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2.2 等腰三角形
题型一：利用三边关系求等腰三角形的周长
1．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为3cm,6cm ，则该三角形的周长为（ ）
A．12cm
B．15cm
C．12cm或15cm
D．以上都不对
2．（24-25 八年级下·广西防城港·期中）已知实数x ，y 满足3
7
0
x
y
−
+
−
=
，则x ，y 的值为两边长的
等腰三角形的周长是（ ）
A．13 或17
B．13
C．17
D．以上均不对
3．（24-25 七年级下·黑龙江大庆·期中）a 、b 、c 是等腰
ABC
的三边长，其中a 、b 满足
2
2
4
10
29
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，则
ABC
的周长为（ ）．
A．9
B．9 或12
C．12
D．14
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4．（24-25 七年级下·河北保定·期中）已知有理数a，b 满足
(
)
2
4
9
0
a
b
−
+
−
=
∣
∣
，则以a，b 的值为两边长的
等腰三角形周长是（ ）
A．17
B．22
C．17 或22
D．以上答案均不对
5．
（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足
(
)
2
2
1
2
13
0
x
y
x
y
−
+ +
+
−
=
，
则该等腰三角形的周长为（ ）
A．13
B．17
C．13 或17
D．11 或13
6．（24-25 七年级下·山东威海·期中）若方程组
2
6
3
10
x
y
x
y
−
=
+
=
的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的
周长为 ．
7．（24-25 八年级下·河南平顶山·期中）一个等腰三角形的一个内角为40，则它的顶角的度数为 ；等
腰三角形的两边长为2cm 和5cm，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等”的逆定理是 ．
8．（24-25 七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为a ，b ，其中a ，b 满足
2
7
6
9
0
b
a
a
−
+
−
+
=
，那么这个等腰三角形的周长是 ．
题型二：根据等腰三角形的特征进行判定
1．（24-25 九年级下·浙江宁波·自主招生）如果一个三角形的三边a
b
c
、、，满足
2
ab
bc
b
ac
+
=
+
，那么这个
三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
2．（24-25 八年级下·甘肃酒泉·期中）已知a，b，c 是
ABC
的三边，且
2
0
ab
ac bc
c
−
−
+
=
，则
ABC
一定
是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．无法确定
3．（24-25 八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，可以判定
ABC
是等腰三角形的是（ ）
A．
20
A
=
，
100
B
=
B．: :
1:1:2
a b c =
C．
:
:
1:1:2
A
B
C
=
D．
A
B
C
=
+
∠
∠
∠
4．（24-25 七年级上·山东威海·期末）以下条件，能画出唯一确定的三角形的是（ ）
A．
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: :
B．
:
:
3:4:3
AB BC AC =
C．
5
AB =
，
40
A
=
，
45
B
=
D．
45
B
=
，
5
AB =
，
6
AC =
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5．（24-25 八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列条件能判定
ABC
为等腰三角形的是（ ）
A．
30 ,
60
A
B
=
=
B．
:
:
3:4:5
A
B
C
=
C．
5,
12,
13
AB
AC
BC
=
=
=
D．
50 ,
80
A
B
=
=
题型三：利用等腰三角形的定义求线段长度
1．（24-25 八年级下·广东揭阳·阶段练习）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（ ）
A．4
B．8
C．4 或8
D．8 或6
2．（24-25 八年级下·江西抚州·期中）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC 的长度随四边形形状的改
变而变化，当
ABC
为等腰三角形时，对角线AC 的长为（ ）
A．4
B．5
C．4 或6
D．6
3．（24-25 八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为12dm 的木条截成三段，围成一个等腰三角形
支架，若第一段木条的长为3dm ，则第二段木条的长是（ ）
A．3.5dm
B．6dm
C．5dm
D．4.5dm
4．（2025 九年级下·湖南邵阳·学业考试）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫
作“倍长三角形”．若等腰
ABC
是“倍长三角形”，腰AB 的长为6，则底边BC 的长为 ．
5．（24-25 八年级下·河南焦作·阶段练习）若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4 倍，我们
把这样的等腰三角形叫做“4 倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4 倍边等腰三角形”，且周长为18cm，
那么该等腰三角形的底边长为 cm.
