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1.7 角平分线的性质
题型一：利用角平分线的性质求面积
1．
（2025·山西大同·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
C
BD
=
平分
ABC
交AC 于点D．若
0.6,
2
CD
AB
=
=
，
则
ABD
△
的面积是（ ）
A．0.6
B．1.2
C．2
D．2.6
【答案】A
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2 /
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作DE
AB
⊥
于点E，求出
0.6
DE
DC
=
=
，进而求出面积即可．
【详解】解：作DE
AB
⊥
于点E，
90 ,
C
BD
=
平分
ABC
，
0.6
DE
DC
=
=
2
AB =
ABD
的面积是1
2 0.6
0.6
2
=
，
故选：A．
2．（24-25 八年级下·广西桂林·期中）如图，
ABC
的周长是21，OB ，OC 分别平分
ABC
和
ACB
，
OD
BC
⊥
于D ，且
2
OD =
，则
ABC
的面积为（ ）
A．48
B．63
C．21
D．42
【答案】C
【分析】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，过O作OM
AB
⊥
于M ，ON
AC
⊥
于N ，连接OA，由
角平分线的性质推出
2
OM
OD
ON
=
=
=
，由三角形的面积公式得到
(
)
1
2
ABC
S
AB
BC
AC
OD
=
+
+
，代入
数据计算即可．解题的关键是由角平分线的性质推出
2
OM
OD
ON
=
=
=
．
【详解】解：如图，过O作OM
AB
⊥
于M ，ON
AC
⊥
于N ，连接OA，
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∵OB ，OC 分别平分
ABC
和
ACB
，OD
BC
⊥
于D ，
∴
2
OM
OD
=
= ，
2
ON
OD
=
= ，
∵
ABC
的周长是21，
∴
21
AB
BC
AC
+
+
=
，
∴
ABC
OAB
OBC
OAC
S
S
S
S
=
+
+
1
1
1
2
2
2
AB OM
BC OD
AC ON
=
+
+
1
1
1
2
2
2
AB OD
BC OD
AC OD
=
+
+
(
)
1
2
AB
BC
AC
OD
=
+
+
1
21 2
2
=
21
=
，
即
ABC
的面积为21．
故选：C．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在
ABC
中，AD为BC 边上的中线，CE
AB
⊥
于点E ，AD，CE 相
交于点F ，连接BF ．若BF 平分
ABC
，
3
EF = ，
9
BC =
，则CDF
的面积为（ ）
A．27
2
B．9
2
C．27
4
D．6
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性
质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．
过F 作FG
BC
⊥
于G，根据角平分线的性质求得
3
FG
EF
=
=
，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平
分求解即可．
【详解】解：过F 作FG
BC
⊥
于G，
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∵BF 平分
ABC
，FG
BC
⊥
，EF
AB
⊥
，
∴
3
FG
EF
=
=
，
∵AD为
ABC
的BC 边上的中线，
∴FD 为
BFC
△
的BC 边上在中线，
又∵
9
BC =
，
∴
·
4
1
1
1
1
1
27
9 3
2
2
2
2
2
CDF
BFC
S
S
BC FG
=
=
=
=
，
故选：C．
4．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在
ABC
中，
7
AB =
，
6
AC =
，AD平分
BAC
，DE
AC
⊥
于
E ，
2
DE =
，则
ABC
的面积为（ ）
A．13
B．19
C．20
D．26
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解
答本题的关键．
过D 点作DF
AB
⊥
于F ，如图，根据角平分线的性质得到
2
DF
DE
=
= ，然后利用三角形面积公式，利用
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
进行计算即可．
【详解】解：如图，过D点作DF
AB
⊥
于F ，
AD
平分
BAC
，DE
AC
⊥
，DF
AB
⊥
，
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2
DF
DE
=
=
，
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
，
1
1
7
2
6
2
2
2
=
+
，
13
=
．
故选：A．
5．（24-25 七年级下·北京·期中）如图，在ABC
中，E 为AC 的中点，AD平分
BAC
，
:
4:3
CD DB =
，AD
与BE交于点O，已知OAE
的面积为7 ，则ABC
的面积为 ．
【答案】35
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积．根据角平分线的性质得到点D 到AC 和AB 的距离相等，
则利用三角形面积公式得到
:
:
ACD
ABD
S
S
AC AB
=
，所以
:
:
4:3
AC AB
DC DB
=
=
，则
:
2:3
AE AB =
，从而
得到
:
:
2:3
OAE
OAB
S
S
AE AB
=
=
，接着可求出
21
2
OAB
S
=
，然后利用E 为AC 的中点得到
2
ABC
ABE
S
S
=
．
【详解】解：
AD
平分
BAC
，
点D 到AC 和AB 的距离相等，
:
:
ACD
ABD
S
S
AC AB
=
，
:
:
ACD
ABD
S
S
DC DB
=
，
:
:
4:3
AC AB
DC DB
=
=
，
E
为AC 的中点，
:
2:3
AE AB
=
，
O
点到AE 和AB 的距离相等，
:
:
2:3
OAE
OAB
S
S
AE AB
=
=
，
3
3
21
7
2
2
2
OAB
OAE
S
S
=
=
=
，
21
35
7
2
2
ABE
S
=
+
=
，
E
为AC 的中点，
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35
2
2
35
2
ABC
ABE
S
S
=
=
=
．
故答案为：35．
6．（24-25 八年级下·广东清远·期中）如图，在
ABC
中，CD是AB 边上的高，BE 平分
ABC
，交CD于
点E，已知，
8
BC = ，
2
DE =
，则BCE
的面积等于 ．
【答案】8
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点E 作EF
BC
⊥
于
点F ，先根据角平分线的性质定理可得
2
EF
DE
=
=
，再根据三角形的面积公式计算即可得．
【详解】解：如图，过点E 作EF
BC
⊥
于点F ，
∵在
ABC
中，CD是AB 边上的高，
∴CD
BA
⊥
，
又∵BE 平分
ABC
，EF
BC
⊥
，
2
DE =
，
∴
2
EF
DE
=
=
，
∵
8
BC = ，
∴BCE
的面积等于1
1 8 2
8
2
2
BC EF
=
= ，
故答案为：8．
6．（24-25 八年级下·山西运城·期中）如图，
ABC
的外角
DAC
和
ACE
的平分线相交于点M ，点M 到
BE 的距离为4 ．若
7
AB =
，
9
BC =
，则四边形ABCM 的面积为 ．
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【答案】32
【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点M
作MF
BE
⊥
于F ，MG
AC
⊥
于G ，MH
BD
⊥
于H ，连接BM ，根据角平分线的性质得出
4
MF
MG
MH
=
=
=
，
根据
ABM
CBM
ABCM
S
S
S
=
+
四边形
，结合三角形面积公式即可得答案．
【详解】解：如图，过点M 作MF
BE
⊥
于F ，MG
AC
⊥
于G ，MH
BD
⊥
于H ，连接BM ，
∵
ABC
的外角
DAC
和
ACE
的平分线相交于点M ，点M 到BE 的距离为4 ，
∴
4
MF
MG
=
=
，MG
MH
=
，
∴
4
MH =
，
∴
1
1
2
2
ABM
CBM
ABCM
S
S
S
AB MH
BC MF
=
+
=
+
四边形
，
∵
7
AB =
，
9
BC =
，
∴
1
1
7 4
9 4
32
2
2
ABCM
S
=
+
=
四边形
．
故答案为：32
7．
（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，在
ABC
中，
2
3
AB
BC
=
=
，
，BD是
ABC
的平分线，如果
ABC
的面积为 3
2 ，那么
DBC
△
的面积为 ．
【答案】9
10 /0.9
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D 分别作AB
BC
，
的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性
质可得DE
DF
=
，则可证明
2
3
ABD
CBD
S
AB
S
BC
=
=
△
△
，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D 分别作AB
BC
，
的垂线，垂足为E、F，
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∵BD是
ABC
的平分线，DE
AB
DF
BC
⊥
⊥
，
，
∴DE
DF
=
，
∵
1
2
2
1
3
2
ABD
CBD
AB DE
S
AB
S
BC
BC DF
=
=
=
△
△
，
∴
3
9
3
2
10
CBD
ABC
S
S
=
=
+
△
△
，
故答案为；9
10 ．
题型二：利用角平分线的性质求线段长度
1．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD平分
BAC
交BC 于点D，DE
AB
⊥
于
点E，若
6
AC =
，
6
ACD
S
=
，则DE 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D 作DH
AC
⊥
于H，先由三角形面积计算公式求出DH 的
长，再由角平分线的性质可得DE
DH
=
，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D 作DH
AC
⊥
于H，
∵
1
6
2
ACD
S
AC DH
=
=
，
6
AC =
，
∴
2
DH =
，
∵AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
，DH
AC
⊥
，
∴
2
DE
DH
=
=
，
故答案为：2．
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2．（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，CD是AB 边上的高，BE 平分
ABC
，交CD
于点
,
5,
3
E CD
CE
=
=
，则点E 到BC 的距离EF 为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
由题意可知：EF
BC
⊥
于F，由线段的和差可得
5 3
2
DE
CD CE
=
−
= −=
，根据角平分线的性质求出
2
EF
DE
=
=
即可解答．
【详解】解：由题意可知：EF
BC
⊥
于F，
∵
5,
3
=
=
CD
CE
，
∴
5 3
2
DE
CD CE
=
−
= −=
，
∵CD是AB 边上的高，
∴ED
AB
⊥
，
∵BE 平分
ABC
，
∴
2
EF
DE
=
=
，即点E 到BC 的距离EF 为2．
故答案为2．
3．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
C
AD
=
，
是角平分线，若
8
AB =
，
ABD
△
的面积是12，则CD的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D 作DE
AB
⊥
与点E，由角平分线的性质定理可得出
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CD
DE
=
，再根据三角形面积即可得出DE ，进而可得出CD．
【详解】解：过点D 作DE
AB
⊥
与点E，
∵
90
C
AD
=
，
是角平分线，
∴CD
DE
=
，
∵
1
1 8
12
2
2
ABD
S
AB DE
DE
=
=
=
，
∴
3
DE = ，
∴
3
CD =
，
故答案为：3．
4．（2025·云南楚雄·一模）如图，在
ABC
中，
ABC
，
ACB
的平分线交于点O，连接AO ，过点O作
OD
BC
⊥
，OE
AB
⊥
，若
ABC
的面积是12，周长是8，则OE 的长是 .
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是关键．
如图所示，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，由题意可得OD
OE
OF
=
=
，根据
12
ABC
AOB
AOC
BOC
S
S
S
S
=
+
+
=
，
代入求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，
∵点O是
ABC
，
ACB
的平分线交点，
,
,
OE
AB OD
BC OF
OF
⊥
⊥
⊥
，
∴OD
OE
OF
=
=
，
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∵
12
ABC
AOB
AOC
BOC
S
S
S
S
=
+
+
=
，
∴1
1
1
·
·
·
12
2
2
2
ABOE
BC OD
AC OF
+
+
=
，
∴(
)
1
·
12
2 AB
BC
AC OE
+
+
=
，且
8
AB
BC
AC
+
+
=
，
解得，
3
OE = ，
故答案为：3 ．
5．（24-25 八年级下·山东枣庄·期中）如图，BD是
ABC
的平分线，DE
AB
⊥
于E，
2
33cm
ABC
S
=
，
16cm,
14cm
AB
BC
=
=
，则DE 的长是 ．
【答案】2.2cm
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D 作
DF
BC
⊥
于点F，根据角平分线的性质得出DE
DF
=
，再根据
1
1
2
2
ABC
ABD
BCD
S
S
S
AB DE
BC DF
=
+
=
+
，
即可解答．
【详解】解：过点D 作DF
BC
⊥
于点F，
∵BD是
ABC
的平分线，DE
AB
⊥
，DF
BC
⊥
，
∴DE
DF
=
，
∵
1
1
2
2
ABC
ABD
BCD
S
S
S
AB DE
BC DF
=
+
=
+
，
∴1
1
16
14
33
2
2
DE
DE
+
=
，
解得：
2.2cm
DE =
，
故答案为：2.2cm ．
6．
（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，BD是
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
于E ，ABC
的面积是
2
30cm ，
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12cm
AB =
，
18cm
BC =
，则DE = ．
【答案】2cm
【分析】本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点D 作DF
BC
⊥
，
垂足为F ，根据角平分线性质可得DE
DF
=
，根据三角形的面积
1
1
2
2
ABC
S
DE AB
DF BC
=
+
，即可求出
DE 的长度．
【详解】解：过点D作DF
BC
⊥
，垂足为F ，
BD
是
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
，
DE
DF
=
，
ABC
的面积是
2
30cm ，
12cm
AB =
，
18cm
BC =
，
1
1
2
2
ABC
S
DE AB
DF BC
=
+
，
即1
1
18
12
30
2
2
DE
DE
+
=
，
2cm
DE =
，
故答案为：2cm ．
7．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
ABC
和
BAC
的平分线相交于
点O，OD
OA
⊥
交AC 于D，OE
OB
⊥
交BC 于E，
5
AC =
，
12
BC =
，
13
AB =
，则CDE
周长为
【答案】4
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【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题
的关键；延长EO交AB 于N ，延长DO 交AB 于M ，先证明BOE
BON
≌
，AOD
AOM
≌
，EOD
NOM
≌
，
结合
(
)
CE
CD
DE
BC
BE
AC
AD
MN
AC
BC
BN
AM
MN
+
+
=
−
+
−
+
=
+
−
+
−
即可得到答案．
【详解】解：如图，延长EO交AB 于N ，延长DO 交AB 于M ，
，
∵
ABC
和
BAC
的平分线相交于点O，
∴
EBO
NBO
=
，
MAO
DAO
=
，
∵OD
OA
⊥
，OE
OB
⊥
，
∴
90
MOA
DOA
=
=
，
90
EOB
NOB
=
=
，
在AOM
与
AOD
△
中，
∵
MAO
DAO
AO
AO
MOA
DOA
=
=
=
，
∴
(ASA)
AOM
AOD
≌
∴AD
AM
=
， OD
OM
=
，
在
BOE
△
与
BON
△
中，
∵
EBO
NBO
BO
BO
EOB
NOB
=
=
=
，
∴
(ASA)
BOE
BON
≌
，
∴BE
BN
=
，OE
ON
=
，
在
EOD
△
与
NOM
△
中，
∵
OD
OM
EOD
NOM
OE
ON
=
=
=
，
∴
(SAS)
EOD
NOM
≌
，
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∴ED
NM
=
，
∴
(
)
CE
CD
DE
BC
BE
AC
AD
MN
AC
BC
BN
AM
MN
AC
BC
AB
+
+
=
−
+
−
+
=
+
−
+
−
=
+
−
，
∵
5
AC = ，
12
BC =
，
13
AB =
，
∴
5 12 13
4
CE
CD
DE
+
+
= +
−
=
，
故答案为：4．
8．（24-25 八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，BO和CO是ABC
中
ABC
和
ACB
的平分线的交点，若
点O 到BC 的距离为3，到AB 的距离为
1h ，到AC 的距离为
2h ，则
1
2
h
h
+
=
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意易得点O 是ABC
的内心，根据角平分线的性质可得点O
到BC 的距离，点O 到AB 的距离，点O 到AC 的距离相等，得到
1
2
3
h
h
=
=
，即可解答．
【详解】解：由题意易得点O 是ABC
的内心，
则点O 到BC 的距离，点O 到AB 的距离，点O 到AC 的距离相等，
∵点O 到BC 的距离为3，
∴
1
2
3
h
h
=
=
，
∴
1
2
6
h
h
+
=
．
故答案为：6 ．
题型三：利用角平分线的性质求点到直线的距离
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，ABC
中
A
的平分线AD交BC 于点D ，若DE
AB
⊥
于点E ，
且
5
DE =
，则点D 到AC 边的距离是（ ）
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15 /
A．10
B．6
C．5
D．4
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．作DF
AC
⊥
于F ，由角平分线的性
质得到
5
DF
DE
=
=
，于是得到点D 到AC 边的距离是5．
【详解】解：作DF
AC
⊥
于F ，
AD
平分
BAC
，DE
AB
⊥
于E ，
5
DF
DE
=
= ，
点D 到AC 边的距离是5．
故选：C．
2．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，AB
CD
∥
，点O为
BAC
与
ACD
的平分线的交点，OE
AC
⊥
于E ，若
3
OE = ，则AB 与CD两平行线之间的距离是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离，
作
,
OF
AB OG
CD
⊥
⊥
，可知点F，O，G 三点共线，再根据角平分线的性质得
3
OF
OE
OG
=
=
=
，可得答
案．
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16 /
【详解】解：过点O 作
,
OF
AB OG
CD
⊥
⊥
，分别交
,
AB CD 于点F，G，
∴
180
AFO
CGO
+
=
，
∴点F，O，G 三点共线．
∵
,
AO CO 分别是
,
BAC
ACD
的平分线，且
,
,
OF
AB OG
CD OE
AC
⊥
⊥
⊥
，
∴
3
OF
OE
OG
=
=
=
，
∴
6
FG =
，
∴AB 与CD两平行线之间的距离是6．
故选：C．
3．
（24-25 八年级下·广西来宾·期中）如图，已知
ABC
中，
90
C
=
，AD平分
BAC
，且
:
2:3
CD BD =
．若
15
BC =
，则点D 到AB 边的距离为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出
6
CD = ，再利用角平分线上的点到两
边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解： ∵
:
2:3
CD BD =
，
设
2
CD
x
=
，则
3
BD
x
=
，
∴
5
BC
CD
BD
x
=
+
=
，
∵
15
BC =
，
∴5
15
x =
，
∴
3
x = ，
∴
6
CD = ，
过点D 作DE
AB
⊥
于E，
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17 /
∵AD平分
BAC
，
90
C
=
，
∴
6
DE
CD
=
=
，
∴点D 到AB 边的距离是6 ．
故选：C．
4．（24-25 八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD是角平分线，DE
AC
⊥
于点E ，
2
DE =
，
则点D到AB 的距离为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，过D 作DF
AB
⊥
于F，根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：过D 作DF
AB
⊥
于F，
∵AD平分
BAC
，DE
AC
⊥
，
2
DE =
，
∴
2
DF
DE
=
= ，
即点D到AB 的距离为2，
故选：B．
5．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在Rt ABC
中，
90 ,
4cm,
3cm,
5cm
C
AC
BC
AB
=
=
=
=
，
O 是
CAB
与
CBA
平分线的交点，则点O 到AB 的距离为 ．
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18 /
