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1 /
2.2 等腰三角形
题型一：利用三边关系求等腰三角形的周长
1．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为3cm,6cm ，则该三角形的周长为（ ）
A．12cm
B．15cm
C．12cm或15cm
D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查了定要三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义分两种情况，再根据
三角形三边关系确定可能的边长组合并计算周长即可．
【详解】解：等腰三角形两边长分别为3cm 和6cm，可能有两种情况：
情况一：腰长为3cm ，底边为6cm．
则三边为3cm 、3cm 、6cm．
此时3 3
6
+ =
，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故该情况不成立．
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2 /
情况二：腰长为6cm，底边为3cm．
则三边为6cm、6cm、3cm．
此时，3
6
6
+
，均满足三角形三边关系，故该情况成立．
则周长为6
6
3
15cm
+ +
=
．
故选：B
2．（24-25 八年级下·广西防城港·期中）已知实数x ，y 满足3
7
0
x
y
−
+
−
=
，则x ，y 的值为两边长的
等腰三角形的周长是（ ）
A．13 或17
B．13
C．17
D．以上均不对
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，由题意得
3
x = ，
7
y =
；分
类讨论若等腰三角形的三边长为：3，3，7，若等腰三角形的三边长为：3，7，7，利用三角形三边关系加
以验证即可．
【详解】解：由题意得
3
0
7
0
x
y
−
=
−
=
．
∴
3
x = ，
7
y =
；
若等腰三角形的三边长为：3，3，7，
∵3 3
7
+
，不能构成三角形，
∴此种情况不存在；
若等腰三角形的三边长为：3，7，7，
则等腰三角形的周长为：3 7
7
17
+ +
=
，
故选：C．
3．（24-25 七年级下·黑龙江大庆·期中）a 、b 、c 是等腰
ABC
的三边长，其中a 、b 满足
2
2
4
10
29
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，则
ABC
的周长为（ ）．
A．9
B．9 或12
C．12
D．14
【答案】C
【分析】本题考了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，运用完全平方公式的非负性求出即可.解题关键
在于熟练掌握各种知识点的综合运用.
将已知方程配方成两个完全平方的和，利用非负性求出a 和b 的值，再根据等腰三角形的性质及三角形三边
关系确定边长，计算周长.
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3 /
【详解】解：配方求值：
2
2
4
10
29
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
可变形为：(
) (
)
2
2
4
4
10
25
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
即(
)
(
)
2
2
2
5
0
a
b
−
+
−
=
；
根据非负性，得
2
0
a −
=
且
5
0
b −
=
，
解得
2
a =
，
5
b =
；
等腰三角形分类讨论：
情况一：若
2
a =
为腰，则另一腰为2，底边为5；此时 2
2
4
5
+
=
，不满足三角形三边关系，舍去；
情况二：若
5
b =
为腰，则另一腰为5，底边为2；此时 5
5
2
+
，满足三边关系；
计算周长：
三边为5 5 2
、、，周长为 5 5
2
12
+ +
=
，
综上，
ABC
的周长为12，
故选：C .
4．（24-25 七年级下·河北保定·期中）已知有理数a，b 满足
(
)
2
4
9
0
a
b
−
+
−
=
∣
∣
，则以a，b 的值为两边长的
等腰三角形周长是（ ）
A．17
B．22
C．17 或22
D．以上答案均不对
【答案】B
【分析】此题考查了绝对值和平方数的非负性，等腰三角形的概念和三角形的三边关系．首先根据绝对值
和平方数的非负性求出
4
a =
，
9
b =
，然后根据等腰三角形的概念和三角形的三边关系分情况讨论，进而求
解即可．
【详解】解：∵
(
)
2
4
9
0
a
b
−
+
−
=
∣
∣
，
∴
4
0
a −
= ，
9
0
b−
= ，
∴解得
4
a =
，
9
b =
．
当4 是等腰三角形的腰时，
三角形三边分别为，4，4，9，
∵4
4
9
+
，围不成三角形，不符合题意；
当9 是等腰三角形的腰时，
三角形三边分别为，4，9，9，
∵4 9
9
+
，能围成三角形，符合题意；
∴三角形的周长为4 9 9
22
+ +
=
．
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故选：B．
5．
（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足
(
)
2
2
1
2
13
0
x
y
x
y
−
+ +
+
−
=
，
则该等腰三角形的周长为（ ）
A．13
B．17
C．13 或17
D．11 或13
【答案】B
【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，解二元一次方程组，根据非负性列出方程组，求出,x y的值，
根据等腰三角形的定义结合构成三角形的条件，进行求解即可．
【详解】解：∵
(
)
2
2
1
2
13
0
x
y
x
y
−
+ +
+
−
=
，
∴
2
1
0
2
13
0
x
y
x
y
−
+ =
+
−
=
，解得：
3
7
x
y
=
=
，
当腰长为3 时，3 3
7
+
，无法构成三角形，
故腰长为7，等腰三角形的周长为7
7
3 17
+ + =
；
故选B．
6．（24-25 七年级下·山东威海·期中）若方程组
2
6
3
10
x
y
x
y
−
=
+
=
的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的
周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求
解方程组．
先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长．
【详解】解：方程组
2
6
3
10
x
y
x
y
−
=
+
=
，解得：
4
2
x
y
=
=
，
∵方程组
2
6
3
10
x
y
x
y
−
=
+
=
的解恰为等腰三角形的两边长，
∴当腰长为2 时，
三边长为2，2，4，2 2
4
+
=
，不能构成三角形；
当腰长为4 时，
三边长为4，4，2，4
2
6
4
+
=
，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为4
4
2
10
+ +
=
，
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5 /
故答案为：10．
7．（24-25 八年级下·河南平顶山·期中）一个等腰三角形的一个内角为40，则它的顶角的度数为 ；等
腰三角形的两边长为2cm 和5cm，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等”的逆定理是 ．
【答案】 40或100 12cm 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质的逆定理等知识
点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的
顶角度数即可；由等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可求出等腰三角形的周长；再根据线段垂直平
分线的性质的逆定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为40，
当等腰三角形的底角为40时，则顶角为180
2 40
100
−
=
；
当等腰三角形的顶角为40时，则顶角为40；
∴它的顶角度数为：40或100；
等腰三角形的两边长为2cm 和5cm，
当腰长为2cm ，则等腰三角形三边长为2cm,2cm,5cm ，
∵2
2
4
5
+
=
，不能构成三角形，故舍去；
当腰长为5cm，则等腰三角形三边长为2cm,5cm,5cm ，
∵2 5
7
5
+ =
，能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为2 5 5
12cm
+ + =
；
定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是“到一条线段两端距离相等的点在
这条线段的垂直平分线上”；
故答案为：40或100；12cm；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ．
8．（24-25 七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为a ，b ，其中a ，b 满足
2
7
6
9
0
b
a
a
−
+
−
+
=
，那么这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】17
【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出a ，b 的值是解
题的关键．
先根据非负数的性质求出a ，b 的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解
即可．
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【详解】解：
2
7
6
9
0
b
a
a
−
+
−
+
=
，
2
7
(
3)
0
b
a
−
+
−
=
，
7
0
b
−
=
，
3
0
a −=
，
7
b
=
，
3
a = ，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7 ，底边长为3时，
这个等腰三角形的周长
7
7
3 17
=
+ + =
；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为7 时，
3 3
6
7
+ =
，
不能组成三角形；
综上所述：这个等腰三角形的周长为17 ；
故答案为：17 ．
题型二：根据等腰三角形的特征进行判定
1．（24-25 九年级下·浙江宁波·自主招生）如果一个三角形的三边a
b
c
、、，满足
2
ab
bc
b
ac
+
=
+
，那么这个
三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，其关键在于对等式的变形，推导出a
b
c
、、的关
系．
将等式
2
ab
bc
b
ac
+
=
+
进行移项和因式分解，得出(
)(
)
0
b
c
a
b
−
−
=
，得到b
c
=
或a
b
=
，从而确定三角形的
形状．
【详解】解：
2
ab
bc
b
ac
+
=
+
，
2
0
ab
bc
b
ac
+
−
−
=
，
(
)
(
)
0
a b
c
b b
c
−
−
−
=
，
(
)(
)
0
b
c
a
b
−
−
=
0
b
c
−=
或
0
a
b
−
=
，
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7 /
b
c
=
或a
b
=
，
三角形是等腰三角形，
故选：B．
2．（24-25 八年级下·甘肃酒泉·期中）已知a，b，c 是
ABC
的三边，且
2
0
ab
ac bc
c
−
−
+
=
，则
ABC
一定
是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，
将等式
2
0
ab
ac bc
c
−
−
+
=
进行因式分解，分析得出三角形边的关系，从而判断形状．
【详解】解：∵
2
0
ab
ac bc
c
−
−
+
=
∴(
)
(
)
0
a b
c
c b
c
−
−
−
=
∴(
)(
)
0
a
c
b
c
−
−
=
∴
0
a
c
−=
或
0
b
c
−=
，即a
c
=
或b
c
=
．
由于a 、b 、c 是三角形的三边，至少有两边相等，故
ABC
一定是等腰三角形．
故选：A．
3．（24-25 八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，可以判定
ABC
是等腰三角形的是（ ）
A．
20
A
=
，
100
B
=
B．: :
1:1:2
a b c =
C．
:
:
1:1:2
A
B
C
=
D．
A
B
C
=
+
∠
∠
∠
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形
的定义是解题关键．根据三角形的内角和定理可得
C
的度数，由此即可判断A 错误；根据三角形的三边
关系即可判断B 错误；根据三角形的内角和定理可得
45
A
B
= =
，
90
C
=
，由此即可判断C 正确；
根据三角形的内角和定理可得
90
A
B
C
=
+
=
∠
∠
∠
，由此即可判断D 错误．
【详解】解：A、∵
20
A
=
，
100
B
=
，
∴
180
60
C
A
B
=
−−=
，
∴不可以判定
ABC
是等腰三角形，则此项不符合题意；
B、由题意，设
(
)
0
a
x x
=
，则
,
2
b
x c
x
=
=
，
∵
2
a
b
x
c
+
=
= ，
∴, ,
a b c 不能构成三角形，则此项不符合题意；
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8 /
C、∵
:
:
1:1:2
A
B
C
=
，
∴
1
180
45
1 1
2
A
B
=
=
=
+ +
，
2
180
90
1 1 2
C
=
=
+ +
，
∴可以判定
ABC
是等腰三角形，则此项符合题意；
D、∵
A
B
C
=
+
∠
∠
∠
，
180
A
B
C
++
=
，
∴
90
A
B
C
=
+
=
∠
∠
∠
，
∴可以判定
ABC
是直角三角形，不可以判定
ABC
是等腰三角形，则此项不符合题意；
故选：C．
4．（24-25 七年级上·山东威海·期末）以下条件，能画出唯一确定的三角形的是（ ）
A．
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: :
B．
:
:
3:4:3
AB BC AC =
C．
5
AB =
，
40
A
=
，
45
B
=
D．
45
B
=
，
5
AB =
，
6
AC =
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定定理等知识．根据相关知
识进行判断即可．
【详解】解：A、∵
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ，则
1
2
3
180
30 ,
180
60 ,
180
90 ,
6
6
6
A
B
A
=
=
=
=
=
=
∴
ABC
是直角三角形，但不能画出唯一确定的三角形，故选项不符合题意；
B、∵
:
:
3:4:3
AB BC AC =
，
∴可设
3 ,
4 ,
3
AB
x BC
x AC
x
=
=
=
，
∴
ABC
是等腰三角形，但不能画出唯一确定的三角形，故选项不符合题意；
C、根据
5
AB =
，
40
A
=
，
45
B
=
，已知两角和夹边，能画出唯一确定的三角形，符合题意；
D、根据
45
B
=
，
5
AB =
，
6
AC =
，已知两边和一边的对角，不能画出唯一确定的三角形，不符合题意；
故选：C．
5．（24-25 八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列条件能判定
ABC
为等腰三角形的是（ ）
A．
30 ,
60
A
B
=
=
B．
:
:
3:4:5
A
B
C
=
C．
5,
12,
13
AB
AC
BC
=
=
=
D．
50 ,
80
A
B
=
=
【答案】D
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟
练掌握三角形内角和定理以及等角对等边．
根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4 个选项逐一进行分析即可得到答案．
【详解】解：A、∵
30 ,
60
A
B
=
=
，
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9 /
∴
180
90
C
A
B
=
−−=
，
∴
ABC
不是等腰三角形，故本选项不符合题意；
B、∵
:
:
3:4:5
A
B
C
=
，
∴
A
B
C
，
∴
ABC
不是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、∵
5,
12,
13
AB
AC
BC
=
=
=
，
∴AB
AC
BC
，
∴
ABC
不是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D、∵
50 ,
80
A
B
=
=
，
∴
180
50
C
A
B
=
−−=
，
∴
A
C
=
，
∴AB
BC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形，故本选项符合题意；
故选：D
题型三：利用等腰三角形的定义求线段长度
1．（24-25 八年级下·广东揭阳·阶段练习）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（ ）
A．4
B．8
C．4 或8
D．8 或6
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两
种情况讨论：若腰长为4 时，若底边长为4 时，分别求出对应的底边长和腰长，再利用三角形的三边关系
检验即可．
【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，
分两种情况讨论：
若腰长为4 时，则底边长为16
4
4
8
−−
=
，
此时4
4
8
+
=
，不能构成三角形，不符合题意；
若底边长为4 时，则腰长为16
4
6
2
−
=
，
此时4
6
6
+
，能构成三角形，符合题意；
即它的底边为4，
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10 /
故选：A．
2．（24-25 八年级下·江西抚州·期中）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC 的长度随四边形形状的改
变而变化，当
ABC
为等腰三角形时，对角线AC 的长为（ ）
A．4
B．5
C．4 或6
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用三角形三边关系求得0
4
AC
，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在ACD
中，
3
AD
CD
=
=
，
3 3
3 3
AC
−
+ ，即0
6
AC
，
当
4
AC
AB
=
=
时，
ABC
为等腰三角形，ACD
可以构成三角形；
若
6
AC
BC
=
=
时，
ABC
为等腰三角形，ACD
不可以组成三角形，
故选：A．
3．（24-25 八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为12dm 的木条截成三段，围成一个等腰三角形
支架，若第一段木条的长为3dm ，则第二段木条的长是（ ）
A．3.5dm
B．6dm
C．5dm
D．4.5dm
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关
键．分两种情况：当边长为3dm 的边为底边时；当边长为3dm 的边为腰长时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：当边长为3dm 的边为底边时，两腰长
12
3
4.5dm
2
−
=
=
，
此时三角形另两边长分别为4.5dm，4.5dm，能组成三角形；
当边长为3dm 的边为腰长时，另一腰长3dm ，
则底边长12 3 3
6dm
=
-
-
=
3 3
6
+ =
，
不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形；
综上所述，三角形另边长分别为4.5dm，4.5dm．
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11 /
故选D．
4．（2025 九年级下·湖南邵阳·学业考试）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫
作“倍长三角形”．若等腰
ABC
是“倍长三角形”，腰AB 的长为6，则底边BC 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①底是腰的2 倍，②腰是
底的2 倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系
是解题关键．
【详解】解：当等腰三角形的底边长BC 是腰长AB 的2 倍时，
6
AB
AC
=
=
，
底边BC 的长为12．
6 6 12
+ =
长为6，6，12 的线段不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长AB 是底边长BC 的2 倍时，
6
AB
AC
=
=
，
底边BC 的长为3，满足三角形的三边关系．
综上所述，底边BC 的长为3，
故答案为3．
5．（24-25 八年级下·河南焦作·阶段练习）若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4 倍，我们
把这样的等腰三角形叫做“4 倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4 倍边等腰三角形”，且周长为18cm，
那么该等腰三角形的底边长为 cm.