6．（24-25 七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AB 的中垂线DE 交AC 于点D，
交AB 于点E，连接BD，若
7
BC =
，BDC
的周长为18，则AB = ．
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7．
（23-24 七年级下·湖北武汉·期末）用一条长为20cm 的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，
另外两边的长为 ．
8．（24-25 七年级下·全国·单元测试）已知
ABC
的三边长分别为
6
m+
，2
3
m
−
−，4，若
ABC
是等腰三角
形，则m 的值为 ．
题型四：利用等腰三角形的特征求相关角度
1．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）如图，一个挂钟的钟摆由最左侧点A 摆至最右侧点A时，钟摆旋转的
角度为80，则
OAA
的度数为（ ）
A．40
B．50
C．55
D．65
2．（24-25 八年级下·云南昭通·期中）已知三角形的边长分别为
3 ，3 ，6 ，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
3．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）如果
ABC
是等腰三角形，
50
A
=
，那么
C
的度数不可能
．．．是（ ）
A．50
B．65
C．75
D．80
4．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）若一个等腰三角形的顶角比底角的2 倍还多36，则这个等腰三角
形顶角的度数为 ．
5．（24-25 八年级上·青海西宁·期中）若等腰三角形的一个角等于110，则它的另外两个角的度数为 ．
6．（2025·江苏南京·二模）若等腰三角形的一个外角为80，则它的底角为 °．
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的顶角是底角的2 倍，则这个等腰三角形的底角度数
是 ．
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题型五：利用等腰三角形的定义判断个数
1．（24-25 七年级下·上海·期末）如图，已知：在
ABC
中，
=60
B
，
80
C
=
，在直线BA上找一点D，
使ACD
或
BCD
△
为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
2．（2025 九年级下·浙江·专题练习）如图，已知
ABC
中，
3
AB = ，
5
AC =
，
7
BC =
，在
ABC
所在平面
内一条直线，将
ABC
分割成两个三角形，使其中有一个边长为3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画
（ ）
A．5 条
B．4 条
C．3 条
D．2 条
3．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，点(
)
2,0
A −
，
(
)
0,2
B
，在坐标轴上取一点C ，
使
ABC
为等腰三角形，符合条件的点C 有（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
4．（24-25 七年级下·上海·期末）在
ABC
中，
(1)若
20
A
B
−=
，
2
C
B
= ，求
A
的度数；
(2)若
ABC
是等腰三角形，
30
B
=
，求
A
的度数．
题型六：等腰三角形中尺规作图
1．（24-25 九年级下·山东潍坊·期中）四边形ABCD是平行四边形，下列尺规作图不能使ABE
一定是等腰
三角形的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1 的方格纸中有线段AB 和CD，点A、B、
C、D 均在小正方形顶点上．
(1)在方格纸中画出以CD为底的等腰CDF
，且点F 在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出面积为7.5 的等腰ABE
，且点E 在小正方形的顶点上．
3．
（24-25 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC
的三个顶点分别是
(
)
1,3
A
，(
)
4,4
B
，
(
)
2,1
C
．
(1)把
ABC
向左平移4 个单位后得到对应的
1
1
1
A BC
△
，请画出平移后的
1
1
1
A BC
△
；
(2)画出
ABC
关于原点O对称的
2
2
2
A B C
△
；
(3)观察图形可知，
1
1
1
A BC
△
与
2
2
2
A B C
△
关于点______中心对称．（写出坐标）
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(4)点P 在y 轴上且
1
1
BC P
△
为等腰三角形，这样的P 点有 个．
4．（24-25 八年级上·广东汕头·期中）在直角坐标系中，
ABC
的三个顶点的位置如图所示．
(1)请画出
ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A BC
△
（其中
1
1
1
,
,
A B C 分别是A，B，C 的对应点，不写画法）；
(2)直接写出坐标：
1A _______________，
1
B _________________，
1
C _________________．
(3)点Q 在坐标轴上，且满足ABQ
是等腰三角形，请写出符合条件的一个Q 点的坐标______________
5．（24-25 八年级上·贵州贵阳·期末）
ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长
为1．
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A BC
△
（其中
1
1
1
,
,