【答案】1cm /1 厘米
【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O 作
,
,
OE
AC OF
BC OG
AB
⊥
⊥
⊥
，连接OC ，易得点O在
ACB
的角平分线上，推出OF
OE
OG
=
=
，设
OE
OF
OG
x
=
=
=
，根据
ABC
OAB
OAC
OCB
S
S
S
S
=
+
+
，建立方程求解即可．
【详解】解：分别过点O 作
,
,
OE
AC OF
BC OG
AB
⊥
⊥
⊥
，连接OC ，
∵点O是
CAB
与
CBA
平分线的交点，
∴点O在
ACB
的角平分线上，
∴OF
OE
OG
=
=
，
设OE
OF
OG
x
=
=
=
，
∵
ABC
OAB
OAC
OCB
S
S
S
S
=
+
+
，
在ABC
中，
90 ,
4cm,
3cm,
5cm
C
AC
BC
AB
=
=
=
=
，
∴1
1
1
1
3 4
5
4
3
2
2
2
2
OG
OE
OF
=
+
+
，
∴6
6
x =
，
∴
1
x = ，
∴点O到AB 的距离等于1cm．
故答案为：1cm．
6．（24-25 八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，BD平分
ABC
，如果
2
CD = ，
点D 到AB 的距离是 ．
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19 /
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D 作DE
AB
⊥
于E，由角平分线的性质得到
2
DE
CD
=
=
，
据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点D 作DE
AB
⊥
于E，
∵BD平分
ABC
，
90
C
=
，DE
AB
⊥
，
∴
2
DE
CD
=
=
，
∴点D 到AB 的距离是2，
故答案为：2．
题型四：利用角平分线的性质求证
1．
（24-25 八年级下·全国·假期作业）如图，已知BD为
ABC
的平分线，AB
BC
=
，点P 在BD上，PM
AD
⊥
于M，PN
CD
⊥
于N，求证：PM
PN
=
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全
等三角形并得到
ADB
CDB
=
是解题的关键．根据角平分线的定义可得
ABD
CBD
=
，然后利用“边角
边”证明ABD
和CBD
全等，根据全等三角形对应角相等可得
ADB
CDB
=
，推出BD为
ADC
的角平分
线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【详解】证明：∵BD为
ABC
的角平分线，
∴
ABD
CBD
=
，
在ABD
和CBD
中，
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20 /
AB
BC
ABD
CBD
BD
BD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
CBD
≌
，
∴
ADB
CDB
=
，
∴BD为
ADC
的角平分线，
∵点P 在BD上，
,
PM
AD PN
CD
⊥
⊥
，
∴PM
PN
=
．
2．（24-25 七年级下·重庆南川·期中）如图，在三角形ABC 中，FG
AC
于点G ，DEA
C
=
，1
2
= ．
(1)求证：BE
AC
⊥
；
(2)若ED平分
AEB
，FD 平分
BFG
交BE 于点H ，求
EHF
的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)112.5．
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质以及角平分线的定义，正确运用相关知识进行推理是解答本题
的关键．
（1）由
DEA
C
=
得出DE
BC
∥
，得出1
HBF
=
，进而得出
2
EBC
= ，可证明BE
GF
∥
，结合
FG
AC
可得结论；
（2）根据平分线的定义得出1
2
45
HBF
=
= =
，
1
67.5
2
GFH
BFG
=
=
，根据平行线的性质可得结
论．
【详解】（1）证明：
DEA
C
=
，
DE
BC
∥
，
1
HBF
=
，
1
2
=
，
2
HBF
=，
BE
GF
∥
，
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21 /
FGC
BEC
=
FG
AC
⊥
，
90
FGC
=
，
90
BEC
FGC
=
=
；
BE
AC
⊥
；
（2）解：
90
AEB
BEC
=
=
，DE 平分
AEB
，
1
45
=
，即1
2
45
HBF
=
= =
，
180
2
135
BFG
=
−=
，
FD
平分
BFG
，
1
67.5
2
GFH
BFG
=
=
，
BE
GF
∥
，
180
EHF
GFH
+
=
，
180
180
67.5
112.5
EHF
GFH
=
−
=
−
=
．
3．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点A 、B 分别是
NOP
、
MOP
平分线上的点，AB
OP
⊥
于点E ，BC
MN
⊥
于点C ，AD
MN
⊥
于点D ，求证：AD
BC
AB
+
=
．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角
平分线的性质得出BC
BP
=
，AD
AP
=
，根据线段的和差关系即可得结论．
【详解】解：∵点A 、B 分别是
NOP
、
MOP
平分线上的点，AB
OP
⊥
，BC
MN
⊥
，AD
MN
⊥
，
∴BC
BP
=
，AD
AP
=
，
∴AD
BC
BP
AP
AB
+
=
+
=
．
4．
（24-25 八年级下·湖南怀化·期中）如图，
90
B
C
=
=
，M 是BC 中点，DM 平分
ADC
，求证：
90
DMA
=
．
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22 /
【答案】见解析
【分析】先利用角平分线的性质证明MC
ME
=
，根据角平分线的意义，得出2 DAM
BAD
=
，再利用中
点的意义结合已知证明BM
MC
ME
=
=
，从而可判定AM 平分
DAB
，根据角平分线的意义，得出
2 ADM
ADC
=
，再证明AB
CD
∥
，根据平行线的性质得出
180
BAD
ADM
+
=
，从而可得
90
ADM
DAM
+
=
，再利用三角形内角和定理得出
90
DMA
=
．
【详解】证明：过M 作ME
AD
⊥
于E，
∵DM 平分
ADC
，
90
C
=
，ME
AD
⊥
，
∴MC
ME
=
，2 ADM
ADC
=
，
∵M 为BC 的中点，
∴BM
MC
ME
=
=
，
∵
90
B
?
? ，ME
AD
⊥
，
∴AM 平分
DAB
，
∴2 DAM
DAB
=
．
90
B
C
=
=
，
∴AB
CD
∥
，
180
BAD
ADC
+
=
，
2
2
180
DAM
ADM
+
=
∴
，
90
DAM
ADM
+
=
，
(
)
180
90
DMA
DAM
ADM
=
−
+
=
．
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即
90
DMA
=
．
5．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）如图，BE ，CE 分别为
ABC
的两个外角的角平分线，EP AM
⊥
于点P，EQ
AN
⊥
于点Q，ED
BC
⊥
于点D，求证：点E 在
NAM
的角平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的
距离相等的点在角的平分线上．先根据角平分线的性质得EP
ED
=
，EQ
ED
=
，进而可知EP
EQ
=
，再根据
角平分线的判定定理证明即可．
【详解】证明：∵BE ，CE 分别为
ABC
的两个外角平分线，EP AM
⊥
，EQ
AN
⊥
，ED
BC
⊥
，
∴EP
ED
=
，EQ
ED
=
，
EP
EQ
=
，
又∵EP AM
⊥
，EQ
AN
⊥
，
点E 在
NAM
的平分线上．
6．（24-25 八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，AD平分
CAE
，
,
DE
AE DF
AC
⊥
⊥
，垂足分别为E，F，
点B 在AE 上，且BD
CD
=
．
(1)求证：BE
CF
=
．
(2)若
12,
8
AC
AB
=
=
，求BE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的
判定是解题的关键．
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24 /
（1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等三角形的判定得出AED
AFD
≌
，根据全等三角形的性质得出AE
AF
=
，再利用线段和差计算
即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AD平分
CAE
，
,
DE
AE DF
AC
⊥
⊥
，
∴DE
DF
=
，
90
E
DFC
=
=
，
在Rt DBE
和Rt DCF
中，
DB
DC
DE
DF
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DBE
DCF
≌
，
∴BE
CF
=
；
（2）解：由（1）得DE
DF
=
，
90
E
DFC
=
=
，BE
CF
=
,
∴
180
90
AFD
DFC
=
−
=
∴在
ADE
和
ADF
△
中，
90
E
AFD
EAD
FAD
AD
AD
=
=
=
=
∴
(
)
Rt
Rt
AAS
ADE
ADF
≌
，
∴AE
AF
=
，
∴AB
BE
AC
CF
+
=
−
，
即8
12
BE
CF
+
=
−
，8
12
BE
BE
+
=
−
，
∴
2
BE =
．
7．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图，ABC
的外角
DAC
和
ACE
的平分线相交于点P，连接BP．
(1)求证：BP平分
ABC
；
(2)若
5
AC = ，
APC
△
的面积是10，
ABC
的面积是15，求
ABC
的周长．
【答案】(1)见解析
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25 /
(2)17.5
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）过点P作PF
BD
⊥
于F，PG
AC
⊥
于G，PH
BE
⊥
于H，根据角平分线的性质得到PF
PG
PH
PG
=
=
，
，
得到PF
PH
=
，再根据角平分线的判定证明；
（2）根据三角形面积公式求出PG ，再根据三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：如图，过点P 作PF
BD
⊥
于F，PG
AC
⊥
于G，PH
BE
⊥
于H，
∵AP 平分
DAC
PF
BD
PG
AC
⊥
⊥
，
，
，
∴PF
PG
=
，
∵CP 平分
ACE
PH
BE
PG
AC
⊥
⊥
，
，
，
∴PH
PG
=
，
∴PF
PH
=
，
∵PF
BD
PH
BE
⊥
⊥
，
，
∴BP平分
ABC
；
（2）解：∵
5
AC
APC
=
，
的面积是10，
∴1 5
10
10
2
PG
G
=
=
，
∴
4
PG =
，
∴
4
PF
PH
PG
=
=
=
，
∵
ABC
的面积是15，
APC
△
的面积是10，
∴1
1
25
2
2
AB PF
BC PH
+
=
，
∴
12.5
AB
BC
+
=
，
∴
ABC
的周长
12.5 5
17.5
AB
BC
AC
=
+
+
=
+ =
．
8．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，点D 在BC 边上，
100 ,
BAD
ABC
=
的平分线
交AC 于点E，过点E 分别作
,
,
EF
AB EG
AD EH
BC
⊥
⊥
⊥
，垂足分别为F，G，H，且
50
AEF
=
，连接DE ．
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(1)试说明：EG
EH
=
；
(2)若
7,
4,
8
AB
AD
CD
=
=
=
，且
15
ACD
S
=
，求ABE
的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 35
4
【分析】（1）根据BE 平分
ABC
得到EF
EH
=
，根据AE 平分
DAF
得到EF
EG
=
即可得证；
（2）设EG
x
=
．由（1），得EF
EH
EG
x
=
=
=
．利用已知建立方程解答即可．
本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，解方程，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵
50
EF
AB
AEF
⊥
=
，
，
∴
90
40
FAE
AEF
=
−
=
．
∵
100
BAD
=
，
∴
180
40
CAD
BAD
FAE
=
−
−
=
，
∴
FAE
CAD
=
即AE 为
DAF
的平分线．
又∵EF
AB
EG
AD
⊥
⊥
，
，
∴EF
EG
=
．
∵BE 是
ABC
的平分线，EF
AB
EH
BC
⊥
⊥
，
，
∴EF
EH
=
，
∴EG
EH
=
．
（2）解：设EG
x
=
．
由（1），得EF
EH
EG
x
=
=
=
．
∵
15,
4,
8
ACD
S
AD
CD
=
=
=
△
，
∴1
1
15
2
2
AD EG
CD EH
+
=
，
即4
8
30
x
x
+
=
，
解得
5
2
x =
，
∴
5
2
EF
x
=
=
，
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∴
1
1
35
7
2
2
4
5
2
ABE
S
AB EF
=
=
=
．
题型五：利用角平分线的判定求角度
1．（24-25 八年级下·江西九江·期中）如图，DA
AC
⊥
，DE
BC
⊥
，若
5cm
AD =
，
5cm
DE =
，
58
ACB
=
，
则
DCE
=（ ）
A．26°
B．29°
C．58°
D．32°
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也
考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到CD平分
ACB
，然后根据角平分线的定义求解．
【详解】
5cm
DA
AC
DE
BC
AD
DE
⊥
⊥
=
=
，
，
，
CD
平分
ACB
，
1
1
58
29
2
2
DCE
ACB
=
=
=
．
故选：B．
2．（2025·江苏泰州·二模）如图，在
ABC
中，D 是CB 延长线上一点，
ACB
与
ABD
的角平分线交于点
E，连接AE ．若要求
BAE
的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A．
ABC
B．
ACB
C．
BAC
D．
AEB
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作EH
BD
⊥
于点H ，EF
AB
⊥
于点F ，EG
AC
⊥
交CA 的延长
线于点G ，根据角平分线的性质，推出EF
EG
=
，进而得到AE 平分
BAG
，得到
(
)
1
1 180
2
2
BAE
BAG
BAC
=
=
−
，即可得出结果．
【详解】解：作EH
BD
⊥
于点H ，EF
AB
⊥
于点F ，EG
AC
⊥
交CA 的延长线于点G ，
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28 /
∵
ACB
与
ABD
的角平分线交于点E，
∴
,
EH
EF EH
EG
=
=
，
∴EF
EG
=
，
∴AE 平分
BAG
，
∴
(
)
1
1 180
2
2
BAE
BAG
BAC
=
=
−
，
∴只需要知道
BAC
的度数即可求出
BAE
的度数；
故选C．
3．（24-25 八年级下·陕西·期中）如图，点C 为
AOB
内部一点，且点C 到AO 的距离与点C 到OB 的距离
相等，连接OC ，若
AOC
23
=
，则
BOC
的度数为（ ）
A．40
B．30
C．25
D．23
【答案】D
【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点C 到AO 的距离与点C 到OB 的距离相等，可得点C
在
AOB
的角平分线上，可得
AOC
BOC
=
，即可解答．
【详解】解：∵点C 为
AOB
内部一点，且点C 到AO 的距离与点C 到OB 的距离相等，
∴点C 在
AOB
的角平分线上，
∴
AOC
BOC
=
，
∵
AOC
23
=
，
∴
23
BOC
=
，
故选：D．
4．（24-25 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O 是
ABC
内一点，且点O 到三边的距离相等，
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29 /
110
BOC
=
，则
A
的度数为（ ）．
A．35
B．40
C．50
D．70
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是
解题的关键．由题意，BO
CO
、
分别为
ABC
和
ACB
的角平分线，利用三角形内角和即可求得
A
．
【详解】解：∵点O 到ABC
三边的距离相等，
∴BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，
∴
(
)
180
A
ABC
ACB
=
−
+
(
)
180
2
OBC
OCB
=
−
+
(
)
180
2
180
BOC
=
−
−
(
)
180
2
180
110
=
−
−
40
=
故选：C．
5．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形ABDC 中，对角线AD平分
138
BAC
ACD
=
，
，
1
90
2
ACB
BCD
+
=
，则
ADB
的度数为（ ）
A．42
B．48
C．50
D．53
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平
分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作DE
AB
⊥
于E ，DF
AC
⊥
于F ，DG
BC
⊥
于G ，
根据角平分线的性质可得DE
DG
=
，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得
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(
)
1
1
2
2
ADB
DBE
DAB
CBE
BAC
ACB
=
−
=
−
=
，即可得到答案．
【详解】解：如图，作DE
AB
⊥
于E ，DF
AC
⊥
于F ，DG
BC
⊥
于G ，
AD
平分
BAC
，DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，
DF
DE
=
，
138
ACD
，
∴
138
ACB
BCD
+
=
∵1
90
2
ACB
BCD
+
=
∴
96
42
ACB
BCD
=
=
，
180
180
138
42
DCF
ACD
=
−
=
−
=
，，
42
BCD
DCF
=
=
，
CD
平分
BCF
，
DF
AC
⊥
，DG
BC
⊥
，
DF
DG
=
，
DE
DG
=
，
BD
平分
CBE
，
1
2
EBD
CBE
=
，
AD
平分
BAC
，
1
2
BAD
BAC
=
，
ADB
DBE
DAB
=
−
1
1
2
2
CBE
BAC
=
−
(
)
1
2
CBE
BAC
=
−
1
2
ACB
=
1
96
2
=
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48
=
，
故选：B．
6．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
60
B
=
，点D 是BC 边上一点，过点D 作
DE
AB
⊥
于点E ，若DE
DC
=
，则
ADE
的度数为 ．
【答案】75
【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
根据三角形内角和定理得出
30
BAC
=
，再由角平分线的判定和性质得出
15
DAE
=
，继续利用三角形内
角和定理即可求解．
【详解】解：∵
90
C
=
，
60
B
=
，
∴
30
BAC
=
，
∵DE
AB
⊥
，DC
AC
⊥
，DE
DC
=
，
∴AD平分
BAC
，
∴
15
DAE
=
，
∴
180
90
15
75
ADE
=
−
−
=
，
故答案为：75．
7．
（24-25 八年级上·河北保定·期中）如图，在ABC
中，
50
CAB
=
，点D 在ABC
的外部，且AD平分
BAC
，
过点D 作DE
AC
⊥
，交AC 的延长线于点E，DF
BC
⊥
，交BC 于点F，连接BD．若
104
BCE
=
，DE
DF
=
，
则
DBC
的度数为 ．
【答案】63/63 度
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行
计算是解决此题的关键．如图，连接CD，过点D 作DG
AB
⊥
，交AB 的延长线于点G ，证明CD平分
BCE
BD
，
平分
CBG
，利用三角形的外角性质求得
54
ABC
=
，进一步计算即可求解．
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32 /
【详解】解：如图，连接CD，过点D 作DG
AB
⊥
，交AB 的延长线于点G ，
DE
AC
⊥
，DF
BC
⊥
，DE
DF
=
，
CD
平分
BCE
，
AD
平分
BAC
，DE
AC
⊥
，DG
AB
⊥
，
DE
DG
=
，
DF
DG
=
，
BD
平分
CBG
，
104
50
54
ABC
BCE
CAB
=
−
=
−
=
，
180
126
CBG
ABC
=
−
=
，
1
63
2
DBC
CBG
=
=
，
故答案为：63．
8．
（24-25 八年级上·江苏扬州·期中）如图，
90
B
C
=
=
，M 是BC 的中点，DM 平分
ADC
，若
100
ADC
=
，
则
MAB
= ．
【答案】40/40 度
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关
键．作MN
AD
⊥
于N ，根据平行线的性质求出
DAB
，根据角平分线的判定定理得到
MAB
1
2
=
DAB
，
计算即可．
【详解】解：作MN
AD
⊥
于N ．
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∵
90
B
C
=
=
，
∴
180 ,
B
C
MN
AD
+
=
⊥
，MC
CD
⊥
∴AB
CD
∥
，
∴
180
70
DAB
ADC
=
−
=
．
∵DM 平分
ADC
，MN
AD
⊥
，MC
CD
⊥
，
∴MN
MC
=
．
∵M 是BC 的中点，
∴MC
MB
=
，
∴MN
MB
=
，
又MN
AD
⊥
，MB
AB
⊥
，
∴
MAB
1
2
=
40
DAB
=
．
故答案为:40．
9．（24-25 八年级上·云南昭通·期中）如图，直线AB ，CD交于点O，ME
AB
⊥
于点E ，MF
CD
⊥
于点F ，
若OE
OF
=
，且
56
AOC
=
，则
OME
的度数为 ．
【答案】28/28 度
【分析】本题考查了四边形内角和定理、同角的补角相等、角平分线的判定与性质．根据平角的定义和四
边形内角和为360可得
180
AOC
AOD
+
=
，
180
AOD
EMF
+
=
，根据同角的补角相等可得
56
EMF
AOC
=
=
，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知MO 是
EMF
的平分线，从而可求
OME
的度数.