【答案】2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键．
设该等腰三角形的较短边长为
(
)
cm
0
x
x
，则较长边长为4 cm
x
，分①cm
x
为腰；②4 cm
x
为腰两种情况讨
论即可．
【详解】解：设该等腰三角形的较短边长为
(
)
cm
0
x
x
，则较长边长为4 cm
x
.
①当cm
x
为腰时，
4
x
x
x
+
，
, ,4
x x
x
不能组成三角形；
②当4 cm
x
为腰时，4 ,4 ,
x
x x能够组成三角形，
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8
4
4
1
x
x
x
+
+
=
，
2
x
=
，
∴该等腰三角形底边长为2cm．
故答案为：2．
6．（24-25 七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AB 的中垂线DE 交AC 于点D，
交AB 于点E，连接BD，若
7
BC =
，BDC
的周长为18，则AB = ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了等腰三角形，线段垂直平分线，熟练掌握等腰三角形边的性质，线段垂直平分线
的性质是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到DB
DA
=
，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：
DE
是AB 的中垂线，
DB
DA
=
，
BDC
的周长为18，
18
BC
BD
CD
+
+
=
，即
18
BC
DA CD
BC
AC
+
+
=
+
=
，
7
BC =
，
18 7
11
AC
=
−
=
，
∵AB
AC
=
，
11
AB
AC
=
=
，
故答案为：11．
7．
（23-24 七年级下·湖北武汉·期末）用一条长为20cm 的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，
另外两边的长为 ．
【答案】7.5cm，7.5cm
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论
是解题的关键．
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13 /
分两种情况进行讨论：①若5cm的边为底边，②若5cm的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三
边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍．
【详解】解：①若5cm的边为底边，则腰长为：1 20
5
7 5cm
2(
)
.
−
=
，
5 7 5
7 5
.
.
+
，
∴此时能构成三角形，
∴另两边的长度分别是7.5cm，7.5cm；
②若5cm的边为腰，则另一腰也为5cm，则底边长为：20 5 5 10cm
−−=
，
5
5 10
+
=
，不满足三角形三边之间的关系，因此5cm的边不能为腰．
综上，另两边的长度分别是7.5cm，7.5cm．
故答案为：7.5cm，7.5cm．
8．（24-25 七年级下·全国·单元测试）已知
ABC
的三边长分别为
6
m+
，2
3
m
−
−，4，若
ABC
是等腰三角
形，则m 的值为 ．
【答案】3
−或2
−或
7
2
−
【分析】本题考查了三角形三边关系和等腰三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
分三种情况分别讨论即可求得三边的长，进而根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】当
6
2
3
m
m
+
= −
−，
解得
3
m = −，
此时
ABC
的三边长分别为3，3，4，符合三角形的三边关系；
当
6
4
m+
=
时，
解得
2
m = −，
此时
ABC
的三边长分别为4，1，4，符合三角形的三边关系；
当2
3
4
m
−
−=
时，
解得
7
2
m = −
，
此时
ABC
的三边长分别为5
2 ，4，4，符合三角形的三边关系．
综上所述，m 的值为3
−或2
−或
7
2
−
．
题型四：利用等腰三角形的特征求相关角度
1．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）如图，一个挂钟的钟摆由最左侧点A 摆至最右侧点A时，钟摆旋转的
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角度为80，则
OAA
的度数为（ ）
A．40
B．50
C．55
D．65
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等边对等角，根
据题意得出OA
OA
=
，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：OA
OA
=
，
∵钟摆旋转的角度为80，
∴
(
)
1 180
80
50
2
OAA
OA A
=
=
−
=
∠
．
故选：B．
2．（24-25 八年级下·云南昭通·期中）已知三角形的边长分别为
3 ，3 ，6 ，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了，等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理判定即可，掌握勾股定
理逆定理是解题的关键．
根据三角形三边关系及勾股定理判断三角形形状．
【详解】∵三边中有两边为
3 ，
∴该三角形为等腰三角形，
∵(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
3
3
3
6
6
+
=
+
=
=
，
∴该三角形为直角三角形，
∴这个三角形一定是等腰直角三角形．
故选：C．
3．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）如果
ABC
是等腰三角形，
50
A
=
，那么
C
的度数不可能
．．．是（ ）
A．50
B．65
C．75
D．80
【答案】C
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【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论
A
为顶角或底
角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况．
【详解】解：当
A
为顶角时：
B
和
C
相等，由内角和定理得：
180
50
65
2
B
C
−
=
=
=
；
当
A
为底角时：另一底角也为50，
当
C
为顶角：
180
50
50
80
C
=
−
−
=
；
当
C
也为底角：
50
C
=
；
综上，
C
的度数不可能是75，
故选：C．
4．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）若一个等腰三角形的顶角比底角的2 倍还多36，则这个等腰三角
形顶角的度数为 ．
【答案】108/108 度
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理；
设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为2
36
x +
，然后根据三角形内角和定理列方程求出底角
的度数，进而可得顶角的度数．
【详解】解：设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为2
36
x +
，
由题意得：
2
36
180
x
x
x
+ +
+
=
，
解得：
36
x =
，
∴这个等腰三角形顶角的度数为2
36
108
x +
=
，
故答案为：108．
5．（24-25 八年级上·青海西宁·期中）若等腰三角形的一个角等于110，则它的另外两个角的度数为 ．
【答案】35，35
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答的关
键．先判断出已知角为等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于110，
∴110是等腰三角形的顶角，
∴另外两个角相等，且度数为
(
)
180
110
35
1
2
−
=
，
故答案为：35，35．
6．（2025·江苏南京·二模）若等腰三角形的一个外角为80，则它的底角为 °．
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【答案】40
【分析】利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等
于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果．
本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系，熟练掌握等腰三角形的性质与三角形内角
与外角的关系是解决问题的关键．
【详解】解：等腰三角形的一个外角为80，
故其相邻的内角为180
80
100
−
=
，
故其只能做顶角，
故等腰三角形的底角为180
100
40
2
−
=
，
故答案为：40．
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的顶角是底角的2 倍，则这个等腰三角形的底角度数
是 ．
【答案】45 度/45
【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解
决此题的关键．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，找出题中等量关系计算即可．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角是底角的2 倍，
∴等腰三角形的底角为
(
)
180
2
1 1
45
+ +
=
，
故答案为：45．
题型五：利用等腰三角形的定义判断个数
1．（24-25 七年级下·上海·期末）如图，已知：在
ABC
中，
=60
B
，
80
C
=
，在直线BA上找一点D，
使ACD
或
BCD
△
为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当BC
BD
=
时，可证明此
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时
BCD
△
是等边三角形，当
1
BC
BD
=
时，
1
BCD
是等腰三角形；再讨论讨论ACD
为等腰三角形时，符合
题意的点D 个数即可得到答案．
【详解】解：如图：当BC
BD
=
时，
BCD
△
是等腰三角形；
∵
60
CBA
=
，
∴
BCD
△
是等边三角形，
∴BC
BD
CD
=
=
；
当
1
BC
BD
=
时，
1
BCD
是等腰三角形；
当
2
3
AC
AD
AD
=
=
，
4
CA
CD
=
，当
5
5
CD
D A
=
时，
2
3
4
5
ACD
ACD
ACD
ACD
，
，
，
都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D 的个数有6 个．
故选：B．
2．（2025 九年级下·浙江·专题练习）如图，已知
ABC
中，
3
AB = ，
5
AC =
，
7
BC =
，在
ABC
所在平面
内一条直线，将
ABC
分割成两个三角形，使其中有一个边长为3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画
（ ）
A．5 条
B．4 条
C．3 条
D．2 条
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用AB 为底以及AB 为腰得出符
合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当
3
AB
AF
=
=
，
3
BA
BD
=
= ，
3
AB
AE
=
= ，BG
AG
=
时，都能得到符合题意的
等腰三角形．
∴这样的直线最多可画4 条．
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故选：B．
3．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，点(
)
2,0
A −
，
(
)
0,2
B
，在坐标轴上取一点C ，
使
ABC
为等腰三角形，符合条件的点C 有（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，分三种情况讨论，利用作圆和垂直平分
线得到点是解答此题的关键．由A、B 坐标可得
2
2
2
2
2 2
AB =
+
=
，然后按A、B、C 分别为顶点，即当
2 2
AC
AB
=
=
，
2 2
BC
BA
=
=
，CA
CB
=
，画出图形，即可找到点C．
【详解】解：如图，
∵
(
)
2,0
A −
，
(
)
0,2
B
，
∴
2
2
2
2
2 2
AB =
+
=
，
①当A 为顶点时，即
2 2
AC
AB
=
=
，以A 为圆心，以2 2 为半径作圆交两坐标轴于点
3
C ，
4
C ，
5
C ，共3
个点；
②当B 为顶点时，即
2 2
BC
BA
=
=
，以B 为圆心，以2 2 为半径作圆交两坐标轴于点
1
C ，
2
C ，
6
C ，共 3
个点；
③当C 为顶点时，即CA
CB
=
，作线段AB 的垂直平分线，正好过原点，只有1 个点，
∴符合条件的点C 有7 个．
故选：C．
4．（24-25 七年级下·上海·期末）在
ABC
中，
(1)若
20
A
B
−=
，
2
C
B
= ，求
A
的度数；
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(2)若
ABC
是等腰三角形，
30
B
=
，求
A
的度数．
【答案】(1)
60
A
=
(2)30或75或120
【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键．
（1）根据三角形的内角和定理先求出
B
，然后计算
A
的度数即可
（2）分①
B
A
=，②
A
C
=
，③
B
C
=
，三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定
理即可得．
【详解】（1）解：∵
20
A
B
−=
，
∴
20
A
B
= +
，
又∵
180
A
B
C
+
+
=
，
∴
20
2
180
B
B
B
+
++ =
，
解得
40
B
=
，
∴
60
A
=
；
（2）解：当
B
A
=时，则
30
A
=
，
当
A
C
=
时，
180
180
30
75
2
2
B
A
−
−
=
=
=
；
当
B
C
=
时，
180
180
30
30
120
A
B
C
=
−−
=
−
−
=
，
综上所述，
A
的度数为30或75或120．
题型六：等腰三角形中尺规作图
1．（24-25 九年级下·山东潍坊·期中）四边形ABCD是平行四边形，下列尺规作图不能使ABE
一定是等腰
三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线，角平分线的意义，
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垂直平分线的性质，解题关键是根据各个图形，结合相关性质求解．根据平行四边形的性质，尺规作线段
的垂直平分线，尺规作角平分线，角平分线的意义，垂直平分线的性质，对四个图形逐一分析，作出判断
即可．
【详解】解：A、∵AB
AE
=
，
∴ABE
一定是等腰三角形，故A 不符合；
B、∵点E 在AB 的垂直平分线上，
∴AE
BE
=
，
∴ABE
一定是等腰三角形，故B 不符合；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
DAE
AEB
=
，
∵AE 平分
BAD
，
∴
DAE
BAE
=
，
BAE
AEB
=
，
BA
EB
=
∴
，
∴ABE
一定是等腰三角形，故C 不符合；
D、只能得出AE
DE
=
，不能得出ABE
中有两边相等，
∴ABE
不一定是等腰三角形，故D 符合，
故选：D．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1 的方格纸中有线段AB 和CD，点A、B、
C、D 均在小正方形顶点上．
(1)在方格纸中画出以CD为底的等腰CDF
，且点F 在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出面积为7.5 的等腰ABE
，且点E 在小正方形的顶点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
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（1）由勾股定理得
2
2
1
2
5
CF
DE
=
=
+
=
，故DCF
即为所求；
（2）由勾股定理得
5
AE
BE
=
=
，且BE 上的高为3，故ABE
即为所求．
【详解】（1）解：如图，DCF
即为所求：
（2）解：如上图，ABE
即为所求．
3．
（24-25 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC
的三个顶点分别是
(
)
1,3
A
，(
)
4,4
B
，
(
)
2,1
C
．
(1)把
ABC
向左平移4 个单位后得到对应的
1
1
1
A BC
△
，请画出平移后的
1
1
1
A BC
△
；
(2)画出
ABC
关于原点O对称的
2
2
2
A B C
△
；
(3)观察图形可知，
1
1
1
A BC
△
与
2
2
2
A B C
△
关于点______中心对称．（写出坐标）
(4)点P 在y 轴上且
1
1
BC P
△
为等腰三角形，这样的P 点有 个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(
)
2,0
−
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(4)4