A B C 分别为A、B、C 的对应点）；
(2)点D是x 轴上的一动点，连接AD，使得ACD
是以AC 为腰的等腰三角形，请直接写出点D 的坐标．
6．（24-25 八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，
ABC
的顶点坐标分别为(
)
3,5
A −
，
(
)
4, 1
B −
−
，
(
)
1,1
C −
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(1)请画出
ABC
关于y 轴的对称图形
1
1
1
A BC
△
，并写出点
1A 的坐标；
(2)在y 轴上找一点M，使得
MAC
△
是以AC 为底边的等腰三角形，则点M 的坐标是______．
7．（24-25 八年级上·山东济南·期末）如图，网格中小正方形的边长为1，点A、B、C 都在格点上．
(1)画出
ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A BC
△
（其中
1A 、
1
B 、
1
C 分别为A、B、C 的对应点）；
(2)
ABC
的面积为______；
(3)点F 是x 轴上的一点，且
ABF
△
是以AB 为腰的等腰三角形，直接写出所有满足条件的点F 的坐标．
8．（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在
ABC
中，
B
C
=
，点D 在边BC 上，请用尺规作图法在边AC
上求作一点E ，连接DE ，使得DE
CE
=
．（保留作图痕迹，不写作法）
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题型七：利用等腰三角形的定义进行证明
1．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在
ABC
中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰直角三角形
ABD和等腰直角三角形ACE ，
90
BAD
CAE
=
=
，连接BE ，CD，猜想BE 与CD的关系，并证明.
2．
（2025·江苏盐城·一模）如图，ABC
是等腰直角三角形，
90
ACB
=
， D 为 AB 边上一点，BD
AE
=
，
B
EAC
=
．证明：CD
CE
=
；
3．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图ABC
是等腰直角三角形，AB
BC
=
，O 是ABC
内部的一个动
点，OBD
是等腰直角三角形，OB
BD
=
．
(1)求证：
=
AO
CD ；
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(2)若COD
是等腰三角形，
140
AOC
=
，求
AOB
的度数．
4．（24-25 八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在
ABC
中，AD
BC
∥
，AD平分外角
EAC
．求证：
ABC
是等腰三角形．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，
ABC
和DBE
均为等腰直角三角形，其中
90
ABC
DBE
=
=
．试说明：
=
AD
CE ．
6．（2025·陕西西安·一模）如图，
ABC
与
ADE
均为等腰直角三角形，
90
BAC
EAD
=
=
．求证：
BAE
CAD
≌
△
△
．
7．（24-25 八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在
ABC
中，D 是AB 的中点，OD
AB
⊥
于点D，点O 在AC
的垂直平分线上．
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(1)求证：BOC
是等腰三角形．
(2)若
70
BAC
=
，求
BCO
的度数．
8．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图①，已知在
ABC
中，AB
AC
=
，D 是BC 边上任意一点，过点
D 分别向AB
AC
，
作垂线，垂足分别为E，F．
(1)当点D 在BC 的什么位置时，DE
DF
=
？请说明理由；
(2)如图②，过点C 作AB 边上的高CG ，试猜想DE
DF
CG
，
，
之间存在怎样的数量关系，请说明理由．
题型一：等腰三角形中需要分情况讨论问题
1．（24-25 七年级下·辽宁本溪·期中）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为40，则该等腰三角
形的顶角的度数为 ．
2．
（24-25 七年级下·上海松江·期末）已知
ABC
中，AB
AC
=
，BD是AC 边上的高，
50
ABD
=
，那么
A
的度数是 ．
3．（23-24 七年级下·甘肃兰州·期末）若一个等腰三角形有一个内角为82，则它的底角为 ．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）在
ABC
中，AB
AC
=
，过点A 的一条直线将该三角形分成的两个小
三角形均为等腰三角形，则
B
的度数为 ．
5．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）已知等腰
ABC
的一个内角是40，则它的底角度数为 ．
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6．
（24-25 八年级上·河北沧州·期末）在等腰
ABC
中，其中一角为50，则其它两角的度数分别为 ．
7．
（24-25八年级上·广东广州·期末）已知AD是
ABC
的高，AC
BC
=
，
50
CAD
=
，则
B
的度数为 ．
8．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知
ABC
中，
,
40
AB
AC
BAC
=
=
，D 为直线BC 上异于B，C 的
一点．若
ABD
△
是等腰三角形，则
D
的度数为 ．
