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13.3 三角形的内角与外角
课标要点
1. 通过度量、剪拼感知内角和为180°，说出“为何要证明”；
2. 添加辅助线，用平行线性质+平角定义证明内角和定理；
3. 用定理求未知角、判断三角形形状。
4. 由内角和定理推出“直角三角形两锐角互余”；
5. 逆用得到“有两角互余的三角形是直角三角形”；
6. 用Rt△性质与判定做简单计算/证明。
7. 说出外角定义（一边与另一边延长线组成），在图形中准确识别外角及“不相邻两
内角”；
8. 探索并证明“外角=不相邻两内角和”，推得“外角＞任一不相邻内角”；
9. 用外角性质做计算、推理，知道外角和=360°。
学习重难点
重点：
1. 三角形内角和定理及其证明，不仅能说出“180°”，更能独立添加辅助线（作平行
线），用几何语言完整书写证明过程。
2. 熟练运用“两锐角互余”进行计算，并能根据角度互余逆向判定直角三角形。
3. 掌握并证明“外角 = 与它不相邻的两个内角之和”，并能在复杂图形中识别、提取
该等量关系。
难点：
1.理解并表述添加辅助线证明内角和定理的思路；
2.在复杂图形中准确识别外角及其对应的不相邻内角，规范书写几何推理过程。
第十三章
三角形
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知识点一 三角形的内角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° .
几何语言：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180° .
三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一
个平角．在转化中借助平行线.
即学即练
．．．．
1． 1． 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°, ∠𝐵= 20°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为180°，已知两个角的度数，第三个角可
通过180°减去已知两角的和求得．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴= 60°,∠𝐵= 20°，根据三角形内角和定理，得：
∠𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −60° −20° = 100°，
故选：C．
2． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ）
A．49°
B．50°
C．51°
D．52°
【答案】C
特别提醒
1）三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.
2）为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
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【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −28° −50° = 102°，
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2 × 102° = 51°．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 62°，∠𝐵= 74°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，点𝐸在𝐴𝐶上，且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，则
∠𝐸𝐷𝐶的度数为（ ）
A．20°
B．22°
C．27°
D．37°
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、两直线平行内错角相等
【分析】根据三角形内角和求出∠𝐴𝐶𝐵，由角平分线求出∠𝐵𝐶𝐷，最后由平行线的性质即可求出答案．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 62°，∠𝐵= 74°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 44°，
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 22°，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= 22°．
知识点二 直角三角形的性质与判定
直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可
以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC 可以记作 Rt△ABC
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余
几何语言：
∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形
几何语言：
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∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形
即学即练
．．．．
1． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点E．若∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
则∠𝐴𝐸𝐵的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【答案】D
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠𝐴𝐵𝐷，再根据角平分线的定义求出∠𝐴𝐵𝐸，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 90° −∠𝐵𝐴𝐷= 90° −40° = 50°，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 50° = 25°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐸= 25°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 180° −90° −25° = 65°．
2.如图，𝐶𝐴, 𝐶𝐵为∠𝐷𝐶𝐸的三等分线，𝐵𝐸⊥𝐶𝐵交𝐶𝐸于点E，已知∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴= 20°，则∠𝐸
的度数为（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
【答案】B
【分析】根据三等分线定义可设∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷= 𝑥，得到∠𝐸= 90° −𝑥，∠𝐴𝐵𝐶= 160° −𝑥，
∠𝐴𝐵𝐸= 90° + 2𝑥，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案．
【详解】解：∵𝐶𝐴, 𝐶𝐵为∠𝐷𝐶𝐸的三等分线，
∴可设∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷= 𝑥，
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则∠𝐷𝐶𝐸= 3𝑥，
∵𝐵𝐸⊥𝐶𝐵交𝐶𝐸于点E，
∴∠𝐶𝐵𝐸= 90°，
∴∠𝐸= 180° −∠𝐶𝐵𝐸−∠𝐵𝐶𝐸= 90° −𝑥，
∵∠𝐴= 20°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 160° −𝑥，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90° −𝑥+ 3𝑥= 90° + 2𝑥，
∵∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐸= 360°，
∴90° + 2𝑥+ 160° −𝑥+ 90° = 360°，
解得𝑥= 20°，
∴∠𝐸= 90° −𝑥= 70°．
3．如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关
键；
先通过三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵= 82°，再通过角平分线求出∠𝐵𝐶𝐸，进而可求出∠𝐵𝐶𝐷，从而可得到
∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，进而得证．
【详解】证明：∵∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 82°．
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 41°．
∵∠𝐷𝐶𝐸= 11°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
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知识点三 三角形的外角
三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角，
其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
三角形外角的性质
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵）
②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐴；∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐵.）
③三角形的外角和为360°（∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐷= 360°）
（三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和）
即学即练
．．．．
1．下图中∠1 是三角形一个外角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可．
【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D 选项中的∠1 是三角形一个外角，其他的都不符合题意；
故选D．
2. 如图所示，直线𝑎∥𝑏，直线𝐵𝐶与直线𝑎、𝑏分别交于点𝐵、𝐶、点𝐷在直线𝑎上，点𝐴在直线𝐵𝐶上，连接
𝐴𝐷．若∠2 = 25°，∠1 = 55°，则∠𝐴的度数为（ ）
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A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质得出∠𝐷𝐵𝐶的度数，再利用三角形外角的性质计算∠𝐴的度数．
【详解】解：∵𝑎∥𝑏，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠1 = 55°，
∵∠𝐷𝐵𝐶是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴+ ∠2，
∵∠2 = 25°，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐵𝐶−∠2 = 55° −25° = 30°．
3. 如图，∠1和∠3都是△𝐴𝐵𝐶的外角，已知∠1 = 130°，则∠3 −∠2 =（ ）
A．80°
B．55°
C．65°
D．50°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到∠3 −
∠2 = ∠𝐴𝐵𝐶，再利用∠1 = 130°求出∠𝐴𝐵𝐶，即可解题．
【详解】解：∵ ∠3是△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠3 −∠2 = ∠𝐴𝐵𝐶，
∵ ∠1 = 130°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠3 = 50°，
∴∠3 −∠2 = ∠𝐴𝐵𝐶= 50°
故选：D．
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题型01 三角形内角和的证明
典｜例｜精｜析
例1．如图，已知△𝐴𝐵𝐶，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为180°的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的证明、两直线平行内
错角相等
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：A、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴= ∠2, ∠𝐵= ∠1，
∵∠1 + ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠2 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
B、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵= ∠3,∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠3 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
C、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐶，
解题贴士
转化思想，把三角形三个分散的内角，通过作平行线平移、拼接成平角（180°），这是所有证法的根本
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∴∠𝐴= ∠5, ∠𝐶= ∠4，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠4 + ∠5 = 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
D、无法证明三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项符合题意
变｜式｜巩｜固
1．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法．
【回答问题】
(1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________．
A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想
(2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为180°．
【答案】(1)A
(2)选用③证明三角形的内角和为180°，理由如下：
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐹𝐷𝐵，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐶+ ∠𝐶𝐸𝐷= 180°，∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐹= 180°，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹，
由平角的性质可得，∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐹+ ∠𝐵𝐷𝐹= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，即三角形的内角和为180°．
选用④证明三角形的内角和为180°，理由如下：
如图所示，延长𝐵𝐶，在延长线上取一点𝑁，
∵𝐶𝐷∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐶𝑁，∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷．
又∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝑁= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐵= 180°，
即三角形的内角和为180°．
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【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）证明“三角形的内角和是180°”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角．
（2）选用③证明三角形的内角和为180°，根据平行线的性质得到∠𝐴= ∠𝐹𝐷𝐵，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐶+
∠𝐶𝐸𝐷= 180°，∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐹= 180°，得到∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹，再根据平角的性质即可求解；
选用④证明三角形的内角和为180°，延长𝐵𝐶，在延长线上取一点𝑁，根据平行线的性质可求得∠𝐵=
∠𝐷𝐶𝑁，∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷，结合∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝑁= 180°，即可证明结论．
【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是180°”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了
转化思想，A 选项符合题意；
（2）略
【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是
解题的关键．
2．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学习
了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
(1)（1）如图1，过△𝐴𝐵𝐶的顶点A 作𝐵𝐶的平行线𝐸𝐷，请你证明三角形的内角和为180°；
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
【迁移应用】
(2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中𝐴𝐵∥𝐶𝐷
①若∠𝐸𝐴𝐵= 60°，∠𝐸𝐶𝐷= 40°，则∠𝐴𝐸𝐶的度数为____．
②若𝐴𝐸∥𝐵𝐷，∠𝐴𝐸𝐶= 80°，求∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐸𝐶𝐷 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①100°；②100°
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论；
（2）①过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，由平行线的性质，得出∠𝐴𝐸𝐹= 60°，∠𝐶𝐸𝐹= 40°，即可求出∠𝐴𝐸𝐶的度数；
②根据平行线的性质，得出∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐷= 80°，∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐸= 180°，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵𝐵𝐶∥𝐸𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐵，∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶，
∵∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= 180°，
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∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶= 180°，
即三角形的内角和为180°；
（2）解：①如图，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹= 60°，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹= 40°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐸𝐹= 60° + 40° = 100°；
②∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹，∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹，
∵∠𝐴𝐸𝐶= 80°，
∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐷= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 80° −∠𝐸𝐶𝐷，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ (80° −∠𝐸𝐶𝐷) = 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐸𝐶𝐷= 100°．
题型02 运用三角形内角和定理求角的角度
典｜例｜精｜析
例2. 根据条件，在△ABC 中，求∠A 的度数：
(1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________；
(2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________；
【答案】(1)60°；(2)80°；(3)30°.
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】(1)∵∠B＝70°，∠C＝50°，∴∠A＝180°－70°－50°＝60°；
解题贴士
根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决.