【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，写出点的坐标，等腰三角形的定义．
（1）找到、、
A
B
C 向左平移4 个单位后得到对应点
1
1
1
A
B
C
、、
，顺次连接即可；
（2）找到、、
A
B
C 关于原点O对称的
2
2
2
A
B
C
、、
，顺次连接即可；
（3）根据中心对称的性质，结合图形得出对称中心，根据坐标系写出坐标，即可求解；
（4）根据两圆一线的方法，找出等腰三角形的顶点，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
△
即为所求；
（2）解：如图，
2
2
2
A B C
△
即为所求；
（3）解：观察图形可知，
1
1
1
A BC
△
与
2
2
2
A B C
△
关于点( 2,0)
−
中心对称．
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故答案为：( 2,0)
−
；
（4）解：依题意，P 在y 轴上且
1
1
BC P
△
为等腰三角形，
当
1
1
1
PB
BC
=
时，P 点有2 个，当
1
1
1
C P
BC
=
时，P 点有1 个，当
1
1
1
1
PC
PB
=
时，P 有1 个，共4 个，
故答案为：4 ．
4．（24-25 八年级上·广东汕头·期中）在直角坐标系中，
ABC
的三个顶点的位置如图所示．
(1)请画出
ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A BC
△
（其中
1
1
1
,
,
A B C 分别是A，B，C 的对应点，不写画法）；
(2)直接写出坐标：
1A _______________，
1
B _________________，
1
C _________________．
(3)点Q 在坐标轴上，且满足ABQ
是等腰三角形，请写出符合条件的一个Q 点的坐标______________
【答案】(1)图见解析
(2)(
)
4,1 ，(
)
2,3 ，(
)
1, 2
−−
(3)(
)
0,1 （答案不唯一）
【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与图形、等腰三角形，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键．
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24 /
（1）先根据轴对称的性质画出点
1
1
1
,
,
A B C ，再顺次连接即可得；
（2）根据在平面直角坐标系中，点
1
1
1
,
,
A B C 所在的位置写出它们的坐标即可得；
（3）根据等腰三角形的定义，在y 轴上找一点Q ，使得AB
BQ
=
即可得．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
△
即为所求．
（2）解：由图可知，
(
)
1 4,1
A
，
(
)
1 2,3
B
，
(
)
1
1, 2
C
−
−
，
故答案为：(
)
4,1 ，(
)
2,3 ，(
)
1, 2
−−
．
（3）解：如图，当点Q 在y 轴上，且AB
BQ
=
，则ABQ
是等腰三角形，
由图可知，此时点Q 的坐标为(
)
0,1 ，
故答案为：(
)
0,1 ．
5．（24-25 八年级上·贵州贵阳·期末）
ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长
为1．
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(1)画出
ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A BC
△
（其中
1
1
1
,
,
A B C 分别为A、B、C 的对应点）；
(2)点D是x 轴上的一动点，连接AD，使得ACD
是以AC 为腰的等腰三角形，请直接写出点D 的坐标．
【答案】(1)建详解；
(2)作图见详解，
(
)
1 0,0
D
，
(
)
2
2
10,0
D
−−
，
(
)
3
2
10,0
D −+
【分析】此题考查了作轴对称图形，确定直角坐标系中点的坐标，等腰三角形的定义，正确掌握轴对称的
性质作出图形是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质描出点
1
1
1
A
B
C
、、
，顺次连线即可得到
1
1
1
A BC
；
（2）根据等腰三角形的定义分类得到点D 的坐标
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
∵
2
2
1
3
10
AC =
+
=
，
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∴
1
AC
AD
=
时，
(
)
1 0,0
D
，
当
2
AC
CD
=
时，
(
)
2
2
10,0
D
−−
，
当
3
AC
CD
=
时，
(
)
3
2
10,0
D −+
，
6．（24-25 八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，
ABC
的顶点坐标分别为(
)
3,5
A −
，
(
)
4, 1
B −
−
，
(
)
1,1
C −
(1)请画出
ABC
关于y 轴的对称图形
1
1
1
A BC
△
，并写出点
1A 的坐标；
(2)在y 轴上找一点M，使得
MAC
△
是以AC 为底边的等腰三角形，则点M 的坐标是______．
【答案】(1)图见解析，(
)
3,5
(2)(
)
0,4
【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握轴对
称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C 的对应点
1A ，
1
B ，
1
C 即可；
（2）线段AC 的垂直平分线与y 的交点即为点
.
M
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A BC
△
即为所求，点
1A 的坐标(
)
3,5 ；
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（2）解：如图，点M 即为所求，
(
)
0,4
M
．
故答案为：(
)
0,4 ．
7．（24-25 八年级上·山东济南·期末）如图，网格中小正方形的边长为1，点A、B、C 都在格点上．
(1)画出
ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A BC
△
（其中
1A 、
1
B 、
1
C 分别为A、B、C 的对应点）；
(2)
ABC
的面积为______；
(3)点F 是x 轴上的一点，且
ABF
△
是以AB 为腰的等腰三角形，直接写出所有满足条件的点F 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)5.5
(3)(
)
1,0
−
或(
)
5,0
−
【分析】本题考查了作轴对称图形，等腰三角形的定义，求三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
（1）分别画出关于x 轴对称的
1
1
1
,
,
A B C ，再依次连接，得出
1
1
1
A BC
△
，即可作答；
（2）运用割补法列式计算
ABC
的面积；
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（3）根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可．
【详解】（1）解：
1
1
1
A BC
△
如图所示：
（2）解：
ABC
的面积
1
1
1
4 5
2 1
3 4
3 5
5.5
2
2
2
= −
−
−
=
；
（3）解：根据题意得，
∵点F 是x 轴上的一点，
ABF
△
是以AB 为腰的等腰三角形，
∴由网格得，点F 的坐标为(
)
1,0
−
或(
)
5,0
−
．
8．（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在
ABC
中，
B
C
=
，点D 在边BC 上，请用尺规作图法在边AC
上求作一点E ，连接DE ，使得DE
CE
=
．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，在BC 的上方作
CDE
B
= ，交AC 于点E，则点
E 即为所求．
【详解】解：如图，在BC 的上方作
CDE
B
= ，交AC 于点E，
∵
B
C
=
，
∴
CDE
C
=
，
∴DE
CE
=
，
则点E 即为所求．
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题型七：利用等腰三角形的定义进行证明
1．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在
ABC
中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰直角三角形
ABD和等腰直角三角形ACE ，
90
BAD
CAE
=
=
，连接BE ，CD，猜想BE 与CD的关系，并证明.
【答案】
,
BE
CD BE
CD
=
⊥
，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，
先根据等腰直角三角形的性质得
,
,
90
AB
AD AC
AE
BAD
CAE
=
=
=
=
，可证明CAD
EAB
≌
，可得
,
BE
CD
ACD
AEB
=
=
，再根据直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：
,
BE
CD BE
CD
=
⊥
．
证明：如图所示，
∵
ABD
△
，
ACE
△
是等腰直角三角形，
∴
,
,
90
AB
AD AC
AE
BAD
CAE
=
=
=
=
，
∴
BAD
CAB
CAE
BAC
+
=
+
，
即
CAD
BAE
=
，
∴CAD
EAB
≌
，
∴
,
BE
CD
ACD
AEB
=
=
．
∵
90
AEB
AFE
+
=
，
∴
90
ACD
BFC
+
=
，
∴
90
CGE
=
，
即BE
CD
⊥
．
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2．
（2025·江苏盐城·一模）如图，ABC
是等腰直角三角形，
90
ACB
=
， D 为 AB 边上一点，BD
AE
=
，
B
EAC
=
．证明：CD
CE
=
；
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．根据SAS可证明BCD
ACE
≌
，根据
全等三角形的性质即可得结论．
【详解】证明：∵
ABC
是等腰直角三角形，
90
ACB
=
，
∴BC
AC
=
，
在
BCD
△
和
ACE
△
中，
BC
AC
B
EAC
BD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BCD
ACE
≌
△
△
，
∴CD
CE
=
．
3．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图ABC
是等腰直角三角形，AB
BC
=
，O 是ABC
内部的一个动
点，OBD
是等腰直角三角形，OB
BD
=
．
(1)求证：
=
AO
CD ；
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(2)若COD
是等腰三角形，
140
AOC
=
，求
AOB
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)110或95或125
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和
性质解答．
（1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）设
AOB
的度数为x，分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）∵ABC
和OBD
是等腰直角三角形，
∴
,
,
90
AB
BC OB
BD
ABC
OBD
=
=
=
=
，
∵
ABO
OBC
CBD
OBC
+
=
+
，
∴
ABO
CBD
=
，
在ABO
和CBD
中
AB
BC
ABO
CBD
OB
BD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABO
CBD
≌
，
∴AO
CD
=
；
（2）解：∵OBD
是等腰直角三角形，
∴
45
BOD
BDO
=
=
，
设
AOB
的度数为x，则
,
45
CDB
x
CDO
x
=
=
−
，
∵
360
360
140
45
175
COD
AOC
AOB
BOD
x
x
=
−
−
−
=
−
−−
=
−
，
∴
180
50
OCD
CDO
COD
=
−
−
=
，
∵COD
是等腰三角形，
①当
CDO
COD
=
时，
45
175
x
x
−
=
−，解得：
110
x =
，
②当
CDO
OCD
=
时，
45
50
x−
=
，解得：
95
x =
，
③当
COD
OCD
=
时，175
50
x
−
=
，解得：
125
x =
，
故
AOB
的度数为110或95或125．
4．（24-25 八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在
ABC
中，AD
BC
∥
，AD平分外角
EAC
．求证：
ABC
是等腰三角形．
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【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的定义是解题
关键．根据平行线的性质和角平分线的定义，得出
B
C
=
，即可证明结论．
【详解】证明：
AD
BC
∥
，
C
CAD
=
，
B
EAD
=
，
AD
平分外角
EAC
，
CAD
EAD
=
，
B
C
=
，
AB
AC
=
，
ABC
是等腰三角形．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，
ABC
和DBE
均为等腰直角三角形，其中
90
ABC
DBE
=
=
．试说明：
=
AD
CE ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定定理
是解决问题的关键．
根据等腰直角三角形的性质得
90
ABC
DBE
=
=
，AB
CB
=
，BD
BE
=
，利用SAS证得ABD
CBE
≌
即
可得出结论．
【详解】证明：因为
ABC
和DBE
均为等腰直角三角形，
所以
90
ABC
DBE
=
=
，AB
CB
=
，BD
BE
=
，
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所以
ABC
DBC
DBE
DBC
−
=
−
，
即
ABD
CBE
=
．
在
ABD
△
和
CBE
△
中，
AB
CB
ABD
CBE
BD
BE
=
=
=
，
所以
(
)
SAS
ABD
CBE
≌
，
所以
=
AD
CE ．
6．（2025·陕西西安·一模）如图，
ABC
与
ADE
均为等腰直角三角形，
90
BAC
EAD
=
=
．求证：
BAE
CAD
≌
△
△
．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题的关键；
根据等腰直角三角形的性质得AB
AC
=
，AE
AD
=
，再证证
BAE
CAD
=
，根据SAS，即得结论．
【详解】证明：∵
ABC
与
ADE
均为等腰直角三角形，
∴AB
AC
=
，AE
AD
=
，
∴
BAC
CAE
EAD
CAE
+
=
+
．
即
BAE
CAD
=
．
在BAE
与CAE
中，
AB
AC
BAE
CAD
AE
AD
=
=
=
∴
BAE
CAD
≌
△
△
．
7．（24-25 八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在
ABC
中，D 是AB 的中点，OD
AB
⊥
于点D，点O 在AC
的垂直平分线上．
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(1)求证：BOC
是等腰三角形．
(2)若
70
BAC
=
，求
BCO
的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【分析】（1）由“ D 是AB 的中点，OD
AB
⊥
于点D”可知，OD 垂直平分AB ，由线段垂直平分线的性质可
得OA
OB
=
，OA
OC
=
，进而可得OB
OC
=
，然后由等腰三角形的定义即可得出结论；
（2）由（1）可得OA
OB
=
，OA
OC
=
，由等边对等角可得
OAB
OBA
=
，
OAC
OCA
=
，OB
OC
=
，
进而可得
70
A
BAC
OAB
OAC
OBA
OC
+
=
+
=
=
，由等边对等角可得
OBC
OCB
=
，由三角形的
内角和定理可得
(
)
180
40
OBA
OAB
OAC
OC
O
A
OBC
CB
+
+
=
−
+
=
+
，即2
40
OCB
=
，由此即
可求出
BCO
的度数．
【详解】（1）证明：
D
是AB 的中点，OD
AB
⊥
于点D，
OD
垂直平分AB ，
OA
OB
=
，
点O 在AC 的垂直平分线上，
OA
OC
=
，
OB
OC
=
，
BOC
是等腰三角形；
（2）解：由（1）可得：OA
OB
=
，OA
OC
=
，
OAB
OBA
=
，
OAC
OCA
=
，OB
OC
=
，
70
OAB
OAC
OBA
BAC
OCA
+
=
=
+
=
，
OBC
OCB
=
，
(
)
180
OBA
OAB
OAC
OCA
OBC
OCB
+
+
−
+
=
+
(
)
180
OAB
OAC
OBA
OCA
=
+
+
−
+
(
)
180
70
70
=
+
−
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40
=
，
2
40
OCB
=
，
20
OCB