9．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）在
ABC
中，AB
AC
=
，AC 的垂直平分线与AB 的所在的直线相交所
成的锐角是46，则
B
= ．
10．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2 倍少20 度，等腰三角形底角的度
数是 ．
题型二：等腰三角形被中线分成两个三角形题型
1．（24-25 七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两
部分，其差为4cm ，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．1cm
B．5cm
C．9cm
D．5cm或9cm
2．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6 和12
两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．
3．（24-25 八年级下·山西运城·期中）如图，等腰
ABC
中，AB
AC
=
，BD为腰AC 的中线，将
ABC
的周
长分成长12cm和9cm的两段，则等腰
ABC
的腰长为 ．
4．
（24-25 七年级下·上海闵行·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了9cm和7cm 两
部分，则这个等腰三角形的底边长为 cm．
5．（24-25 七年级下·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形ABC ．
(1)若其两边长分别为2 和3，求
ABC
的周长；
(2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9 和18，求
ABC
的腰长．
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）在
ABC
中，AB
AC
=
，AC 边上的中线BD把
ABC
的周长分为24cm
和
cm
的两部分，求BC 的长．
题型三：等腰三角形的定义与整式的乘法相结合
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1．（24-25 八年级下·广东茂名·阶段练习）将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分
解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2
2 3 1
+
+
，
”等分法．如
“ 2
2
+ ”分法：
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
ax
ay
bx
by
ax
ay
bx
by
a x
y
b x
y
x
y
a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．再如“3 1
+ ”分法：
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
16
2
16
4
4
4
x
xy
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
−
+
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
+
−
−
．
(1)利用上述方法解决下列问题：
分解因式：①ac bc
a b
−
+ −
②
2
2
2
1
a
ab
b
−
+
−．
(2)类比应用：若a ，b 满足
2
2
12
8
52
a
b
a
b
+
=
+
−
，求a 与b 的值．
(3)延伸探究：若
ABC
三边, ,
a b c 满足
2
2
2
0
ac
bc
a
ab
b
−
+
−
+
=
，请判断
ABC
的形状，并说明理由．
2．（24-25 八年级下·山东济南·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等
变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例：因式分解：
2
6
8
a
a
+
+ ．
解：原式
2
2
6
9 1
(
3)
1
(
3 1)(
3 1)
(
2)(
4)
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+ −=
+
−=
+ −
+ +
=
+
+
(1)解决问题：运用配方法将多项式
2
2
3
x
x
−
−进行因式分解．
(2)拓展运用：已知a ，b ，c 是
ABC
的三边长．且满足
2
2
2
2
2
4
6
13
a
b
c
ab
b
c
+
+
=
+
+
−
，请判断三角形的
形状，并说明理由．
3．（24-25 八年级下·河南·阶段练习）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：
2
4
4
x
xy
x
y
−
+
−
(
) (
)
2
4
4
x
xy
x
y
=
−
+
−
（分成两组）
(
)
(
)
4
x x
y
x
y
=
−
+
−
（提公因式）
(
)(
)
4
x
y
x
=
−
+
，（提公因式）
乙：
2
2
2
2
a
b
c
bc
−
−
+
(
)
2
2
2
2
a
b
c
bc
=
−
+
−
（分成两组）
(
)
2
2
a
b
c
=
−
−
（运用公式）
(
)(
)
a
b
c
a
b
c
=
+
−
−
+
（运用公式）
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请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)已知
3
4
a
b
b
c
−
=
−= −
，
，求式子
2
a
ac
ab
bc
−
−
+
的值；
(2)已知a
b
c
，，为等腰
ABC
的三边长，且满足
2
2
20
24
244
a
b
a
b
+
=
+
−
，求等腰
ABC
的周长．