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(2)∵∠C＝20°，∠A＝∠B，∴∠A＝
1
2×(180°－20°)＝80°；
故答案为：(1)60°；(2)80°；
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
变｜式｜巩｜固
3.若一个三角形的三个内角的比为2: 3: 4，则此三角形的最大内角度数是_______
【答案】80°
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】解：∵三角形的三个内角和为180°，
设三个内角大小分别为：2𝛼、3𝛼、4𝛼，
∴2𝛼+ 3𝛼+ 4𝛼= 180°，
解得𝛼= 20°，
∴4𝛼= 4 × 20° = 80°，
∴此三角形的最大内角度数是80°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
4.已知：如图，𝐸𝐹∥𝐶𝐷，𝐺𝐷∥𝐶𝐴．
(1)求证：∠1 + ∠2 = 180°；
(2)若𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐺平分∠𝐶𝐷𝐵，且∠𝐴= 35°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数．
【答案】(1)证明：∵𝐸𝐹∥𝐶𝐷，
∴∠1 + ∠𝐸𝐶𝐷= 180°，
∵𝐺𝐷∥𝐶𝐴，
∴∠2 = ∠𝐸𝐶𝐷，
∴∠1 + ∠2 = 180°；
(2)75°
【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内
角和问题
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠1 + ∠𝐸𝐶𝐷= 180°，∠2 = ∠𝐸𝐶𝐷，据此可证明结论；
（2）根据平行线的性质得到∠𝐵𝐷𝐺= ∠𝐴= 35°，∠𝐸𝐶𝐷= ∠2，由角平分线的定义得到∠2 = ∠𝐵𝐷𝐺=
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∠𝐸𝐶𝐷= 35°，进而求出∠𝐴𝐶𝐵的度数，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐺𝐷∥𝐶𝐴，
∴∠𝐵𝐷𝐺= ∠𝐴= 35°，∠𝐸𝐶𝐷= ∠2，
∵𝐷𝐺平分∠𝐶𝐷𝐵，
∴∠2 = ∠𝐵𝐷𝐺= 35°，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠2 = 35°，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐸𝐶𝐷= 70°，
∴∠𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 75°．
题型03 直角三角形的性质
典｜例｜精｜析
例3.如图，直线𝑀𝑁∥𝐸𝐹，Rt △𝐴𝐵𝐶的直角顶点C 在直线𝑀𝑁上，顶点B 在直线𝐸𝐹上，𝐴𝐵交𝑀𝑁于点D，
∠1 = 50°，∠2 = 60°，求∠𝐴的度数．
【答案】20°
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质及三角
形内角和定理，求出∠𝐴𝐵𝐶的度数是解题的关键．
由𝑀𝑁∥𝐸𝐹，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠𝐵𝐶𝐷的度数，在△𝐵𝐶𝐷中，利用三角形内角和定理可
求出∠𝐴𝐵𝐶的度数，再在Rt △𝐴𝐵𝐶中，利用三角形内角和定理即可求出∠𝐴的度数．
【详解】解：∵𝑀𝑁∥𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠1 = 50°，
解题贴士
直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐
角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形.
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在△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 50°、∠2 = 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐵𝐶𝐷−∠2 = 70°，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 70°、∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐵𝐶= 20°．
变｜式｜巩｜固
5.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 4∠𝐵．求∠𝐴，∠𝐵的度数．
【答案】∠𝐴= 72°，∠𝐵= 18°
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是理解并掌握直角三角形的两个锐角互
余．
根据直角三角形中两个锐角互余，即可进行求解．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∵∠𝐴= 4∠𝐵，
∴4∠𝐵+ ∠𝐵= 90°，
解得：∠𝐵= 18°，
∴∠𝐴= 4∠𝐵= 18° × 4 = 72°．
6.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐴𝐸平分∠𝐷𝐴𝐶交𝐶𝐷于点E，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于点F，求
∠𝐴𝐸𝐹的度数．
【答案】45°
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算
【分析】用∠𝐵表示∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐵，再利用∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，求出∠𝐷𝐴𝐶= 2∠𝐵−90°，再表示出∠𝐹𝐴𝐸，
发现其等于45°，进而在直角三角形△𝐴𝐸𝐹中求出∠𝐴𝐸𝐹即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐵，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵−(90° −∠𝐵) = 2∠𝐵−90°，
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∵𝐴𝐸平分∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐷𝐴𝐶=
1
2 (2∠𝐵−90°) = ∠𝐵−45°，
∴∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸= (90° −∠𝐵) + (∠𝐵−45°) = 45°，
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 90° −∠𝐹𝐴𝐸= 90° −45° = 45°．
题型04 直角三角形的判定
典｜例｜精｜析
例4.在下列条件：①∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 2: 3；②∠𝐴= ∠𝐵= 2∠𝐶；③∠𝐴+ ∠𝐵= 90°；④∠𝐴=
1
2 ∠𝐵=
1
3 ∠𝐶
中，能确定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的条件有（ ）．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了一元一次方程的应用，根据条件合理设出未知数，
根据三角形内角和定理建立方程即可求解．
【详解】解：①设∠𝐴= 𝑥, ∠𝐵= 2𝑥, ∠𝐶= 3𝑥，
则𝑥+ 2𝑥+ 3𝑥= 180°，
解得：𝑥= 30°，
∴∠𝐶= 3𝑥= 90°
故△𝐴𝐵𝐶为直角三角形；
②设∠𝐶= 𝑦，则∠𝐴= ∠𝐵= 2𝑦，
∴2𝑦+ 2𝑦+ 𝑦= 180°，
解得：𝑦= 36°，2𝑦= 72°，
故△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形；
③∵∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐶= 90°，
解题贴士
1.有一个角为90°，判定为直角三角形；
2.两个内角互余，判定为直角三角形；
3. 三角形两边互相垂直，判定为直角三角形。
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故△𝐴𝐵𝐶为直角三角形；
④设∠𝐶= 3𝑎，则∠𝐴= 𝑎, ∠𝐵= 2𝑎
∴𝑎+ 2𝑎+ 3𝑎= 180°，
解得：𝑎= 30°，
∴∠𝐶= 3𝑎= 90°
故△𝐴𝐵𝐶为直角三角形；
故选：B
变｜式｜巩｜固
7.已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐶为直角三角形．
【答案】证明见详解
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，通过角之间的转化推出∠𝐵𝐴𝐶为直角即可；
【详解】证明：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°,
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶
∴∠𝐶+ ∠𝐵= 90°,
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°
∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形
8.如图，𝐴𝐷、𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高线和角平分线，相交于点𝐹，且∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸．
(1)请证明：𝐴𝐵⊥𝐴𝐶；
(2)若∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐵𝐶，求∠𝐴𝐵𝐸的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)18°．
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【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质．
(1)根据角平分线的定义可知∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，根据垂直的定义可知∠𝐴𝐷𝐵= 90°，所以可得：
∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐷= 90°，等量代换可得：∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90°，根据三角形内角和定理可证𝐴𝐵⊥𝐴𝐶；
(2)根据∠𝐵𝐴𝐸= 90°，可知∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，又因为∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐵𝐶，所以可得：∠𝐴𝐸𝐹= 4∠𝐴𝐵𝐸，
等量代换可得：∠𝐴𝐵𝐸+ 4∠𝐴𝐵𝐸= 90°，从而可求∠𝐴𝐵𝐸的度数．
【详解】（1）证明：∵𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，
又∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐷= 90°
又∵∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 90°，
即𝐴𝐵⊥𝐴𝐶；
（2）解：∵∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 4∠𝐴𝐵𝐸，
由(1)可知∠𝐵𝐴𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ 4∠𝐴𝐵𝐸= 90°，
即5∠𝐴𝐵𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 18°．
题型05 三角形外角的定义
典｜例｜精｜析
例5.如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐶边上，点𝐹在𝐵𝐶延长线上，下列是△𝐴𝐵𝐷的外角的是（ ）
解题贴士
1.找外角：先看边，必须由一条边 + 另一边延长线构成。
2.区分关系：外角只和不相邻两个内角存在数量关系，和相邻内角互为邻补角（和为180°）。
3.识图技巧：复杂图形中，优先标出所有外角，借助外角性质转化角度，简化计算。
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A．∠𝐴𝐶𝐵
B．∠𝐴𝐶𝐹
C．∠𝐵𝐷𝐶
D．∠𝐴𝐵𝐶
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形的外角的定义得出即可．
【详解】解：△𝐴𝐵𝐷的一个外角是∠𝐵𝐷𝐶，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角定义和性质，注意：三角形的一个角的一边和另一边的反向延长线组成
的角，叫三角形的外角．
变｜式｜巩｜固
9.如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠ACD 是△ABC 的一个内角；
B．∠BAD 是△ABD 的一个内角；
C．∠BEC 是△ACE 的一个外角；
D．∠AOC 是△ABD 的一个外角；
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、∠ACD 是△ABC 的一个内角，说法正确；
B、∠BAD 是△ABD 的一个内角，说法正确；
C、∠BEC 是△ACE 的一个外角，说法正确；
D、∠AOC 是△AEO 的一个外角，原说法错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角、外角的识别，熟知三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫作三
角形的外角是解题的关键．
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10.关于三角形的外角，下列说法错误的是（ ）
A．一个三角形只有三个外角
B．三角形的每个顶点处都有两个外角
C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角
D．一个三角形共有六个外角
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形外角的基本概念，需逐一分析各选项的正确性。
【详解】A 选项：每个顶点处有2 个外角（互为对顶角），故三角形共有6 个外角，而非3 个，选项A 错
误，符合题意.
B 选项：每个顶点处相邻两边延长形成的两个角均为外角，因此每个顶点处确实有两个外角，选项B 正
确，不符合题意.
C 选项：外角的定义是与相邻内角构成邻补角（即两角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为
180°），选项C 正确，不符合题意.
D 选项：三角形共有3个顶点，每个顶点处有2个外角，总计6个外角，选项D 正确，不符合题意.
故答案为：A.
