结】
【课堂练习】
1.如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶沿直角边𝐵𝐶所在的直线向右平移得到△𝐷𝐸𝐹，下列结论错误的是(D)
A.△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹 B.∠𝐷𝐸𝐹＝90° C.𝐴𝐶＝𝐷𝐹 D.𝐸𝐶＝𝐶𝐹
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2.如图，已知△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，点𝐵与点𝐶，点𝐸与点𝐷是对应顶点，则∠𝐴𝐸𝐵的对应角是__∠𝐴𝐷𝐶
_____；__∠𝐵𝐴𝐸_____是∠𝐶𝐴𝐷的对应角；𝐴𝐵与_𝐴𝐶___是对应边；CD 的对应边是_𝐵𝐸___；_𝐴𝐷___与
AE 是对应边．
3.已知△𝐴𝐵𝐶的三边长为𝑥, 3，6，△DEF 的三边长为5，6，𝑦 .若△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹全等，则𝑥+ 𝑦的
值为 _8___．
4.如图，将△𝐴𝐵𝐶绕着点𝐶顺时针旋转后得到△𝐴′𝐵′𝐶.若∠𝐴＝40°，∠𝐵′＝110°， 则∠𝐵𝐶𝐴的度数是
___30°_____
5.如图，若△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐶，且∠𝑂＝65°，∠𝐶＝20°，则∠𝑂𝐴𝐷＝__95°__．
6．如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐵𝐸＝2𝑐𝑚，求线段𝐶𝐹的长度．
解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐵𝐶＝𝐸𝐹，
∵BC = 𝐵𝐸＋𝐸𝐶, 𝐸𝐹＝𝐶𝐹＋𝐸𝐶
即𝐵𝐸＋𝐸𝐶＝𝐶𝐹＋𝐸𝐶.
∴𝐵𝐸＝𝐶𝐹
∵𝐵𝐸＝2𝑐𝑚
∴𝐶𝐹＝ 2𝑐𝑚
7.如图，把一张四边形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐷折叠，使点𝐶落到点𝐸处，𝐵𝐸与𝐴𝐷相交于点0.若𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∠𝐷𝐵𝐶= 15°，求∠𝐵𝑂𝐷的度数.
解：由折叠的性质，得△𝐵𝐶𝐷≌△𝐵𝐸𝐷,
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐶= 15°
又∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
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∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶= 15°
∴∠𝐵𝑂𝐷= 180° −∠𝐸𝐵𝐷−∠𝐴𝐷𝐵= 150°.
8.如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐵𝐴𝐸= 100°，𝐵𝐶与𝐴𝐷，𝐷𝐸分别相交于点𝐺，𝐹，求
∠𝐷𝐹𝐵的度数.
解:∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸 ，∴∠𝐵= ∠𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，
即∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐸𝐴𝐶，
又∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐵𝐴𝐸= 100°，
∴∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐸𝐴𝐶= (100° −60°) ÷ 2 = 20°,
又∵∠𝐹𝐺𝐴= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐺，
∴∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐵𝐴𝐺= 20°.
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