【详解】解：根据平角的定义可知：
180
AOC
AOD
+
=
，
在四边形OEMF 中，
360
AOD
EMF
MEO
MFO
+
+
+
=
，
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34 /
ME
AB
⊥
于点E ，MF
CD
⊥
于点F ，
90
MEO
MFO
=
=
，
360
90
90
180
AOD
EMF
+
=
−
−
=
，
56
EMF
AOC
=
=
，
OE
OF
=
，
1
1
56
28
2
2
OME
OMF
EMF
=
=
=
=
．
故答案为： 28．
题型六：尺规作图与角平分线相关求解
1．（2025·上海普陀·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC
AB
，
于点M，点N ，再分别以M
N
，
为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 与BC
交于点D，DE
AB
⊥
，垂足为E ．若
2
CD = ，则DE =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了作角的平分线，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由作图可得AP 是
CAE
的角平分线，然后根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：由作图可得，AP 是
CAE
的角平分线，
∵
90
C
=
，DE
AB
⊥
，
∴DC
DE
=
，
∵
2
CD = ，
∴
2
DE =
．
故选B．
2．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，以顶点A 为圆心，适当长为半径画
弧，分别交AC ，AB 于点M
N
，
，再分别以点M
N
，
为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，
作射线AP 交边BC 于点D ，若
4
CD =
，
15
AB =
，则
ABD
△
的面积是（ ）
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35 /
A．15
B．30
C．45
D．60
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作
DE
AB
⊥
交AB 于点E ，根据角平分线的性质得到
4
DE
CD
=
=
，再根据三角形的面积公式进行计算即可得
到答案．
【详解】解：作DE
AB
⊥
交AB 于点E ，
，
由基本尺规作图可知，AD是
CAB
的平分线，
90
C
=
，
DC
AC
⊥
，
DE
AB
⊥
，
6
DE
CD
=
=
，
1
1 15 4
30
2
2
ABD
S
AB DE
=
=
=
，
故选：B．
3．（2025·海南·模拟预测）如图，直线1
2
l
l
∥，直线AB 分别交1l ，2l 于A，B 两点，以点B 为圆心，适当长
为半径画弧，分别与AB ，2l 交于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于1
2 EF 长为半径画弧，两弧交于
点C，作射线BC 交1l 于点D，若1
27
=
，则
2
的度数为（ ）
A．40
B．45
C．50
D．54
【答案】D
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36 /
【分析】本题考查了尺规作图，平行线的性质，三角形外角的性质．
根据作图步骤可知BD是
ABF
的平分线，根据平行线的性质可得
1
27
DBF
= =
，根据三角形外角的性
质即可得解．
【详解】根据作图步骤可知BD是
ABF
的平分线，
∴
ABD
DBF
=
，
∵直线1
2
l
l
∥，
∴
1
27
DBF
= =
，
∴
27
ABD
DBF
=
=
，
∴
2
1
27
27
54
ABD
= +
=
+
=
．
故选：D．
4．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在
AOB
中，以点O为圆心，任意长为半径作弧交
,
OA OB 于
,
D E 两
点，再分别以
,
D E 为圆心，以大于1
2 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线OP ．过点P 作PF
AO
⊥
于点F ．若
3
PF =
，则点P 到OB 的距离为（ ）
A．9
B．6
C．3
D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点P 作PH
OB
⊥
于H，由作图方法可得，OP 平
分
AOB
，由角平分线的性质可得
3
PH
PF
=
= ，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P 作PH
OB
⊥
于H，
由作图方法可得，OP 平分
AOB
，
∵PF
AO
⊥
，PH
OB
⊥
，
∴
3
PH
PF
=
= ，
∴点P 到OB 的距离为3，
故选：C．
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37 /
5．（24-25 七年级上·山东烟台·期中）如图，在锐角三角形ABC 中，AD是边BC 上的高，在
,
BA BC 上分别
截取线段
,
BE BF ，使BE
BF
=
；分别以点
,
E F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，在
ABC
内，两弧交
于点P，作射线BP交AD于点M，过点M 作MN
AB
⊥
于点N，若
4,
4
MN
AD
MD
=
=
，则AM = ．
【答案】12
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP平分
ABC
，根据角平分线的性
质可知
4
MD
MN
=
=
，结合
4
AD
MD
=
求出AD，AM ．
【详解】解：作图可知BP平分
ABC
，
∵AD是边BC 上的高，MN
AB
⊥
，
4
MN =
，
∴
4
MD
MN
=
=
，
∵
4
AD
MD
=
，
∴
16
AD =
，
∴
12
AM
AD MD
=
−
=
，
故答案为：12．
6．（24-25 八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，已知
MAN
，以点A 为圆心，适当的长为半径作弧，分别
与AM
AN
，
相交于点B，C；分别以点B，C 为圆心，大于1
2 BC 的长为半径作弧，两弧在
MAN
内部相
交于点P，作射线AP ；分别以点A，B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE
分别与AB
AP
，
相交于点F，Q．若
4
AB =
，
67.5
PQE
=
，则点F 到AN 的距离为 ．
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【答案】2
【分析】本题考查了角平分线、垂直平分线的作法及性质，等腰直角三角形的性质．如图，过点F 作FH
AC
⊥
于H，证明
,
1
,
2
2
BAP
CAP DE
AB AF
BF
AB
=
⊥
=
=
=
，再证明
45
FAH
=
，再结合等腰直角三角形的性
质可得答案．
【详解】解：如图，过点F 作FH
AC
⊥
于H，
由作图知AP 平分
MAN
，DE 垂直平分线段AB ，
,
1
,
2
2
BAP
CAP DE
AB AF
BF
AB
=
⊥
=
=
=
，
67.5
PQE
=
，
67.5
FQA
=
，
90
67.5
22.5
BAP
CAP
=
=
−
=
，
45
FAH
=
，
FAH
是等腰直角三角形，
2
2
2
2
2
2
FH
AF
=
=
=
，
点F 到AN 的距离为2
故答案为：2 ．
7．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）在
ABC
中，
48
70
B
ACB
=
=
，
，按下列步骤作图：①以点
C 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交BC
AC
，
于M
N
，
两点；②分别以点M
N
，
为圆心，以大于1
2 MN
的长为半径画弧，两弧交于点P ；③作射线CP 交AB 于点E ．则
BEC
的度数是 ．
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【答案】97/97 度
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线定义，先根据尺规作图的步骤可
知CP 平分
ACB
，进而求出
BCE
，再根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：根据题意可知CP 平分
ACB
，且
70
ACB
=
，
∴
1
35
2
BCE
ACB
=
=
．
∵
48
B
=
，
∴
180
97
BEC
B
BCE
=
−−
=
．
故答案为：97．
8．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在
ABC
中，
60
70
ABC
ACB
ACD
=
=
，
，
为
ABC
的外角，以点
B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB
BC
，
于点E
F
，
，分别以点E
F
，
为圆心，大于1
2 EF 长为半径作
弧，两弧交于点G ，作射线BG ，以点C 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC
CD
，
于点H
I
，，分别以
点H
I
，为圆心，大于1
2 IH 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线CP 交射线BG 于点Q ，则
BQC
的度数
为 ．
【答案】25/25 度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义及其尺规作图，根据平角的定义得到
110
ACD
=
，由作图方法可知，BQ
CQ
，
分别平分
ABC
ACD
，
，根据角平分线的定义可得
QBC
QCD
∠
，∠
的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵
70
ACB
=
，
∴
180
110
ACD
ACB
=
−
=
，
由作图方法可知，BQ
CQ
，
分别平分
ABC
ACD
，
，
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40 /
∴
1
1
30
55
2
2
QBC
ABC
QCD
ACD
=
=
=
=
∠
∠
，∠
∠
，
∴
25
BQC
QCD
QBC
=
−
=
∠
∠
∠
，
故答案为：25．
题型七：角平分线中尺规作图解答题
1．（24-25 九年级下·甘肃临夏·期中）如图，已知在
ABC
中，
90
ACB
=
，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C 作CD
AB
⊥
于点D；
(2)在CD上求作一点E，使得点E 到AC 的距离等于DE 的长．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）以点C 为圆心，适当长度为半径画弧交AB 于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN 长度为
半径画弧交点T ，连接CT ，与AB 交于一点D ，此时CD
AB
⊥
，即可作答．
（2）理解点E 在CD上且点E 到AC 的距离等于DE 的长，即要求点E 在
BAC
的角平分线上，故
BAC
的
角平分线上与CD的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出
BAC
的角平分线，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，CD
AB
⊥
如图所示：
（2）解：依题意，点E 如图所示．
2．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路m 、n 之间修建一座电视信号发射塔，按
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41 /
照设计要求，发射塔到两个村庄A 、B 的距离相等，到公路m 、n 的距离也相等，问：发射塔应建在什么位
置？请用尺规作图法，在图中用点P 表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求．
【详解】解：如图所示，点P 即为所求作的点．
3．（24-25 七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)如图①，已知
ABC
，作边BC 的垂直平分线，交边AB 于点M，交边BC 于点N；
(2)如图②，已知
AOB
，作
AOB
的平分线OC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了基本作图，作一条线段的垂直平分线，作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌
握基本作图步骤．
（1）根据作一条线段垂直平分线的基本作图方法作图即可；
（2）根据作一个角的平分线的基本作图方法作图即可．
【详解】（1）解：如图①，直线MN 即为所求；
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（2）解：如图②，射线OC 即为所求．
4．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在
ABC
中.
(1)尺规作图：作
BAC
的平分线AD交BC 于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若
8
AB =
，
6
AC =
，
ABD
△
的面积为12，求
ABC
的面积
【答案】(1)见解析
(2)21
【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的
距离相等是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点D作DF
AB
⊥
、DE
AC
⊥
，根据角平分线的性质，得到DF
DE
=
，再根据三角形面积公式，求
得
3
DE
DF
=
=
，再由
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线AD即为所求：
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43 /
（2）解：如图，过点D 作DF
AB
⊥
交AB 与点F ，作DE
AC
⊥
交AC 与点E ，
AD
平分
BAC
，
DF
DE
=
，
ABD
的面积为12，
∴1
1
8
12
2
2
AB DF
DF
=
=
，
∴
3
DF
DE
=
=
，
8
AB =
，
6
AC =
，
1
1
12
12
6 3
21
2
2
ABC
ABD
ACD
S
S
S
AC DE
=
+
=
+
=
+
=
．
5．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，已知
ABC
．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作
ABC
的平分线BD，交AC 于点D，作线段BD的垂直平分线EF ，分别交AB
于点E，交BC 于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2) BOE
BOF
≌
，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解
题的关键．
（1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由角平分线的定义得到
EBO
FBO
=
，由线段垂直平分线的性质得到
90
BOE
BOF
=
=
，据此可
利用ASA证明BOE
BOF
≌
．
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44 /
【详解】（1）解；如图所示，射线BD，直线EF 即为所求．
（2）解：BOE
BOF
≌
，证明如下：
∵BD为
ABC
的平分线，
∴
EBO
FBO
=
，
∵EF 垂直平分BD，
∴
90
BOE
BOF
=
=
．
又∵OB
OB
=
，
∴
(
)
ASA
BOE
BOF
≌
．
6．（2025 七年级下·河南郑州·专题练习）如图，已知在
ABC
中．
(1)分别作
B
，
C
的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当
60
A
=
时，
BOC
的度数为______．
(3)当
A
=
时，用含的代数式表示
BOC
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120
(3)
1
90
2
+
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．
（1）根据作角平分线的方法按要求作出图形即可；
（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出
OBC
OCB
+
，可得结论；
（3）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出
OBC
OCB
+
，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示；
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（2）
解：∵
60
A
=
，
∴
180
120
ABC
ACB
A
+
=
−=
，
∵BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，
∴
(
)
1
1
1
60
2
2
2
OBC
OCB
ABC
ACB
ABC
ACB
+
=
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
120
BOC
OBC
OCB
=
−
+
=
，
故答案为：120；
（3）解：∵
A
=
，
∴
180
180
ABC
ACB
A
+
=
−=
−
，
∵BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，
∴
(
)
1
1
1
1
90
2
2
2
2
OBC
OCB
ABC
ACB
ABC
ACB
+
=
+
=
+
=
−
，
∴
(
)
1
180
90
2
BOC
OBC
OCB
=
−
+
=
+
．
7．（24-25 七年级下·江苏连云港·期中）商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市
灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，
决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的
人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区A ，B 到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻
度的直尺和圆规标出伊尹雕像P 点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】图见解析
【分析】本题考查了作图一应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟
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46 /
练掌握五种基本作图．
连接AB ，作线段AB 的垂直平分线MN ，作
COD
的角平分线OT 交MN 于点P ，点P 即为所求．
【详解】解：如图，点P 即为所求．
8．（24-25 七年级下·江苏连云港·期中）如图，在
ABC
中，
90
C
=
．请用无刻度的直尺和圆规完成下列
作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题：
(1)在图1 中，作
CAB
的平分线；
(2)在图2 中，把
ABC
折叠，使得点B 与点A 重合，折痕分别交BC ，AB 于点E ，F ．
①请作出折痕EF ；
②连接EA，若
4
AC =
，
6
BC =
，则
ACE
△
的周长为______．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②10
【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、作垂线，中垂线的性质；
（1）根据作角平分线的方法步骤画图即可；
（2）①根据尺规作垂线的方法作图即可；
②根据作图知，EA
EB
=
，利用三角形周长公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，AD即为所求．
；
（2）解：①如图，折痕EF 即为所求；
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47 /
②连接EA，
由作图知EA
EB
=
，
∴
ACE
△
的周长为
4
6
10
AC
CE
EB
AC
CB
+
+
=
+
=
+
=
，
故答案为：10．
题型八：角平分线的实际应用
1．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于
ABC
的三个顶点处，要在
ABC
内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在
ABC
的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条高所在直线的交点
D．三条中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的
关键．
要使快递站到, ,
A B C 的距离相等，说明快递站在
ABC
的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答．
【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等，
∴快递站应建在
ABC
的三边的垂直平分线的交点处．
故选B．
2．（24-25 七年级下·浙江温州·期末）如图，直线1l ，2l ，3l 表示三条公路．现要建造一个中转站P ，使P 到
三条公路的距离都相等，则中转站P 可选择的点有（ ）
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A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
【答案】D
【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把
三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点
都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处．
综上，可选择的点有四处．
故选：D．
3．
（24-25 八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．
ABC
三条中线的交点
B．
ABC
内任意一点
C．
ABC
三条高所在直线的交点
D．
ABC
三条角平分线的交点
【答案】D
【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，
所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是
ABC
三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择
ABC
三条角平分线的交点，
故选：D．
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4．（24-25 八年级上·辽宁抚顺·期中）在三条公路
,
,
AB AC BC 围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如
图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（ ）
A．三条高线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条中线的交点处
D．三边垂直平分线的交点处
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解．
【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的
交点，
故选：B ．
题型九：角平分线的判定解答题
1．（24-25 八年级下·安徽宿州·期中）如图，
ABC
中，
100
ACB
=
，点D 在边BC 延长线上，
ABC
的
平分线交AD于点E，过点E 作EH
BD
⊥
，垂足为H，且
50
CEH
=
.