=
，
即：
20
BCO
=
．
8．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图①，已知在
ABC
中，AB
AC
=
，D 是BC 边上任意一点，过点
D 分别向AB
AC
，
作垂线，垂足分别为E，F．
(1)当点D 在BC 的什么位置时，DE
DF
=
？请说明理由；
(2)如图②，过点C 作AB 边上的高CG ，试猜想DE
DF
CG
，
，
之间存在怎样的数量关系，请说明理由．
【答案】(1)当点D 在BC 的中点时，DE
DF
=
，理由见解析
(2)CG
DE
DF
=
+
，理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识点，灵活
运用这些性质是解题的关键．
（1）当点D 在BC 的中点时，DE
DF
=
，根据AAS证BED
CFD
≌
，再根据全等三角形的性质即可解答；
（2）如图，连接AD，根据
ABC
ADB
ADC
S
S
S
=
+
△
△
△
进行分析证明即可解答．
【详解】（1）解：当点D 在BC 的中点时，DE
DF
=
．理由如下：
∵点D 为BC 的中点，
∴BD
CD
=
．
∵AB
AC
=
，
∴
B
C
=
．
∵
,
DE
AB DF
AC
⊥
⊥
，
∴
90
DEB
DFC
=
=
．
在BED
和
CFD
△
中，
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B
C
DEB
DFC
BD
CD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BED
CFD
≌
，
∴DE
DF
=
．
（2）解：CG
DE
DF
=
+
．理由如下：
如图，连接AD．
∵
ABC
ADB
ADC
S
S
S
=
+
△
△
△
∴1
1
1
2
2
2
AB
CG
AB
DE
AC
DF
=
+
．
∵AB
AC
=
，
∴CG
DE
DF
=
+
．
题型一：等腰三角形中需要分情况讨论问题
1．（24-25 七年级下·辽宁本溪·期中）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为40，则该等腰三角
形的顶角的度数为 ．
【答案】140或40
【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】解：①如图1，当
BAC
是钝角时，
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由题意：
90
40
AB
AC
AEH
ADH
EHD
=
=
=
=
，
，
，
∴
360
90
90
40
140
BAC
EAD
=
=
−
−
−
=
，
②如图2，当
A
是锐角时，
由题意：
90
40
AB
AC
CDA
BEA
CHE
=
=
=
=
，
，
，
∴
140
DHE
=
，
∴
360
90
90
140
40
A
=
−
−
−
=
，
综上，该等腰三角形的底角的度数为140或40，
故答案为：140或40．
2．
（24-25 七年级下·上海松江·期末）已知
ABC
中，AB
AC
=
，BD是AC 边上的高，
50
ABD
=
，那么
A
的度数是 ．
【答案】40或140
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当
ABC
为锐角三
角形时，当
ABC
钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图①，当
ABC
为锐角三角形时，
90
40
A
ABD
=
−
=
；
如图②，当
ABC
钝角三角形时，
90
40
BAD
ABD
=
−
=
，
所以
140
BAC
=
．
综上，
A
的度数为40或140．
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故答案为：40或140．
3．（23-24 七年级下·甘肃兰州·期末）若一个等腰三角形有一个内角为82，则它的底角为 ．
【答案】82或49
【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．分82
是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：①82是等腰三角形的底角；
②当82是等腰三角形的顶角时，
它的底角的度数为：
(
)
1
180
82
49
2
−
=
，符合要求；
故答案为：82或49．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）在
ABC
中，AB
AC
=
，过点A 的一条直线将该三角形分成的两个小
三角形均为等腰三角形，则
B
的度数为 ．
【答案】36或45
【分析】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．解题的
关键是熟练掌握等腰三角形的性质．分两种情况：一种情况是把
ABC
分成两个等腰三角形，且AD
BD
=
、
AD
CD
=
；另一种情况是把
ABC
分成两个等腰三角形，且AD
BD
=
、AC
CD
=
，分别画出图形，求出结
果即可．
【详解】解：如下图所示，当过
ABC
的顶点A 把
ABC
分成两个等腰三角形，且AD
BD
=
、AD
CD
=
时，
设
B
x
=
，则
C
x
=
，
B
C
BAD
CAD
x
=
=
=
=
，
三角形内角和为180，
180
B
BAD
CAD
C
+
+
+
=
，
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4
180
x
=
，
解得：
45
x =
，
45
B
=
；
如下图所示，当过
ABC
的顶点A 把
ABC
分成两个等腰三角形，且AD
BD
=
、AC
CD
=
时，
设
B
C
x
=
=
，
则
BAD
B
x
= =
，
(
)
1 180
2
CAD
x
=
−
，
三角形内角和为180，
180
B
BAD
CAD
C
+
+
+
=
，
(
)
1
3
180
180
2
x
x
+
−
=
，
解得：
36
x =
，
36
B
=
∴
；
综上所述，
B
的度数可以是36或45．
故答案为： 36或45．
5．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）已知等腰
ABC
的一个内角是40，则它的底角度数为 ．
【答案】40或70
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是40，底角是40即可得
解．
【详解】解：当等腰
ABC
的顶角是40，则它的底角的度数为：(
)
180
40
2
70
−
=
，
当等腰
ABC
的底角为40，则它的底角度数为40，
综上所述：它的底角的度数为40或70，
故答案为：40或70．
6．
（24-25 八年级上·河北沧州·期末）在等腰
ABC
中，其中一角为50，则其它两角的度数分别为 ．
【答案】65，65或50，80
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做
题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．已知给出了一个内角是50，没有明
确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
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40 /
【详解】解：①当50角是顶角时，底角的度数为：(180
50 )
2
65
−
=
，故其它两角的度数分别是：65，
65；
②当50角是底角时，顶角的度数为：180
2 50
80
−
=
，故其它两角的度数分别是：50，80；
故答案为：65，65或50，80．
7．
（24-25八年级上·广东广州·期末）已知AD是
ABC
的高，AC
BC
=
，
50
CAD
=
，则
B
的度数为 ．
【答案】20或70
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的
关键．当高AD在等腰三角形外部时；当高AD在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：当高AD在等腰三角形外部时，如图：
AD
BC
⊥
，
90
ADB
=
，
50
CAD
=
，
90
40
ACD
DAC
=
−
=
，
ACD
是
ABC
是的外角，
40
ACD
CAB
B
=
+=
，
CA
CB
=
，
20
CAB
B
= =
；
当高AD在等腰三角形内部时，如图：
AD
BC
⊥
，
90
ADC
=
，
50
CAD
=
，
90
40
ACD
CAD
=
−
=
，
CA
CB
=
，
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180
70
2
C
CAB
B
−
=
=
=
，
综上所述：
B
的度数为20或70，
故答案为：20或70
8．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知
ABC
中，
,
40
AB
AC
BAC
=
=
，D 为直线BC 上异于B，C 的
一点．若
ABD
△
是等腰三角形，则
D
的度数为 ．
【答案】35或40或55
【分析】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内角和定理，解题关键是数形结合，注意进行分类
讨论．在
ABC
中，根据AB
AC
=
，
40
BAC
=
，得到
(180
40 )
2
70
B
C
=
=
−
=
，再根据
ABD
△
是
等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵在
ABC
中，AB
AC
=
，
40
BAC
=
，
∴
(180
40 )
2
70
ABC
ACB
=
=
−
=
，
∵点D 为直线BC 上异于点
,
B C 的一点，
∴当
ABD
△
是等腰三角形时，只能AB
BD
=
或AD
BD
=
，
①当BD
AD
=
时，如图所示：
∴
70
BAD
ABC
=
=
；
∴
180
2 70
40
ADB
=
−
=
，
②当AB
BD
=
时，点D 在点B 的左侧时，如图所示：
∴
BAD
BDA
=
，
∵
70
BAD
BDA
ABC
+
=
=
，
∴
1
70
35
2
BAD
BDA
=
=
=
；
当AB
BD
=
时，点D 在点B 的右侧时，如图所示：
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∵
70
ABC
=
，
∴
(
)
1
180
70
55
2
BAD
BDA
=
=
−
=
；
综上所述
ADB
的度数为40或35或55．
故答案为：40或35或55．
9．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）在
ABC
中，AB
AC
=
，AC 的垂直平分线与AB 的所在的直线相交所
成的锐角是46，则
B
= ．
【答案】68或22
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，并作分类讨论是解题
的关键．①当
ABC
为锐角三角形时，设AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，交AC 于点E ，在Rt ADE
中可求得
A
，再由三角形内角和定理可求得
B
；②当
ABC
为钝角三角形时，设AC 的垂直平分线交AC
于点E ，交直线AB 于点D ，在Rt ADE
中可求得
DAE
，从而得到
BAC
，再由三角形内角和定理可求
得
B
．
【详解】解：①当
ABC
为锐角三角形时，
如图，设AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，交AC 于点E ，
46
ADE
=
，DE
AC
⊥
，
90
46
44
A
=
−
=
，
AB
AC
=
，
(
)
(
)
1
1
180
180
44
68
2
2
B
C
A
=
=
−
=
−
=
；
②当
ABC
为钝角三角形时，
如图，设AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交直线AB 于点D ，
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46
ADE
=
，DE
AC
⊥
，
90
46
44
DAE
=
−
=
，
180
180
44
136
BAC
DAE
=
−
=
−
=
，
AB
AC
=
，
(
)
(
)
1
1
180
180
136
22
2
2
B
C
BAC
=
=
−
=
−
=
；
综上，
B
的度数为68或22．
故答案为：68或22．
10．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2 倍少20 度，等腰三角形底角的度
数是 ．
【答案】68或50或20
【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是
这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是x ，表示出这个角是2
20
x −
，然后分①x 是
顶角，2
20
x −
是底角，②x 是底角，2
20
x −
是顶角，③x 与2
20
x −
都是底角根据三角形的内角和等于180
与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．
【详解】解：设另一个角是x ，表示出这个角是2
20
x −
，
①x 是顶角，2
20
x −
是底角时，
(
)
2 2
20
180
x
x
+
−
=
，
解得
44
x =
，
所以，底角为2 44
20
68
−
=
；
②x 是底角，2
20
x −
是顶角时，
(
)
2
2
20
180
x
x
+
−
＝
，
解得
50
x =
，
所以，底角是50；
③x 与2
20
x −
都是底角时，
2
20
x
x
=
−
，
解得
20
x =
，
所以，底角是20；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是68或50或20．
故答案为：68或50或20．
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44 /
题型二：等腰三角形被中线分成两个三角形题型
1．（24-25 七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两
部分，其差为4cm ，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．1cm
B．5cm
C．9cm
D．5cm或9cm
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程(
) (
)
2
5
4
x
x
x
+
−
+
=
或(
) (
)
5
2
4
x
x
x
+
−
+
=
，
求出x 后根据三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：如图，
设腰长为2x ，一腰的中线为y ，
则(
) (
)
2
5
4
x
x
x
+
−
+
=
或(
) (
)
5
2
4
x
x
x
+
−
+
=
，
解得：
4.5
0.5
x
x
=
=
，
，
∴2
9
x =
或1，
①
ABC
三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理；
②
ABC
三边是1、1、9，1 1
9
+ ，不符合三角形三边关系定理；
所以，该等腰三角形的腰长为9cm，
故选：C．
2．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6 和12
两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解、三角形的三边关系和等腰三角形的定义，正确分类、熟练掌
握相关基础知识是关键．
设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6 与当腰和腰的一半的和为12
时，分别列出方程组结合三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：
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当腰和腰的一半的和为6 时，则
1
6
2
1
12
2
x
x
x
y
+
=
+
=
，
解得
4,
10
x
y
=
=
，
此时三角形的三边为4，4，10，不能构成三角形，故舍去；
当腰和腰的一半的和为12 时，则
1
12
2
1
6
2
x
x
x
y
+
=
+
=
，
解得
8,
2
x
y
=
=
，
此时三角形的三边为8，8，2，能构成三角形；
所以三角形的底边长是2；
故答案为：2．
3．（24-25 八年级下·山西运城·期中）如图，等腰
ABC
中，AB
AC
=
，BD为腰AC 的中线，将
ABC
的周
长分成长12cm和9cm的两段，则等腰
ABC
的腰长为 ．
【答案】8cm 或6cm
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
题中没有指明哪部分的周长大，故应该分两种情况进行分析，从而求解．
【详解】解：①当
12cm
AB
AD
+
=
，
9cm
BC
CD
+
=
时，
∵BD为腰AC 的中线，
1
2
AD
CD
AC
=
=
∵AB
AC
=
1
2
AD
CD
AB
=
=
∴
1
12cm
2
AB
AB
+
=
，
1
9cm
2
BC
AB
+
=
8cm
AB
=
，
∴
5cm
=
BC
，
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46 /
②当
9cm
AB
AD
+
=
，
12cm
BC
CD
+
=
时
AD
CD
=
∵AB
AC
=
1
2
AD
CD
AB
=
=
∴
1
9cm
2
AB
AB
+
=
，
1
12cm
2
BC
AB
+
=
6cm
AB
=
，
∴
9cm
BC =
，
故答案为：8cm 或6cm．
