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专题 14.3 角平分线（四大题型）
【 题 型 1 ： 角 平 分 线 的 性 质 的 应
用】.....................................................................1
【 题 型 2 ： 角 平 分 线 的 性 质 在 实 际 中 的 应
用】......................................................5
【 题 型 3 ： 角 平 分 线 的 性 质 的 判 定 和 性 质 综
合】...................................................10
【题型4：尺规作图-角平分线】.........................................................................24
【题型1：角平分线的性质的应用】
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S =7，DE=2，AB=4，则
△ABC
AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作DF⊥AC于F，由角平分线的
性质定理即可求出DE=DF=2，再计算出S ，最后根据
△ADB
1
S =S −S = AC⋅DF，即可求出AC的值．
△ADC △ABC △ADB 2
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
1 1
∵S = AB⋅DE= ×4×2=4，
△ADB 2 2
∵△ABC的面积为7，
1
∴S =S −S = AC⋅DF
△ADC △ABC △ADB 2
1
即 AC×2=7−4，
2
解得：AC=3，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，DE=2，
AB+AC=16，则△ABC的面积为（ ）
A．32 B．20 C．16 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作
DF⊥AB于F，根据角平分线的性质定理得到DF=DE=2，再结合AB+AC=16，
即可求出面积．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，
AD ∠BAC DE⊥AC E
∵ 为 的平分线， 于 ，
DF⊥AB于F，DE=2，∴DF=DE=2，
∵AB+AC=16，
1 1 1
∴S = AC×DE+ AB×DF= (AB+AC)·DE=16，
△ABC 2 2 2
故选：C．
3．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD:BD=2:3．若BC=15，
则点D到AB边的距离为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出CD=6，再利用
角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解： ∵CD:BD=2:3，
设CD=2x，则BD=3x，
∴BC=CD+BD=5x，
∵BC=15，
∴5x=15，
∴x=3，
∴CD=6，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=CD=6，
∴点D到AB边的距离是6．
故选：C．4．如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
且OD=2，则△ABC的面积为（ ）
A．48 B．63 C．21 D．42
【答案】C
【分析】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，过O作OM⊥AB于M，
ON⊥AC于N，连接OA，由角平分线的性质推出OM=OD=ON=2，由三角形的面
1
积公式得到S = ×(AB+BC+AC)×OD，代入数据计算即可．解题的关键是由
△ABC 2
角平分线的性质推出OM=OD=ON=2．
【详解】解：如图，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
∴OM=OD=2，ON=OD=2，
∵△ABC的周长是21，
∴AB+BC+AC=21，
∴S =S +S +S
△ABC △OAB △OBC △OAC
1 1 1
= ×AB×OM+ ×BC×OD+ ×AC×ON
2 2 2
1 1 1
= ×AB×OD+ ×BC×OD+ ×AC×OD
2 2 2
1
= ×(AB+BC+AC)×OD
21
= ×21×2
2
=21，
即△ABC的面积为21．
故选：C．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D．若CD=0.6,AB=2，
则△ABD的面积是（ ）
A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作
DE⊥AB于点E，求出DE=DC=0.6，进而求出面积即可．
【详解】解：作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°,BD ∠ABC
平分 ，
∴DE=DC=0.6
∵AB=2
1
∴△ABD的面积是 ×2×0.6=0.6，
2
故选：A．
【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】
1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一
个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）．
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相
等”，即可获得答案．
【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三
条角平分线的交点．
故选：C．
2．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺
边缘和射线OA重合，另把直尺的下边缘与射线OB重合，连，接OP并延长．若
∠BOP=25°，则∠AOP的度数为（）
A．12.5° B．25° C．37.5° D．50°
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据题意，两把相同的长方形直尺的宽度一致，
根据摆放方式可知，点P到射线OA，OB的距离相等，进而得OP是∠AOB的角平分
线，有∠AOP=∠BOP即可求得答案．
【详解】解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致，
∴点P到射线OA，OB的距离相等，
∴OP是∠AOB的角平分线，
∵∠BOP=25°，∴∠AOP=∠BOP=25°，
故选：B．
3．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB、AC、BC两两相交围成的一块
平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（
）
A．△ABC各边垂直平分线的交点 B．△ABC中线的交点
C．△ABC高的交点 D．△ABC内角平分线的交点
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边
的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CBA的角平分线的交点处，即可得
出答案．
【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角
平分线的交点处，
故选：D．