4．（24-25 八年级下·江西吉安·期中）阅读材料：若
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，求m ，n 的值．
解：
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
n
−
+
+
−
+
=
，
(
)
(
)
2
2
4
0
m
n
n
−
+
−
=
0
m
n
−
=
，
4
0
n−
=
4
m
n
=
=
阅读上面的材料，解决以下两个问题：
(1)已知
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
+
+
+
+ =
，求x
y
−
的值；
(2)已知等腰三角形的三条边分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足
2
2
6
12
45
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，求这个等腰三角形
的周长．
5．（24-25 八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式am
an
bm bn
+
+
+
分解因式，可以先把它的前两
项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到
(
) (
)
(
)
(
)
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a n
n
b n
n
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
，这时
(
)
(
)
a m
n
b m
n
+
+
+
中又有公因式(
)
m
n
+
，于是可以提出(
)
m
n
+
，即
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
n
m
n
a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
，我们称这种方法为分组法．请
你利用分组法解答下列问题：
(1)解决问题：分解因式2
2
ax
bx
a
b
−
+
−．
(2)拓展运用：已知a
b
c
，，是
ABC
的三边，且满足
2
a
bc
ab
ac
+
−
=
，请判断
ABC
的形状并说明理由．
6．（24-25 七年级下·四川成都·期中）已知a，b，c 为
ABC
的三条边，
(1)若
5
a =
，
6
b =
，
ABC
的周长是小于17 的奇数，求c 的长．
(2)若
ABC
为等腰三角形，且a，b 满足
2
2
4
6
13
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，求
ABC
的周长．
题型四：等腰三角形的定义中解答题压轴
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15 /
1．（24-25 七年级下·四川成都·阶段练习）（1）如图1，已知
ABC
是直角三角形．
90
BAC
=
，AB
AC
=
，
直线l 经过点A ，分别从点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E ．求证：BDA
AEC
≌
．
（2）如图2，在
ABC
中，AB
AC
=
，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
=
=
，
猜想DE 、BD、CE 有何数量关系？并给予证明．
（3）如图3，以
ABC
的边AB 、AC 为腰向外作等腰Rt BAD
和等腰Rt
CAE
△
，
BAD
90
CAE
=
=
，
AB
AD
=
，AC
AE
=
，AG 是BC 边上的高．延长GA交DE 于点H ，探究BC 与AH 的数量关系，并说明理
由．
2．（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在
ABC
中，若
6
4
，
AB
AC
=
=
，
D为BC 边上的中点，试求中线AD长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图2 ，延长AD到点E ，使
DE
AD
=
，连接BE ．请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到
ADC
EDB
≌
，理由是_______．
A ．SAS B．ASA C ．AAS D ．SSS
（2 ）求中线AD长的取值范围．
【解决问题】
（3）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，
ABC
和BDE
都是等
腰直角三角形，
90
ABC
DBE
=
=
，BF 是
BEC
的中线，若
5
BF = ，求AD的长．
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16 /
3．（24-25 七年级下·广东深圳·期中）问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，
ABC
中，
7
AC =
，
9
BC =
，
10
AB =
，P 为AC 上一点，当AP =______时，ABP
与CBP
是偏等积三角形；
问题探究：
（2）如图2，
ABD
△
与ACD
是偏等积三角形，
2
AB =
，
6
AC =
，且线段AD的长度为正整数，过点C 作
CE
AB
∥
交AD的延长线于点E ，则AE =______；
问题解决：
（3）如图3，四边形ABED是一片绿色花园，
ACB
△
、
DCE
△
是等腰直角三角形，
(
)
90
0
90
ACB
DCE
BCE
=
=
．
①ACD
与BCE
是偏等积三角形吗？请说明理由；
②已知
50m
BE =
，ACD
的面积为
2
2000m ．如图4，计划修建一条经过点C 的笔直的小路CF ，F 在BE 边
上，FC 的延长线经过AD中点G ．若小路每米造价500 元，请计算修建小路的总造价为______．