题型06 利用三角形外角的性质计算与证明
典｜例｜精｜析
例6.侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1 = 112°，则∠2等于_______度．
【答案】22
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之
和．根据三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：根据三角形外角性质得，∠1 = ∠2 + 90°，
∵∠1 = 112°，
解题贴士
找准外角及对应的不相邻内角，利用外角 = 不相邻两内角和列式计算
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∴∠2 = 112° −90° = 22°，
故答案为：22．
变｜式｜巩｜固
11.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐶边上一点，过𝐷作𝐷𝐸∥𝐴𝐵，交𝐵𝐶于𝐸，𝐹为𝐴𝐵边上一点，连接𝐷𝐹并延长，交
𝐶𝐵的延长线于𝐺，且∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐴．
(1)𝐷𝐸平分∠𝐶𝐷𝐹吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)若∠𝐶= 80°，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，求∠𝐺的度数．
【答案】(1)是，
证明：∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴，∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐹𝐷𝐸，
∵∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐴，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸平分∠𝐶𝐷𝐹；
(2)20°
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）根据𝐷𝐸∥𝐴𝐵得到∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴，∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐹𝐷𝐸，结合∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐴，得到∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸即
可．
（2）先求得∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶= 40°，结合∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐴，三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵∠𝐶= 80°，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶= 40°，
∵∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐴，
∴∠𝐵𝐹𝐺= 40°，
∵∠𝐵𝐹𝐺+ ∠𝐺= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐺= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐹𝐺= 60° −40° = 20°．
12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D，E 分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐶上的点，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸．
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(1)若𝐵𝐸⊥𝐴𝐶, ∠𝐴𝐶𝐵= 66°，则∠𝐴𝐵𝐸的度数为______；
(2)若𝐷是𝐵𝐶的中点，∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，求证：𝐵𝐸⊥𝐴𝐶；
(3)若𝐴𝐷, 𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的中线和角平分线，∠𝐶𝐴𝐷= 20°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
(4)连接𝐷𝐸，若𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
①当𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，且∠𝐵𝐴𝐷= 30°时，则∠𝐸𝐷𝐶的度数为______；
②当𝐴𝐷不是边𝐵𝐶上的高时，请判断∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐷𝐶之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)42°
(2)见解析
(3)35°
(4)①15°；②∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐷𝐶，证明见解析
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质、角平分线的定义，熟练掌握等
腰三角形的性质是解答的关键．
（1）根据等腰三角形的性质求得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 66°，再根据三角形的高的定义及内角和定理求得
∠𝐸𝐵𝐶= 24°，进而可求解；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质得到𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，根据等量代换求得∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐶= 90°，进而利用三角
形的内角和定理求解即可；
（3）先根据等腰三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 20°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，进而求得∠𝐴𝐵𝐶= 70°，利用角平分
线的定义可得答案；
（4）①根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理分别求得∠𝐴𝐷𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐷= 30°，∠𝐴𝐷𝐸=
∠𝐴𝐸𝐷= 75°，进而可求解；
②先根据等腰三角形的性质得到∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷，再利用三角形的外角性质可得结论．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 66°．
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 90° −∠𝐴𝐶𝐵= 90° −66° = 24°，∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐶= 66° −24° = 42°，
故答案为：42°；
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（2）证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 是𝐵𝐶的中点，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶．
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶= 90°，
∵∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 180° −(∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐶) = 90°，
∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐶；
（3）解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 20°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90° −∠𝐵𝐴𝐷= 90° −20° = 70°．
∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 35°．
（4）①∵𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．
∵∠𝐵𝐴𝐷= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 30°．
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷=
1
2 (180° −30°) = 75°，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐷𝐸= 90° −75° = 15°，
故答案为：15°；
②∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐷𝐶．证明如下：
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷，
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐸𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶+ 2∠𝐸𝐷𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐷𝐶．
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题型07 三角形与平行线之间的角度问题
典｜例｜精｜析
例7.如图，将一个含30°角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若∠1 = 16°，则∠2的度数为（ ）
A．74°
B．66°
C．64°
D．76°
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角板中角度计算问题
【详解】解：∠2 = ∠1 + 60° = 76°．
变｜式｜巩｜固
13.如图，直线𝑎∥𝑏，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，若∠1 = 130°，则∠2等于（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】D
【知识点】两直线平行同旁内角互补、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠𝐶𝐵𝐷的度数，再根据三角形的内角和为180 度，即可
解答．
【详解】解：∵直线𝑎∥𝑏，∠1 = 130°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 180° −∠1 = 50°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠2 = 180° −∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶𝐷𝐵= 180° −50° −90° = 40°．
14.如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°, ∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ）
解题贴士
主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理、直角三角形性质和三角
形外角性质来解决问题.
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A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
【答案】B
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】根据平行线的性质得到∠1 = ∠4 = 50°，根据三角形内角和计算即可．
【详解】解：如图，
∵𝑎∥𝑏，
∴∠1 = ∠4 = 50°，
∵∠3 = 100°，
∴∠2 = 180° −∠3 −∠4 = 30°．
题型08 三角形折叠中的角度问题
典｜例｜精｜析
例8.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，将纸片的一角沿𝐷𝐸折叠，使点C 落在△𝐴𝐵𝐶内，记为点𝐶′．若∠𝐶=
40°，则∠1 + ∠2等于（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】D
解题贴士
三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角
和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题.
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【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：由折叠的性质，得∠𝐶′𝐸𝐶= 2∠𝐶𝐸𝐷，∠𝐶′𝐷𝐶= 2∠𝐶𝐷𝐸．
∵∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷= 180°，∠𝐶= 40°，
∴∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷= 140°，
∴∠1 + ∠2 = 180° −∠𝐶′𝐸𝐶+ 180° −∠𝐶′𝐷𝐶= 360° −2(∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐸) = 80°．
变｜式｜巩｜固
15.如图，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐵𝐷折叠，点𝐴落在𝐴′处，𝐴′𝐷交𝐵𝐶于点𝐸．将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折叠，点𝐶落在
△𝐵𝐷𝐸内的𝐶′处，下列结论一定正确的是（ ）
A．𝛼+ 2∠1 = 90° B．𝛼+ ∠2 = 90°
C．2𝛼+ ∠1 = 90°
D．2𝛼+ ∠2 = 90°
【答案】A
【知识点】矩形与折叠问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据矩形的性质和平行线的性质可得∠𝐴𝐷𝐵= ∠1，结合折叠的性质可得∠𝐸𝐷𝐵= ∠1，利用三角形
外角性质可得∠𝐷𝐸𝐶= 2∠1，最后在Rt △𝐷𝐶𝐸 中利用两锐角互余即可得出结论．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠1，
由折叠的性质可知：∠𝐴′𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵，
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠1，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠1 + ∠𝐸𝐷𝐵= 2∠1，
在Rt △𝐷𝐶𝐸中，∠𝐷𝐸𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸= 90°，即2∠1 + 𝛼= 90∘，故A选项正确，
由折叠的性质可知：∠𝐶′𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷，
∴∠2 = 180° −2∠𝐶𝐸𝐷= 180° −2(90° −𝛼) = 2𝛼，故B、C、D选项不一定正确．
16.如图，有一张三角形纸片𝐴𝐵𝐶，∠𝐵= 30°，∠𝐶= 50°，点D 是𝐴𝐵边上的固定点(𝐵𝐷<
1
2 𝐴𝐵)，在𝐵𝐶上
找一点E，将纸片沿𝐷𝐸折叠（𝐷𝐸为折痕），点B 落在点F 处，使𝐸𝐹∥𝐴𝐶，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为_________．
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【答案】35°或125°
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180
度，进行求解即可.
【详解】解：如图2，当点𝐹在𝐵𝐶上方时，
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶，∠𝐵= 30°，∠𝐶= 50°，
∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐶= 50°，
∵折叠，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐷= 25°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= 180° −30° −25° = 125°；
如图3，当点𝐹在𝐵𝐶下方时，
则∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝐶= 50°，
由折叠性质得：∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐸𝐷𝐹，∠𝐹= ∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵𝐺𝐷= ∠𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐺= 50° + 30° = 80°，
∴∠𝐵𝐷𝐺= 180° −30° −80° = 70°，
∴∠𝐵𝐷𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐷𝐺= 35°；
综上：∠𝐵𝐷𝐸的度数为35°或125°．
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题型09 三角板放置中的角度计算
典｜例｜精｜析
例9.两个直角三角板如图摆放，其中∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸= 30°，若𝐶是𝐷𝐸上一点且
𝐴𝐶∥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐸的大小为（ ）
A．50°
B．60°
C．75°
D．80°
【答案】C
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸=
30°，则∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴= 45°，∠𝐷𝐵𝐸= 60°，又𝐴𝐶∥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷= 45°，然后通过角度和差即可求
解，掌握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴= 45°，∠𝐷𝐵𝐸= 60°，
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷= 45°，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸−∠𝐶𝐵𝐷= 60° −45° = 15°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶𝐵𝐸= 90° −15° = 75°，
故选：C．
变｜式｜巩｜固
17.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠𝛼的度数为（ ）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
解题贴士
利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问
题.
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【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、对顶角相等、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、对顶角相等、三角形外角的性质，解题关键是熟练
掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和．
结合三角板的特征得到∠𝐴𝐵𝐶= 45°，∠𝐴= 90°，∠𝐸= 30°，再由∠𝐴𝐵𝐶是△𝐸𝐹𝐵的外角、∠𝐶𝐺𝐸是△𝐴𝐹𝐺
的外角即可得解．
【详解】解：如下图：
∵三角板𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，三角板𝐶𝐷𝐸是含30°角的直角三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 45°，∠𝐴= 90°，∠𝐸= 30°，
∵∠𝐴𝐵𝐶是△𝐸𝐹𝐵的外角，∠𝐴𝐹𝐺与∠𝐸𝐹𝐵是对顶角，
∴∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸= 45° −30° = 15°，
∵∠𝐶𝐺𝐸是△𝐴𝐹𝐺的外角，
∴∠𝛼= ∠𝐶𝐺𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺= 90° + 15° = 105°．
故选：A．
18.将一副三角板按图中的位置摆放，使得点𝐷落在边𝐵𝐶上，若𝐴𝐶∥𝐸𝐹，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角板角的度数结合𝐴𝐶∥𝐸𝐹，∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐹即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐶∥𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∵∠𝐷𝐸𝐹= 30°，∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹−∠𝐷𝐸𝐹= 45° −30° = 15°.