4．如图，三角形地块ABC中，边AB=40m，AC=30m，其中绿化带AD是该三角形地块
的角平分线．若三角形地块ABD的面积为320m2，则三角形地块ACD的面积为
（ ）
A．120m2 B．240m2 C．400m2 D．560m2
【答案】B
【分析】过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由平分线的性质证得DE=DF，由三角形的面积公式求出DF，再由三角形的面积公式即可求出△ACD的面积．
【详解】解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵AB=40m，△ABD的面积为320m2，
2×320
∵DE=DF= =16(m)，
40
1 1
∴△ACD的面积= AC⋅DF= ×30×16=240(m2 )，
2 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质
证得DE=DF是解决问题的关键．
5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪
三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．以上均不正确
【答案】B
【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所
以要选角平分线的交点．
【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在△ABC三条角平分线的交点处．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．
6．如图，直线l ，l ，l 表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都
1 2 3
相等，则中转站P可选择的点有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分
情况找点P的位置．
【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处；
②三个外角两两平分线的交点，共三处，
∴中转站P可选择的点有共有4个．
故答案为：4．
7．如图，一个加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距
离是80m，则它到公路n的距离是 m．
【答案】80
【分析】根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，且加油站到公路m
的距离是80m，
∴加油站到公路m和公路n的距离是相等的，即它到公路n的距离是80m．
故答案为：80．【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边
距离相等是解题的关键．
【题型3：角平分线的性质的判定和性质综合】
1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的
判定即可．
【详解】证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB．
2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：∠DMA=90°．【答案】见解析
【分析】先利用角平分线的性质证明MC=ME，根据角平分线的意义，得出
2∠DAM=∠BAD，再利用中点的意义结合已知证明BM=MC=ME，从而可判定
AM平分∠DAB，根据角平分线的意义，得出2∠ADM=∠ADC，再证明
AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAD+∠ADM=180°，从而可得
∠ADM+∠DAM=90°，再利用三角形内角和定理得出∠DMA=90°．
【详解】证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，2∠ADM=∠ADC，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB，
∴2∠DAM=∠DAB．
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴2∠DAM+2∠ADM=180°，
∴∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠DMA=180°−(∠DAM+∠ADM)=90°．即∠DMA=90°．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的意义，直角三角形的判定，平行线
的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解．
3．已知：如图，在四边形ABCD中，BC=CD，过点C作CE⊥AB于E，CF⊥ AD于
F且DF=BE．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AB=8cm，DF=2cm，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)4cm
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是
掌握全等三角形的判定方法以及性质．
（1）证明Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，得出CE=CF，即可证明结论；
（2）先证明Rt△ACE≌Rt△ACF，得出AE=AF，求出AE=AF=6cm，即可求出
结论．
【详解】（1）证明：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°
即△BCE和△DCF均为直角三角形，
∵BC=CD，DF=BE，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，∴CE=CF，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴AC平分∠BAD；
（2）解：∵CE⊥AB，CF⊥AD，
且CE=CF，AC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴AE=AF，
又∵AB=8cm，DF=BE=2cm，
∴AE=AF=8−2=6cm，
∴AD=AF−DF=6−2=4cm
4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边BC，AC上，
DE=DB，∠DEC=∠B．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)写出AE+AB与AC的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AE+AB=AC，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）如图：过点D作DF⊥AB于点F，证明△DCE≌△DFB(AAS)得到DC=DF，
然后根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（2）先证明△ACD≌△AFD(AAS)得到AC=AF，由（1）知，△DCE≌△DFB，
得到CE=FB，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答．
【详解】（1）证明：如图：过点D作DF⊥AB于点F，∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DFB=∠ACB．
在△DCE和△DFB中，
{∠DCE=∠DFB
)
∠DEC=∠B ，
DE=DB
∴△DCE≌△DFB(AAS)，
∴DC=DF，