4．
（24-25 七年级下·上海闵行·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了9cm和7cm 两
部分，则这个等腰三角形的底边长为 cm．
【答案】4cm 或20 cm
3
【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分
之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三
角形，即可解题．
【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成9cm和7cm 两部分．
又
9 7
2
−
=
，
等腰三角形的腰与底边相差2cm ，
下面分两类讨论：
①腰比底边大，
设腰长为x cm，则底边长为(
)
2 cm
x −
．
由题意得2
2
9
7
x
x
+ −
= +
，解得
6
x =
，
当
6
x =
时，等腰三角形腰长6cm，底边长为
(
)
6
2
4 cm
−
=
，三角形三边分别为6cm 6cm 4cm
、
、
，满足三角形
三边关系，可以构成三角形．
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②底边比腰大，
若腰长为x ，则底边长为(
)
2
x +
．
由题意得2
2
9
7
x
x
+ +
= +
，解得
14
3
x =
，
当
14
3
x =
时，等腰三角形腰长14 cm
3
，底边长为
(
)
14
20
2
cm
3
3
+
=
，三角形三边分别为
m
1
3
cm
c
4
14
20
3
m
c
3
、
、
，
满足三角形三边关系，能构成三角形．
综上所述，这个等腰三角形的底边长为4cm 或20 cm
3
．
故答案为：4cm 或20 cm
3
．
5．（24-25 七年级下·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形ABC ．
(1)若其两边长分别为2 和3，求
ABC
的周长；
(2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9 和18，求
ABC
的腰长．
【答案】(1)
ABC
的周长为8 或7
(2)这个等腰三角形的腰长为12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线.
（1）分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3 时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2 时，
先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可．
（2）已知给出的9 和18 两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情
况讨论即可．
【详解】（1）解：分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3 时，
∵2
2
3
+
，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为2
2 3
7
+ + =
；
当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2 时，
∵2
3
3
+ ，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为2 3 3
8
+ + =
．
综上可知这个等腰三角形的周长为7 或8．
（2）设三角形的腰为x，如图：
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ABC
是等腰三角形，AB
AC
x
=
=
，BD是AC 边上的中线，
∴
1
1
2
2
AD
CD
AC
x
=
=
=
则有
9
AB
AD
+
= 、
18
BC
CD
+
=
或
18
AB
AD
+
=
、
9
BC
CD
+
= ，
分下面两种情况：
当
9
AB
AD
+
= ，即
1
9
2
x
x
+
=
，
∴
6
x =
，
此时
18
BC
CD
+
=
，即
1
18
18
6
15
2
BC
CD
=
−
=
−
=
，
∴三边长分别为6，6，15，
∵6
6
15
+
，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
当
18
AB
AD
+
=
，即
1
18
2
x
x
+
=
，
∴
12
x =
，
此时
9
BC
CD
+
= ，即
1
9
9
12
3
2
BC
CD
=
−
=
−
= ，
∴三边长分别为12，12，3．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为12．
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）在
ABC
中，AB
AC
=
，AC 边上的中线BD把
ABC
的周长分为24cm
和
cm
的两部分，求BC 的长．
【答案】BC 的长为14cm或22cm
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的中线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由三角形的中线得到
2
AB
AD
=
，分两种情况讨论，①当
24cm
AB
AD
+
=
时；②当
30cm
AB
AD
+
=
时，进
行求解即可．
【详解】解：因为BD为AC 边上的中线，所以
1
2
AD
DC
AC
=
=
，
又因为AB
AC
=
，
所以
2
AB
AD
=
．
分两种情况：①当
24
AB
AD
cm
+
=
时，2
24
AD
AD
cm
+
=
，
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解得
8cm
AD =
，
所以
8cm
CD =
．
因为
30
BC
CD
cm
+
=
，
所以
(
)
30
22
BC
CD
cm
=
−
=
；
②当
30cm
AB
AD
+
=
时，2
30
AD
AD
cm
+
=
，
解得
10cm
AD =
，
所以
10cm
CD =
．
因为
24
BC
CD
cm
+
=
，
所以
(
)
24
14
BC
CD
cm
=
−
=
．
所以BC 的长为14cm或22cm ．
题型三：等腰三角形的定义与整式的乘法相结合
1．（24-25 八年级下·广东茂名·阶段练习）将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分
解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2
2 3 1
+
+
，
”等分法．如
“ 2
2
+ ”分法：
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
ax
ay
bx
by
ax
ay
bx
by
a x
y
b x
y
x
y
a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．再如“3 1
+ ”分法：
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
16
2
16
4
4
4
x
xy
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
−
+
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
+
−
−
．
(1)利用上述方法解决下列问题：
分解因式：①ac bc
a b
−
+ −
②
2
2
2
1
a
ab
b
−
+
−．
(2)类比应用：若a ，b 满足
2
2
12
8
52
a
b
a
b
+
=
+
−
，求a 与b 的值．
(3)延伸探究：若
ABC
三边, ,
a b c 满足
2
2
2
0
ac
bc
a
ab
b
−
+
−
+
=
，请判断
ABC
的形状，并说明理由．
【答案】(1)①(
)(
)
1
a
b
c
−
+
；②(
)(
)
1
1
a
b
a
b
−
+
−
−
(2)
4
6
a
b
=
=
，
(3)
ABC
是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分组分解法时，要明确分组的
目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
（1）①根据“2
2
+ ”分法分解因式，即可求解；①根据“3 1
+ ”分法即可得出答案；
（2）把原式变形为(
) (
)
2
2
8
16
12
36
0
a
b
b
a
−
+
+
−
+
=
，则可因式分解得到(
)
(
)
2
2
0
4
6
a
b −
+
−
=
，再由非负数
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的性质求解即可；
（3）把原式可因式分解为(
)(
)
0
a
b
c
a
b
−
+
−
=
，根据构成三角形的条件可推出
0
a
b
−
=
，据此可得结论．
【详解】（1）解：解：①ac bc
a b
−
+ −
(
) (
)
ac
a
bc
b
=
+
−
+
(
)
(
)
1
1
a c
b c
=
+
−
+
(
)(
)
1
a
b
c
=
−
+
；
②
2
2
2
1
a
ab
b
−
+
−
(
)
2
2
2
1
a
ab
b
=
−
+
−
(
)
2
21
a
b
=
−
−
(
)(
)
1
1
a
b
a
b
=
−
+
−
−
；
（2）解：∵
2
2
12
8
52
a
b
a
b
+
=
+
−
，
∴
2
2
12
8
52
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
8
16
12
36
0
a
b
b
a
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
0
4
6
a
b −
+
−
=
，
∵(
)
(
)
2
2
4
0
6
0
a
b
−
−
，
，
∴(
)
(
)
2
2
4
6
0
a
b
−
=
−
=
，
∴
4
0
6
0
a
b
−
=
−=
，
，
∴
4
6
a
b
=
=
，
；
（3）解：
ABC
是等腰三角形，理由如下：
∵
2
2
2
0
ac
bc
a
ab
b
−
+
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
0
c a
b
a
b
−
+
−
=
，
∴(
)(
)
0
a
b
c
a
b
−
+
−
=
，
∵a
c
b
+
，
∴
0
a b
c
−+
，
∴
0
a
b
−
=
，
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∴a
b
=
，
∴
ABC
是等腰三角形。
2．（24-25 八年级下·山东济南·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等
变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例：因式分解：
2
6
8
a
a
+
+ ．
解：原式
2
2
6
9 1
(
3)
1
(
3 1)(
3 1)
(
2)(
4)
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+ −=
+
−=
+ −
+ +
=
+
+
(1)解决问题：运用配方法将多项式
2
2
3
x
x
−
−进行因式分解．
(2)拓展运用：已知a ，b ，c 是
ABC
的三边长．且满足
2
2
2
2
2
4
6
13
a
b
c
ab
b
c
+
+
=
+
+
−
，请判断三角形的
形状，并说明理由．
【答案】(1)(
1)(
3)
x
x
+
−
(2)
ABC
是等腰三角形．见解析
【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方公式、利用公式法分解因式、等腰三角形的定义，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得解；
（2）根据完全平方公式进行变形得出
2
2
2
(
)
(
2)
(
3)
0
a
b
b
c
−
+
−
+
−
=
，结合非负数的性质求出
2
a
b
=
=
，
3
c = ，
即可得解．
【详解】（1）解：
2
2
2
3
2
1
4
x
x
x
x
−
−
=
−
+ −
(
)
2
2
1
2
x
=
−
−
(
)(
)
1
3
x
x
=
+
−
；
（2）解：
ABC
是等腰三角形．理由如下：
∵
2
2
2
2
2
4
6
13
a
b
c
ab
b
c
+
+
=
+
+
−
，
∴
2
2
2
2
2
4
4
6
9
0
a
ab
b
b
b
c
c
−
+
+
−
+
+
−
+
=
．
∴
2
2
2
(
)
(
2)
(
3)
0
a
b
b
c
−
+
−
+
−
=
，
∵
2
(
)
0
a
b
−
，
2
(
2)
0
b −
，
2
(
3)
0
−
c
，
∴
0
a
b
−
=
，
2
0
b−
=
，
3
0
c −
=
，
∴
2
a
b
=
=
，
3
c = ，
∴
ABC
是等腰三角形．
3．（24-25 八年级下·河南·阶段练习）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
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52 /
甲：
2
4
4
x
xy
x
y
−
+
−
(
) (
)
2
4
4
x
xy
x
y
=
−
+
−
（分成两组）
(
)
(
)
4
x x
y
x
y
=
−
+
−
（提公因式）
(
)(
)
4
x
y
x
=
−
+
，（提公因式）
乙：
2
2
2
2
a
b
c
bc
−
−
+
(
)
2
2
2
2
a
b
c
bc
=
−
+
−
（分成两组）
(
)
2
2
a
b
c
=
−
−
（运用公式）
(
)(
)
a
b
c
a
b
c
=
+
−
−
+
（运用公式）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)已知
3
4
a
b
b
c
−
=
−= −
，
，求式子
2
a
ac
ab
bc
−
−
+
的值；
(2)已知a
b
c
，，为等腰
ABC
的三边长，且满足
2
2
20
24
244
a
b
a
b
+
=
+
−
，求等腰
ABC
的周长．
【答案】(1) 3
−
(2)等腰
ABC
的周长为32 或34．
【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新
分组后进行因式分解．
（1）分组，利用提公因式法分解得到(
)(
)
a
c
a
b
−
−
，再求得
8
a
c
−
= −，整体代入求解即可；
（2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质求得
10
a =
，
12
b =
，再根据等腰三角形的性
质即可求解．
【详解】（1）解：
2
a
ac
ab
bc
−
−
+
(
) (
)
2
a
ac
ab
bc
=
−
−
−
(
)
(
)
c
a a
a
c
b
−
−
−
=
(
)(
)
a
c
a
b
=
−
−
，
∵
3
a
b
−
=
，
4
b
c
−= −，
∴
1
a
c
−= −，
∴原式
1 3
3
= −= −；
（2）解：∵
2
2
20
24
244
a
b
a
b
+
=
+
−
，
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∴
2
2
20
100
24
144
0
a
a
b
b
+
+
+
−
=
−
，
∴(
)
(
)
2
2
10
12
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
10
0
a −
= ，
12
0
b−
=
，
∴
10
a =
，
12
b =
，
当
10
a
c
=
=
，
12
b =
，10
10
12
+
，符合三角形的定义，
∴
ABC
的周长为10 10 12
32
+
+
=
；
当
10
a =
，
12
b
c
=
=
，10 12
12
+
，符合三角形的定义，
∴
ABC
的周长为10 12 12
34
+
+
=
；
∴等腰
ABC
的周长为32 或34．
4．（24-25 八年级下·江西吉安·期中）阅读材料：若
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，求m ，n 的值．
解：
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
n
−
+
+
−
+
=
，
(
)
(
)
2
2
4
0
m
n
n
−
+
−
=
0
m
n
−
=
，
4
0
n−
=
4
m
n
=
=
阅读上面的材料，解决以下两个问题：
(1)已知
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
+
+
+
+ =
，求x
y
−
的值；
(2)已知等腰三角形的三条边分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足
2
2
6
12
45
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，求这个等腰三角形
的周长．
【答案】(1)
2
x
y
−
=
(2)15
【分析】本题考查完全平方公式的应用以及非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题
的关键是通过配方将给定等式转化为几个非负数和为0 的形式，再利用非负数性质求解未知数．
（1）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0 的形式，可以求得x、y 的值，从而得到答案；
（2）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0 的形式，可以求得a ，b 值，根据等腰三角形的