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17 /
4．（24-25 八年级上·广西崇左·期末）体验与实践
【解题呈现】如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，P 为底边BC 上的中点，PD
AB
⊥
，PE
AC
⊥
，点D、E 为垂
足，过点C 做腰线AB 的垂线（高线），垂足为F，则有PD
PE
CF
+
=
．
某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即
ABC
ABP
ACP
S
S
S
=
+
△
△
△
，
所以1
1
1
2
2
2
AB CF
AB DP
AC
PE
=
+
，
而AB
AC
=
①式化为：1
1
1
2
2
2
AB CF
AB DP
AB PE
=
+
可得CF
PD
PE
=
+
．
【探究与实践】如图，已知：等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
．
(1)P 为底边BC 上的任意一点，自P 向两腰所在的直线做垂线PE，PF 点E、F 为垂足．求证：PE
PF
+
等
于定值；
(2)若点P 在底边BC 的延长线上时，情况如何？
5．（24-25 八年级上·河南安阳·期末）已知，
ABC
是等腰直角三角形，BC
AB
=
，A 点在x 轴负半轴上，
直角顶点B 在y 轴上，点C 在x 轴上方．
(1)如图1，若点(
)
6,0
A −
，点
(
)
0,2
B
，过点C 作CD
y
⊥
轴于点D，则CD =______；
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18 /
(2)如图2，若点(
)
6,0
A −
，点
(
)
0,2
B
，过点C 作CD
y
⊥
轴于点D，则点C 的坐标为______；
(3)如图3，若x 轴恰好平分
BAC
，BC 与x 轴交于点E，过点C 作CF
x
⊥
轴于F，则CF 与AE 有怎样的
数量关系？并说明理由．
6．（24-25 九年级下·重庆北碚·阶段练习）在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研
究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他
们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图
与填空：
(1)用直尺和圆规，过点B 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 边上的高CD于点F （不写作法，保留作图痕
迹）．
(2)已知：如图，在锐角
ABC
中，BE
AC
⊥
，CD
AB
⊥
，且BE
CD
=
．求证：AB
AC
=
．
证明：
BE
AC
⊥
，CD
AB
⊥
，
AEB
= ①__________
90
=
．
在ABE
与ACD
中，
_______
AEB
ADC
BE
CD
=
=
②
ABE
ACD
≌
（AAS），
③__________，即，
ABC
是等腰三角形．
进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________．
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19 /
7．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）如图，已知
ABC
中，
12cm
AB
AC
=
=
，
10cm
BC =
，点D 为AB 的
中点．如果点P 在线段BC 上以2cm/s的速度由B 点向C 点运动，同时，点E 在线段AC 上由点A 向点C 以
4cm/s的速度运动．若点P 、E 两点分别从点B 、A 同时出发．
(1)经过2 秒后，求证：
①
BDP
CPE
△
≌△
；
②
DPE
B
= ；
(2)若
CPE
△
的周长为16cm，问经过几秒钟后，
CPE
△
为等腰三角形？
1．（24-25 八年级下·全国·假期作业）如图，
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列
结论中错误
．．的是（ ）
A．直线AB 、A B
的交点不一定在MN 上 B．
AA P
△
是等腰三角形
C．
ABC
与A B C
面积相等
D．MN 垂直平分AA，CC
2．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，DE 是线段AB 的垂直平分线，交AC
于点E ，若
8cm
BC =
，BCE
的周长为20cm ，则AB 的长为（ ）
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20 /
A．8cm
B．12cm
C．20cm
D．28cm
3．
（2025 七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形ABC 的周长为18，
8
BC = ，若
ABC
DEF
≌
△
△
，则DEF
的边DE 等于（ ）
A．8
B．2 或5 或7
C．5 或8
D．2 或5 或8
4．（24-25 七年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两直线一定是平行线
B．两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平
分线互相垂直
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
5．（2025·北京·模拟预测）如图，已知
AOB
，求作：
BOC
，使
BOC
AOB
=
．
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作MN ，分别交OA，OB 于点E ，F ，连接EF ；
（2）以F 为圆心，EF 的长为半径作弧，交MN 于点C ，连接FC ，EC ；
（3）作射线OC ，
BOC
即为所求作的角．下列结论正确的是（ ）
A．
EOF
COF
≌