∵DF⊥AB，DC⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
（2）解：AE+AB=2AC，理由如下：
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAF．
在△ACD和△AFD中，
{∠ACD=∠AFD=90°
)
∠DAC=∠DAF ，
DC=DE
∴△ACD≌△AFD(AAS)，
∴AC=AF．
由（1）知，△DCE≌△DFB，
∴CE=FB，
∴AE+AB=AE+FB+AF=AE+CE+AF=AC+AF=2AC．
5．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD,BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AB=15,CF=4，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)23【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定；
（1）先证明∠E=∠DFC=90°，再证明Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，再结合全等三
角形的判定与角平分线的判定可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得AE=AF，再进一步解答即可．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
{BD=CD)
∴在Rt△BED和Rt△CFD中， ，
BE=CF
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵AB=15,CF=BE=4，
∴AE=AF=15+4=19，
∴AC=AF+CF=19+4=23．
6．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，
(1)图中EC、BF有怎样的位置关系？试证明你的结论．
(2)连接AM，求证：MA平分∠EMF．
【答案】(1)EC⊥BF，证明见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定
定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）令AB与EC的交点为G，证明△ACE≌△AFB(SAS)，得到∠AEC=∠ABF，进而得出∠BMG=∠EAG=90°，即可得到结论；
（2）过点A作AP⊥CE于点P，AQ⊥BF于点Q，证明△ACP≌△AFQ(AAS)，得
到AP=AQ，即可证明结论．
【详解】（1）解：EC⊥BF，证明如下：
令AB与EC的交点为G，如图，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°
，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠CAE=∠FAB，
在△ACE和△AFB中，
{
AC=AF
)
∠CAE=∠FAB ，
AE=AB
∴△ACE≌△AFB(SAS)，
∴∠AEC=∠ABF，
∵∠AGE=∠BGM，
∴∠BMG=∠EAG=90°，
∴EC⊥BF；
（2）证明：如图，过点A作AP⊥CE于点P，AQ⊥BF于点Q，
∴∠APC=∠AQF=90°
，
∵△ACE≌△AFB，
∴∠ACP=∠AFQ，在△ACP和AFQ中，
{∠APC=∠AQF
)
∠ACP=∠AFQ ，
AF=AC
∴△ACP≌△AFQ(AAS)，
∴AP=AQ，
又∵AP⊥ME，AQ⊥MF，
∴MA平分∠EMF．
7．如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，且BD=CD．求证：点D在∠BAC的平
分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握全等
三角形的性质与判定以及角平分线的判定定理是解题的关键．证明△CFD≌△BED，
可得FD=DE，根据角平分线的判定定理，即可得证．
【详解】证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠CFD=∠BED=90°，
又∵∠CDF=∠BDE，BD=CD，
∴△CFD≌△BED，
∴FD=DE，
CE⊥AB，BF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
8．已知：如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC的中点，AM平分
∠BAD．求证：(1)DM平分∠ADC；
(2)AD=AB+CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质：
（1）过点M作MN⊥AD于点N，角平分线的性质得到MB=MN，中点得到
MB=MC，进而得到MC=MN，平行线的性质，推出MC⊥CD，即可得证；
（2）证明Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)，得到AB=AN，同理得到CD=DN，根据
AD=AN+DN，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点M作MN⊥AD于点N，
∵∠B=90°，
∴MB⊥AB．
∵AM平分∠BAD，
∴MB=MN．
∵M为BC的中点，
∴MB=MC．
∴MC=MN．
∵AB∥CD，
∴∠C=180°−∠B=90°
∴MC⊥CD．
∵MC=MN，MN⊥AD，∴DM平分∠ADC．
（2）由（1）得∠B=∠MNA=90°，
∵MB=MN，AM=AM，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)．
∴AB=AN．
同理，CD=DN，
∵AD=AN+DN，
∴AD=AB+CD．
9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°，BE平分∠ABC交AC于点E，
过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF=55°，连接DE．
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AD=4，CD=8，且S =15，求EF的长．
△ACD
【答案】(1)35°
(2)见解析
5
(3)
2
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和
定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的
距离相等是解题关键．
(1)根据垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE=145°，再根据
∠BAE=∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；
(2)过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF=EG，EF=EH，
进而得到EG=EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
5
(3)根据三角形的面积公式求出EH= ，再根据角平分线的性质即可求得答案．
2
【详解】（1）解：∵EF⊥AB，∴∠F=90°，
∵∠AEF=55°，
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD，∠BAD=110°，
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=145°−110°=35°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，