定义及三角形的三边关系分别讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
+
+
+
+ =
，
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
y
+
+
+
+
+ =
，
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(
)
(
)
2
2
1
0
x
y
y
+
+
+
=
，
0
x
y
+
=
，
1
0
y + =
，
1
x
= ，
1
y = −，
2
x
y
−
= ；
（2）解：∵
2
2
6
12
45
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
∴
2
2
6
9
12
36
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
3
6
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
3
0
a −=
，
6
0
b−
=
，
解得
3
a = ，
6
b =
，
当a 为腰长时，三边分别为3，3，6，因为3 3
6
+ =
，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构
成三角形，
当b 为腰长时，三边分别为3，6，6，因为3
6
6
+
，6
6
3
+
，满足三角形三边关系，
此时三角形周长为3 6 6
15
+ +
=
．
综上所述，这个等腰三角形的周长为15．
5．（24-25 八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式am
an
bm bn
+
+
+
分解因式，可以先把它的前两
项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到
(
) (
)
(
)
(
)
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a n
n
b n
n
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
，这时
(
)
(
)
a m
n
b m
n
+
+
+
中又有公因式(
)
m
n
+
，于是可以提出(
)
m
n
+
，即
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
n
m
n
a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
，我们称这种方法为分组法．请
你利用分组法解答下列问题：
(1)解决问题：分解因式2
2
ax
bx
a
b
−
+
−．
(2)拓展运用：已知a
b
c
，，是
ABC
的三边，且满足
2
a
bc
ab
ac
+
−
=
，请判断
ABC
的形状并说明理由．
【答案】(1)(
)(
)
2
1
a
b
x
−
+
(2)
ABC
是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方
法．
（1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式；
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（2）把所给等式分组为
(
)
2
0
a
ab
ac
bc
−
−
−
=
，再分解因式，可得
(
)
0
(
)
a
b a
c
−
−
=
，再进一步即可得到答案．
【详解】（1）解：2
2
ax
bx
a
b
−
+
−
(
) (
)
2x a
b
a
b
=
−
+
−
(
)(
)
2
1
a
b
x
=
−
+
．
（2）解：
ABC
是等腰三角形，理由如下：
2
a
bc
ab
ac
+
−
=
，
2
0
a
bc
ab
ac
+
−
−
=
，
∴
(
)
2
0
a
ab
ac
bc
−
−
−
=
，
∴(
(
)
0
)
a a
b
c a
b
−
−
−
=
，
∴
(
)
0
(
)
a
b a
c
−
−
=
，
0
a
b
−
=
或
0
a
c
−=
，
a
b
=
或 a
c
=
，
ABC
为等腰三角形．
6．（24-25 七年级下·四川成都·期中）已知a，b，c 为
ABC
的三条边，
(1)若
5
a =
，
6
b =
，
ABC
的周长是小于17 的奇数，求c 的长．
(2)若
ABC
为等腰三角形，且a，b 满足
2
2
4
6
13
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，求
ABC
的周长．
【答案】(1)
2
c =
或
4
c =
(2)7 或8
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，因式分解的应用，非负数的性质，熟知
构成三角形的条件是解题的关键．
（1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出c 的范围，再根据周长是小
于17 的奇数进一步确定c 的范围以及c 是偶数，据此可得答案；
（2）利用完全平方公式得到(
)
(
)
2
2
2
3
0
a
b
−
+
−
=
，则由非负数的性质可求出a、b 的值，再分腰长为a 何腰
长为b 两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵a，b，c 为
ABC
的三条边，
∴b
a
c
b
a
−
+
，
∵
5
a =
，
6
b =
，
∴1
11
c
，
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∵
ABC
的周长是小于17 的奇数，
∴
17
a
b
c
+ +
，
∴5
6
17
c
+ +
，
∴
6
c
，
∴1
6
c
且c 是偶数，
∴
2
c =
或
4
c =
；
（2）解：∵
2
2
4
6
13
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
4
4
6
9
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
3
0
a
b
−
+
−
=
，
∵(
)
(
)
2
2
2
0
3
0
a
b
−
−
，
，
∴(
)
(
)
2
2
2
3
0
a
b
−
=
−
=
，
∴
2
0
3
0
a
b
=
−
−=
，
，
∴
2
3
a
b
=
=
，
，
当腰长为2 时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
∵2
2
3
+
，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为2
2 3
7
+ + =
；
当腰长为3 时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
∵2
3
3
+ ，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为2 3 3
8
+ + =
；
综上所述，该三角形的周长为7 或8．
题型四：等腰三角形的定义中解答题压轴
1．（24-25 七年级下·四川成都·阶段练习）（1）如图1，已知
ABC
是直角三角形．
90
BAC
=
，AB
AC
=
，
直线l 经过点A ，分别从点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E ．求证：BDA
AEC
≌
．
（2）如图2，在
ABC
中，AB
AC
=
，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
=
=
，
猜想DE 、BD、CE 有何数量关系？并给予证明．
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（3）如图3，以
ABC
的边AB 、AC 为腰向外作等腰Rt BAD
和等腰Rt
CAE
△
，
BAD
90
CAE
=
=
，
AB
AD
=
，AC
AE
=
，AG 是BC 边上的高．延长GA交DE 于点H ，探究BC 与AH 的数量关系，并说明理
由．
【答案】（1）见解析；（2）DE
BD
CE
=
+
，证明见解析；（3）
2
BC
AH
=
，理由见解析
【分析】（1）根据垂直定义得
90
BDA
AEC
=
=
，则
90
DAB
DBA
+
=
，再根据
90
BAC
=
得
90
DAB
EAC
+
=
，由此得
DBA
EAC
=
，进而可依据AAS判定BDA
AEC
≌
；
（2）根据三角形外角性质得EAC
BAC
ADB
DBA
?
?
?
?
，再根据
ADB
BAC
=
得
EAC
DBA
=
，进
而可依据AAS判定EAC
DBA
≌
得CE
AD
=
，AE
BD
=
，由此可得出DE 、BD、CE 的数量关系；
（3）过点D 作DM
AH
⊥
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
⊥
于点N，则
90
AGB
M
?
?
? ，进而
得
90
ABG
BAG
+
=
，再根据
90
BAD
=
得
90
BAG
DAM
?
?
?，由此得ABG
DAM
?
?
，进而可依据
AAS判定
ABG
DAM
≌
，则AM
BG
=
，AG
DM
=
，同理可证明
AGC
ENA
≌
得CG
AN
=
，AG
EN
=
，
再证明
(
)
AAS
DMH
ENH
≌
得MH
NH
=
，再根据BC
BG
CG
AM
CG
AH
MH
AN
=
+
=
+
=
+
+
可得结论．
【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线l，CE ⊥直线l，
∴
90
BDA
AEC
=
=
，
∴
90
DAB
DBA
+
=
，
∵
90
BAC
=
，
∴
90
DAB
EAC
+
=
，
∴
DBA
EAC
=
，
在
BDA
△
和
AEC
△
中，
BDA
AEC
DBA
EAC
AB
AC
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BDA
AEC
≌
；
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（2）解：DE ，BD，CE 的数量关系是：DE
BD
CE
=
+
，证明如下：
∵
EAB
是
ABD
△
的外角，
∴EAB
ADB
DBA
?
?
?
，
∴EAC
BAC
ADB
DBA
?
?
?
?
，
∵
ADB
BAC
=
，
∴
EAC
DBA
=
，
在EAC
和DBA
中，
EAC
DBA
CEA
ADB
AB
AC
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
EAC
DBA
≌
，
∴CE
AD
=
，AE
BD
=
，
∴DE
AE
AD
BD
CE
=
+
=
+
；
（3）解：
2
BC
AH
=
，理由如下：
过点D 作DM
AH
⊥
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
⊥
于点N，如图所示：
∵AG
BC
⊥
，
∴
90
AGB
M
?
?
? ，
∴
90
ABG
BAG
+
=
，
∵
90
BAD
=
，
∴
90
BAG
DAM
?
?
?，
∴ABG
DAM
?
?
，
在ABG
和
DAM
△
中，
AGB
M
ABG
DAM
AB
AD
=
=
=
，
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∴
(
)
AAS
ABG
DAM
≌
，
∴AM
BG
=
，AG
DM
=
，
∵
90
AGC
ENA
=
=
，
∴
90
ACG
CAG
+
=
，
∵
90
CAE
=
，
∴
90
CAG
EAN
+
=
，
∴
ACG
EAN
=
，
在AGC
和
ENA
△
中，
AGC
ENA
ACG
EAN
AC
EA
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AGC
ENA
≌
，
∴CG
AN
=
，AG
EN
=
，
∴DM
EN
=
，
在
DMH
△
和ENH
中，
M
ENH
DHM
EHN
DM
EN
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
DMH
ENH
≌
，
∴MH
NH
=
，
∴
(
)
2
2
2
BC
BG
CG
AM
AN
AN
NM
AN
NH
AH
=
+
=
+
=
+
=
+
=
2．（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在
ABC
中，若
6
4
，
AB
AC
=
=
，
D为BC 边上的中点，试求中线AD长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图2 ，延长AD到点E ，使
DE
AD
=
，连接BE ．请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到
ADC
EDB
≌
，理由是_______．
A ．SAS B．ASA C ．AAS D ．SSS
（2 ）求中线AD长的取值范围．
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【解决问题】
（3）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，
ABC
和BDE
都是等
腰直角三角形，
90
ABC
DBE
=
=
，BF 是
BEC
的中线，若
5
BF = ，求AD的长．
【答案】（1）A ；（2 ）1
5
AD
；（3）10
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解；
（2 ）由全等三角形的性质可得
4
EB
AC
=
=
，再根据三角形的三边关系解答即可求解；
（3）延长BF 至G ，使GF
BF
=
，连接CG ，可证
(
)
SAS
CFG
EFB
≌
，可得CG
EB
=
，1
2
= ，再证明
(
)
SAS
ABD
BCG
≌
，得到
2
10
AD
BG
BF
=
=
=
，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解
题的关键．
【详解】解：（1）D为BC 边上的中点，
∴BD
CD
=
，
在
ADC
△
和
EDB
△
中，
CD
BD
ADC
EDB
AD
ED
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADC
EDB
≌
，
∴
ADC
EDB
≌
的理由是SAS，
故选：A ；
（2 ）∵
ADC
EDB
≌
，
∴
4
EB
AC
=
=
，
∵AB
EB
AE
AB
EB
−
+
，
∴6 4
2
6
4
AD
−
+
，
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61 /
即1
5
AD
；
（3）延长BF 至G ，使GF
BF
=
，连接CG ，
∵BF 是
BEC
的中线，
∴CF
EF
=
，
∵
CFG
EFB
=
，GF
BF
=
，
∴
(
)
SAS
CFG
EFB
≌
，
∴CG
EB
=
，1
2
= ，
∵
90
ABC
DBE
=
=
，
∴
4
180
CBE
+
=
，
∵
2
3
180
CBE
++
=
，
∴
4
2
3
= +，
∵1
2
= ，
∴
4
1
3
= +，
即
4
GCB
=
，
∵
ABC
和BDE
都是等腰直角三角形，
∴AB
CB
=
，BD
BE
=
，
∴BD
CG
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
BCG
≌
，
∴
2
10
AD
BG
BF
=
=
=
，
即AD的长为10．
3．（24-25 七年级下·广东深圳·期中）问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，
ABC
中，
7
AC =
，
9
BC =
，
10
AB =
，P 为AC 上一点，当AP =______时，ABP
与CBP
是偏等积三角形；
问题探究：
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（2）如图2，
ABD
△
与ACD
是偏等积三角形，
2
AB =
，
6
AC =
，且线段AD的长度为正整数，过点C 作
CE
AB
∥
交AD的延长线于点E ，则AE =______；
问题解决：
（3）如图3，四边形ABED是一片绿色花园，
ACB
△
、
DCE
△
是等腰直角三角形，
(
)
90
0
90
ACB
DCE
BCE
=
=
．
①ACD
与BCE
是偏等积三角形吗？请说明理由；
②已知
50m
BE =
，ACD
的面积为
2
2000m ．如图4，计划修建一条经过点C 的笔直的小路CF ，F 在BE 边
上，FC 的延长线经过AD中点G ．若小路每米造价500 元，请计算修建小路的总造价为______．
【答案】（1）7
2 ；（2）6；（3）①ACD
与BCE
是偏等积三角形，见解析；②40000 元
【分析】(1)当AP
CP
=
时，则
7
2
AP =
，证
ABP
CBP
S
S
=
，再证ABP
与CBP
不全等，即可得出结论；
(2)由偏等积三角形的定义得
ABD
ACD
S
S
=
，则BD
CD
=
，再证
(
)
AAS
CDE
BDA
≌
，则
2
CE
AB
=
=
，
ED
AD
=
．得
2
AE
ED
AD
AD
=
+
=
，然后由三角形的三边关系求解即可；
(3)①过A 作AM
DC
⊥
于M ，过B 作BN
CE
⊥
于N ，证
(
)
AAS
ACM
BCN
≌
，得AM
BN
=
，则
ACD
BCE
S
S
=
，
再证ACD
与BCE
不全等，即可得出结论；
②过点A 作AN
CD
∥
，交CG 的延长线于N ，证得
(
)
AAS
AGN
DGC
≌
，得到AN
CD
=
，再证
(
)
SAS
ACN
CBE
≌
，得
ACN
CBE
=
，由余角的性质可证CF
BE
⊥
，然后由三角形面积和偏等积三角形
的定义得
1
2
BCE
S
BE CF
=
，
2000
BCE
ACD
S
S
=
=
，求出
(
)
80 m
CF =
，即可求解.
