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分层作业
14.2 三角形全等的判定(第一课时 SAS)
参考答案
利用SAS 判定全等
1．C
2． 𝐵𝐶= 𝐶𝐷（答案不唯一）
SAS 判定在实际生活中的应用
3. B
4.① 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
利用SAS 判定三角形全等综合应用
5. (1)证明：∵𝐴𝐸∥𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵．
∵𝐷𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝐷𝐹+ 𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹，即𝐷𝐸= 𝐵𝐹．
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵，𝐷𝐸= 𝐵𝐹，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(SAS)．
(2)证明：∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
6. (1)∵𝐵𝐸= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶，𝐵𝐷= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵(SAS)．
(2)解：由（1）得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐷= 25°，∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐶= 70°
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 85°，
题型03
题型02
题型01
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则∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐷= 85° −70° = 15°．
在平移图形中利用SAS 判定三角形全等
7.（1）证明：∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹，
∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
．
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)；
（2）解：𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐴𝐶∥𝐷𝐹；理由如下：
由（1）知：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐹，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸，
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐹．
8.证明：∵𝐴𝐶∥𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸．
∵𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐹−𝐵𝐸= 𝐶𝐸−𝐵𝐸，
即𝐸𝐹= 𝐶𝐵．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸
𝐶𝐵= 𝐸𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)．
在旋转图形中利用SAS 判定三角形全等
9. 8
10.(1)证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷．
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，
{
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐷= 𝐶𝐸
,
题型05
题型04
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∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)；
(2)证明：∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐷,
∵∠𝐸𝑁𝑂= ∠𝐷𝑁𝐶, ∠𝐸𝑂𝑁+ ∠𝐸𝑁𝑂+ ∠𝐸= ∠𝐷𝑁𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑁+ ∠𝐷= 180°，∠𝐸𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐸𝑂𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷= 60°.
1． B
2. D
3. 65°
4. 9
5.解：如图，延长𝐴𝐷到𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，
∵点𝐷为𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐵𝐸𝐷和△𝐶𝐴𝐷中，
{
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐴
𝐷𝐸= 𝐴𝐶
，
∴△𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)，
故答案为：A；
∵△𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐴𝐷，𝐴𝐶= 5，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 5，
∵𝐴𝐵= 7，
∴𝐴𝐵−𝐵𝐸< 𝐴𝐸< 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸，
∴2 < 𝐴𝐸< 12，
∴2 < 2𝐴𝐷< 12，
∴1 < 𝐴𝐷< 6，
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6. (1)证明：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵（已知），
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸（等角的余角相等），
在△𝐴𝐵𝑃和△𝑄𝐶𝐴中，{
𝐵𝑃= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸
𝐶𝑄= 𝐴𝐵
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝑄𝐶𝐴(SAS)，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝑄（全等三角形对应边相等）．
(2)证明：∵△𝐴𝐵𝑃≌△𝑄𝐶𝐴，
∴∠𝐶𝐴𝑄= ∠𝑃（全等三角形对应角相等），
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶（已知），即∠𝑃+ ∠𝐶𝐴𝑃= 90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠𝐶𝐴𝑄+ ∠𝐶𝐴𝑃= 90°（等量代换），即∠𝑄𝐴𝑃= 90°，
∴𝐴𝑃⊥𝐴𝑄（垂直定义）．
1． C
2． C
3．（1）∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=
1
2×（180°-100°）=40°，
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠DBC=
1
2∠ABC=20°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=
1
2×（180°-20°）=80°，
∴∠EDC=∠BED-∠C=80°-40°=40°，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∴△CED 是等腰三角形．
（2）如图，
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在边𝐵𝐶上取点𝐹，使𝐵𝐹= 𝐵𝐴，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐹𝐵𝐷中
∵{
𝐴𝐵= 𝐹𝐵
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐹𝐵𝐷
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐹𝐵𝐷
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐹，∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴= 100°，
∴∠𝐷𝐹𝐸= 180° −100° = 80°，
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸
∴𝐴𝐷= 𝐸𝐶
∴𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐵𝐶．
4．（1）①证明：由旋转的性质得，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，AE=AD，
∴∠𝐵𝐴𝐶－∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸－∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)；
②由①知△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐶+ 𝐵𝐷= 𝐷𝐶+ 𝐸𝐶．
（2）①结论仍然成立．
理由：由旋转的性质得，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，AE=AD，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐷与△𝐶𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
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1． C
2． 证明：在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵= 50°，∠𝐶= 20°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 110°．
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶．
∴∠𝐴𝐸𝐶= 90°．
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐶= 110°，
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐵．
在△𝐷𝐴𝐹和△𝐶𝐴𝐵中，
{
𝐴𝐷= 𝐴𝐶
∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐵
𝐴𝐹= 𝐴𝐵
，
∴△𝐷𝐴𝐹≅△𝐶𝐴𝐵(SAS)．
∴𝐷𝐹= 𝐶𝐵．