∵∠F=90° ∠AEF=55°
， ，
∴∠EAF=90°−55°=35°，
由(1)可知，∠EAF=∠CAD=35°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF=EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF=EH，
∴EG=EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S =15，
△ACD
∴S +S =15，
△ADE △CDE
1 1
∴ AD⋅EG+ CD⋅EH=15，
2 2
∵AD=4，CD=8，EG=EH，
1 1
∴ ×4⋅EH+ ×8⋅EH=15，
2 2
15 5
∴EH= = ，
6 2
5
∴EF= ．
2
10．如图，∠BAC=90°，BD=CD，∠BDC=90°(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB=5，AC=9求S 的值
△ABD
【答案】(1)见解析
35
(2)
2
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、三角形的面积
公式，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
（1）过D点分别作AB，AC的垂线交于点E，F， 证明Rt△BDE≌Rt△DCF，得
DE=DF，根据角平分线判定定理即可解答；
（2）证明△DEA≌△DFA，AE=AF，分别求出AB，BE，再根据四边形AFDE为
正方形，得DE=AE=AB+BE=7，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图，过D点分别作AB，AC的垂线交于点E，F，
，
在四边形AEDF中，∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=90°，∠AFD=90°，
∴∠EDF=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在Rt△BDE和Rt△DCF中{
∠EDB=∠CDF
)
∠DEA=∠DFC=90° ，
DB=DC
∴Rt△BDE≌Rt△DCF，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD
∵AD=AD，ED=FD，∠DEA=∠DFC=90°
∴△DEA≌△DFA(AAS)，
∴AE=AF，
∵BE=FC，
AC=AF+FC=9，AE=AB+BE，
∴AB+2BE=9，
∵AB=5
∴5+2BE=9，
∴BE=2，
由（1）DE=AE=DF，
∴DE=AE=AB+BE=7，
1 1 35
∴S = AB×DE= ×5×7= ．
△ABD 2 2 2
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC
上，且BD=DF．
(1)求证：CF=EB；
(2)试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AB=AF+2BE，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相
等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三
角形的性质证明；
（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
{DC=DE)
，
DF=DB
∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL)，
∴CF=EB；
（2）解：AB=AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
{DC=DE)
，
AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE．
【题型4：尺规作图-角平分线】
1．如图，已知△ABC中，点E在AB上，且AE=AC．
(1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D．（不
写作法，保留作图痕边）
(2)在（1）所作的图形中，连接DE，求证：DE=BC−BD．
【答案】(1)图见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，三角形全等的判定及性质．（1）根据作角平分线的尺规作图的方法作图即可；
（2）证明△EAD≌△CAD(SAS)，得到DE=CD，根据线段的和差即可证明．
【详解】（1）解：如图，AD为所求；
（2）证明：∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中，
{
AE=AC
)
∠EAD=∠CAD ，
AD=AD
∴△EAD≌△CAD(SAS)，
∴DE=CD．
∵CD=BC−BD，
∴DE=BC−BD．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)求作点D到AB，BC的距离相等，且点D在AC上（要求：尺规作图，不写作法，
保留作图痕迹）；
(2)若CD=3，AB+BC=16，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练
掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）作∠ABC的角平分线交AC于点D，则点D到AB，BC的距离相等，根据角平
分线的作法，画出图形即可；
（2）过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得CD=DH，再根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：作∠ABC的角平分线交AC于点D，则点D到AB，BC的距离相
等，
如图，点D即为所求；
（2）解：过点D作DH⊥AB于H，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD=DH=3，
∴△ABC的面积=S +S
△BCD △ABD
1 1
= BC⋅CD+ AB⋅DH
2 2
1 1
= ×3BC+ ×3AB
2 2
1
= ×3(BC+AB)
2
1
= ×3×16
2
=24．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,CD平分∠ACB．
(1)用无刻度的直尺和圆规作∠BAC的平分线，交CD于点E，交BC于点F．
(2)在（1）的条件下，求∠≝¿的度数．
【答案】(1)见解析(2)∠≝=105°
【分析】题目主要考查角平分线及三角形内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解
题的关键．
（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可；
1
（2）先求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的定义求出∠ACD= ∠ACB=45°，
2
1
∠CAF= ∠BAC=30°，再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求解．
2
【详解】（1）解：如图，射线AF即为所求作．
（2）解：在 Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，
∴∠BAC=180°−90°−30°=60°，
∵CD平分∠ACB，
1
∴∠ACD= ∠ACB=45°．
2
由（1）可知AF平分∠BAC，
1
∴∠CAF= ∠BAC=30°，
2
∴∠AEC=180°−∠ACD−∠CAF=105°，
∴∠≝=∠AEC=105°．