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题型10 等腰三角形角度探究
典｜例｜精｜析
例10.如果等腰三角形有一个角是30°，则它的顶角是_____________
【答案】30°或120°
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形
中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角．
【详解】解：∵等腰三角形有一个角是30°，
∴当30°为顶角时，顶角为30°；
当30°为底角时，另一个底角也为30°，顶角为180° −30° −30° = 120°．
∴顶角为30°或120°，
变｜式｜巩｜固
19.若一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为
_________________________________________________________
【答案】三角形三个内角为50 度、50 度、80 度或44 度、68 度、68 度或20 度、20 度、140 度．
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、用一元一次不等式解决几何问题、等腰三角形
的性质和判定
【分析】分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得𝑥，可得出三
个角的度数．
【详解】解
当底角为𝑥°、顶角为(2𝑥−20)°时，则根据三角形内角和为 180°可得
𝑥+ 𝑥+ 2𝑥−20 = 180，
解得𝑥= 50，
此时三个内角分别为50°、50°、80°；
当顶角为𝑥°、底角为(2𝑥−20)°时，则根据三角形内角和为 180°可得
𝑥+ 2𝑥−20 + 2𝑥−20 = 180，
解得𝑥= 44，
此时三个内角分别为44°、68°、68°；
当底角为𝑥°、(2𝑥−20)°时，则等腰三角形性质可得
𝑥= 2𝑥−20，
解题贴士
利用等腰三角形的两底角相等解决问题
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解得𝑥= 20，
此时三个内角分别为20°、20°、140°；
综上可知三角形三个内角为50 度、50 度、80 度或44 度、68 度、68 度或20 度、20 度、140 度．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．
20.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐶𝐴𝐷= 30°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数是_________
【答案】20°或80°
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，分△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形和
钝角三角形两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图1，当△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形时，
∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶= 90° −∠𝐶𝐴𝐷= 90° −30° = 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶= 180° −40° −60° = 80°；
如图2，当△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形时，
∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐵𝐶= 90° −40° = 50°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 50° −30° = 20°；
综上，∠𝐵𝐴𝐶的度数是20°或80°，
故选：C．
题型11 三角形与角平分线、高线综合运用
典｜例｜精｜析
例11. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别为𝐵𝐶边上的高线和∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐸于点F，当
解题贴士
解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义
综合解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键
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∠𝐴𝐷𝐹= 69°，∠𝐶= 65°时，∠𝐵的度数为（ ）
A．21°
B．23°
C．25°
D．30°
【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应
用
【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理等．根据题意先计算出∠𝐶𝐴𝐷= 25°，再计算出
∠𝐷𝐴𝐹= 21°，继而得到∠𝐶𝐴𝐸= 46°，再利用角平分线定义得∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐶𝐴𝐸= 92°，
再利用三角形内角和计算∠𝐵= 180° −65° −92° = 23°．
【详解】解：∵𝐴𝐸分别为𝐵𝐶边上的高线和∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐸，∠𝐶= 65∘，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 180° −90° −65° = 25°，
∵∠𝐴𝐷𝐹= 69∘，
∴∠𝐷𝐴𝐹= 180° −90° −69° = 21°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐹= 46°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐶𝐴𝐸= 92°，
∴∠𝐵= 180° −65° −92° = 23°，
故选：B．
变｜式｜巩｜固
21.如图，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线．
(1)若∠𝐵= 70°，∠𝐶= 30°，求∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)若∠𝐵= 𝛼，∠𝐶= 𝛽，且𝛼> 𝛽，直接写出∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数（用含𝛼，𝛽的代数式表示）．
【答案】(1)∠𝐴𝐸𝐶= 110°，∠𝐷𝐴𝐸= 20°
(2)∠𝐴𝐸𝐶= 90° +
𝛼−𝛽
2 ，∠𝐷𝐴𝐸=
𝛼−𝛽
2
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角
平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）先利用三角形内角和求出∠𝐵𝐴𝐶，结合角平分线定义得到∠𝐶𝐴𝐸，再用内角和算出∠𝐴𝐸𝐶；根
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据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐷𝐴𝐶，最后作差得到∠𝐷𝐴𝐸；
（2）先用三角形内角和表示出∠𝐵𝐴𝐶，结合角平分线得到∠𝐶𝐴𝐸，代入内角和公式化简求出∠𝐴𝐸𝐶；再由高
线推出∠𝐷𝐴𝐶，通过角度相减化简得到∠𝐷𝐴𝐸的代数式．
【详解】（1）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −70° −30° =
80°，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 80° = 40°，
在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 180° −30° −40° = 110°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° −∠𝐶= 90° −30° = 60°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 60° −40° = 20°；
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −𝛼−𝛽，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (180° −𝛼−𝛽) = 90° −
𝛼+𝛽
2 ，
在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 180° −𝛽−(90° −
𝛼+𝛽
2 ) = 90° +
𝛼−𝛽
2 ，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° −∠𝐶= 90° −𝛽，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= (90° −𝛽) −(90° −
𝛼+𝛽
2 ) =
𝛼−𝛽
2 ．
22.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐸，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，交∠𝐴𝐶𝐵的平分线于
点𝑃，𝐶𝑃与𝐷𝐸相交于点𝐺，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑄与𝐷𝑃的延长线相交于点𝑄．
(1)若∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，求∠𝐷𝑃𝐶与∠𝑄；
(2)若∠𝐴= 𝑥°时，求∠𝐷𝑃𝐶与∠𝑄；
(3)若△𝑃𝐶𝑄中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的∠𝐴的度数．
【答案】(1)∠𝐷𝑃𝐶= 115°, ∠𝑄= 25°；
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(2)∠𝐷𝑃𝐶= (90 +
𝑥
2) °, ∠𝑄= (
𝑥
2) °；
(3)∠𝐴= 45°或60°或120°或135°．
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）根据∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，可求出∠𝐴𝐶𝐵，再根据𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝑄平分∠𝐴𝐷𝐸，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
可求出∠𝑃𝐺𝐷，∠𝑃𝐷𝐺，进而可求出∠𝐷𝑃𝐶；再根据𝐶𝑄平分∠𝐴𝐶𝐹，可得出∠𝑃𝐶𝑄= 90°，进而求出∠𝑄．
（2）根据三角形内角和定理对∠𝐴𝐶𝐵进行表示，再根据𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝑄平分∠𝐴𝐷𝐸，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，可求出
∠𝑃𝐺𝐷，∠𝑃𝐷𝐺，再根据三角形外角的性质求出∠𝑄𝑃𝐶，根据∠𝑃𝐶𝑄= 90°，求出∠𝑄，将∠𝐴与∠𝑄相较即可证
明．
（3）由（2）可知∠𝑄=
1
2 ∠𝐴，∠𝑃𝐶𝑄= 90°，则△𝑃𝐶𝑄的内角为90°，
1
2 ∠𝐴，90 −
1
2 ∠𝐴，根据题意分类讨
论即可．
【详解】（1）解：∵ ∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 70°，
∵ 𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐴𝐶𝑃=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 35°，
∵ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵= 60°，∠𝑃𝐺𝐷= ∠𝐵𝐶𝑃= 35°，
∵ 𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，
∴ ∠𝑃𝐷𝐺=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴ ∠𝐷𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐷𝐺−∠𝑃𝐺𝐷= 115°，
∴ ∠𝑄𝑃𝐶= 180° −115° = 65°，
∵ 𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝑄平分∠𝐴𝐶𝐹，
∴ ∠𝐴𝐶𝑃=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝑄=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐹，
∵ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180°，
∴ ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑄= 90°，即∠𝑃𝐶𝑄= 90°，
∴ ∠𝑄= 90° −∠𝑄𝑃𝐶= 25°．
（2）证明：∵∠𝐴= 𝑥°，则∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180° −𝑥°．
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，∠𝑃𝐺𝐷= ∠𝑃𝐶𝐵，
∵𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐷𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐸=
1
2 ∠𝐵，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑃𝐺𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐶= 180° −(∠𝑃𝐷𝐸+ ∠𝑃𝐺𝐷)
= 180° −1
2 (∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵)
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= 180° −1
2 × (180° −𝑥°)
= (90 +
𝑥
2) °，
∴∠𝑄𝑃𝐶= 180° −(90 +
1
2 𝑥)° = (90 −
1
2 𝑥) °，
∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑄= 90°，即∠𝑃𝐶𝑄= 90°，
∴∠𝑄= 90° −∠𝑄𝑃𝐶= 90° −(90 −
1
2 𝑥)° = (
1
2 𝑥) °，
∴ ∠𝑄=
1
2 ∠𝐴= (
𝑥
2) °．
（3）解：设∠𝐴= 𝛼，则∠𝑄𝑃𝐶= 90° −
1
2 𝛼，∠𝑄=
1
2 𝛼．
∵ ∠𝑃𝐶𝑄= 90°，
分类讨论：
①当∠𝑃𝐶𝑄= 3∠𝐶𝑃𝑄时，
∴ 90° = 3 × (90° −
1
2 𝛼)，
解得𝛼= 120°，
∴ ∠𝐴= 120°；
②当∠𝑃𝐶𝑄= 3∠𝑄时，
∴
1
2 𝛼=
1
3 × 90°，
解得𝛼= 60°，
∴ ∠𝐴= 60°
③当∠𝐶𝑃𝑄= 3∠𝑄时，
∴ 90° −
1
2 𝛼= 3 ×
1
2 𝛼，
解得𝛼= 45°，
∴ ∠𝐴= 45°；
④当∠𝑄= 3∠𝐶𝑃𝑄时，
∴ 3 × (90° −
1
2 𝛼) =
1
2 𝛼，
解得𝛼= 135°，
∴ ∠𝐴= 135°
综上可知∠𝐴= 45°或60°或120°或135°．
答：∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°．
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题型12 三角形中的新定义问题
典｜例｜精｜析
例12.当三角形中一个内角𝛽是另一个内角𝛼的
1
2时，我们称此三角形为希望三角形，其中𝛼称为希望角．若
一个希望三角形中有一个内角为54°，求这个希望三角形的希望角𝛼的度数．
【答案】54°或84°或108°
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分
情况讨论．分54°角是α、β 和既不是α 也不是β 三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列
式计算即可得解．
【详解】解：①若54°的内角是𝛼，则希望角𝛼= 54°；