(1)求
ACE
的度数；
(2)求证：AE 平分
CAF
；
(3)若
16
AC
CD
+
=
，
10
AB =
，且
24
ACD
S
=
，求ABE
的面积.
【答案】(1)40
(2)见解析
(3) ABE
的面积为15
【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌
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握角的平分线的判定和性质是解题的关键．
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出
ACD
DCE
∠
，∠
的度数即可得到答案；
（2）过点E 作EM
BF
⊥
于点M ，作EN
AC
⊥
于点N ，利用角平分线的性质定理，推出EM
EN
=
，再利
用角的平分线的判定证明即可．
（3）设EM
EH
EN
x
=
=
=
，利用
ACD
ACE
CDE
S
S
S
=
+
，求出
3
x = ，从而求出ABE
的面积即可．
【详解】（1）解：∵
100
ACB
=
，
∴
180
80
ACD
ACB
=
−
=
，
∵EH
BD
⊥
，
50
CEH
=
，
∴
90
40
DCE
CEH
=
−
=
，
∴
40
ACE
ACD
DCE
=
−
=
．
（2）证明：如图，过点E 作EM
BF
⊥
于点M ，作EN
AC
⊥
于点N ，
∵BE 平分
ABC
，
,
EM
BF EH
BD
⊥
⊥
，
EM
EH
=
，
由（1）可知，
40
ACE
DCE
=
=
，即CE 平分
ACD
，
EN
AC
⊥
，EH
CD
⊥
，
EN
EH
=
，
EM
EN
=
，
又点E 在
CAF
的内部，
AE
平分
CAF
；
（3）解：如上图，过点E 作EM
BF
⊥
于点M ，作EN
AC
⊥
于点N ，
由（2）已得：EM
EH
EN
=
=
，
设EM
EH
EN
x
=
=
=
，
∵
24
ACD
S
=
，
∴
24
ACE
DCE
S
S
+
=
△
△
，
∴1
1
24
2
2
AC EN
CD EH
+
=
，即
(
)
1
24
2 x AC
CD
+
=
，
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∴
48
AC
CD
x
+
=
，
又∵
16
AC
CD
+
=
，
∴
3
x = ，
3
EM
= ，
∵
10
AB =
，
∴ABE
的面积为1
1 10 3
15
2
2
AB EM
=
=
．
2．（24-25 八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形ABCD中，BC
CD
=
，过点C 作CE
AB
⊥
于E ，
CF ⊥AD于F 且DF
BE
=
．
(1)求证：AC 平分
DAB
；
(2)若
8cm
AB =
，
2cm
DF =
，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)4cm
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判
定方法以及性质．
（1）证明
(
)
Rt
Rt
HL
BCE
DCF
≌
，得出CE
CF
=
，即可证明结论；
（2）先证明Rt
Rt
ACE
ACF
≌
，得出AE
AF
=
，求出
cm
6
AE
AF
=
=
，即可求出结论．
【详解】（1）证明：
CE
AB
⊥
于E ，CF
AD
⊥
于F ，
90
CFD
=
，
90
CEB
=
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即BCE
和DCF
均为直角三角形，
BC
CD
=
，DF
BE
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
BCE
DCF
≌
，
CE
CF
=
，
又
CE
AB
⊥
，CF
AD
⊥
，
AC
平分
BAD
；
（2）解：
CE
AB
⊥
，CF
AD
⊥
，
且CE
CF
=
，AC
AC
=
，
Rt
Rt
ACE
ACF
≌
，
AE
AF
=
，
又
8cm
AB =
，
2cm
DF
BE
=
=
，
8
2
6cm
AE
AF
=
= −
=
，
6
2
4cm
AD
AF
DF
=
−
=
−
=
3．（23-24 八年级上·吉林白山·期末）如图，
ABC
中，
=90
ACB
，点D，E 分别在边BC
AC
，
上，
=
=
DE DB
DEC
B
，
．
(1)求证：AD平分
BAC
；
(2)写出AE
AB
+
与AC 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
=
AE
AB AC
+
，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解题的关键．
（1）如图：过点D 作DF
AB
⊥
于点F，证明
(
)
AAS
DCE
DFB
≌
得到DC
DF
=
，然后根据角平分线的判
定定理即可证明结论；
（2）先证明
(
)
AAS
ACD
AFD
≌
得到AC
AF
=
，由（1）知，DCE
DFB
≌
，得到CE
FB
=
，最后根据线
段的和差以及等量代换即可解答．
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【详解】（1）证明：如图：过点D 作DF
AB
⊥
于点F，
∴
90
DFB
=
，
∵
=90
ACB
，
∴
DFB
ACB
=
．
在
DCE
△
和
DFB
△
中，
DCE
DFB
DEC
B
DE
DB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
DCE
DFB
≌
，
∴DC
DF
=
，
∵DF
AB
⊥
，DC
AC
⊥
，
∴点D 在
BAC
的平分线上，
∴AD平分
BAC
．
（2）解：
2
AE
AB
AC
+
=
，理由如下：
由（1）知，AD平分
BAC
，
∴
DAC
DAF
=
．
在ACD
和
AFD
△
中，
90
ACD
AFD
DAC
DAF
DC
DE
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ACD
AFD
≌
，
∴AC
AF
=
．
由（1）知，DCE
DFB
≌
，
∴CE
FB
=
，
∴
2
AE
AB
AE
FB
AF
AE
CE
AF
AC
AF
AC
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
．
4．（24-25 八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图在
ABC
中，点D 在BC 边上，
40
BAD
=
，
ABC
的平分
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线交AC 于点E，过点E 作EF
AB
⊥
，交BA的延长线于点F，且
20
AEF
=
，连接DE ．
(1)求证：DE 平分
ADC
；
(2)若
6,
5,
7
AB
AD
CD
=
=
=
，且
12
ACD
S
=
，求ABE
的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
6
ABE
S
=
△
．
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点E 作EG
AD
⊥
于点G ，EH
BC
⊥
于点H ，由BE 是
ABC
的平分线，得到 EF
EH
=
，再证明AE
是
FAG
的平分线，得到EF
EG
=
，进而得到EG
EH
=
，即可得出结论；
（2）由
12
ACD
S
=
，得到1
1
12
2
2
CD EH
AD EG
+
=
，求出
2
EF
EH
EG
=
=
=
，即可求解．
【详解】（1）证明：过点E 作EG
AD
⊥
于点G ，EH
BC
⊥
于点H ，如图：
∵BE 是
ABC
的平分线，EF
AB
⊥
，EH
BC
⊥
，
∴EF
EH
=
，
∵
20
AEF
=
，
90
F
=
，
∴
90
20
70
FAE
=
−
=
，
∴
180
70
GAE
FAE
BAD
=
−
−
=
，
∴
GAE
FAE
=
，
∴AE 是
FAG
的平分线，
又∵EG
AD
⊥
，EF
AB
⊥
，
∴EF
EG
=
，
∴EG
EH
=
，
又∵EG
AD
⊥
，EH
BC
⊥
，
∴DE 平分
ADC
；
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（2）解：如图：
∵
12
ACD
S
=
∴1
1
12
2
2
CD EH
AD EG
+
=
，
∵
5,
7
AD
CD
=
=
，EH
EG
=
，
∴1
1
7
5
12
2
2
EG
EG
+
=
，
解得：
2
EH
EG
=
=
，
∴
2
EF
EH
=
=
，
∴
1
1
6 2
6
2
2
ABE
S
AB EF
=
=
=
△
．
5．（24-25 八年级上·安徽亳州·期末）如图，在Rt
ABD
△
和Rt ACE
中，AD
AB
=
，AC
AE
=
，
90
DAB
EAC
=
=
，连接CD，BE 交于点F ，连接AF ．
(1)求
BFD
的度数；
(2)求证：FA平分
DFE
．
【答案】(1)
90
BFD
=
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质；
（1）先证明
DAC
BAE
=
，再证明
(
)
SAS
ACD
AEB
≌
△
△
，可得
CDA
EBA
=
，再结合三角形的内角和
定理可得结论；
（2）如图，过点A 作AM
CD
⊥
于点M ，AN
BE
⊥
于点N ．再证明AM
AN
=
，再结合角平分线的判定定
理可得结论．
【详解】（1）解：∵
90
DAB
EAC
=
=
，
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∴
DAC
BAE
=
．
∵AC
AE
=
，AD
AB
=
，
∴
(
)
SAS
ACD
AEB
≌
△
△
，
∴
CDA
EBA
=
．
∵
90
ABD
ADB
+
=
，
∴
90
ADF
FDB
ABD
ABF
FDB
ABD
+
+
=
+
+
=
，
∴
90
BFD
=
．
（2）证明：如图，过点A 作AM
CD
⊥
于点M ，AN
BE
⊥
于点N ．
∵ACD
AEB
≌
，
∴CD
BE
=
，
ACD
AEB
S
S
=
，
∴1
1
2
2
CD AM
BE AN
?
?
，
∴AM
AN
=
．
又∵AN
BE
⊥
，AM
CD
⊥
，
∴
DFA
EFA
=
，
∴FA平分
DFE
．
6．（24-25 八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在
ABC
中，
BAC
和
ABC
的平分线交于点D ，过点D
作DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，DG
BC
⊥
，垂足分别为E
F
G
，，
．
(1)求证：点D在
C
的平分线上；
(2)若
ABC
的周长和面积都为24，求DE 的长．
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【答案】(1)见解析
(2)
2
DE =
．
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证得DG
DF
=
，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论；
（2）连接CD，由（1）知DE
DF
DG
=
=
，然后由
ABC
ADB
BDC
ADC
S
S
S
S
=
+
+
求得
(
)
1
2
ABC
S
DE AB
BC
AC
=
+
+
，根据
ABC
的周长和面积都为24 列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵
BAC
和
ABC
的平分线交于点D ，过点D 作DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，DG
BC
⊥
，
∴DE
DF
=
，DE
DG
=
，
∴DG
DF
=
，
∵DF
AC
⊥
，DG
BC
⊥
，
∴点D 在
C
的平分线上；
（2）解：连接CD，
由（1）知DE
DF
DG
=
=
，
∴
ABC
ADB
BDC
ADC
S
S
S
S
=
+
+
1
1
1
2
2
2
AB DE
BC DG
AC DF
=
+
+
(
)
1
2 DE AB
BC
AC
=
+
+
，
∵
ABC
的周长和面积都为24，
∴
4
2
1
2
2
4
DE
=
，
∴
2
DE =
．
7．
（24-25 八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在
ABC
中，点D 在BC 边上，
110
BAD
=
，BE 平分
ABC
交AC 于点E，过点E 作EF
AB
⊥
交BA的延长线于点F，且
55
AEF
=
，连接DE．
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(1)求
CAD
的度数；
(2)求证：DE 平分
ADC
；
(3)若
4
=
AD
，
8
CD =
，且
15
ACD
S
=
，求EF 的长．
【答案】(1)35
(2)见解析
(3) 5
2
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的
性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
( )
1 根据垂直得到
90
AFE
=
，利用三角形外角的性质得到
145
BAE
=
，再根据
BAE
BAD
CAD
=
+
，即
可求出
CAD
的度数；
( )
2 过点E 作EG
AD
⊥
，EH
BC
⊥
，根据角平分线的性质得到EF
EG
=
，EF
EH
=
，进而得到EG
EH
=
，
再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
( )
3 根据三角形的面积公式求出
5
2
EH =
，再根据角平分线的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：
EF
AB
⊥
，
90
F
=
，
55
AEF
=
，
90
55
145
BAE
F
AEF
=+
=
+
=
，
BAE
BAD
CAD
=
+
，
110
BAD
=
，
145
110
35
CAD
BAE
BAD
=
−
=
−
=
；
（2）证明：过点E 作EG
AD
⊥
交AD于点G，EH
BC
⊥
交BC 于点H，
90
F
=
，
55
AEF
=
，
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90
55
35
EAF
=
−
=
，
由( )
1 可知，
35
EAF
CAD
=
=
，
AE
平分
FAD
，
EF
AF
⊥
，EG
AD
⊥
，
EF
EG
=
，
BE
平分
ABC
，EF
BF
⊥
，EH
BC
⊥
，
EF
EH
=
，
EG
EH
=
，
EG
AD
⊥
，EH
BC
⊥
，
DE
平分
ADC
；
（3）解：
15
ACD
S
=
，
15
ADE
CDE
S
S
+
=
，
1
1
15
2
2
AD EG
CD EH
+
=
，
4
AD =
，
8
CD =
，EG
EH
=
，
1
1
4
8
15
2
2
EH
EH
+
=
，
15
5
6
2
EH
=
=
，
5
2
EF
=
．
8．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E 为CD的中点，连接AE 、BE ，
BE
AE
⊥
，延长AE 交BC 的延长线于点F ．
(1)求证：FC
AD
=
；
(2)求证：AE 平分
BAD
；
(3)猜想线段AB 、AD、BC 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
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(2)见详解
(3) AB
BC
AD
=
+
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定
定理与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得
,
F
DAE
ECF
D
=
=
，再根据线段中点的定义可得CE
DE
=
，然后根据
三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）由（1）得
,
AEB
FEB
AED
FEC
≌
≌
，得
,
BAE
F
DAE
F
=
=
，那么
BAE
DAE
=
．
（3）由（2）可知
AEB
FEB
△
≌△
，得出AB
FB
=
，由（1）可知FC
AD
=
，根据AB
FB
BC
FC
BC
AD
=
=
+
=
+
即可证明．
【详解】（1）证明：
AD
BC
∥
，
,
EAD
F
D
ECF
=
=
，
又∵E 为CD的中点，
DE
CE
=
，
在
ADE
和
FCE
△
中
∵
EAD
F
D
ECF
DE
CE
=
=
=
，
∴
(AAS)
ADE
FCE
≌
，
∴FC
AD
=
．
（2）证明：∵
ADE
FCE
△
≌△
，
∴AE
FE
=
，
又∵BE
AE
⊥
，
∴
90
AEB
FEB
=
=
，
在AEB
和FEB
中，
AE
FE
AEB
FEB
BE
BE
=
=
=
，
(
)
AEB
FEB SAS
≌
，
BAE
F
=
，
又
EAD
F
=
，
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EAD
BAE
=
，
AE
平分
BAD
．
（3）结论：AB
BC
AD
=
+
证明：由（2）可知
AEB
FEB
△
≌△
，
AB
FB
=
，
由（1）可知FC
AD
=
，
AB
FB
BC
FC
BC
AD
=
=
+
=
+
，
即AB
BC
AD
=
+
．
题型一：利用角平分线的性质求最值
1．（24-25 八年级下·河南焦作·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C =
∠
，
BAC
的平分线交BC 于点D ，
2,
CD
Q
=
为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）
A．2
B．2
C．
3
D．2.5