4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°．
(1)作出∠CAB的角平分线交BC于点D；（不写做法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，BD=2，AC=5，求△ACD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）过点D作DE⊥AC于点E，根据角平分线的性质可得DE=DB=2，再根据三
角形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：如图，射线AF就是所要求做的∠CAB的角平分线；
（2）解：过点D作DE⊥AC，垂足为点E，
由（1）可得：AF是∠BAC的角平分线，∠B=90°即DB⊥AB，
∴DE=DB=2，
1 1
∴S = ×AC×DE= ×5×2=5，
△ACD 2 2
∴△ACD的面积为5．
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB=8cm，S =12cm2，求CD的长．
△ADB
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】
本题主要考查作图 基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及角平分
线的性质．（1）根据角平分线的尺规作图方法进行求解即可得；
（2）作DE⊥AB，由△ADB的面积为12cm2，求得DE=3cm，再根据角平分线的性
质可得．
【详解】（1）解：如图1所示，即为所求；
（2）解：过点D作DE⊥AB，交AB于点E，在△ADB中，
1
S = ×DE×AB
△ADB 2
，
1
∴12= ×DE×8，
2
∴DE=3，
∵AD平分∠BAC，AC⊥BC，DE⊥AB，
∴CD=DE=3．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=11．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边BC上求作一点D，使S :S =AB:AC（保留
△ABD △ACD
作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，过点D作DE⊥AB于点E．若CD=4，S =30，求BE
△ABD
的长．
【答案】(1)见解析
(2)BE=4
【分析】本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判
定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线．
（1）利用基本作图作∠BAC的平分线即可；
（2）先根据角平分线的性质得到DC=DE=4，然后根据“HL”证明
Rt△ACD≌Rt△AED，从而得到AC=AE=11，利用三角形面积公式可求出
AB=15，然后计算AB−AE即可；
【详解】（1）解：如图，作∠BAC的平分线，则AD为所求，
过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
1 1
∵S = AB⋅DE，S = AC⋅DC，
△ABD 2 △ACD 2
∴S :S =AB:AC；
△ABD △ACD
（2）解: ∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=4，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
{AD=AD)
，
DC=DE
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AC=11；
1
∵S = AB×DE=30，
△ABD 2
∴AB=15，
∴BE=AB−AE=15−11=4．1．如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线，
△ABC的面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DF的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，理解定理内容是关键；根据角平分线性质定
理得DE=DF；利用S =S +S 即可求解．
△ABC △ABD △ACD
【详解】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE；
∵S =S +S ，
△ABC △ABD △ACD
1 1
即28= AB⋅DE+ AC⋅DF，
2 2
1 1
∴ ×20DF+ ×8DF=28，
2 2
解得：DF=2cm，
故选：C．
2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S =33cm2，AB=16cm，
△ABC
BC=14cm，则DE的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．2.4cm D．2.2cm
【答案】D
【分析】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，根据角的平分线的性质定理，三角形的面积公式解答即可．
本题考查了角的平分线的性质定理，三角形的面积，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S =33cm2 ，AB=16cm，BC=14cm，
△ABC
1 1
∴ AB·DE+ BC·DF=33cm2 ，
2 2
∴DE·(AB+BC)=66cm2，
66
∴DE= =2.2cm
16+14
故选：D
3．如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且BE=CD．
(1)求证：OE=OD；
(2)求证：AO平分∠BAC
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明△BOE≌△COD(AAS)，即可得证；
（2）由（1）得OE=OD，结合BD⊥AC，CE⊥AB即可得证．【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠OEB=∠ODC=90°
在△BOE和△COD中，
{∠BOE=∠COD
)
∠OEB=∠ODC ，
BE=CD
∴△BOE≌△COD(AAS)，
∴OE=OD；
（2）证明：由（1）得OE=OD，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴AO平分∠BAC．
4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且
DE=DC．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠A=36°，求∠DBC的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)27°
【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分
线的判定定理是解答的关键．
（1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论；
（2）先根据三角形的内角和定理求得∠ABC=54°，再根据角平分线的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵ DC⊥BC，DE⊥AB，DE=DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴ BD平分∠ABC；
（2）解：∵ ∠C=90°，∠A=36°，
∴ ∠ABC=180°−90°−36°=54°，
∵ BD平分∠ABC，1
∴ ∠DBC=∠ABD= ∠ABC=27°．
2