②若54°的内角是𝛽，则
1
2 𝛼= 𝛽= 54°，解得希望角𝛼= 108°；
③若54°的内角既不是𝛼，也不是𝛽，则𝛼+ 𝛽+ 54° = 180°，即𝛼+
1
2 𝛼+ 54° = 180°，解得𝛼= 84°，
综上所述，希望角𝛼的度数为54°或84°或108°．
变｜式｜巩｜固
23.如果三角形的两个内角𝛼与𝛽满足2𝛼+ 𝛽= 90°，则称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，已知点
𝐵、𝐶、𝑃是直线𝑙上的点，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，若△𝐴𝐵𝑃是“类直角三角形”，则∠𝐴𝑃𝐵=___________°．
【答案】15，105 或30
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】分为四种情况，点𝑃1在点𝐵左侧，且2∠𝐵𝐴𝑃1 + ∠𝐴𝐵𝑃1 = 90°，点𝑃2在点𝐵左侧，且2∠𝐴𝑃2𝐵+
∠𝐴𝐵𝑃2 = 90°点𝑃3在点𝐵右侧，且2∠𝐵𝐴𝑃3 + ∠𝐴𝑃3𝐵= 90°，点𝑃4在点𝐵右侧，且2∠𝐴𝑃4𝐵+ ∠𝐵𝐴𝑃4 = 90°，
画出图形，分别求出∠𝐴𝑃1𝐵、∠𝐴𝑃2𝐵、∠𝐴𝑃3𝐵、∠𝐴𝑃4𝐵的度数即可．
【详解】解：若点𝑃1在点𝐵左侧，△𝐴𝐵𝑃1是“类直角三角形”，且2∠𝐵𝐴𝑃1 + ∠𝐴𝐵𝑃1 = 90°，
解题贴士
理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问
题
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∵∠𝐴𝐵𝑃1 = ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴2∠𝐵𝐴𝑃1 + 60° = 90°，
∴∠𝐵𝐴𝑃1 = 15°，
∴∠𝐴𝑃1𝐵= 180° −∠𝐴𝐵𝑃1 −∠𝐵𝐴𝑃1 = 180° −60° −15° = 105°；
若点𝑃2在点𝐵左侧，△𝐴𝐵𝑃2是“类直角三角形”，且2∠𝐴𝑃2𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑃2 = 90°，
∵∠𝐴𝐵𝑃2 = ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴2∠𝐴𝑃2𝐵+ 60° = 90°，
∴∠𝐴𝑃2𝐵= 15°，
如图，若点𝑃3在点𝐵右侧，△𝐴𝐵𝑃3是“类直角三角形”，且2∠𝐵𝐴𝑃3 + ∠𝐴𝑃3𝐵= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝑃3 + ∠𝐴𝑃3𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝑃3 + 60° = 90°，
∴∠𝐵𝐴𝑃3 = 30°，
∴∠𝐴𝑃3𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝑃3 = 30°；
若点𝑃4在点𝐵右侧，△𝐴𝐵𝑃4是“类直角三角形”，且2∠𝐴𝑃4𝐵+ ∠𝐵𝐴𝑃4 = 90°，
∵∠𝐴𝑃4𝐵+ ∠𝐵𝐴𝑃4 = ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝑃4𝐵+ 60° = 90°，
∴∠𝐴𝑃4𝐵= 30°；
综上所述，∠𝐴𝑃𝐵的度数为15°或105°或30°
24.定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的
1
2，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三
角形叫作“和谐三角形”．例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 70°，∠𝐵= 35° ，那么∠𝐴与∠𝐵互为“和谐角”，△
𝐴𝐵𝐶为“和谐三角形”．
(1)如图①，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 60°，D 是线段AB 上一点（不与点A，B 重合），连接CD．
①△𝐴𝐵𝐶________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
②若𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，请判断△𝐵𝐶𝐷是否为“和谐三角形”，并说明理由．
(2)如图②，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 60°，∠𝐴= 80°，D 是线段AB 上一点（不与点A，B 重合），连接CD．若
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△𝐴𝐶𝐷是“和谐三角形”，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为________．
【答案】(1)①是②△𝐵𝐶𝐷是“和谐三角形”，理由见解析
(2)40°或
100°
3
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B 的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据
三角形内角和定理求出∠𝐵的度数，由𝐶𝐷⊥𝐴𝐵可知∠𝐶𝐷𝐵= 90°，再求出各角的度数，进而可得出结论；
（2）由“和谐三角形”的定义可知分∠𝐴= 2∠𝐴𝐶𝐷或∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐷两种情况求解，据此得出结论．
【详解】（1）解：①△𝐴𝐵𝐶是“和谐三角形”，理由如下：
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 60°，
∴∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵=
1
2 ∠𝐴，
∴△𝐴𝐵𝐶是“和谐三角形”；
故答案为：是．
②△𝐵𝐶𝐷是“和谐三角形”．理由如下：
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 60°，
∴∠𝐵= 30°．
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180° −∠𝐶𝐷𝐵−∠𝐵= 60°，
∴∠𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐷，
∴△𝐵𝐶𝐷是“和谐三角形”．
（2）解：40°或
100°
3
【提示】由题意知，∠𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 40°，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180° −∠𝐴= 100°．
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵，∠𝐵𝐶𝐷< ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐶> 40°．
又∵∠𝐴𝐶𝐷< ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，2∠𝐴= 160° > 100°，
∴当△𝐴𝐶𝐷是“和谐三角形”时，分∠𝐴= 2∠𝐴𝐶𝐷或∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐷两种情况求解．
当∠𝐴= 2∠𝐴𝐶𝐷时，∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴= 40°；
当∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐷时，
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷= 100°，
∴∠𝐴𝐶𝐷=
100°
3 ．
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综上所述，∠𝐴𝐶𝐷的度数为40°或
100°
3 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角形”的
概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．
题型13 双角角平分线模型的角度探究
典｜例｜精｜析
例13.如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐴𝐷分别平分△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶，外角∠𝐴𝐶𝐹，外角∠𝐸𝐴𝐶．则下列
结论中不一定成立的是（ ）
A．𝐴𝐷∥𝐵𝐶
B．∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵
C．𝐴𝐷= 𝐶𝐷
D．∠𝐵𝐷𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据角平分线定义，三角形的内角和定理及三角形外角性质，根据已知结论逐步推理，即可判断
各项．
【详解】解：∵𝐴𝐷平分∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐶= 2∠𝐸𝐴𝐷，
∵∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵, ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故A 正确；
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵，故B 正确；
解题贴士
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∵∠𝐴𝐶𝐹= 2∠𝐷𝐶𝐹，∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，故D 正确；
无法判定𝐴𝐷= 𝐶𝐷．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能
力，有一定的难度．
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25.探究以下问题：
(1)探究一：如图（a），𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，请确定∠𝐴与∠𝐷的数量关系，并说明理由；
(2)探究二：如图（b），𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑀，请确定∠𝐴与∠𝐸的数量关系________________；
(3)探究三：如图（c），𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝑃，𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝑄，请确定∠𝐴与∠𝐹的数量关系________________；
解决问题：
(4)如图（d），在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 56°，𝐵𝐷，𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，M，N，Q 分别在𝐷𝐵，𝐷𝐶，𝐵𝐶
的延长线上，𝐵𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑁，𝐵𝐹，𝐶𝐹分别平分∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑄，则∠𝐹=________．
【答案】(1)∠𝐷= 90° +
1
2 ∠𝐴，
理由：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴设∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐴= 𝛼，∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐴= 𝛽，
∴∠𝐷= 180° −(𝛼+ 𝛽)，∠𝐴= 180° −2(𝛼+ 𝛽)，
∴𝛼+ 𝛽= 180° −∠𝐷，𝛼+ 𝛽= 90° −
1
2 ∠𝐴，
∴180° −∠𝐷= 90° −
1
2 ∠𝐴，
∴∠𝐷= 90° +
1
2 ∠𝐴．
(2)∠𝐸=
1
2 ∠𝐴
(3)∠𝐹= 90° −
1
2 ∠𝐴
(4)15.5°
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
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【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出∠𝐷和
∠𝐴与α，β 之间的关系，等量代换得到最终答案；
（2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出∠𝐴和∠𝐸与α，
β 之间的关系，等量代换得到最终答案；
（3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出∠𝐴和∠𝐹与α，β
之间的关系，等量代换得到最终答案；
（4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑀，
∴设∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸= 𝛼，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝑀𝐶𝐸= 𝛽，
由三角形外角的性质可得：2𝛽= ∠𝐴+ 2𝛼，𝛽= ∠𝐸+ 𝛼，
∴∠𝐴= 2𝛽−2𝛼，∠𝐸= 𝛽−𝛼，
∴∠𝐸=
1
2 ∠𝐴．
（3）解：∵𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝑃，𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝑄，
∴设∠𝑃𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹= 𝛼，∠𝑄𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹= 𝛽，
由三角形外角的性质可得：2𝛼+ 2𝛽= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180° + ∠𝐴，𝛼+ 𝛽= 180° −∠𝐹，
∴𝛼+ 𝛽= 90° +
1
2 ∠𝐴，
∴90° +
1
2 ∠𝐴= 180° −∠𝐹，
∴∠𝐹= 90° −
1
2 ∠𝐴．
（4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：∠𝐷= 90° +
1
2 ∠𝐴= 118°，
∴∠𝐸= 90° −
1
2 ∠𝐷= 31°，
∴∠𝐹=
1
2 ∠𝐸= 15.5°．
26.【初步认识】
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐴= 70°，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵 =_____；
∠𝐵𝑃𝐶=_____；
【继续探索】
(2)如图2，∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐴𝐶𝐸的平分线𝐵𝐹，𝐶𝐹相交于点𝐹，若∠𝐴= 70°，∠𝐵𝐸𝐶= 130°，求∠𝐵𝐹𝐶的度数；
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【拓展应用】
(3)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝑁平分外角∠𝐸𝐵𝐶，𝐶𝑁平分外角∠𝐹𝐶𝐵，延长
𝐵𝑃，𝑁𝐶交于点𝑀．在△𝐵𝑀𝑁中，有一个内角为30°，直接写出∠𝐴的度数．
【答案】(1)110°，125°；
(2)100°；
(3)60°或120°．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 110°，根据角平分线的定义得到∠𝑃𝐵𝐶+
∠𝑃𝐶𝐵= 55°，根据三角形内角和定理可知∠𝐵𝑃𝐶= 125°；
（2）根据三角形内角和定理求出∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐸𝐶= 50°，进而求出∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐸𝐶𝐴= 180° −
(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) −∠𝐴= 60°，根据角平分线的定义得到∠𝐸𝐵𝐹+ ∠𝐸𝐶𝐹=
1
2 (∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐸𝐶𝐴) = 30°，根据
三角形内角和定理计算即可；