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作
DH
AB
⊥
于H，根据角平分线的性质得到
2
DH
DC
=
=
，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：作DH
AB
⊥
于H，如图，
∵
BAC
的平分线交BC 于点D ，DH
AB
⊥
，DC
AC
⊥
，
∴
2
DH
DC
=
=
，
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∵Q 为AB 上一动点，
∴DQ 的最小值为DH 的长，即DQ 的最小值为2．
故选：B．
2．（24-25 八年级下·福建三明·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
A
=
，
4
=
AD
，BD平分
ABC
，若
点P 是BC 边上一动点，则DP的长的最小值为（ ）
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，能知道当DP
BC
⊥
时，DP的长度最小是解此题的关键．根据垂线段
最短得出当DP
BC
⊥
时，DP的长度最小，求出
ABD
CBD
=
，根据角平分线的性质得出
4
AD
DP
=
=
即可
得出结论．
【详解】解：∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
CBD
=
，
∵
90
A
=
，
由垂线段最短得，DP
BC
⊥
时DP最小，
此时，
4
DP
AD
=
=
．
故选：C．
3．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）如图，OP 平分
,
MON PA
ON
⊥
，垂足为A ，
4
PA =
，Q 是射线OM 上
的一个动点，则线段PQ 的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由
垂线段最短可知，当PQ
OM
⊥
时，线段PQ 有最小值，再根据角平分线的性质求解即可．
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【详解】解：由垂线段最短可知，当PQ
OM
⊥
时，线段PQ 有最小值，
OP
平分
MON
，PA
ON
⊥
，PQ
OM
⊥
，
4
PQ
PA
=
= ，
即线段PQ 的最小值是4，
故选：B．
4．
（24-25 八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
A
=
，BD平分
ABC
交AC 于点D ，
3
AD = ，
若P 是BC 上的动点，则线段DP的最小值是（ ）
A．3
B．2.4
C．4
D．5
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，当DP
BC
⊥
时，线段DP的值最小，再根据角平分线的
性质解答即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，当DP
BC
⊥
时，线段DP的值最小，
∵
90
A =
，
∴DA
BA
⊥
，
又∵BD平分
ABC
，DP
BC
⊥
，
∴
3
DP
DA
=
=
，
∴线段DP的最小值为3，
故选：A ．
5．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）如图，OC 平分
AOB
，点P 在OC 上，PD
OA
⊥
于D，
3cm
PD =
，
点E 是射线OB 上的动点，则PE的最小值为 cm．
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【答案】3
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，
熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
过P 点作PH
OB
⊥
于H ，如图，根据角平分线的性质得到
3cm
PH
PD
=
=
，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：过P 点作PH
OB
⊥
于H ，如图，
OC
平分
AOB
，PD
OA
⊥
，PH
OB
⊥
，
3cm
PH
PD
=
=
，
点E 是射线OB 上的动点，
PE
的最小值为3cm ．
故答案为：3．
6．（24-25 八年级上·安徽·期末）如图，在
ABC
中，
90
6,
=8,
10
BAC
AB
AC
BC
=
=
=
，
，BD平分
ABC
交AC 于点D，点E ，F 分别是
,
BD AB 上的动点，则
（1）AD的长为 ；
（2）AE
EF
+
的最小值为 ．
【答案】 3 4.8
【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，
借助面积法列方程求解．
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( )
1 过点D作DM
BC
⊥
，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知DA
DM
=
，再根据
ABC
ADB
BCD
S
S
S
=
+
列方程求出AD的长；
( )
2 过点A 作AN
BC
⊥
交BD于点E，作NF
BD
⊥
交AB 于点F，此时有AN
AE
E F
=
+ ，利用面积法列
方程求出AN 的长度即为AE
EF
+
的最小值．
【详解】( )
1 解：如下图所示，过点D 作DM
BC
⊥
，
BD
平分
ABC
交AC 于点D ，
DA
DM
=
，
ABC
ADB
BCD
S
S
S
=
+
，
1
1
1
·
·
·
2
2
2
AB AC
AB AD
BC DM
=
+
，
6
AB =
，
=8
AC
，
10
BC =
，
6 8 16AD
=
，
解得：
3
AD = ，
故答案为：3；
( )
2 解：如下图所示，过点A 作AN
BC
⊥
交BD于点E，作NF
BD
⊥
交AB 于点F，
BD
平分
ABC
交AC 于点D ，
点N 与点F关于BD对称，
AN
AE
E F
=
+
，
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在
ABC
中，
90
6,
=8,
10
BAC
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
1
1
·
·
2
2
AB AC
BC AN
=
，
6 8 10AN
=
，
解得：
4.8
AN =
，
故答案为：4.8 ．
7．
（24-25 八年级上·安徽芜湖·期末）如图，动点C 与线段AB 构成
ABC
，其边长满足
9
AB =
，
2
2
AC
a
=
+
，
2
3
=
−
BC
a
．在
ABC
中运用三角形三边关系，可求得a 的取值范围是 ，若点D 在
ACB
的平分线
上，且
90
ADC
=
，则
ABD
△
的面积的最大值为 ．
【答案】
5
2
a
45
4
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟练掌
握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
在
ABC
中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”
可知AC
BC
AB
+
，代入数值即可确定a 的取值范围；延长AD、CB 交于点E ，首先利用“ASA”证明
ACD
ECD
≌
△
△
，由全等三角形的性质可得
2
2
AC
EC
a
=
=
+
，AD
ED
=
，进而可求得
5
BE =
，结合三角
形中线的性质易知
:
1:2
ABD
ABE
S
S
=
，确定ABE
面积的最大值，即可获得答案．
【详解】解：在
ABC
中，AC
BC
AB
+
，
2
2
2
3
9
a
a
+ +
−
，
解得
5
2
a
；
如下图，延长AD、CB 交于点E ，
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CD为
ACB
的平分线，
ACD
ECD
=
，
在ACD
和ECD
中，
90
ACD
ECD
CD
CD
ADC
EDC
=
=
=
=
，
(
)
ACD
ECD ASA
≌
，
2
2
AC
EC
a
=
=
+
，AD
ED
=
，
2
3
=
−
BC
a
，
(
)
2
2
2
3
5
BE
a
a
=
+
−
−
=
，
AD
ED
=
，
:
1:2
ABD
ABE
S
S
=
，
当BE
AB
⊥
时，ABE
的面积取最大值，
即
max
1
45
9 5
2
2
ABE
S
=
=
，
max
45
4
ABD
S
=
．
故答案为：
5
2
a
；45
4 ．
题型二：利用角平分线的判定判断结论是否正确
1．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）如图，在
ABC
中，以它的边AB
AC
、
为直角边，分别在形外作等腰
直角三角形
,
ABD ACE ，连接
,
BE CD ．下列结论中不一定成立
．．．．．的是（ ）
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A．BE
CD
=
B．
90
EFC
=
C．AF 平分
BFC
D．
DAF
DCA
=
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角
形的判定是解题的关键．
利用SAS证明
BAE
DAC
≌
△
△
则BE
CD
=
，即可判断A；由于
BAE
DAC
≌
△
△
，则1
2
= ，而
3=
4
，
故
90
DFB
DAB
=
=
，即可判断B；过点A 作AM
BE
⊥
于点M ，过点A 作AN
DC
⊥
于点N ，由于
BAE
DAC
≌
△
△
，则
BAE
DAC
S
S
=
△
△
，而BE
CD
=
，故AM
AN
=
，根据角平分线的判定即可判断C；对于D，
条件不足，不能证明．
【详解】解：由题意得
,
,
90
AB
AD AC
AE
BAD
CAE
=
=
=
=
，
∴
BAE
DAC
=
，
∴
(
)
SAS
BAE
DAC
≌
，
∴BE
CD
=
，故A 正确，不符合题意；
如图：
∵
BAE
DAC
≌
△
△
，
∴1
2
= ，
∵
3=
4
，
∴
90
DFB
DAB
=
=
，
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∴
90
EFC
=
，故B 正确，不符合题意；
如图：过点A 作AM
BE
⊥
于点M ，过点A 作AN
DC
⊥
于点N ，
∵
BAE
DAC
≌
△
△
，
∴
BAE
DAC
S
S
=
△
△
，
∵BE
CD
=
，
∴AM
AN
=
，
∴AM
BE
⊥
，AN
DC
⊥
∴AF 平分
BFC
，故C 正确，不符合题意；
∵现有条件不足以证明
DAF
DCA
=
，故D 错误，符合题意，
故选：D．
2．（24-25 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在
ABC
中，BE ，CD分别平分
ABC
和
ACB
，BE ，CD相
交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
BAP
CAP
=
B．ABP
与
ACP
△
的面积比等于边AB 与AC 之比
C．BC
AP
AC
=
+
D．若
60
BAC
=
，则
120
BPC
=
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式．
过点P 作PM
AB
⊥
于点M，作PN
AC
⊥
于点N，作PH
BC
⊥
于点H，根据角平分线的性质及判定可证明选
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项A；根据三角形的面积公式可证明选项B，根据三角形的内角和定理可证明选项D，据此即可解答．
【详解】解：过点P 作PM
AB
⊥
于点M，作PN
AC
⊥
于点N，作PH
BC
⊥
于点H，
∵BE 平分
ABC
，PM
AB
⊥
，PN
AC
⊥
，
∴PM
PN
=
，
∵CD平分
ACB
，PN
AC
⊥
，PH
BC
⊥
，
∴PN
PH
=
，
∴PM
PN
=
，
∵PM
AB
⊥
，PN
AC
⊥
，
∴AP 平分
BAC
，
∴
BAP
CAP
=
．故选项A 的结论一定成立；
1
2
1
2
ABP
ACP
AB PM
S
AB
S
AC
AC PN
=
=
．故选项B 的结论一定成立；
∵
60
BAC
=
，
∴
180
120
ABC
ACB
BAC
+
=
−
=
∠
，
∵BE 平分
ABC
，CD平分
ACB
，
∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCB
ACB
=
，
∴
(
)
1
1
1
60
2
2
2
PBC
PCB
ABC
ACB
ABC
ACB
+
=
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
120
BPC
PBC
PCB
=
−
+
=
．故选项D 的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C 的结论一定成立．
故选：C
3．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P 在射线BD上，PA
AB
PC
BC
⊥
⊥
，
，垂足分别为A，
C，且PA
PC
=
，则下列结论错误的是（ ）
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A．AD
CP
=
B．点D 在
ABC
的平分线上
C．
ABD
CBD
≌
△
△
D．
ADB
CDB
=
【答案】A
【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等．
根据PA
PC
=
得出点D在
ABC
的平分线上，再证明PAB
PCB
≌
和
ABD
CBD
≌
△
△
即可证明．
【详解】解：∵PA
AB
PC
BC
PA
PC
⊥
⊥
=
，
，
，
∴
90
PAB
PCB
BP
=
=
，
是
ABC
的角平分线，
∴点D 在
ABC
的平分线上，故B 正确，
在Rt PAB
和Rt PCB
中，PA
PC
PB
PB
=
=
，
，
∴
(
)
Rt PAB
Rt PCB HL
≌
，
∴
ABP
CBP
AB
BC
=
=
，
，
在
ABD
△
和
CBD
△
中，BD
BD
ABD
CBD
AB
BC
=
=
=
，
，
，
∴
(
)
ABD
CBD SAS
≌
，故C 正确，
∴
ADB
BDC
=
，故D 正确．
故选：A．
4．（24-25 八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，点C 在线段AB 上（不与点A，B 重合），在AB 的上方分
别作ACD
和BCE
，且AC
DC
=
，BC
EC
=
，ACD
BCE
=
=
，连接AE ，BD交于点P，下列结论错
误的是（ ）
A．AE
DB
=
B．AD
BE
=
C．
180
APB
=
−
D．连接PC ，则PC 平分
APB
【答案】B
【分析】先通过SAS证明
ACE
DCB
≌
，并根据全等三角形的性质即可证明A 选项不符合题意；由外角
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72 /
的性质及等腰三角形的定义，可证明C 选项不符合题意；连接PC ，过点C 作CG
AE
⊥
于点G，CH
BD
⊥
于点H，根据角平分线判定定理证明D 选项不符合题意；无法证明B 选项．
【详解】解：
ACD
BCE
=
=
，
ACD
DCE
BCE
DCE
+
=
+
，
即
ACE
DCB
=
，
AC
DC
=
，BC
EC
=
，
(
)
SAS
ACE
DCB
≌
，
,
CAE
CDB AE
DB
=
=
，故A 选项不符合题意；
180
APB
PAD
PDA
CAD
CAE
CDA
CDB
CAD
CDA
ACD
=
+
=
−
+
+
=
+
=
−
，
∵
ACD
=
，
180
APB
=
−
，故C 选项不符合题意；
如图，连接PC ，过点C 作CG
AE
⊥
于点G，CH
BD
⊥
于点H，
ACE
DCB
≌
，
1
1
2
2
ACE
DCB
S
AE CG
S
BD CH
=
=
=
，
AE
DB
=
，
CG
CH
=
，
PC 平分
APB
，故D 选项不符合题意；
当AD
BE
=
时，AC
BC
=
需成立，与题意矛盾，故B 选项符合题意；
故选：B．
5．（23-24 八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在
ABD
△
和
ACE
△
中，
,
,
,
50
AB
AD AC
AE AB
AC
DAB
CAE
=
=
=
=
，连接
,
BE CD 交于点F ，连接AF ．下列结论错误的是（ ）
A．BE
CD
=
B．
50
EFC
=
C．FA平分
DFE
D．
DAF
EAF
=
【答案】D
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【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定，首先证
明
(
)
SAS
ADC
ABE
△
≌△
，再在此基础上逐个去判断即可．
【详解】
,
,
,
50
AB
AD AC
AE AB
AC
DAB
CAE
=
=
=
=
，
DAB
BAC
+
EAC
BAC
=
+
，
即
DAC
BAE
=
．
在
ADC
△
和ABE
中，
,
,
AD
AB
DAC
BAE
AC
AE
=
=
=
(
)
SAS ,
ADC
ABE
△
≌△
BE
CD
=
，故选项A 正确；
ADC
ABE
≌
，
ADC
ABE
=
．
,
50
AB
AD
DAB
=
=
，
180
50
130
ADB
ABD
+
=
−
=
．
EFD
=
FDB
FBD
FDB
ABD
ABF
FDB
ABD
ADF
+
=
+
+
=
+
+
=
130
ADB
ABD
+
=
，
180
50
EFC
EFD
=
−
=
，故选项B 正确；
如图，过点A 作AP
CD
⊥
于点
,
P AQ
BE
⊥
于点Q ．
ADC
ABE
≌
，
ADC
ABE
S
S
=
，DC
BE
=
，
1
1
2
2
DC AP
BE AQ
=
，
=
AP
AQ，
FA
平分
DFE
，故选项C 正确；
FA
平分
,
DFE
，
.
