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14.2
三角形全等的判定（第五课时HL）（教学设计）
年级
八年级
学科
数学
课时数
1 课时
教师
课题
14.2
三角形全等的判定（第五课时HL）
教学
目标
知识与技
能
1. 理解并掌握判定两个直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）定理：斜边
和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
2. 能综合运用SSS、SAS、ASA、AAS 和HL 五种判定方法判定三角形全等，
并规范书写证明过程；
3. 能运用HL 定理解决与直角三角形全等相关的简单计算与证明问题。
过程与方
法
经历“尺规作图—观察猜想—逻辑推理—证明应用”的探究过程，通过动手画
图、合作交流，体会由特殊（直角三角形）到一般、由直观到推理的数学思想
方法，发展合情推理与演绎推理能力，提高几何语言表达与规范书写能力。
情感态度
价值观
在尺规作图与推理论证中感受数学的严谨性与逻辑之美，体会HL 定理在实
际生活中的应用价值，激发学习几何的兴趣，养成善于观察、勤于思考、严谨
求实的科学态度。
教材
分析
本节课是新人教版八年级上册14.2《三角形全等的判定》的第五课时，是在学生已掌
握SSS、SAS、ASA、AAS 四种全等三角形判定方法的基础上，专门研究直角三角形的特
殊判定定理——HL。HL 是五种判定方法中唯一针对直角三角形的判定，既是前面知识的
延伸与补充，又为后续学习勾股定理、等腰三角形及四边形性质奠定基础，在全章知识体
系中起承上启下的作用。教学中应突出“HL 仅适用于直角三角形”的条件限制。
学情
分析
八年级学生已系统学习过SSS、SAS、ASA、AAS 四种全等三角形判定，具备一定的
推理证明能力和尺规作图基础，思维正由直观形象向逻辑推理过渡。但学生容易将HL 与
一般SSA 混淆，也容易忽略“在两个直角三角形中”这一前提条件。因此教学中要通过作
图实验强化直观感知，通过对比辨析突出HL 的适用条件，并加强证明书写的规范训练。
教学
重点
运用“斜边、直角边”（HL）判定两个直角三角形全等。
教学
难点
1. 准确理解HL 判定仅适用于直角三角形，并能与其他判定方法正确区分；
2. 在复杂图形中灵活选择判定方法，合理转化条件；
3. 规范、完整地书写直角三角形全等的证明过程。
教学
器材
直尺、三角尺、圆规、量角器；多媒体课件（含情境视频《建筑中的秘密》）。
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教学过程
教师活动
学生活动
情景导入
观看视频《建筑中的秘密》
动手画一画，你能得到怎样的结论了？
新知探究
如图△ABC，请能利用尺规作图，画出一个△A'B'C'，满足∠C'=∠C=90°，A'B'=AB，
B'C'=BC.
判定直角三角形全等的方法
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.
(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
几何语言
在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中，
AB=A'B'
BC=B'C'
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
典例分析
例1.如图，AB⊥AC，DC⊥AC，要使△ABC≌△CDA，现已有条件__AC＝AC
________和___∠BAC＝∠DCA___________，还需要添加什么条件(最直接的)才能保证
结论成立？
(1)AB＝CD(
SAS)；
(2)____ BC＝DA__________( HL )；
(3)____ ∠B＝∠D__________( AAS )；
(4)___ ∠BCA＝∠DAC______( ASA ).
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例2.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，AD，BC 交于点O.求证：AC＝BD.
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°.
在Rt△ABD 和Rt△BAC 中，AB=AB
AD=BC
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL).
∴AC＝BD.
例3.如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 在AC 上，点E 在BA 的延长线上，BD＝CE.
求证：BD⊥CE.
证明：∵∠BAC＝90°，
∴△ABD 与△ACE 都是直角三角形．
在Rt△ABD 和Rt△ACE 中，BD=CE
AB=AC
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL).