（3）根据角平分线的定义求出∠𝑀𝐵𝑁= 90°，可知30°只能是∠𝑀或∠𝐵𝑁𝑀，根据三角形外角的性质得到
∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵= 180° + ∠𝐴，根据角平分线的定义求出∠𝑁𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 90° +
1
2 ∠𝐴，根据三角形内角和
定理求出∠𝐵𝑁𝑀= 90° −
1
2 ∠𝐴，则∠𝑀=
1
2 ∠𝐴，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐴= 70°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 180° −70° = 110°，
∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 55°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) = 125°；
（2）解：如图，连接𝐵𝐶，
∵∠𝐵𝐸𝐶= 130°，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐸𝐶= 50°，
∵∠𝐴= 70°，
∴∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐸𝐶𝐴= 180° −(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) −∠𝐴= 60°，
∵∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐴𝐶𝐸的平分线𝐵𝐹，𝐶𝐹相交于点𝐹，
∴∠𝐸𝐵𝐹+ ∠𝐸𝐶𝐹=
1
2 (∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐸𝐶𝐴) = 30°，
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∴∠𝐵𝐹𝐶= 180° −(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) −(∠𝐸𝐵𝐹+ ∠𝐸𝐶𝐹) = 100°；
（3）解：∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝑁平分外角∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝑃𝐵𝑁=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶+
1
2 ∠𝐸𝐵𝐶= 90°，即∠𝑀𝐵𝑁= 90°，
因此30°只能是∠𝑀或∠𝐵𝑁𝑀．
根据三角形外角的性质得到∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180° + ∠𝐴，
∵𝐵𝑁平分外角∠𝐸𝐵𝐶，𝐶𝑁平分外角∠𝐹𝐶𝐵，
∴∠𝑁𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 90° +
1
2 ∠𝐴，
∴∠𝐵𝑁𝐶= 180° −(∠𝑁𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵) = 90° −
1
2 ∠𝐴，即∠𝐵𝑁𝑀= 90° −
1
2 ∠𝐴，
∴∠𝑀= 180° −∠𝑀𝐵𝑁−∠𝐵𝑁𝑀=
1
2 ∠𝐴，
分情况讨论：
若∠𝑀= 30°，则
1
2 ∠𝐴= 30°，解得∠𝐴= 60°；
若∠𝐵𝑁𝑀= 30°，则90° −
1
2 ∠𝐴= 30°，解得∠𝐴= 120°；
综上所述，∠𝐴的度数为60°或120°．
题型14 不规则图形内角和
典｜例｜精｜析
例14.如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数为__________．
【答案】180°
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形外角的性质得出∠𝐶+ ∠𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷，∠𝐴+ ∠1 = ∠3，∠𝐵+ ∠2 = ∠4，结合平角的定义
即可解答；
【详解】解：如图，设𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝐹，连接𝐸𝐹，
则∠𝐶+ ∠𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷，∠𝐴+ ∠1 = ∠3，∠𝐵+ ∠2 = ∠4，
∴∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐴+ ∠1 + ∠𝐵+ ∠2 = ∠𝐵𝐹𝐷+ ∠3 + ∠4，
解题贴士
利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题
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又∠1 + ∠2 = ∠𝐴𝐸𝐵，∠𝐵𝐹𝐷+ ∠3 + ∠4 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐵= 180°．
变｜式｜巩｜固
27.如图，已知∠𝐵𝑂𝐹= 120°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹为______°．
【答案】240
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐶，∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐸+
∠𝐹= ∠1 + ∠2 = ∠𝐵𝑂𝐹= 120°，即得∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷= ∠1 + ∠2 = 120°，进而即可求解，正确识图
是解题的关键．
【详解】解：由三角形外角性质可得，∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐶，∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐸+ ∠𝐹= ∠1 + ∠2 = ∠𝐵𝑂𝐹=
120°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷= ∠1 + ∠2 = 120°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 120° + 120° = 240°，
故答案为：240．
28.在五角星形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数=_______．
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【答案】180°/180 度
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求
解即可．
【详解】解：设𝐴𝐶与𝐵𝐸交于点𝐹，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝐺，如图，
在△𝐶𝐸𝐹中，∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶+ ∠𝐸，
在△𝐵𝐷𝐺中，∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷，
在△𝐴𝐹𝐺中，∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°．
基础通关
1.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,∠𝐵= 54°，则∠𝐴的度数是（ ）
A．56°
B．46°
C．36°
D．26°
【答案】C
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解．
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°
∴直角三角形两锐角和为90°，即∠𝐴+ ∠𝐵= 90°
又∵∠𝐵= 54°
∴∠𝐴= 90° −54° = 36° ．
2.如图，直线𝑎∥𝑏，若∠1 = 40°，∠2 = 70°，则∠3等于（ ）
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A．30°
B．40°
C．50°
D． 70°
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理.
先求出∠4 = ∠1 = 40°，再根据三角形内角和求出结论即可．
【详解】解：如下图：
∵𝑎∥𝑏，∠1 = 40°，
∴∠4 = ∠1 = 40°，
∴∠4 = ∠5 = 40°，
∵∠2 = 70°，
∴∠3 = 180° −40° −70° = 70°，
故选：D．
3.具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 1: 2
C．∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶
D．∠𝐴=
1
2 ∠𝐵=
1
3 ∠𝐶
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，根据三角形的内角和定理结合有一个角是90 度
的三角形是直角三角形，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，则：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 2∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；不符合题意；
B、∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 1: 2，则：∠𝐶= 180° ×
2
1+1+2 = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；不符合题意；
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C、∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，则：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐴+
1
2 ∠𝐴+
1
3 ∠𝐴= 180°，
∴∠𝐴= (
1080
11 ) ° > 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形；符合题意；
D、∠𝐴=
1
2 ∠𝐵=
1
3 ∠𝐶，则：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐴+ 2∠𝐴+ 3∠𝐴= 180°，
∴∠𝐴= 30°，
∴∠𝐵= 60°,∠𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；不符合题意；
故选:C．
4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求
出∠𝐶= 25°，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐶= 90° −∠𝐴𝐷𝐶= 25°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐵= 25°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 130°，
故选：B．
5.如图，△𝐴𝐵𝐶的外角平分线𝐴𝐷交射线𝐵𝐶于点𝐷, 𝐸在𝐵𝐴延长线上，若∠𝐵= 35°，∠𝐷𝐴𝐸= 60°，则∠𝐴𝐶𝐷
的度数为______________
【答案】95°
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
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【分析】利用角平分线的定义求得∠𝐶𝐴𝐸的度数，利用邻补角的定义求得∠𝐵𝐴𝐶的度数，再利用三角形的外
角性质求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 2∠𝐷𝐴𝐸= 120°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 35° + 60° = 95°．
6.如图，直线𝑎∥𝑏，直角三角板𝐴𝐵𝐶的直角顶点C 在直线b 上，若∠1 = 55°，则∠2度数为_______
【答案】35°
【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题
【详解】解：如图，
∵𝑎∥𝑏，
∴∠1 = ∠3，
∵∠1 = 55°，
∴∠3 = 55°，
∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴∠2 = 180° −∠3 −∠𝐴𝐶𝐵= 35°．
7.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，点𝐷为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐷𝐶沿直线𝐴𝐷折叠后，点𝐶落到
点𝐸处，若𝐷𝐸∥𝐴𝐵，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为_______
【答案】110°
【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关
键．根据三角形的内角和得到∠𝐵𝐴𝐶= 110°，由折叠的性质得到∠𝐸= ∠𝐶= 30°，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
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∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸，根据平行线的性质得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸= 30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 110°，
由折叠的性质得，∠𝐸= ∠𝐶= 30°，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，
∵𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 40°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶= 110°，
故选：B．
8.如图是𝐴，𝐵，𝐶三岛的平面图，𝐶岛在𝐴岛的北偏东58°方向，𝐶岛在𝐵岛的北偏东24°方向．那么从𝐶岛看
𝐴，𝐵两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵的度数为______．
【答案】34°
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与方向角有关的计算题、三角形的外角的定义及性质
【分析】设𝐴𝐶, 𝐸𝐵交于点𝐹，根据已知可得∠𝐷𝐴𝐶= 58°, ∠𝐸𝐵𝐶= 24°, 𝐴𝐷∥𝐵𝐸，根据平行线的性质可得
∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶= 58°，再根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图，设𝐴𝐶, 𝐸𝐵交于点𝐹，
依题意，∠𝐷𝐴𝐶= 58°, ∠𝐸𝐵𝐶= 24°, 𝐴𝐷∥𝐵𝐸
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶= 58°
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐹𝐵−∠𝐸𝐵𝐶= 58° −24° = 34°
9.如图，在△𝐴𝐸𝐶中，D 为边𝐴𝐶上一点，B 为𝐶𝐸延长线上一点，连接𝐵𝐷交𝐴𝐸于点F，若∠𝐵= 45°，∠𝐶=
38°，∠𝐴= 25°，则∠𝐴𝐹𝐷等于_________
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【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键。根据题意先求
得∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐶，再根据三角形内角和定理即可求得．
【详解】
解：∵∠𝐵= 45°，∠𝐶= 38°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐶= 45° + 38° = 83°，