AFD
AFE
=
,
AC
AE AB
AC
=
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,
AB
AE
ABE
AEF
，即
ADF
AEF
，
DAF
EAF
，故选项D 错误．
故选：D．
6．（23-24 八年级上·辽宁大连·期中）如图，OP 平分
AOB
PC
OA
PD
OB
⊥
⊥
，
，
，垂足分别为C，D，连
接CD，则下列关系不一定
．．．成立的是（ ）
A．PC
PD
=
B．OC
OD
=
C．CD垂直平分OP D．PO平分
CPD
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，证明
POC
POD
△
≌△
是关键．
【详解】解：∵OP 平分
AOB
PC
OA
PD
OB
⊥
⊥
，
，
，
∴
90
POC
POD
PCO
PDO
=
=
=
，
，
∵OP
OP
=
，
∴
POC
POD
△
≌△
，
∴PC
PD
OC
OD
OPC
OPD
=
=
=
，
，
，
∴PO平分
CPD
，PO垂直平分CD，但CD不一定垂直平分OP ；
故选项A、B、D 正确，选项C 错误；
故选：C．
题型三：角平分线的性质与判定中多结论问题
1．（23-24 七年级上·山东济南·期中）如图，在
OAB
△
和OCD
中，OA
OB
=
，OD
OC
=
，OA
OC
，
50
AOB
COD
=
=
，连接
,
AC BD 相交于点M，连接OM ．下列结论：①AC
BD
=
；②
50
AMB
=
；
③OM 平分
COB
；④MO 平分
BMC
．其中正确的个数为（ ）
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A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形
全等是解题的关键．
由SAS 证明AOC
BOD
≌
得出
OCA
ODB
AC
BD
=
=
，
，①正确；由全等三角形的性质得出
OAC
OBD
=
，由三角形的外角性质得：
AMB
OAC
AOB
OBD
+
=
+
，得出
50
AMB
AOB
=
=
，
②正确；作OG
MC
G
OH
MB
H
⊥
⊥
于，
于
，如图所示：则
90
OGC
OHD
=
=
，由AAS 证明
OCG
ODH
△
≌△
，得出OG
OH
=
，由角平分线的判定方法得出MO 平分
BMC
，④正确；由
AOB
COD
=
，得出当
=
DOM
AOM 时，OM 才平分
BOC
，假设
=
DOM
AOM ，则
COM
BOM
，
由MO 平分
BMC
得出
=
CMO
BMO ，推出COM
BOM
≌
，得OB
OC
=
，而OA
OB
=
，所以OA
OC
=
，
而OA
OC
，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：
50
AOB
COD
=
=
，
AOB
AOD
COD
AOD
+
=
+
，即
AOC
BOD
=
，
在
AOC
△
和BOD
中，
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
=
=
，
∴AOC
BOD
≌
，
,
OCA
ODB
OAC
OBD AC
BD
=
=
=
，
，①正确；
由三角形的外角性质得：
AMB
OAC
AOB
OBD
+
=
+
，
50
AMB
AOB
=
=
，②正确；
作OG
MC
⊥
于G ，OH
MB
⊥
于H ，如图2 所示：
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76 /
则
90
OGC
OHD
=
=
，
在OCG
和ODH
中，
OCA
ODB
OGC
OHD
OC
OD
=
=
=
，
OCG
ODH
≌
，
OG
OH
=
，
∴MO 平分
BMC
，④正确；
∵
AOB
COD
=
，
∴当
=
DOM
AOM 时，OM 才平分
BOC
，
假设
=
DOM
AOM ，
∵
AOB
COD
=
，
∴
COM
BOM
，
∵MO 平分
BMC
，
∴
=
CMO
BMO ，
在
COM
△
和BOM
中，
COM
BOM
OM
OM
CMO
BMO
=
=
=
，
∴COM
BOM
≌
，
∴OB
OC
=
，
∵OA
OB
=
，
∴OA
OC
=
，
与OA
OC
矛盾，
∴③错误；
正确的①②④；
故选：B．
2．（24-25 八年级上·山东德州·期中）如图，在
ABC
中，三个内角的平分线交于点O，过点O 作OD
OB
⊥
，
交边BC 于点D，ABC
的外角平分线与CO的延长线交于点F，延长CA 至点G，连接AF ，若
35
BFC
=
，
给出以下结论：①BF
OD
∥
；②
70
BAC
=
；③
AOC
COD
=
；④AF 平分
BAG
；其中正确结论的个
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数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】①已知
180
ABC
ABE
+
=
，BF 平分
ABE
，BO平分
ABC
，根据角平分线的定义得到
OBF
的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论；②根据两直线平行，内错角相等，可得
35
COD
BFC
=
=
，即可得到
BOC
的度数，从而求出
OBC
OCB
+
的度数；已知BO、CO分别为
ABC
、
ACB
的角平分线，根据角平分线的定义可得
ABC
ACB
+
的度数，结合三角形内角和即可得
到
BAC
的度数；④过点F 作
,
,
CG AB CE 的垂线，垂足分别为
,
,
M N P ，根据角平分线的性质定理和判定
定理证明即可；③同理可证明：
90
FAO
=
，则
90
AOF
，
90
AOC
，而
90
COD
FOB
+
=
，故
90
COD
，因此
AOC
与
COD
不可能相等．
【详解】解：∵
180
ABC
ABE
+
=
，BF 平分
ABE
，BO平分
ABC
，
∴
1
1
2
2
ABO
ABC
ABF
ABE
=
=
，
，
∴
(
)
1
1
1
90
2
2
2
ABO
ABF
ABC
ABE
ABC
ABE
+
=
+
=
+
=
，
∴
90
FBO
=
，
∴BF
BO
⊥
．
∵OD
OB
⊥
，
∴BF
OD
∥
，故①正确；
∵BF
OD
∥
，
∴
35
COD
BFC
=
=
，
∴
90
35
125
BOC
=
+
=
，
∴
180
125
55
OBC
OCB
+
=
−
=
．
∵BO、CO分别为
ABC
、
ACB
的角平分线，
∴
2 55
110
ABC
ACB
+
=
=
，
∴
(
)
180
180
110
70
BAC
ABC
ACB
=
−
+
=
−
=
，故②正确；
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过点F 作
,
,
CG AB CE 的垂线，垂足分别为
,
,
M N P ，
∵CO平分
ACB
，BF 平分
ABE
，
,
,
FM
CG FP
CE FN
AB
⊥
⊥
⊥
，
∴
,
FP
FN FP
FM
=
=
，
∴FM
FN
=
，
∵
,
FM
CG FN
AB
⊥
⊥
∴AF 平分
BAG
，故④正确；
同理可证明：
90
FAO
=
，
∴
90
AOF
，
∴
90
AOC
，
∵
90
BOD
=
，
∴
90
COD
FOB
+
=
，
∴
90
COD
，
∴
AOC
与
COD
不可能相等，故③错误，
∴正确的有3 个，
故选：C．
3．（24-25 七年级上·山东泰安·期中）如图，在
OAB
△
和OCD
中，
,
,
40 ,
OA
OB
OC
OD OA
OC
AOB
COD
BD
=
=
=
=
，
交AC 于点M，连接OM ．下列结论：①AC
BD
=
；
③OM 平分
BOC
；④OM 平分
BMC
．其中正确的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】由SAS证明AOC
BOD
≌
，根据全等三角形的性质得出
,
OCA
ODB AC
BD
=
=
，①正确；由
全等三角形的性质得出
OAC
OBD
=
，由三角形的外角性质得：AMB
OAC
AOB
OBD
+
=
+
，据此
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得出
40
=
=
AMB
AOB
，②正确；作OG
MC
⊥
于G，OH
MB
⊥
于H，则
90
OGC
OHD
=
=
，由AAS
证明
OCG
ODH
△
≌△
，得出OG
OH
=
，由角平分线的判定方法得出OM 平分
BMC
，④正确；由
AOB
COD
=
，得出当
=
DOM
AOM 时，OM 才平分
BOC
，假设
=
DOM
AOM ，则
COM
BOM
，
由OM 平分
BMC
得出
=
CMO
BMO ，推出COM
BOM
≌
，得OB
OC
=
，而OA
OB
=
，则OA
OC
=
，
而OA
OC
，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵
AOB
COD
=
，
∴
AOB
AOD
COD
AOD
+
=
+
，即
AOC
BOD
=
，
在
AOC
△
和BOD
中，
∵
,
,
OA
OB
AOC
BOD OC
OD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AOC
BOD
≌
，
∴
,
OCA
ODB
OAC
OBD
=
=
，故①正确，符合题意；
∵
AMB
OAC
AOB
OBD
+
=
+
，
∴
40
=
=
AMB
AOB
，故②正确，符合题意；
如图所示，作OG
MC
⊥
于G，则
90
OGC
OHD
=
=
，
在OCG
和ODH
中，
,
,
OCA
ODB
OGC
OHD OC
OD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
OCG
ODH
≌
，
∴OG
OH
=
，
∴OM 平分
BMC
，故④正确，符合题意；
∵
AOB
COD
=
，
∴当
=
DOM
AOM 时，OM 才平分
BOC
，
假设
=
DOM
AOM ，
∵
40
AOB
COD
=
=
，
∴
COM
BOM
，
∵OM 平分
BMC
，
∴
=
CMO
BMO ，
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在
COM
△
和BOM
中，
,
,
COM
BOM OM
OM
CMO
BMO
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
COM
BOM
≌
，
∴OB
OC
=
，
∵OA
OB
=
，
∴OA
OC
=
，与题意不符，故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：B．
4．
（24-25 八年级上·云南昭通·期中）如图
ABC
中，
60
BAC
=
，ABC
和
ACB
的平分线分别为BE 和CD，
BE 和CD相交于点P，连接AP ，则有以下结论：
①
120
BPC
=
；
②AD
AE
=
；
③
30
DAP
=
．
其中正确的结论为（ ）
A．①③
B．②③
C．①②
D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义可
得
(
)
1 180
2
PBC
PCB
BAC
+
=
−
，进一步可判断①，过点P 作
,
,
PF
AB PG
AC PH
BC
⊥
⊥
⊥
，证明AP 是
BAC
的平分线，可判断③，假设AD
AE
=
，通过三角形全等证明AB
AC
=
可判断②．
【详解】解：∵BE 、CD分别是
ABC
与
ACB
的角平分线，
60
BAC
=
，
∴
1
1
(180
)
(180
60 )
60
2
2
PBC
PCB
BAC
+
=
−
=
−
=
，
∴
180
(
)
180
60
120
BPC
PBC
PCB
=
−
+
=
−
=
，①符合题意；
过点P 作
,
,
PF
AB PG
AC PH
BC
⊥
⊥
⊥
，
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∵BE 、CD分别是
ABC
与
ACB
的角平分线，
∴
,
PF
PH PG
PH
=
=
，
∴PF
PG
=
，
∴AP 是
BAC
的平分线，
∵
60
BAC
=
，
∴
30
DAP
=
，故③符合题意；
若AD
AE
=
，而
DAP
EAP
=
，AP
AP
=
，
∴
APD
APE
△
≌△
，
∴PD
PE
=
，
ADP
AEP
=
，
∴
BDP
CEP
=
，
∵
BPD
CPE
=
，
∴△
≌△
BPD
CPE，
∴BD
CE
=
，
∴AB
AC
=
，与题干条件矛盾，故②不符合题意；
故选：A．
5．（24-25 八年级上·重庆大足·期末）如图，在
ABD
△
和
ACE
△
中，
50
AB
AD
AC
AE
AB
AC
DAB
CAE
=
=
=
=
，
，
，
，连接BE
CD
，
交于点F，连接AF ．下列结论：①
BE
CD
=
；②
50
EFC
=
；③AF 平分
DAE
；④FA平分
DFE
．其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
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【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
先由
50
DAB
CAE
=
=
证明
50
BAE
DAC
BAC
=
=
+
，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明
BAE
DAC
≌
△
△
，得BE
CD
=
，可判断①正确；设BE 交AC 于点G ，因为
AEB
ACD
=
，所以
50
EFC
CGE
ACD
CGE
AEB
CAE
=
−
=
−
=
=
，可判断②正确；作AI
BE
⊥
于点,I AJ
CD
⊥
于点J ，
由
BAE
DAC
S
S
=
得1
1
2
2
AI BE
AJ CD
=
，则AI
AJ
=
，即可证明FA平分
DFE
，可判断④正确；假设
DAF
EAF
=
，则
DAF
DAB
EAF
CAE
−
=
−
，所以
BAF
CAF
=
，由
,
AFD
AFE
BFD
CFE
=
=
，
得
AFB
AFC
=
，即可推导出AFB
AFC
≌
，得AB
AC
=
，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得
到问题的答案．
【详解】解：∵
50
DAB
CAE
=
=
，
50
BAE
DAC
BAC
=
=
+
，
在BAE
和
DAC
△
中，
AB
AD
BAE
DAC
AE
AC
=
=
=
，
(SAS)
BAE
DAC
≌
，
,
BE
CD
AEB
ACD
=
=
，故①正确；
设BE 交AC 于点G ，
50
EFC
CGE
ACD
CGE
AEB
CAE
=
−
=
−
=
=
，故②正确；
作AI
BE
⊥
于点,I AJ
CD
⊥
于点J ，
BAE
DAC
S
S
=
，
1
1
2
2
AI BE
AJ CD
=
，又BE
CD
=
，
AI
AJ
=
，
∴点A 在
DFE
的平分线上，
FA
平分
DFE
，故④正确；
假设
DAF
EAF
=
，则
DAF
DAB
EAF
CAE
−
=
−
，
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BAF
CAF
=
，
,
AFD
AFE
BFD
CFE
=
=
，
AFD
BFD
AFE
CFE
+
=
+
，
AFB
AFC
=
，
在
AFB
△
和AFC
中，
BAF
CAF
AF
AF
AFB
AFC
=
=
=
，
(ASA)
AFB
AFC
≌
，
∴AB
AC
=
，与已知条件相矛盾，
DAF
EAF
，故③错误，
∴①②④这3 个结论正确，
故选：C．
6．（24-25 八年级上·山东德州·期中）如图，已知
ABC
和
ADE
都是等腰三角形，
90
BAC
DAE
=
=
，
BD，CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD
CE
=
；②BF
CF
⊥
；③AF 平分
CAD
；④AF 平分
BFE
；
⑤
45
AFE
=
，其中正确结论有（ ）
A．①②④⑤
B．①②③
C．①②③④
D．①③⑤
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，①证明
(SAS)
△
≌△
BAD
CAE
，即
可得到BD
CE
=
；②由
(SAS)
△
≌△
BAD
CAE
可得
ABF
ACF
=
，再由
90
ABF
BGA
+
=
、
BGA
CGF
=
证得
90
BFC
=
即可判定；④分别过A 作AM
BD
⊥
、AN
CE
⊥
，根据全等三角形面积相
等和BD
CE
=
，证得AM
AN
=
，即AF 平分
BFE
，即可判定；⑤由AF 平分
BFE
结合BF
CF
⊥
即可判
定，缺少条件证明③AF 平分
CAD
．
【详解】解：
BAC
EAD
=
，
BAC
CAD
EAD
CAD
+
=
+
，
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∴
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
(SAS)
BAD
CAE
≌
，
BD
CE
=
．
故①正确；
∵
(SAS)
△
≌△
BAD
CAE
，
ABF
ACF
=
，
90
ABF
BGA
+
=
，
BGA
CGF
=
，
90
ACF
BGA
+
=
，
90
BFC
=
，即BF
CF
⊥
，
故②正确；
分别过A 作AM
BD
⊥
、AN
CE
⊥
垂足分别为M 、N ，
∵
(SAS)
△
≌△
BAD
CAE
，
BAD
CAE
S
S
=
，
1
1
2
2
BD AM
CE AN
=
，
BD
CE
=
，
AM
AN
=
，
AF
平分
BFE
，无法证明AF 平分
CAD
．
故③错误；故④正确；
AF
平分
BFE
，BF
CF
⊥
，
45
AFE
=
，故⑤正确；
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综上所述，正确的有①②④⑤，
故选：A．
7．（24-25 八年级上·广西玉林·期中）如图，在
AOB
和
COD
△
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，OA
OC
，
36
AOB
COD
=
=
．连接AC ，BD交于点M，连接OM ．下列结论：①
36
AMB
=
，②
BOM
COM
=
，
③AC
BD
=
，④MO 平分
AMD
∠
．其中正确的结论有（ ）
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，熟记全等三角形的判定定理是解题
的关键．
根据AOC
BOD
≌
，推出
OAC
OBD
=
，根据三角形内角和判断①；证明AOC
BOD
≌
，判断③正确；
根据全等的性质得到，推出OE
OF
=
即可判断④；根据外角的性质及④的结论，可判断③．
【详解】解： ∵
36
AOB
COD
=
=
，
∴
AOB
BOC
COD
BOC
+
=
+
，即
AOC
BOD
=
，
∵OA
OB
=
，OC
OD
=
，
∴
AOC
BOD
≌
，
∴AC
BD
=
，
OAC
OBD
=
，故③正确；
∵OA
OB
=
，
36
AOB
COD
=
=
，
∴
144
OAB
OBA
+
=
，
∵
OAB
OBA
OAC
MAB
ABO
MAB
ABM
+
=
+
+
=
+
，
∴
144
MAB
ABM
+
=
，
∴
36
AMB
=
，故①正确；
过点O 作OE
AC
⊥
于E，OF
BD
⊥
于F，
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∵
AOC
BOD
≌
，
∴AC
BD
=
，
AOC
BOD
S
S
=
△
△
，
∴OE
OF
=
，
∴MO 平分
AMD
∠
，故④正确；
∴
AMO
DMO
=
，
∵
OMA
MOC
OCM
=
+
,
OMD
MOB
OBM
=
+
,且
OBM
OCM
,
∴
BOM
COM
．故②错误；
综上所述正确的有①③④．
故选：D．
题型四：角平分线的性质和判定压轴题
1．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）课本再现
（1）如图（1），
90
B
C
=
=
，E 是BC 的中点，DE 平分
ADC
．求证：AE 是
BAD
的平分线．
变式探究
（2）如图（2）所示，AB
CD
∥
，AE 是
BAD
的平分线，DE 是
ADC
的平分线．
①求证：
90
AED
=
；
②求证：AD
AB
CD
=
+
．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握
三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）过点E 作EF
DA
⊥
于点F ，先根据角平分线的性质定理可得CE
EF
=
，从而可得BE
EF
=
，再根据角
平分线的判定定理即可得证；
（2）①先根据平行线的性质可得
180
BAD
ADC
+
=
，再根据角平分线的定义可得
1
2
BAE
DAE
BAD
=
=
，
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87 /
1
2
ADE
CDE
ADC
=
=
，从而可得
90
ADE
DAE
+
=
，然后根据三角形的内角和定理即可得证；
②在AD上截取DF
DC
=
，连接EF ，先证出
CDE
FDE
△
≌△
，根据全等三角形的性质可得
CED
FED
=
，
从而可得
AEB
AEF
=
，再证出
AEB
AEF
△
≌△
，根据全等三角形的性质可得AF
AB
=
，由此即可得证．
【详解】证明：（1）如图，过点E 作EF
DA
⊥
于点F ，
∵DE 平分
ADC
，
90
C
=
，即EC
CD
⊥
，
∴CE
EF
=
，
∵E 是BC 的中点，
∴BE
CE
=
，
∴BE
EF
=
，
又∵
90
B
?