∴∠ADB＝∠E.
∵∠EBF＋∠ADB＝90°，
∴∠EBF＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BD⊥CE.
例4.如图，已知AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD=AF，AC=AE．
求证：
(1)BD=BF
(2)BC=BE
证明(1)：∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，
∴∠D=∠F=90°，
在Rt△ABD 和Rt△ABF 中,
AB=AB
AD=AF，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF HL ，
∴BD=BF；
(2)证明：在Rt△ADC 和Rt△AFE 中,
AC=AE
AD=AF ,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE HL ，
∴CD=EF，
由（1）得BD=BF，
∴BD−CD=BF−EF，
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即BC=BE．
变式训练
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.那么BD 平分EF 吗?证明你的结论．
证明：结论：BD 平分EF，理由如下
∵BF⊥AC,DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠DEC=∠BFG=∠DEG=90°.
∵AF=AE−EF,CE=CF−EF,AE=CF，
∴AF=CE.
在Rt△AFB 和Rt△CED 中，
AB=CD
AF=CE
∴Rt△AFB≌Rt△CED(HL)，∴BF＝DE.
在△BGF 和△DGE 中，
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
BF=DE
∴△BGF≌△DGE(AAS)，∴FG＝EG.
2.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，D 为BC 上一点，且DE⊥AB 于点E，DE＝CD，
AB＝8 cm，求△DEB 的周长
解∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠DEA=90°，
在Rt△ACD 和Rt△AED 中，CD=DE
AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
∵AC＝BC ，
∴AE＝BC ，
∴△BDE 的周长=BE+DE+BD=BE+CD+BD
=BE+BC=BE+AE=AB．
∵AB＝8 cm
∴△BDE 的周长是8 cm
3.如图，∠C=90°，AC=20，BC=10，AX⊥AC，点P 和点Q 同时从点A 出发，分别在线
段AC 和射线AX 上运动，且AB=PQ，当AP 为何值时，以点A，P，Q 为顶点的三角形
与△ABC 全等．
解：∵AX⊥AC,∴∠PAQ=90°,即∠C=∠PAQ=90°
分两种情况：
当AP=BC=10 时，在Rt△ABC 和Rt△QPA 中AB=QP
BC=AP
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∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；
当AP=CA=20 时，在Rt△ABC 和Rt△PQA 中AB=PQ
AC=AP
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)，
综上所述：当点P 运动到AP=10 或20 时，△ABC 与△APQ 全等
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课
堂
练
习
1．下列命题中，正确的有(
C
)
①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．如图，已知AB＝CD，AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F，AE＝CF，则图中的全等三角
形有_3 对______
3．如图，AD 是△ABC 的BC 边上的高，补充下列一个条件后，能判定△ADB≌△ADC 的
有__①②③④_________
①D 是BC 的中点；②AB＝AC；③AD 是∠BAC 的平分线；④∠B＝∠C.
4.如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC 与EF 交于点O.
(1)求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
(2)若∠A＝51°，求∠BOF 的度数．
证明（1）：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，AC=DF
AB=DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
5.如图，AB＝AC，直线l 过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M，N，且BM＝AN.
求证：
(1)△AMB≌△CNA；
(2)∠BAC＝90°.
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证明：(1)∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°.
在Rt△AMB 和Rt△CNA 中，AB=CA
BM=AN
∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL).
(2)由(1)得Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN.
∵∠CAN＋∠ACN＝90°，
∴∠CAN＋∠BAM＝90°.
∴∠BAC＝180°－90°＝90°.
板
书
设
计
14.2
三角形全等的判定（第五课时HL）
判定直角三角形全等的方法
例1
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.
几何语言
在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中，
AB=A'B'
BC=B'C'
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
课
堂
小
结
14.2
三角形全等的判定（第五课时HL）
作
业
1. 完成课后作业：“教材P43 练习1、2”
2. 配套同步分层作业