又∵∠𝐴= 25°，
∴∠𝐴𝐹𝐷= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐷𝐹= 180° −25° −83° = 72°，
10.如图，∠𝐵= 60°，且∠𝐵𝐴𝐶: ∠𝐴𝐶𝐵= 2: 1，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高．
(1)求∠𝐴𝐶𝐵的度数．
(2)求∠𝐴𝐹𝐸的度数．
【答案】(1)40°
(2)70°
【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）设∠𝐵𝐴𝐶= 2𝑥, ∠𝐴𝐶𝐵= 𝑥，由三角形内角和定理可得2𝑥+ 𝑥+ 60° = 180°，解方程即可得到
答案；
（2）由角平分线的定义得到∠𝐵𝐶𝐸= 20°，由三角形的高的定义得到∠𝐴𝐷𝐶= 90°，据此求出∠𝐷𝐹𝐶的度数
即可得到答案．
【详解】（1）解：设∠𝐵𝐴𝐶= 2𝑥, ∠𝐴𝐶𝐵= 𝑥，
∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，
∴2𝑥+ 𝑥+ 60° = 180°，
∴𝑥= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 40°；
（2）解：∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
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∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 20°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐹𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐵𝐶𝐸= 70°，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶= 70°．
11.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐸交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐷𝐸∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点D，过点D 作𝐷𝐹∥𝐵𝐸
交𝐴𝐶于点F．
(1)求证：𝐷𝐹是∠𝐴𝐷𝐸的平分线；
(2)若∠𝐵𝐸𝐷= 20°，∠𝐴𝐶𝐵= 81°，求∠𝐴𝐹𝐷的度数．
【答案】(1)证明：∵𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸．
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐸．
∵𝐷𝐹∥𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐵𝐸, ∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐷𝐸𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐸𝐷𝐹，
∴𝐷𝐹是∠𝐴𝐷𝐸的平分线；
(2)∠𝐴𝐹𝐷的度数为101°
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，再利用平行线的性质可得∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐶𝐵𝐸，从而可
得∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐸，然后再利用平行线的性质可得∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐵𝐸, ∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐷𝐸𝐵，从而利用等量代换可得
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐸𝐷𝐹，即可解答；
（2）利用平行线的性质可得∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 81°，然后利用平行线的性质可得∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐵𝐸𝐷= 20°，再
利用三角形的外角性质可得∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐹𝐷𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐹= 101°，进行计算即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
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∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 81°．
∵𝐷𝐹∥𝐵𝐸，
∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐵𝐸𝐷= 20°．
∵∠𝐴𝐹𝐷是△𝐷𝐸𝐹的一个外角，
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐹𝐷𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐹= 20° + 81° = 101°，
∴∠𝐴𝐹𝐷的度数为101°．
素养提升
1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑂，∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线所在直线与∠𝐴𝐵𝐶的平分线相
交于点𝐷，与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线相交于点𝐸，则下列结论中，错误的是（）
A．∠𝐷=
1
2 ∠𝐴
B．∠𝐸= 90° −∠𝐴
C．∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐴
D．∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹−∠𝐴𝐵𝐷= 90°
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据角平分线性质及三角形外角性质分别推导∠𝐷、∠𝐸、∠𝐵𝑂𝐶与∠𝐴的数量关系，并验证选项D
的等式即可求解．
【详解】解：∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐹，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐹，∠𝐷𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹−∠𝐷𝐵𝐶=
1
2 (∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶) −
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴，
故A 正确；
𝐵𝐸平分∠𝐶𝐵𝐺，
∴∠𝐸𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐶𝐵𝐺=
1
2 (180° −∠𝐴𝐵𝐶) = 90° −
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，
∵𝐷, 𝐶, 𝐸共线，B，C，F 共线，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐹=
1
2 (∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶)，
在△𝐵𝐶𝐸中，
小学
初中
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∠𝐸= 180° −(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐸) = 180° −(90° −
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶+
1
2 ∠𝐴+
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶) = 90° −
1
2 ∠𝐴，故B 错误；
∵𝐵𝑂, 𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180° −(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180° −
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −
1
2 (180° −∠𝐴) = 90° +
1
2 ∠𝐴，故
C 正确；
由上可知∠𝐸= 90° −
1
2 ∠𝐴，∠𝐷𝐶𝐹=
1
2 (∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶)，∠𝐴𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹−∠𝐴𝐵𝐷= 90° −
1
2 ∠𝐴+
1
2 ∠𝐴+
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶−
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，故D 正确
2.如图，已知∠𝐵𝐴𝐷= 30°，∠𝐵𝐶𝐷= 75°，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐵𝐶=
1
3 ∠𝐴𝐵𝐶，则∠𝐷𝐸𝐵的度数
为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】延长𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝑅，根据平行得到∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸= 75°，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐷𝑅𝐶，再
由角平分线得到∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸= 75°， 根据三角形外角的性质求出∠𝐴𝐵𝐶即可．
【详解】解：延长𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝑅，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸= 75°，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐷𝑅𝐶，
∵𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸= 75°
∴∠𝐷𝑅𝐶= 75°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝑅𝐶−∠𝐴= 75° −30° = 45°
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∵∠𝐸𝐵𝐶=
1
3 ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐸𝐵𝐶= 15°
∴∠𝐷𝐸𝐵= 15°．
3.如图，𝐺𝐴∥𝐹𝐷，一副三角板如图摆放，∠𝐸𝐷𝐹= 60°，∠𝐵𝐴𝐶= 45°，若𝐵𝐶∥𝐷𝐸，下列结论：①𝐸𝐹∥
𝐴𝐵；②∠𝐺𝐴𝐵= 30°；③𝐸𝐶平分∠𝐹𝐸𝐷；④∠𝐴𝐸𝐷= 135°．其中正确的是______．
【答案】①②③④
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明、三角板中角度
计算问题
【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可．
【详解】解：如图，𝐵𝐶交𝐸𝐹于点𝑀，
∵𝐵𝐶∥𝐷𝐸，
∴∠𝐶𝑀𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐹= 180∘，
∵∠𝐷𝐸𝐹= 90∘，
∴∠𝐶𝑀𝐸= 90∘，
∵∠𝐵= 90∘，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝑀𝐸 ，
∴𝐸𝐹∥𝐴𝐵， 故①符合题意；
∵𝐵𝐶∥𝐷𝐸，∠𝐸𝐷𝐹= 60∘，
∴∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐸𝐷𝐹= 60∘，
∵∠𝐵𝐶𝐴= 45∘，
∴∠𝐴𝐶𝐹= 60∘+ 45∘= 105∘，
∵𝐺𝐴∥𝐹𝐷 ，
∴∠𝐺𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180∘，
∴∠𝐺𝐴𝐶= 75∘，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 45∘，∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐺𝐴𝐶 ，
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∴∠𝐺𝐴𝐵= 30∘， 故②符合题意；
∵∠𝐸𝐷𝐹= 60∘，∠𝐷𝐸𝐹= 90∘，
∴∠𝐸𝐹𝐷= 30∘，
∵∠𝐴𝐶𝐹= 105∘，
∴∠𝐹𝐸𝐶= 180∘−30∘−105∘= 45∘，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 90∘−45∘= 45∘，
∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶 ，
∴𝐸𝐶平分∠𝐹𝐸𝐷， 故③符合题意；
∵∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐶= 180∘，∠𝐷𝐸𝐶= 45∘，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 135∘， 故④符合题意，
∴符合题意的有①②③④．
4.图形变换中，图中的角与角之间的大小关系通常由图形运动的不同位置所决定，即位置决定数量关
系．如图，直角三角板𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 60°，将三角板𝐴𝐵𝐶沿着射线𝐶𝐴方向平移，得到三角
形𝐴′𝐵′𝐶′，连接𝐶′𝐵，在平移过程中，若∠𝐵𝐶′𝐵′与∠𝐶′𝐵𝐴之间存在两倍关系，则∠𝐶′𝐵𝐴=__________°．
【答案】10 或20 或30
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、利用
平移的性质求解
【分析】根据平移后对应线段互相平行可得∠𝐵𝐶′𝐵′ = ∠𝐶′𝐵𝐶，再根据点𝐶′在线段𝐴𝐶上时，∠𝐶𝐵𝐴=
∠𝐶′𝐵𝐶+ ∠𝐶′𝐵𝐴= 30°，点𝐶′在线段𝐶𝐴延长线上时，∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐶′𝐵𝐶−∠𝐶′𝐵𝐴= 30°，两种情况结合
∠𝐵𝐶′𝐵′与∠𝐶′𝐵𝐴之间存在两倍关系分类讨论求解，
【详解】解：设∠𝐵𝐶′𝐵′ = 𝑥，
∵𝐵𝐶∥𝐶′𝐵′，∠𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 60°，
∴∠𝐵𝐶′𝐵′ = ∠𝐶′𝐵𝐶= 𝑥，∠𝐶𝐵𝐴= 30°，
I．当点𝐶′在线段𝐴𝐶上时，如图
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①当∠𝐵𝐶′𝐵′ = 2∠𝐶′𝐵𝐴时，即∠𝐶′𝐵𝐴=
1
2 𝑥，
∵∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐶′𝐵𝐶+ ∠𝐶′𝐵𝐴= 30°，
∴𝑥+
1
2 𝑥= 30°，
解得：𝑥= 20°，
∴∠𝐶′𝐵𝐴=
1
2 𝑥= 10°；
②当∠𝐶′𝐵𝐴= 2∠𝐵𝐶′𝐵′ = 2𝑥时，
∴∠𝐶𝐵𝐴= 𝑥+ 2𝑥= 30°，解得：𝑥= 10°，
∴∠𝐶′𝐵𝐴= 2𝑥= 20°；
II．点𝐶′在线段𝐶𝐴延长线上时，如图2，
③当∠𝐵𝐶′𝐵′ = 2∠𝐶′𝐵𝐴时，即∠𝐶′𝐵𝐴=
1
2 𝑥，
∵∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐶′𝐵𝐶−∠𝐶′𝐵𝐴= 30°，
∴𝑥−
1
2 𝑥= 30°，
解得：𝑥= 60°，
∴∠𝐶′𝐵𝐴=
1
2 𝑥= 30°；
④当∠𝐶′𝐵𝐴= 2∠𝐵𝐶′𝐵′ = 2𝑥时，
∴𝑥−2𝑥= 30°，𝑥= −30°，不合题意舍去，
综上所述：∠𝐶′𝐵𝐴等于10°、20°、30°．