△
△
的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．
2
EC
EF
=
C．
AOC
OEF
=
D．
EOC
△
是等腰三角形
6．（24-25 九年级上·浙江台州·期中）如图，
ABC
和DEC
均是等腰直角三角形，EC 的延长线交AD于点
F ，若BE
CF
⊥
，
6
BE =
，则CF 的长为（ ）
A．2
B．2 2
C．3
D．2 3
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7．（24-25 八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足(
)
2
5
3
5
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
那么△ABC
的形状是 （ ）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．直角三角形
8．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）如图， 在Rt
ABC
△
中，
90
30
C
A
=
=
，
． 若某个三角形与
ABC
能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ）
A．4 种
B．5 种
C．6 种
D．7 种
9．（24-25 八年级上·江苏无锡·期中）等腰
ABC
中，AB
AC
=
，一边上的中线BD将这个三角形的周长分
为18 和30 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．8
B．24
C．8 或24
D．8 或12
10．（24-25 八年级上·江苏南通·期中）如图，在
ABC
中，
3,
4,
6
AC
AB
BC
=
=
=
，以点A 为直角顶点，AB
为直角边作等腰直角三角形ABD，再以点A 为直角顶点，AC 为直角边作等腰直角三角形ACE ，连接DE ，
P 是DE 的中点，连接AP ，则AP 的长是（ ）
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
11．（24-25 七年级下·广东佛山·期中）等腰三角形一边长是9cm，另一边长是5cm，则第三边的长是 ．
12．（23-24 七年级下·陕西西安·期中）已知a 、b 为等腰
ABC
的边长，且满足
(
)
2
5
11
0
a
b
−
+
−
=
，则
ABC
的底边长是 ．
13．（24-25 七年级下·全国·课后作业）在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为12 和6 两
部分，则该等腰三角形的腰长为 ，底边长为 ．
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14．（24-25 八年级上·上海·期中）如图，等腰Rt
ABC
△
的直角顶点C 在直线l 上，AD ⊥直线l 于点D ，若
2 2
CD =
，则
BCD
△
的面积为 ．
15．（24-25 七年级下·四川雅安·期中）若代数式(
)(
)
2
2
3
3
m
x
n
x
nx
−
−
+
+
的值与x 无关，且等腰三角形的两
边长为m 、n ．
(1)求m 、n 的值；
(2)求该等腰三角形的周长．
16．（24-25 八年级上·吉林·期末）【阅读理解】例题：若
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
−
+
=
，求m 和n 的值．
解：
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
−
+
=
，2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
n
+
+
+
−
+
=
，即
2
2
(
)
(
3)
0
m
n
n
+
+
−
=
，
0
m
n
+
=
，
3
0
n−=
，
∴
3
n = ，
3
m = −．
【方法运用】若
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
+
−
+
+
=
，求x 的值．
【拓展提升】已知a
b
c
、，是等腰
ABC
的三边长，若a
b
，满足
2
2
4
8
20
a
b
a
b
+
=
+
−
，求
ABC
的周长．
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17．（24-25 八年级上·广西防城港·期中）课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间，
如图所示，AD
DE
⊥
，BE
DE
⊥
，
90
ACB
=
，AC
CB
=
．
(1)求证：
ADC
CEB
△
≌△
．
(2)若
42cm
DE =
，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（假设每块砖的厚度相等）．
18．（24-25 八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角
形”．
(1)如图1，
ABC
和
ADE
互为“友好三角形”， 其中
,
,
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
， 连接
,
CE BD ，
求证：CE
BD
=
；
(2)点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合），以AD为边向右构造
ADE
，使得
ABC
和
ADE
互
为“友好三角形”，其中
,
,
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
，连接EC ， 点F 在线段EC 右上方， 且点 E， C，
F 三点共线．
①如图2， 当点 D 在线段BC 的左侧时， 求证：
ACF
ACB
=
；
②如图3，当点D 在线段BC 上时，
ACF
与
ACB
的数量关系是否发生改变，并说明理由．