? ，EF
DA
⊥
，点E 在
BAD
的内部，
∴AE 平分
BAD
．
（2）①∵AB
CD
∥
，
∴
180
BAD
ADC
+
=
，
∵AE 是
BAD
的平分线，DE 是
ADC
的平分线，
∴
1
2
BAE
DAE
BAD
=
=
，
1
2
ADE
CDE
ADC
=
=
，
∴
(
)
1
1
1
90
2
2
2
ADE
DAE
ADC
BAD
ADC
BAD
+
=
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
90
AED
ADE
DAE
=
−
+
=
．
②如图，在AD上截取DF
DC
=
，连接EF ，
∵AE 是
BAD
的平分线，DE 是
ADC
的平分线，
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∴
BAE
FAE
=
，
FDE
CDE
=
，
在CDE
和FDE
中，
DC
DF
CDE
FDE
DE
DE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CDE
FDE
≌
，
∴
CED
FED
=
，
由（2）①已证：
90
AED
=
，
∴
180
90
CED
AEB
AED
+
=
=
−
，
90
FED
AE
D
F
AE
+
=
=
，
∴
AEB
AEF
=
，
在AEB
和
AEF
△
中，
AEB
AEF
AE
AE
BAE
FAE
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
AEB
AEF
≌
，
∴AF
AB
=
，
∴AD
AF
DF
AB
CD
=
+
=
+
．
2．（23-24 七年级上·江苏淮安·期末）以
ABC
的AB 、AC 为边作
ABD
△
和
ACE
△
，且AE
AB
=
，AC
AD
=
，
CE 与BD相交于M，
EAB
CAD
=
=
．
(1)如图1，若
40
=
，求
EMB
的度数；
(2)如图2，若G、H 分别是EC 、BD的中点，求
AHG
∠
的度数（用含式子表示）；
(3)如图3，连接AM ，写出
AMC
与的数量关系是______．
【答案】(1)40
(2)
1
90
2
−
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(3)
1
90
2
AMC
=
+
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，掌握全等三角
形的判定定理是本题的关键．
（1）由“SAS”可证AEC
ABD
≌
，可得
AEC
ABD
=
，由外角的性质可得结论；
（2）由“SAS”可证
ACG
ADH
△
≌△
，可得AG
AH
=
，
CAG
DAH
=
，即可求解；
（3）由全等三角形的性质可得
ACE
ADB
S
S
=
，EC
BD
=
，由面积法可求AP
AN
=
，由角平分线的性质可求
AMD
∠
，即可求解．
【详解】（1）解：
EAB
CAD
=
=
，
EAC
BAD
=
，
在
AEC
△
和
ABD
△
中，
AE
AB
EAC
BAD
AC
AD
=
=
=
，
(
)
SAS
AEC
ABD
≌
，
AEC
ABD
=
，
AEC
EAB
ABD
EMB
+
=
+
，
40
EMB
EAB
=
=
；
（2）解：连接AG ，如图2 所示：
由（1）可得：EC
BD
=
，
ACE
ADB
=
，
G
、H 分别是EC 、BD的中点，
DH
CG
=
，
在ACG
和ADH
中，
AC
AD
ACE
ADB
CG
DH
=
=
=
，
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(
)
SAS
ACG
ADH
≌
，
AG
AH
=
，
CAG
DAH
=
，
AGH
AHG
=
，
CAG
CAH
DAH
CAH
−
=
−
，
GAH
DAC
=
，
DAC
=
，
GAH
=
，
180
GAH
AHG
AGH
+
+
=
，
1
90
2
AHG
=
−
；
（3）解：连接AM ，过点A 作AP
EC
⊥
于P ，AN
BD
⊥
于N ，如图3 所示：
ACE
ADB
△
≌△
，
ACE
ADB
S
S
=
△
△
，EC
BD
=
，
1
1
2
2
EC
AP
BD
AN
=
，
AP
AN
=
，
又
AP
EC
⊥
，AN
BD
⊥
，
180
2
AME
AMD
−
=
=
，
1
90
2
AMC
AMD
DMC
=
+
=
+
．
3．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践
【情境再现】
如图①，
ABC
的平分线与
ABC
的外角
ACD
的平分线相交于点E ．
【提出问题】
( )
1 试说明
E
与
A
满足怎样的数量关系，请写出证明过程．
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【数学感悟】
( )
2 如图②，在
ABC
中，
102
BAC
=
，D 是BC 上一点，将
ABD
△
沿AD翻折得到
AED
△
，AE 与BC 相
交于点F ．延长ED交AB 于点M ，若DM 平分
ADB
，AE 平分
DAC
，求
B
的度数．
【学以致用】
( )
3 如图③，在四边形ABCD中，BD平分
ABC
，2
180
ACD
ACB
+
=
，若
18
BDC
=
，则
DAC
的
度数为______．
【答案】
( )
1
2
A
E
= ；( )
2 26；( )
3 72．
【分析】( )
1 根据三角形外角的性质可得
ACD
A
ABC
= +
、ECD
E
EBC
= +
，根据角平分线的定义
可得
1
2
EBC
ABC
=
、
1
2
ECD
ACD
=
，所以可得
(
)
1
2
E
EBC
A
ABC
+
=
+
，从而可得
1
2
E
A
=
；
( )
2 延长AD到N ，根据角平分线的定义可得
ADM
BDM
EDF
EDN
=
=
=
，从而可得DE 平分
CDN
、
AE 平分
DAC
，构造出( )
1 中的模型，由( )
1 中的结论可知
1
26
2
B
C
=
=
；
( )
3 过点D作DM
BA
⊥
、DN
AC
⊥
、DO
BC
⊥
，根据2
180
ACD
ACB
+
=
、
180
ACB
ACO
+
=
，可
得CD平分
ACO
，构造出( )
1 中的模型，由( )
1 中的结论可知
1
72
2
DAC
CAM
=
=
．
【详解】( )
1 解：
2
A
E
= ，
理由如下：
如下图所示，
ACD
是ABC
的外角，
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ACD
A
ABC
= +
，
ECD
是EBC
的外角，
ECD
E
EBC
= +
，
BE
平分
ABC
，CE 平分
ACD
，
1
2
EBC
ABC
=
，
1
2
ECD
ACD
=
，
(
)
1
2
E
EBC
A
ABC
+
=
+
，
1
1
2
2
E
EBC
A
ABC
+
=
+
，
1
2
E
A
=
；
( )
2 解：如下图所示，延长AD到点N ，
102
BAC
=
，
78
B
C
+
=
，
又
DM
平分
ADB
，
ADM
BDM
EDF
EDN
=
=
=
，
DE
平分
CDN
，
又
AE
平分
DAC
，
由( )
1 可知
1
2
E
C
=
，
根据折叠可知
B
E
=，
1
2
B
C
=
，
1
78
2
C
C
+
=
，
解得：
2
78
52
3
C
=
=
，
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1
26
2
B
C
=
=
；
( )
3 解：如下图所示，过点
D作DM
BA
⊥
垂足为点M ，
DN
AC
⊥
垂足为点N ，DO
BC
⊥
垂足为点O，
2
180
ACD
ACB
+
=
，
180
ACB
ACO
+
=
，
2
ACO
ACD
=
，
CD
平分
ACO
，
BD
平分
ABC
，
18
BDC
=
，
由（1）知
2
36
BAC
BDC
=
=
180
180
36
144
CAM
BAC
=
−
=
−
=
，
BD
平分
ABC
，
DM
DO
=
CD平分
ACO
，
DO
DN
=
，
DM
DN
=
，
AD
平分
CAM
，
1
72
2
DAC
CAM
=
=
，
故答案为72．
4．（23-24 八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在
ABC
和
ADE
中，
AB
AC
AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
，
，
．连接BD
CE
，
．
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(1)求证：BD
CE
=
；
(2)将
ABC
和
ADE
绕点A 向相反方向旋转，如图2，BD与CE 交于点O，BD与AC 交于点F．
①若
70
BAC
=
，求
BOC
的度数；
②连接AO ，求证：OA平分BOE ；
③若G 为CE 上一点，GE
OD
AG
CO
=
=
，
，且AG
BD
，连接CD，直接写出
AEG
与
ACD
的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①70；②见解析；③
90
AEG
ACD
+
=
【分析】（1）根据
BAC
DAE
=
，推出
BAD
CAE
=
，结合SAS证明BAD
CAE
≌
，即可得出结论；
（2）①根据BAD
CAE
≌
，得出
ABD
ACE
=
，根据
AFB
CFO
=
，结合三角形内角和定理即可得出
答案；
②过点A 作AM
BD
⊥
于点M，AN
CE
⊥
于点N，根据BAD
CAE
≌
，得出
ABD
ACE
S
S
BD
CE
=
=
，
，证明
AM
AN
=
，即可证明结论；
③连接CD， 证明
(
)
SAS
ADO
AEG
≌
，得出
OAD
GAE
AO
AG
=
=
，
，证明
BOA
BOC
=
，根据等
腰三角形三线合一得出OF
AC
AF
CF
⊥
=
，
，根据垂直平分线的性质得出AD
CD
=
，再根据
90
ACD
CDO
+
=
，即可求出结果．
【详解】（1）证明：
BAC
DAE
=
，
BAD
CAD
CAE
CAD
+
=
+
，
即：
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，
BD
CE
=
；
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95 /
（2）①解：根据解析（1）可知，BAD
CAE
≌
，
ABD
ACE
=
，
AFB
CFO
=
，
又
180
ABF
AFB
BAC
FCO
CFO
BOC
+
+
=
+
+
=
，
70
BOC
BAC
=
=
；
②证明：过点A 作AM
BD
⊥
于点M，AN
CE
⊥
于点N，如图所示：
BAD
CAE
△
≌△
，
ABD
ACE
S
S
BD
CE
=
=
，
，
∴1
1
2
2
BD AH
CE CE
=
，
AM
AN
=
，
OA
平分BOE ；
③解：
90
AEG
ACD
+
=
；理由如下：
连接CD，如图3 所示：
BAD
CAE
△
≌△
，
ADO
AEG
=
，
在
ADO
△
和
AEG
△
中，
AD
AE
ADO
AEG
OD
GE
=
=
=
，
(
)
SAS
ADO
AEG
≌
，
OAD
GAE
AO
AG
=
=
，
，
AOG
AGO
=
，
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96 /
OAD
DAG
GAE
DAG
+
=
+
，
即：
OAG
DAE
=
，
DAE
BAC
=
，
BAC
OAG
=
，
在
ABF
△
和COF
中，
180
180
BAC
ABD
AFB
BOC
ACE
CFO
=
−
−
=
−
−
，
，
ABD
ACE
AFB
CFO
=
=
，
，
BAC
BOC
=
，
BOC
OAG
=
，
AG
BD
∥
，
BOA
OAG
=
，
BOA
BOC
=
，
AO
AG
AG
CO
=
=
，
，
AO
CO
=
，
BOA
BOC
=
，
OF
AC
AF
CF
⊥
=
，
，
OF
垂直平分AC ，
AD
CD
=
，
ADO
CDO
=
，
CDO
AEG
=
，
90
=
CFD
，
90
ACD
CDO
+
=
，
90
AEG
ACD
+
=
．
5．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在
AOB
和
COD
△
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，若
60
AOB
COD
=
=
，连接AC
BD
、
交于点P ；
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97 /
(1)求证：AOC
BOD
≌
．
(2)求
APB
的度数．
(3)连接OP ，求证：OP 平分
APD
．
(4)如图2，
ABC
是等腰直角三角形，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，
14cm
AB =
，点D 是射线AB 上的一点，
连接CD，在直线AB 上方作以点C 为直角顶点的等腰直角三角形CDE
，连接BE ，若
4cm
BD =
，请直接
写出BE 的值．
【答案】(1)见解析
(2)60
(3)见解析
(4)
10cm
BE =
或18cm或2 53cm
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理．
（1）利用SAS即可证明出；
（2）先得到
AOB
是等边三角形，利用全等性质可得
OAC
OBD
=
，后利用
180
=
−
−
APB
PAB
PBA
即可计算出；
（3）过点O作OE
AC
⊥
于点E ，OF
BD
⊥
于点F ，利用全等性质可得
OCA
ODB
=
再证明出
(
)
AAS
OEC
OFD
≌
，继而得到OE
OF
=
；
（4）分三种情况讨论：当D 在线段AB 上，点E 在CD的右侧或左侧时，证明
(
)
SAS
CAD
CBE
≌
，继而得
到AD
BE
=
，当D在AB 的延长线上时，证明
(
)
SAS
CAD
CBE
≌
，继而得到AD
BE
=
，后即可得到本题答
案．
【详解】（1）解：证明：
60
AOB
COD
=
=
，
AOC
BOD
=
，
又
OA
OB
=
，OC
OD
=
，
在
AOC
△
和BOD
中，
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
=
=
，
(
)
SAS
AOC
BOD
≌
；
（2）解：
OA
OB
=
，
60
AOB
=
，
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98 /
AOB
是等边三角形，
60
OAB
OBA
=
=
AOC
BOD
≌
，
OAC
OBD
=
，
180
APB
PAB
PBA
\ ?
? ?
?
，
(
) (
)
180
BAO
CAO
ABO
OBD
=
−
−
−
+
，
180
60
60
60
OAC
OBD
=
−
+
−
−
=
；
（3）解：过点O作OE
AC
⊥
于点E ，OF
BD
⊥
于点F ，
，
90
OEC
OFD
=
=
，
AOC
BOD
≌
，
OCA
ODB
=
，
OC
OD
=
，
(
)
AAS
OEC
OFD
≌
，
OE
OF
=
，
又OE
AC
⊥
，OF
BD
⊥
OP
∴
平分
APD
．
（4）解：如图所示，当D 在线段AB 上，点E 在CD的右侧时，
，
CDE
是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，
90
DCE
=
，CD
CE
=
，
又
90
ACB
=
，AC
BC
=
，
90
ACD
DCB
BCE
=
−
=
，
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(
)
SAS
CAD
CBE
≌
，
AD
BE
=
，
14
AB =
，
4
BD =
，
10cm
BE
AD
AB
DB
=
=
−
=
，
如图所示，当D在线段AB 上，点E 在CD的左侧时，连接AE ，
∵CDE
是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴
90
DCE
=
,CD
CE
=
，
又∵
90
ACB
=
, AC
BC
=
,
∴
45
CAD
CBA
=
=
，
∵
90
ECA
ACD
=
−
，
90
DCB
ACD
=
−
，
∴
ECA
DCB
=
，
∴
(
)
SAS
ECA
DCB
≌
，
∴
45
EAC
DBC
CBA
=
=
=
, AE
BD
=
，
∴
90
EAB
EAC
CAD
=
+
=
，
∵
14cm
AB =
,
4cm
BD =
，
∴
4cm
AE
BD
=
=
;
在直角三角形EAB中，根据勾股定理可得
2
2
2
AE
AB
BE
+
=
，即
2
2
2
4
14
BE
+
=
解得
(
)
2 53 cm
BE =
，
如图所示，当D在AB 的延长线上时，
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100 /
，
同理
(
)
SAS
CAD
CBE
≌
，
AD
BE
=
，
14
AB =
，
4
BD =
，
18cm
BE
AD
AB
DB
=
=
+
=
，
综上所述，
10cm
BE =
或18cm或2 53cm．
6．（24-25 八年级上·江西赣州·期中）教材再现，请你完成解答
(1)【问题背景】如图1，CA
CD
=
，1
2
= ，BC
EC
=
，AB 与DE 交于点F．求证：AB
DE
=
．
(2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，当1
2
90
= =
，试判断AB 与DE 的位置关系并证明．
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101 /
(3)【问题解决】如图3，在（1）的条件下，当1
2
a
= =
，连接CF ，求
BFC
= _____．（用含a 的式子
表示）
【答案】(1)见解析；
(2) AB
DE
⊥
，见解析；
(3)
1
90
2
−
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角的定义和性质等知识，
证明
ACB
DCE
≌
△
△
是解题关键．
（1）首先证明
ACB
DCE
=
，然后利用“SAS”证明
ACB
DCE
≌
△
△
，由全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由（1）知
ACB
DCE
≌
△
△
，易得
A
D
=
，设AC 与DE 的交点为G ，由三角形外角的定义和性质证
明
2
90
AFD
= =
，即可证明结论；
（3）分别过点C 作CM
AB
⊥
，CN
DE
⊥
，由全等三角形的性质可得
ACB
DCE
S
S
=
△
△
，利用面积法证明CM
CN
=
，
进而可得CF 平分
BFD
，易知
1
2
BFC
BFD
=
，由（2）知
2
AFD
= =
，易得
180
=
−
BFD
，即
可获得答案．
【详解】（1）证明：∵1
2
= ，
∴1
2
ACE
ACE
+
= +
，即
ACB
DCE
=
，
在
ACB
△
和
CED
△
中，
CA
CD
ACB
DCE
BC
EC
=
=
=
∴
(
)
SAS
ACB
DCE
≌
，
∴AB
DE
=
；
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102 /
（2）解：AB
DE
⊥
，证明如下，
由（1）知
ACB
DCE
≌
△
△
，
∴
A
D
=
，
设AC 与DE 的交点为G ，如下图，
∵
2
A
AFD
D
AGD
+
=
+=
，
∴
2
90
AFD
= =
，
∴AB
DE
⊥
；
（3）解：分别过点C 作CM
AB
⊥
，CN
DE
⊥
，如下图，
∵
ACB
DCE
≌
△
△
，
∴
ACB
DCE
S
S
=
△
△
，即1
1
2
2
AB CM
DE CN
=
，
∵AB
DE
=
，
∴CM
CN
=
，
∴CF 平分
BFD
，
∴
1
2
BFC
BFD
=
，
由（2）知
2
AFD
= =
，
∴
180
=
−
BFD
，
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103 /
∴
(
)
1
1
180
90
2
2
BFC
=
−
=
−
．
故答案为：
1
90
2
−
．
1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在
ABC
中，
18
AB
AC
+
=
，AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
于点E ．若
4
DE =
，则
ABC
的面积为（ ）
A．12
B．18
C．24
D．36
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是采用面积的割补法．
如图，过D 作DF
AC
⊥
于F ，利用角平分线的性质可以证明DE
DF
=
，然后利用三角形的面积公式即可求
解．
【详解】解：过D 作DF
AC
⊥
于F ，
AD
平分
BAC
，DE
AB
⊥
于点E ．
DE
DF
=
，
ABC
ABD
ADC
S
S
S
=
+
1
1
2
2
DE
AB
DF
AC
=
+
(
)
1
2
DE AC
AB
=
+
又
18
AB
AC
+
=
，
4
DE =
，
ABC
的面积为：1
4 18
36
2
=
故选：D．
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104 /
2．（24-25 九年级下·福建泉州·期末）如图，点P 是
ABC
平分线上的一点，点M 是射线BC 上的一点（异
于点B ，），连结MP ，在射线BA上用尺规作图的方法找一点N ，使
BPN
BPM
≌
△
△
．
小明说：“以B 为圆心，BM 为半径作弧，交射线BA与N ，连结PN ，则可证得
BPN
BPM
≌
△
△
．”
小红说：“以P 为圆心，PM 为半径作弧，交射线BA与N ，连结PN ，当
PMB
的大小满足一定条件时也
可证得
BPN
BPM
≌
△
△
．”你认为小红提出的条件应该是（ ）
A．
90
PMB
=
B．
PMB
PBM
C．
90
PMB
=
或
PMB
PBM
D．0
90
PMB
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线性质，全等三角形的判定．根据以P 为圆心，PM 为半径作弧，分
情况当
90
PMB
=
时，当
PMB
PBM
时，当
PMB
PBM
时，结合全等三角形判定定理分析，即可
解题．
【详解】解：当
90
PMB
=
时，
由作图方法可知，
90
PNB
=
，
由
,
PM
PN PB
PB
=
=
，可证得
(
)
BPN
BPM HL
≌
．
当
PMB
PBM
时，PM
PB
，
由作图方法可知，PN
PB
，
如图，此时，射线BA上只有一个N 点符合，可证得
BPN
BPM
≌
△
△
．
当
PMB
PBM
时，PM
PB
，
由作图方法可知，PN
PB
，
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105 /
如图，此时，射线BA上不止一个N 点符合，得不到
BPN
BPM
≌
△