5.如图①，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 60°．
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(1)求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)如图②，若把“𝐴𝐸⊥𝐵𝐶”变成“点F 在𝐷𝐴的延长线上，𝐹𝐸⊥𝐵𝐶”，其他条件不变，求∠𝐷𝐹𝐸的度数；
(3)如图③，若把“𝐴𝐸⊥𝐵𝐶”变成“𝐴𝐸平分∠𝐵𝐸𝐶”，其他条件不变，∠𝐷𝐴𝐸的大小是否变化，并请说明理
由．
【答案】(1)10°
(2)10°
(3)∠𝐷𝐴𝐸的度数大小不变，理由：
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶，
∴180° −(∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸) = 180° −(∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸)，即∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸，
∵∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐷𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴2∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶−∠𝐵= 20°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 10°．
【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）先求出∠𝐴𝐷𝐸的度数，利用∠𝐷𝐴𝐸= 90° −∠𝐴𝐷𝐸即可求出∠𝐷𝐴𝐸的度数；
（2）先求出∠𝐴𝐷𝐸的度数，利用∠𝐷𝐹𝐸= 90° −∠𝐴𝐷𝐸即可求出∠𝐷𝐹𝐸的度数；
（3）利用𝐴𝐸平分∠𝐵𝐸𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，求出∠𝐷𝐴𝐸= 10°即可得证．
【详解】（1）解：∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 80°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 40°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 80°，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 90° −∠𝐴𝐷𝐸= 10°．
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（2）解：∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 80°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 40°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 80°，
∵𝐹𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐸𝐵= 90°，
∴∠𝐷𝐹𝐸= 90° −∠𝐴𝐷𝐸= 10°．
（3）略
6.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在𝐵𝐴延长线上，连接𝐶𝐸交𝐴𝐷于F，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶．
(1)求证：𝐴𝐷∥𝐵𝐶；
(2)如图1，若∠𝐸𝐹𝐴= 90° −
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶，求证：𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝐷；
(3)如图2，在（2）的条件下，∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐴𝐵𝐶= 40°，点M 在𝐵𝐶上，点N 在𝐵𝑀上，∠𝑀𝐹𝑁= ∠𝑀𝑁𝐹，𝐹𝐻
平分∠𝐸𝐹𝑀交𝐴𝐵于点H，连接𝐻𝑁，𝐻𝑁⊥𝐻𝐹，求∠𝐻𝑁𝐹的度数．
【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶；
(2)证明：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∵∠𝐸𝐹𝐴= 90° −
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐸𝐹𝐴= 180°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 2∠𝐸𝐹𝐴．
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
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∴∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐵𝐶𝐹，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 2∠𝐵𝐶𝐹，
∴𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝐷；
(3)62.5°
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】（1）由∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸得到𝐴𝐵∥𝐶𝐷，从而∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，即可得出∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，从而证明
𝐴𝐷∥𝐵𝐶；
（2）由𝐴𝐷∥𝐵𝐶得到∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，由∠𝐸𝐹𝐴= 90° −
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶得到∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐸𝐹𝐴= 180°，因此
∠𝐵𝐶𝐷= 2∠𝐸𝐹𝐴．由平行线的性质得到∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐵𝐶𝐹，从而∠𝐵𝐶𝐷= 2∠𝐵𝐶𝐹，即可得证结论；
（3）由平行线的性质结合∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐴𝐵𝐶= 40°，可得∠𝐵𝐴𝐷= 110°，∠𝐴𝐵𝐶= 70°，
设∠𝐴𝐹𝐻= 𝛼，∠𝑀𝑁𝐹= ∠𝑀𝐹𝑁= 𝛽，因此∠𝐻𝐹𝑁= ∠𝐴𝐹𝑁−∠𝐴𝐹𝐻= 𝛽−𝛼，从而∠𝐻𝐹𝑀= ∠𝐻𝐹𝑁+
∠𝑁𝐹𝑀= 2𝛽−𝛼．由平行线的性质与角平分线的定义得到∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐷= 55°，因此∠𝐸𝐹𝐻=
∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐹𝐻= 55° + 𝛼，根据角平分线的定义得到∠𝐸𝐹𝑁= ∠𝑀𝐹𝑁，可得55° + 𝛼= 𝛽−𝛼+ 𝛽，从而
∠𝐻𝐹𝑁= 𝛽−𝛼= 27.5°，再由直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：∵ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
∵∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐴𝐵𝐶= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 110°，∠𝐴𝐵𝐶= 70°，
设∠𝐴𝐹𝐻= 𝛼，∠𝑀𝐹𝑁= 𝛽，
∴∠𝑀𝑁𝐹= ∠𝑀𝐹𝑁= 𝛽
∵ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝑁= ∠𝐹𝑁𝑀= 𝛽，
∴∠𝐻𝐹𝑁= ∠𝐴𝐹𝑁−∠𝐴𝐹𝐻= 𝛽−𝛼，
∴∠𝐻𝐹𝑀= ∠𝐻𝐹𝑁+ ∠𝑁𝐹𝑀= 𝛽−𝛼+ 𝛽= 2𝛽−𝛼．
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180° −∠𝐴𝐵𝐶= 180° −70° = 110°，
∵𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐷= 55°，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹= 55°，
∴∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐹𝐻= 55° + 𝛼
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∵𝐹𝐻平分∠𝐸𝐹𝑀，
∴∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝑀𝐹𝐻，
∴55° + 𝛼= 𝛽−𝛼+ 𝛽，
∴𝛽−𝛼= 27.5°，
即∠𝐻𝐹𝑁= 27.5°．
∵𝐻𝑁⊥𝐻𝐹，
∴∠𝐹𝐻𝑁= 90°，
∴∠𝐻𝑁𝐹= 90° −∠𝐻𝐹𝑁= 62.5°．
迁移创新
1.如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠1 = 50°，∠2 = 30°，则∠3的度数为
（ ）
A．90°
B．80°
C．70°
D．60°
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【详解】解：如图，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠4 = ∠1 = 50°，
∴∠3 = ∠2 + ∠4 = 80°．
2.如图，一束光线照射到平面镜𝐶𝐷上，然后在平面镜𝐴𝐵和𝐶𝐷之间来回反射，光线的反射角等于入射
角．若∠1 = 50∘，∠3 = 76∘，则∠2的度数为（ ）
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A．50°
B．55°
C．63°
D．65°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，
并能进行推理计算是解决问题的关键．
由光线的反射角等于入射角得出∠6 = ∠1 = 50∘，∠5 = ∠3 = 76∘，∠2 = ∠4，由平角的定义和三角形内角
和定理求出∠2，即可得出结果．
【详解】解：根据题意，得
∠6 = ∠1 = 50∘，∠5 = ∠3 = 76∘，∠2 = ∠4，
∴∠2 =
1
2 × [180° −(180° −∠5 −∠6)] = 63°．
故选：C．
3.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2 倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形
叫作“友爱三角形”，例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 40°，∠𝐵= 80°，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”，△𝐴𝐵𝐶
为“友爱三角形”．
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴），∠𝐴𝐶𝐵= 90°
①则∠𝐴=_________，∠𝐵=__________．
②将△𝐴𝐵𝐶沿过点𝐶的直线翻折，使得点𝐵落在𝐴𝐵边上的点𝐵′处，折痕为𝐶𝐷（𝐷在𝐴𝐵上）．判断△𝐴𝐶𝐷是
否为“友爱三角形”，并说明理由．
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵> ∠𝐴，∠𝐵= 72°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与𝐴、𝐵重合），连接𝐶𝐷．将△𝐶𝐷𝐵沿
𝐶𝐷翻折得到△𝐶𝐷𝐵′，𝐵′落在𝐴𝐶边上，若△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”，求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
【答案】(1)①30°；60°；②△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，理由见解析
(2)27°或30°或42°或45°
【知识点】三角形折叠中的角度问题
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【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
则可证明∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐴，据此可得结论；
（2）由折叠的性质得到∠𝐶𝐵′𝐷= ∠𝐵= 72°，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵则∠𝐴𝐵′𝐷= 108°；再分∠𝐴𝐵′𝐷=
2∠𝐴，∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴𝐷𝐵′，∠𝐴= 2∠𝐴𝐷𝐵′和∠𝐴𝐷𝐵′ = 2∠𝐴四种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180° −∠𝐴𝐶𝐵= 90°；
∵∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴），
∴∠𝐵= 2∠𝐴，
∴∠𝐴+ 2∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 30°，
∴∠𝐵= 60°；
②△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，理由如下：
由折叠的性质可得∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶，
∵∠𝐵′𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐷𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐴，
∴△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”；
（2）解：由折叠的性质可得∠𝐶𝐵′𝐷= ∠𝐵= 72°，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵′𝐷= 180° −∠𝐶𝐵′𝐷= 108°；
∵△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”，
∴当∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴时，则∠𝐴= 54°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 54°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 27°；
当∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴𝐷𝐵′时，则∠𝐴𝐷𝐵′ = 54°，
∴∠𝐴= 180° −54° −108° = 18°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 45°；
当∠𝐴= 2∠𝐴𝐷𝐵′时，∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180° −∠𝐴𝐵′𝐷= 72°，
∴2∠𝐴𝐷𝐵′ + ∠𝐴𝐷𝐵′ = 72°，
∴∠𝐴𝐷𝐵′ = 24°，
∴∠𝐴= 48°，
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∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 30°；
当∠𝐴𝐷𝐵′ = 2∠𝐴时，∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180° −∠𝐴𝐵′𝐷= 72°，
∴2∠𝐴+ ∠𝐴= 72°，
∴∠𝐴= 24°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 84°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 42°；
综上所述，∠𝐴𝐶𝐷的度数为27°或30°或42°或45°．