【详解】解：（1）当
7
2
AP
CP
=
=
时，ABP
与CBP
是偏等积三角形，
理由如下：
设点B 到AC 的距离为h，则
1
2
ABP
S
AP h
=
，
1
2
CBP
S
CP h
=
，
ABP
CBP
S
S
=
，
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7
2
AP
CP
=
=
10
AB =
，
7
BC =
，
AB
BC
，
AP
CP
=
、PB
PB
=
，
ABP
与CBP
不全等，
ABP
与CBP
是偏等积三角形，
故答案为：7
2 ；
（2）设点A 到BC 的距离为n ，则
1
2
ABD
S
BD n
=
，
1
2
ACD
S
CD n
=
，
ABD
△
与ACD
是偏等积三角形，
ABD
ACD
S
S
=
，
BD
CD
=
，
CE
AB
，
ECD
B
= ，
E
BAD
=
，
在CDE
和
BDA
△
中，
ECD
B
E
BAD
CD
BD
=
=
=
，
(
)
CDE
BDA AAS
≌
，
2
CE
AB
=
=
，ED
AD
=
，
2
AE
ED
AD
AD
=
+
=
，
线段AD的长度为正整数，
AE 的长度为偶数，
在
ACE
△
中，
6
AC =
，
2
CE =
，
6
2
6
2,
AE
−
+
即：4
8
AE
，
6
AE
= ；
（3）①ACD
与BCE
是偏等积三角形，
理由如下：
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过A 作AM
DC
⊥
于M ，过B 作BN
CE
⊥
于N ，如图3 所示：
则
90
AMC
BNC
=
=
，
ACB
△
、
DCE
△
是等腰直角三角形，
90
ACB
DCE
=
=
，AC
BC
=
，CD
CE
=
，
360
360
90
90
180
BCN
ACD
ACB
DCE
+
=
−
−
=
−
−
=
，
180
ACM
ACD
+
=
，
ACM
BCN
=
，
在
ACM
△
和
BCN
△
中，
,
AMC
BNC
ACM
BCN
AC
BC
=
=
=
(
)
ACM
BCN AAS
≌
，
AM
BN
=
，
1
2
ACD
S
CD AM
=
，
1
2
BCE
S
CE BN
=
，
ACD
BCE
S
S
=
，
180
BCE
ACD
+
=
，0
90
BCE
，
ACD
BCE
，
CD
CE
=
，AC
BC
=
，
ACD
与BCE
不全等，
ACD
与BCE
是偏等积三角形；
②如图4，过点A 作AN
CD
，交CG 的延长线于N ，
则
N
GCD
=
，
G 点为AD的中点，
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65 /
,
AG
GD
=
在AGN
和DGC
中，
N
GCD
AGN
DGC
AG
DG
=
=
=
(
)
AGN
DGC AAS
≌
，
AN
CD
=
，
CD
CE
=
，
AN
CE
=
，
AN
CD
，
180
CAN
ACD
+
=
，
90
ACB
DCE
=
=
，
360
90
90
180
ACD
BCE
+
=
−
−
=
，
BCE
CAN
=
，
在
ACN
△
和
CBE
△
中，
,
AN
CE
CAN
BCE
AC
CB
=
=
=
(
)
ACN
CBE SAS
≌
，
ACN
CBE
=
，
180
90
90
ACN
BCF
+
=
−
=
，
90
CBE
BCF
+
=
，
90
BFC
=
，
CF
BE
⊥
．
由①得：ACD
与BCE
是偏等积三角形，
1
2
BCE
S
BE CF
=
，
2000
BCE
ACD
S
S
=
=
，
2
2 2000
80(m)
50
BCE
S
CF
BE
=
=
=
，
修建小路CF 的总造价为：500 80
40000
=
（元）．
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4．（24-25 八年级上·广西崇左·期末）体验与实践
【解题呈现】如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，P 为底边BC 上的中点，PD
AB
⊥
，PE
AC
⊥
，点D、E 为垂
足，过点C 做腰线AB 的垂线（高线），垂足为F，则有PD
PE
CF
+
=
．
某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即
ABC
ABP
ACP
S
S
S
=
+
△
△
△
，
所以1
1
1
2
2
2
AB CF
AB DP
AC
PE
=
+
，
而AB
AC
=
①式化为：1
1
1
2
2
2
AB CF
AB DP
AB PE
=
+
可得CF
PD
PE
=
+
．
【探究与实践】如图，已知：等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
．
(1)P 为底边BC 上的任意一点，自P 向两腰所在的直线做垂线PE，PF 点E、F 为垂足．求证：PE
PF
+
等
于定值；
(2)若点P 在底边BC 的延长线上时，情况如何？
【答案】(1)见解析
(2)若P 在BC 的延长线上，CD
PE
PF
=
−
；若P 在CB 的延长线上，则有CD
PF
PE
=
−
．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键．
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67 /
（1）连接AP ，过点C 做腰线AB 的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积
ABC
ABP
ACP
S
S
S
=
+
△
△
△
解题即
可；
（2）连接AP ，过点C 做腰线AB 的垂线，垂足为D，根据
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
−
△
△
△
解答即可．
【详解】（1）连接AP ，过点C 做腰线AB 的垂线（高线），垂足为D，
则CD为三角形ABC 的高，
ABC
ABP
ACP
S
S
S
=
+
△
△
△
，
1
1
1
2
2
2
AB CD
AB PE
AC
PF
=
+
①，
而AB
AC
=
，
①式化为：1
1
1
2
2
2
AB CD
AB PE
AB PF
=
+
，
可得CD
PE
PF
=
+
．
因为三角形ABC 在AB 边上的高为定值，即CD为定值，所以PE
PF
+
等于定值．
（2）若P 在BC 的延长线上，连接AP ，过点C 做腰线AB 的垂线（高线），垂足为D，
则CD为三角形ABC 的高，
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
−
△
△
△
，
1
1
1
2
2
2
AB CD
AB
PE
AC
PF
=
−
，
而AB
AC
=
，所以1
1
1
2
2
2
AB CD
AB PE
AB PF
=
−
，
可得CD
PE
PF
=
−
．
同理，若P 在CB 的延长线上，则有CD
PF
PE
=
−
．
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5．（24-25 八年级上·河南安阳·期末）已知，
ABC
是等腰直角三角形，BC
AB
=
，A 点在x 轴负半轴上，
直角顶点B 在y 轴上，点C 在x 轴上方．
(1)如图1，若点(
)
6,0
A −
，点
(
)
0,2
B
，过点C 作CD
y
⊥
轴于点D，则CD =______；
(2)如图2，若点(
)
6,0
A −
，点
(
)
0,2
B
，过点C 作CD
y
⊥
轴于点D，则点C 的坐标为______；
(3)如图3，若x 轴恰好平分
BAC
，BC 与x 轴交于点E，过点C 作CF
x
⊥
轴于F，则CF 与AE 有怎样的
数量关系？并说明理由．
【答案】(1)2
(2)(
)
2,4
(3)
2
AE
CF
=
．理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，能正确利
用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形是解决此题的关键．
（1）由坐标得
6
OA =
，
2
OB =
，根据等腰直角三角形的性质得BA
BC
=
，
90
ABC
=
，再利用等角的余
角相等得到
CBD
BAO
=
，则可根据“AAS”证明ABO
BCD
≌
，进而即可得解；
（2）由（1）得ABO
BCD
≌
，得到OB
CD
=
，OA
BD
=
，进而即可得解；
（3）如图，CF 和AB 的延长线相交于点D ，先证明ABE
CBD
≌
得到AE
CD
=
，再证
(
)
AFC
AFD ASA
≌
，
得
1
2
CF
DF
CD
=
=
，进而即可得解．
【详解】（1）解：
(
)
6,0
A −
，
(
)
0,2
B
，
6
OA
= ，
2
OB =
，
ABC
是等腰直角三角形，
BA
BC
=
，
90
ABC
=
，
90
ABO
CBD
+
=
，
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90
ABO
BAO
+
=
，
CBD
BAO
=
，
在ABO
和BCD
中，
AOB
BDC
BAO
CBD
AB
BC
=
=
=
，
(
)
AAS
ABO
BCD
≌
，
2
OB
CD
=
=
，
故答案为：2 ；
（2）解：由（1）知，
(
)
ABO
BCD AAS
≌
，
6
OA
BD
=
=
，
2
CD
OB
=
=
，
6
2
4
OD
BD OB
=
−
= −
=
，
(
)
2,4
C
，
故答案为：(
)
2,4 ；
（3）解：
1
2
CF
AE
=
，理由如下：
如图，CF 和AB 的延长线相交于点D ，
90
CBD
=
，
90
BCD
D
+
=
，而
90
DAF
D
+
=
，
BCD
DAF
=
，
在ABE
和CBD
中，
ABE
CBD
AB
CB
BAE
BCD
=
=
=
，
(
)
ABE
CBD ASA
≌
，
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AE
CD
=
，
CF
x
⊥
轴，
90
AFC
AFD
=
=
，
x
轴平分
BAC
，
CAF
DAF
=
，
AF
AF
=
，
∴
(
)
AFC
AFD ASA
≌
，
1
2
CF
DF
CD
=
=
，
1
1
2
2
CF
CD
AE
=
=
．
6．（24-25 九年级下·重庆北碚·阶段练习）在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研
究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他
们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图
与填空：
(1)用直尺和圆规，过点B 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 边上的高CD于点F （不写作法，保留作图痕
迹）．
(2)已知：如图，在锐角
ABC
中，BE
AC
⊥
，CD
AB
⊥
，且BE
CD
=
．求证：AB
AC
=
．
证明：
BE
AC
⊥
，CD
AB
⊥
，
AEB
= ①__________
90
=
．
在ABE
与ACD
中，
_______
AEB
ADC
BE
CD
=
=
②
ABE
ACD
≌
（AAS），
③__________，即，
ABC
是等腰三角形．
进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________．
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71 /
【答案】(1)见解析
(2)①
ADC
；②
A
A
=；③AB
AC
=
；在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝
角三角形是等腰三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，尺规作图---作垂线，熟练掌握全等三
角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据垂线的作图方法即可作图；
（2）根据AAS证明ABE
ACD
≌
，即可填空．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：
BE
AC
⊥
，CD
AB
⊥
，
90
AEB
ADC
=
=
．
在ABE
与ACD
中，
A
A
AEB
ADC
BE
CD
=
=
=
ABE
ACD
≌
（AAS），
AB
AC
=
，即，
ABC
是等腰三角形；
对于钝角三角形，如图：
BE
AC
⊥
，CD
AB
⊥
，
90
AEB
ADC
=
=
．
在ABE
与ACD
中，
EAB
DAC
AEB
ADC
BE
CD
=
=
=
ABE
ACD
≌
（AAS），
AB
AC
=
，即，
ABC
是等腰三角形；
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72 /
故答案为：①
ADC
；②
A
A
=；③AB
AC
=
；④在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，
那么这个钝角三角形是等腰三角形．
7．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）如图，已知
ABC
中，
12cm
AB
AC
=
=
，
10cm
BC =
，点D 为AB 的
中点．如果点P 在线段BC 上以2cm/s的速度由B 点向C 点运动，同时，点E 在线段AC 上由点A 向点C 以
4cm/s的速度运动．若点P 、E 两点分别从点B 、A 同时出发．
(1)经过2 秒后，求证：
①
BDP
CPE
△
≌△
；
②
DPE
B
= ；
(2)若
CPE
△
的周长为16cm，问经过几秒钟后，
CPE
△
为等腰三角形？
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2) 2 秒或9
5 秒
【分析】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定
方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）①经过2 秒后，
4m,
8m
PB
AE
=
=
，则
6m
PC =
，
4m
CE =
，结合已知可得BD
PC
=
，BP
CE
=
，
ABC
ACB
=
，即可根据SAS 可证得BDP
CPE
≌
；②由BDP
CPE
≌
；可得
BDP
EPC
=
，再根据
三角形的外角即可得证．
（2）可设点E 的运动时间为st ，CPE
是等腰三角形，则可知
2 cm
PB
t
=
，
(
)
10
2 cm
PC
t
=
−
，
4 cm
AE
t
=
，
(
)
12
4
cm
CE
t
=
−
，再根据CPE
的周长为16cm，得出
(
)