△
．
综上所述，小红提出的条件应该是
90
PMB
=
或
PMB
PBM
，
故选：C．
3．
（2025 七年级下·全国·专题练习）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，
ABC
是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB 、AC 的距离相等，
且使得
ABH
BCH
S
S
=
△
△
，则凉亭H 是（ ）
A．
BAC
的角平分线与AC 边上中线的交点
B．
BAC
的角平分线与AB 边上中线的交点
C．
ABC
的角平分线与AC 边上中线的交点
D．
ABC
的角平分线与BC 边上中线的交点
【答案】A
【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H 在
BAC
的角平分线上，再根据三
角形的中线性质可得
BE
BCE
S
S
=
△A
△
，
AHE
CHE
S
S
=
，然后利用等式的性质可得
ABH
CBH
S
S
=
，即可解答．
【详解】解：如图：
∵AD平分
BAC
，点H 在AD上，
∴点H 到AB 、AC 的距离相等，
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∵BE 是AC 边上的中线，
∴
BE
BCE
S
S
=
△A
△
，
AHE
CHE
S
S
=
，
∴
ABE
AHE
BCE
CHE
S
S
S
S
-
=
-
，
∴
ABH
CBH
S
S
=
，
∴凉亭H 是
BAC
的角平分线与AC 边上中线的交点，
故选：A．
4．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，
100
A
=
，P 是
ABC
内一点，过点P 作PD
AB
⊥
于点D，PE
BC
⊥
于点E
PF
AC
⊥
，
于点F ，若PD
PE
PF
=
=
，则
BPC
的度数为（ ）
A．110
B．120
C．130
D．140
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得
,
BP CP 分别平分
,
ABC
ACB
，
根据三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵点P 作PD
AB
⊥
于点D ，PE
BC
⊥
于点E
PF
AC
⊥
，
于点F ，PD
PE
PF
=
=
，
∴
,
BP CP 分别平分
,
ABC
ACB
，
∴
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCB
ACB
=
=
，
∵
100
A
=
，
∴
180
100
80
ABC
ACB
+
=
−
=
，
∴
(
)
1
40
2
PBC
PCB
ABC
ACB
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
140
PB
PC
B
B
C
PC
+
=
−
=
；
故选D．
5．（24-25 八年级上·河北唐山·期末）下列所作OP 平分
AOB
的方案，说法正确的是（ ）
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A．只有甲对
B．只有乙对
C．甲、乙都对
D．甲、乙都不对
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，由角平分线的判定定理可判定甲；
由SSS可证
(
)
SSS
OEP
OFP
≌
，得到
EOP
FOP
=
，即可判定乙，综合即可求解，掌握以上知识点是解
题的关键．
【详解】解：由甲的作法可知，点P 到
AOB
的距离相等，
∴点P 在
AOB
的角平分线上，
即OP 平分
AOB
，故甲对；
由乙的作法可知，OE
OF
=
，EP
FP
OP
OP
=
=
，
，
(
)
SSS
OEP
OFP
≌
，
∴
EOP
FOP
=
，
∴即OP 平分
AOB
，故乙对；
综上，甲、乙都对，
故选：C ．
6．（24-25 八年级上·云南昭通·期末）如图，在
ABC
中，
9
AB =
，
3
AC =
，
7
BC =
，点D 在边BC 上，点
D 到边AB ，AC 的距离相等，且AE
AC
=
，则BDE
的周长等于（ ）
A．10
B．13
C．16
D．19
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，先根据角平分线的判定得出
CAD
EAD
=
，根据SAS证明
ACD
AED
△
≌△
，得出CD
DE
=
，然后根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵点D 到边AB ，AC 的距离相等，
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∴
CAD
EAD
=
，
又AC
AE
=
，AD
AD
=
，
∴
(
)
SAS
ACD
AED
≌
△
△
，
∴CD
DE
=
，
∵
9
AB =
，
3
AC = ，
7
BC =
，AC
AE
=
，
∴
6
BE
AB
AE
=
−
=
，
∴BDE
的周长等于
13
DE
BD
BE
CD
BD
BE
BC
BE
+
+
=
+
+
=
+
=
，
故选：B．
7．（24-25 八年级上·河南商丘·期中）如图，一把直尺压住射线OB ，另一把完全一样的直尺压住射线OA并
且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP 就是
BOA
的平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】B
【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平
分线上．
根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP 平分
AOB
．
【详解】解：如图所示：过点P 作PE
AO
⊥
，PF
BO
⊥
，
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109 /
两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
PE
PF
=
，
OP
∴
平分
AOB
（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：B．
8．（24-25 八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACB
DCE
=
=
，AD，BE 交
于点H，连CH ．则
CHE
的度数为（ ）
A．180
2
−
B．90
+
C．
1
90
2
+
D．
1
90
2
−
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角分线的判定定理和邻补角的定义，设AD与BC 相交于
点P ，过点C 作CM
AD
⊥
于点M，CN
BE
⊥
于点M，根据题意得
ACD
BCE
=
，可利用SAS证明
≌
ACD
BCE
，有
CAD
CBE
=
，结合三角形得内角和定理得
AHB
ACB
=
=
，进一步利用AAS证明
ACM
BCN
≌
△
△
，有CM
CN
=
，即可判定CH 平分
AHE
，结合邻补角的定义即可
(
)
1
1 180
2
2
CHE
AHE
AHB
=
=
−
．
【详解】解：设AD与BC 相交于点P ，过点C 作CM
AD
⊥
于点M，CN
BE
⊥
于点M，如图所示：
∵
ACB
DCE
=
=
，
∴
ACD
BCE
=
，
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110 /
在ACD
和BCE
中，
CA
CB
ACD
BCE
CD
CE
=
=
=
∴
(
)
SAS
ACD
BCE
≌
，
∴
CAD
CBE
=
，
∵
APC
BPH
=
，
则180
180
CAD
APC
CBE
BPH
−
−
=
−
−
∴
AHB
ACB
=
=
，
在
ACM
△
和
BCN
△
中
90
CAM
CBN
AMC
BNC
AC
BC
=
=
=
=
∴
(
)
AAS
ACM
BCN
≌
，
∴CM
CN
=
，
∴CH 平分
AHE
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
1
180
180
90
2
2
2
2
CHE
AHE
AHB
=
=
−
=
−
=
−
，
故选：D．
9．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）点O在
ABC
内，且到三边的距离相等，若
60
A
=
，则
BOC
=
．
【答案】120
【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据点O在
ABC
内，且到
三边的距离相等，得到点O为
ABC
三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定
理进行求解即可．
【详解】解：如图：
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∵点O在
ABC
内，且到三边的距离相等，
∴BO平分
ABC
，OC 平分
ACB
，
∴
1
1
,
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
=
=
，
∵
60
BAC
=
，
∴
180
120
ABC
ACB
BAC
+
=
−
=
∠
，
∴
1
1
60
2
2
OBC
OCB
ABC
ACB
+
=
+
=
，
∴
180
120
BOC
OBC
OCB
=
−
−
=
；
故答案为：120
10．（24-25 八年级上·新疆伊犁·期中）已知点O是ABC
内一点，且点O到三边AB 、BC 、CA 的距离相等，
连接OB 、OC ，若
50
A
=
，则
BOC
= ．
【答案】115/115度
【分析】本题考查角平分线的性质，以及三角形的内角和定理．如图，由点O 到三边AB 、BC 、CA 的距
离相等，可知，O是三角形三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，利用三角形的内角和定理进行计
算即可．
【详解】解：如图：
∵
50
A
=
，
∴
180
50
130
ABC
ACB
+
=
−
=
，
∵点O 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等，
∴O是三角形三条角平分线的交点，
∴
,
BO CO 分别平分
,
ABC
ACB
，
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∴
1
1
,
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
=
=
，
∴
(
)
1
65
2
OBC
OCB
ABC
ACB
+
=
+
=
，
∴
180
180
65
115
BOC
OBC
OCB
=
−
−
=
−
=
；
故答案为：115．
11．
（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，已知点O是
BAC
内一点，且点O到AC 、AB 的距离OE
OF
=
，
70
EOA =
∠
，则
BAC
= ．
【答案】40/40 度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的判定与性质，由三角形内角和定理得出
20
OAE
=
，
再由角平分线的判定定理得出OA平分
BAC
，最后由角平分线的定义即可得出答案．
【详解】解：由题意得：OE
AB
⊥
，OF
AC
⊥
，
∴
90
OEA
=
，
∵
70
EOA =
∠
，
∴
90
20
OAE
EOA
=
−
=
，
∵点O到AC 、AB 的距离OE
OF
=
，
∴OA平分
BAC
，
∴
2
40
BAC
OAE
=
=
，
故答案为：40．
12．（23-24 七年级下·山东威海·期末）如图，ABC
的内角
ABC
和外角
ACD
的角平分线BE，CE 交于
点E ，且
26
BEC
=
，则
CAE
= ．
【答案】64/64 度
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【分析】延长BA，过点E 作EF
BD
⊥
于点F ，作EG
AC
⊥
于点G ，作EH
BA
⊥
于点H ，根据角平分线的
判定可知AE 是
CAH
的平分线，再利用角平分线的定义可知
2
2
ACD
ECD
ABC
EBC
=
=
，
，最后利
用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练
运用角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：延长BA，过点E 作EF
BD
⊥
于点F ，作EG
AC
⊥
于点G ，作EH
BA
⊥
于点H ，
∵ABC
的外角
ACD
的平分线CE 与内角
ABC
平分线BE交于点E ，
∴EH
EF
EG
EF
=
=
，
，
∴EH
EG
=
，
∴AE 是
CAH
的平分线，
∵BE平分
ABC
，CE 平分
ACD
，
∴
2
2
ACD
ECD
ABC
EBC
=
=
，
，
∵
ECD
BEC
EBC
ACD
ABC
BAC
=
+
=
+
，
，
∴
2
52
BAC
BEC
=
=
，
∴
128
CAH
=
，
∴
64
CAE
=
，
故答案为：64．
13．（24-25 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，按以下步骤作图：①以点A
为圆心，以小于AC 长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于1
2 MN
的长为半径作弧，在
BAC
内两弧交于点O；③作射线AO ，交BC 于点D ．若CD的长为2，则点D 到AB
的最短距离为 ．
【答案】2
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【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质
是解题的关键．
过点D作DE
AB
⊥
于点E ，可知点D 到AB 的最短距离为DE ，根据作图可得AD为
CAB
的角平分线，根
据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：过点D作DE
AB
⊥
于点E ，点D 到AB 的最短距离为DE ，
根据作图可知AD为
CAB
的角平分线，
∵
90 ,
C
DE
AB
=
⊥
∴
2
CD
DE
=
=
，
故答案为：2．
14．（2025·陕西·中考真题）如图，已知
50
AOB
=
，点C 在边OA上．请用尺规作图法，在
AOB
的内部
求作一点P ，使得
25
AOP
=
，且CP
OB
∥
．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本
作图是解题的关键．先作
AOB
的平分线OE ，再在OA同侧作
ACF
，使
50
ACF
AOB
=
=
，CF 交OE
于P 即可．
【详解】解：如图，点P 即为所求；
理由如下：
由作图可知：OE 是
AOB
的平分线，
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∴
1
1
50
25
2
2
AOP
AOB
=
=
=
，
∵
ACF
AOB
=
，
∴CP
OB
∥
，
∴点P 即为所求．
15．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，
,
90
,
100
B
C
BAD
DE
=
=
=
平分
ADC
交BC 于点E ，连接AE ，若点E 是BC 边的中点，求
EAB
的度数．
【答案】50
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理等知识点，正确作出辅助线、构造角
平分线成为解题的关键．
如图：过E作EF
AD
⊥
于F，由角平分线的性质定理可得CE
FE
=
，再结合点E 是BC 边的中点可得EB
EF
=
，
再判定AE 平分
DAB
，最后根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：如图：过E 作EF
AD
⊥
于F，
∵
90
B
C
=
=
，
∴EB
AB
EC
CD
⊥
⊥
，
．
∵DE 平分
ADC
，EC
CD
EF
AD
⊥
⊥
，
，
∴CE
FE
=
，
∵点E 是BC 边的中点，
∴EB
CE
=
，
∴EB
EF
=
．
∵EB
AB
EF
AD
EB
EF
⊥
⊥
=
，
，
，
∴AE 平分
DAB
，
∴
1
50
2
EAB
DAB
=
=
．
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16．（24-25 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）根据提示填空（或填上每步推理的理由）
已知：如图，AD
BC
⊥
于D，EG
BC
⊥
于G，
1
E
= ．求证：AD平分
BAC
．
证明：∵AD
BC
⊥
于D，EG
BC
⊥
于G（已知）
∴
90
ADC
=
，
90
EGC
=
，
∴
ADC
EGC
=
，
∴AD
EG
∥
（________________________________），
∴
1
= ________（________________________________），
3
E
= （________________________________），
又∵
1
E
= （已知），
∴________
3
= ，
∴AD平分
BAC
．
【答案】同位角相等，两直线平行；2 ；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；2
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和
性质定理．根据垂线定义求出
ADC
EGC
=
，根据平行线的判定得出答案，根据平行线的性质得出
2
3
=
，即可得出答案．
【详解】证明：∵AD
BC
⊥
于D，EG
BC
⊥
于G（已知）
∴
90
ADC
=
，
90
EGC
=
，
∴
ADC
EGC
=
，
∴AD
EG
∥
（同位角相等，两直线平行），
∴1
2
= （两直线平行，内错角相等），
3
E
= （两直线平行，同位角相等），
又∵
1
E
= （已知），
∴
2
3
=
∴AD平分
BAC
．
17．（24-25 八年级下·广东深圳·期中）如图，
ABC
中，点D 在边BC 延长线上，
110 ,
ACB
ABC
=
的平
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分线交AD于点E ，过点E 作EH
BD
⊥
，垂足为H ，且
55
CEH
=
．
(1)
ACE
的度数是 ；
(2)求证：AE 平分
CAF
；
(3)若
+
14,
8
AC CD
AB
=
=
，且
21
ACD
S
=
，求ABE
的面积．
【答案】(1)35
(2)证明见解析
(3)12
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用；
（1）先求出
70
ACD
=
，再根据直角三角形的两个锐角互余可得
40
DCE
=
，然后根据
ACE
ACD
DCE
=
−
即可得；
（2）过点E 作EM
BF
⊥
于点M ，作EN
AC
⊥
于点N ，先根据角平分线的性质可得
,
EM
EH EN
EH
=
=
，
从而可得EM
EN
=
，再根据角平分线的判定即可得证；
（3）过点E 作EM
BF
⊥
于点M ，作EN
AC
⊥
于点N ，则EM
EH
EN
=
=
，设EM
EH
EN
x
=
=
=
，再根
据
21
ACE
DCE
ACD
S
S
S
+
=
=
和三角形的面积公式可得x 的值，从而可得EM 的值，然后利用三角形的面积公
式即可得．
【详解】（1）解：
110
ACB
=
，
180
70
ACD
ACB
=
−
=
，
,
55
EH
BD
CEH
⊥
=
，
90
35
DCE
CEH
=
−
=
，
35
ACE
ACD
DCE
=
−
=
．
（2）证明：如图，过点E 作EM
BF
⊥
于点M ，作EN
AC
⊥
于点N ，
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BE
平分
ABC
，
,
EM
BF EH
BD
⊥
⊥
，
EM
EH
=
，
由（1）可知，
35
ACE
DCE
=
=
，即CE 平分
ACD
，
EN
EH
=
，
EM
EN
=
，
又点E 在
CAF
的内部，
AE
平分
CAF
．
（3）解：如图，过点E 作EM
BF
⊥
于点M ，作EN
AC
⊥
于点N ，
由（2）已得：EM
EH
EN
=
=
，
设EM
EH
EN
x
=
=
=
，
21
ACD
S
=
，
21
ACE
DCE
S
S
+
=
，
1
1
2
2
21
AC EN
CD EH
+
=
，即
(
)
1
2
2
1 x AC
CD
+
=
，
又
14
AC
CD
+
=
，
21
1
2
2
3
14
2
x
AC
CD
=
=
=
+
，
3
EM
= ，
8
AB =
，
ABE
的面积为1
1 8 3
12
2
2
AB EM
=
=
．
18．（24-25 八年级下·福建漳州·阶段练习）如图：AE
AB
⊥
，AF
AC
⊥
，AE
AB
=
，AF
AC
=
，
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(1)图中EC 、BF 有怎样的位置关系？试证明你的结论．
(2)连接AM ，求证：MA 平分
EMF
．
【答案】(1) EC
BF
⊥
，证明见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造
全等三角形是解题关键．
（1）令AB 与EC 的交点为G，证明
(
)
SAS
ACE
AFB
≌
，得到
AEC
ABF
=
，进而得出
90
BMG
EAG
=
=
，
即可得到结论；
（2）过点A 作AP
CE
⊥
于点P ，AQ
BF
⊥
于点Q ，证明
(
)
ACP
AFQ AAS
≌
，得到AP
AQ
=
，即可证明结
论．
【详解】（1）解：EC
BF
⊥
，证明如下：
令AB 与EC 的交点为G，如图，
AE
AB
⊥
，AF
AC
⊥
，
90
BAE
CAF
=
=
，
BAE
BAC
CAF
BAC
+
=
+
，即
CAE
FAB
=
，
在
ACE
△
和
AFB
△
中，
AC
AF
CAE
FAB
AE
AB
=
=
=
，
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120 /
(
)
SAS
ACE
AFB
≌
，
AEC
ABF
=
，
AGE
BGM
=
，
90
BMG
EAG
=
=
，
EC
BF
⊥
；
（2）证明：如图，过点A 作AP
CE
⊥
于点P ，AQ
BF
⊥
于点Q ，
90
APC
AQF
=
=
，
ACE
AFB
△
≌△
，
ACP
AFQ
=
，
在
ACP
△
和AFQ 中，
APC
AQF
ACP
AFQ
AF
AC
=
=
=
，
(
)
ACP
AFQ AAS
≌
，
=
AP
AQ，
又
AP
ME
⊥
，AQ
MF
⊥
，
MA
平分
EMF
．