6
6 cm
PE
t
=
−
，当CPE
为等腰三角形时，分三种
情况从而求得t 的值即可．
【详解】
（1）证明：①当P，E两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，有
2 2
4
BP
cm
= =
，
4 2
8cm
AE = =
，
则
10
4
6cm
CP
BC
BP
=
−
=
−
=
，
12 8
4cm
CE
AC
AE
=
−
=
−=
，
D
是AB 的中点，
1
1 12
6cm
2
2
BD
AB
=
=
=
，
BP
CE
=
，BD
CP
=
，
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又
ABC
中，AB
AC
=
，
B
C
=
，
在BPD
和CEP
中，
BP
CE
B
C
BD
CP
=
=
=
，
(
)
BDP
CPE SAS
≌
；
BDP
CPE
②
≌
，
BDP
EPC
=
，
DPC
EPD
EPC
B
BDP
=
+
= +
，
DPE
B
=；
（2）解：设当P，E 两点同时出发运动t 秒时，
有
2
BP
t
=
，
4
AE
t
=
t
的取值范围为0
3
t
，
则
(
)
10
2
cm
CP
t
=
−
，
(
)
12
4
cm
CE
t
=
−
，
CPE
的周长为16cm，
(
) (
)
(
)
16
10
2
12
4
6
6 cm
PE
t
t
t
=
−
−
−
−
=
−
，
要使CPE
是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP
CE
=
时，则有10 2
12 4
t
t
−
=
−
解得：
1
t = （此时
0
PE =
，舍去）；
②当PE
PC
=
时，则有6
6
10
2
t
t
−=
−
解得：
2
t =
；
③当EP
EC
=
时，则有6
6
12
4
t
t
−=
−
解得：
9
5
t =
；
三种情况均符合t 的取值范围．
综上所述，经过2 秒或9
5 秒时，CPE
是等腰三角形．
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1．（24-25 八年级下·全国·假期作业）如图，
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列
结论中错误
．．的是（ ）
A．直线AB 、A B
的交点不一定在MN 上 B．
AA P
△
是等腰三角形
C．
ABC
与A B C
面积相等
D．MN 垂直平分AA，CC
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟
练掌握轴对称的性质是解题关键．先根据轴对称的性质可得直线AB 、A B
的交点一定在MN 上，MN 垂直
平分AA，CC，则选项A 错误，选项D 正确；再根据线段垂直平分线的性质可得PA
PA
=
，根据等腰三
角形的定义即可得选项B 正确；然后根据全等三角形的性质即可得选项C 正确．
【详解】解：∵
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，
∴由轴对称的性质可知，直线AB 、A B
的交点一定在MN 上，则选项A 错误；
由轴对称的性质可知，MN 垂直平分AA，CC，则选项D 正确；
∴PA
PA
=
，
∴
AA P
△
是等腰三角形，则选项B 正确；
由轴对称的性质可知，
A
ABC
B C
≌
△
△
，
∴
ABC
与A B C
面积相等，则选项C 正确；
故选：A．
2．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，DE 是线段AB 的垂直平分线，交AC
于点E ，若
8cm
BC =
，BCE
的周长为20cm ，则AB 的长为（ ）
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A．8cm
B．12cm
C．20cm
D．28cm
【答案】B
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．由题意易得EA
EB
=
，然后根据三角形
的周长公式及题意可进行求解．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴EA
EB
=
，
∵BCE
的周长为20cm ，
∴
20cm
BC
CE
BE
BC
CE
AE
BC
AC
+
+
=
+
+
=
+
=
，
∵
8cm
BC =
，
∴
12cm
AC =
．
又∵AB
AC
=
，
∴
12cm
AB =
．
故选：B．
3．
（2025 七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形ABC 的周长为18，
8
BC = ，若
ABC
DEF
≌
△
△
，则DEF
的边DE 等于（ ）
A．8
B．2 或5 或7
C．5 或8
D．2 或5 或8
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，分BC 为腰、BC 为底两种情况，求出等腰三
角形的另两边，根据全等三角形的性质解答．
【详解】解：当
8
BC = 为腰时，等腰三角形ABC 的周长为18，
∴另两边为8 和18 8 8
2
−−=
，
当
8
BC = 为底时，等腰三角形ABC 的周长为18，
∴另两边为18 8
5
2
−
=
和5，
∵
ABC
DEF
≌
△
△
，
∴DEF
的边DE 等于2 或5 或8，
故选：D．
4．（24-25 七年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两直线一定是平行线
B．两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平
分线互相垂直
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76 /
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
【答案】B
【分析】本题考查了两条直线的位置关系，平行线的性质，平行公理及等腰三角形的性质，根据以上以上
知识点逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：A 、在同一平面内，不相交的两直线一定是平行线，该选项说法错误，不合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平分线互相垂直，该选项说法正确，符合题意；
C 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不合题意；
D 、等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，该选项说法错误，不合题意；
故选：B．
5．（2025·北京·模拟预测）如图，已知
AOB
，求作：
BOC
，使
BOC
AOB
=
．
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作MN ，分别交OA，OB 于点E ，F ，连接EF ；
（2）以F 为圆心，EF 的长为半径作弧，交MN 于点C ，连接FC ，EC ；
（3）作射线OC ，
BOC
即为所求作的角．下列结论正确的是（ ）
A．
EOF
COF
≌
△
△
的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．
2
EC
EF
=
C．
AOC
OEF
=
D．
EOC
△
是等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断
各选项．
【详解】解：A．由作法知：
,
,
OM
ON EF
CF OF
OF
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
EOF
COF
≌
△
△
，故A 不正确；
B．由作法知：EF
FC
=
，
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77 /
由三角形三边关系得
2
EC
EF
FC
EF
+
=
，故B 不正确；
C．不能证明
AOC
OEF
=
，故C 不正确；
D．由作法知，点E
F
C
，，
在圆O 上，则OE
OF
OC
=
=
，
∴
EOC
△
是等腰三角形，故D 正确．
故选：D．
6．（24-25 九年级上·浙江台州·期中）如图，
ABC
和DEC
均是等腰直角三角形，EC 的延长线交AD于点
F ，若BE
CF
⊥
，
6
BE =
，则CF 的长为（ ）
A．2
B．2 2
C．3
D．2 3
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．过点A 作AH
CF
⊥
交CF 的
延长线于H，先证明
(
)
AAS
BEC
CHA
≌
得
6
BE
CH
=
=
，CE
AH
=
，则AH
DC
=
，进而可证明
(
)
AAS
AHF
DCF
≌
，则HF
CF
=
，由此可得CF 的长．
【详解】解：过点A 作AH
CF
⊥
交CF 的延长线于H，如图所示：
∵
ABC
和DEC
均是等腰直角三角形，
∴
90
ACB
=
，BC
CA
=
，
90
DCE
DCF
=
=
，MB GD
NC
，
∴
2
3
90
+
=
∠
∠
，
∵BE
CF
⊥
，AH
CF
⊥
，
∴
90
BEC
H
=
=
，
∴
1
3
90
+=
，
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∴1
2
= ，
∴
(
)
AAS
BEC
CHA
≌
，
∴
6
BE
CH
=
=
，CE
AH
=
，
∴AH
DC
=
，
∵
180
90
H
DCF
DCE
=
=
−
=
，
AFH
DFC
=
，
∴
(
)
AAS
AHF
DCF
≌
，
∴HF
CF
=
，
∴
1
3
2
CF
CH
=
= ．
故选：C．
7．（24-25 八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足(
)
2
5
3
5
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
那么△ABC
的形状是 （ ）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，根据非
负数的性质求得
5
a =
，
3
b =
，
5
c =
，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】解：∵
2
5)
3 |
5| 0
a
b
c
−
+
−+
−
=
（
，
∴
5
a =
，
3
b =
，
5
c =
，
∴a
c
=
，
∴
ABC
是等腰三角形，
故选：A．
8．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）如图， 在Rt
ABC
△
中，
90
30
C
A
=
=
，
． 若某个三角形与
ABC
能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ）
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A．4 种
B．5 种
C．6 种
D．7 种
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
分以AB 为腰，AC 为腰两种情况求解即可．
【详解】解：分以AB 为腰，AC 为腰两种情况；如图，
∴拼成的等腰三角形有5 种，
故选：B．
9．（24-25 八年级上·江苏无锡·期中）等腰
ABC
中，AB
AC
=
，一边上的中线BD将这个三角形的周长分
为18 和30 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．8
B．24
C．8 或24
D．8 或12
【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及构成三角形的条件．对于题中中线分三角形的周长为两部分，
在没有指明两部分对应的长度时，应利用分类讨论的思想来求解，另外求出a 与b 后，不要忽略用三角形的
两边之和大于第三边来判定能否构成三角形．
根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为a ，底边为b ，根据中点定义得到AD与DC 相等都等于腰长a 的
一半，AC 边上的中线BD将这个三角形的周长分为
+
AB
AD 和BC
CD
+
两部分，分别表示出两部分，然后
分
18
AB
AD
+
=
，
30
BC
CD
+
=
或
30
AB
AD
+
=
，
18
BC
CD
+
=
两种情况分别列出方程组，分别求出方程组
的解即可得到a 与b 的两对值，根据三角形的两边之和大于第三边判定能否构成三角形，即可得到满足题意
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的等腰三角形的底边长．
【详解】解：依题意可得：这一边上的中线为腰上的中线，画出图形如下：
设这个等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ，
D
为AC 的中点，
1
1
2
2
AD
DC
AC
a
=
=
=
，
根据题意得：
1
18
2
1
30
2
a
a
a
b
+
=
+
=
或
1
30
2
1
18
2
a
a
a
b
+
=
+
=
，
解得：
12
24
a
b
=
=
或
20
8
a
b
=
=
．
又三边长12、12、24 不能构成三角形，
底边长为8．
故选A．
10．（24-25 八年级上·江苏南通·期中）如图，在
ABC
中，
3,
4,
6
AC
AB
BC
=
=
=
，以点A 为直角顶点，AB
为直角边作等腰直角三角形ABD，再以点A 为直角顶点，AC 为直角边作等腰直角三角形ACE ，连接DE ，
P 是DE 的中点，连接AP ，则AP 的长是（ ）
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，过点A 作AG
BC
⊥
于点G ，过点
,
D E
分别作AG 的垂线，垂足分别为
,
F H ，证明ADF
BAG
≌
，AHE
CGA
≌
得出DF
HE
=
，证明DPF
EPH
≌
，
进而得出P 点在直线AG 上，结合已知条件，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A 作AG
BC
⊥
于点G ，过点
,
D E 分别作AG 的垂线，垂足分别为
,
F H ，
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∵
ABD
△
是等腰直角三角形，
∴AB
AD
=
，
90
BAD
=
，
∴
90
DAF
BAG
DAF
ADF
+
=
+
=
∴
ADF
BAG
=
，
又∵
AGB
DFA
=
∴ADF
BAG
≌
∴DF
AG
=
，AF
BG
=
同理可得AHE
CGA
≌
，
∴HE
AG
=
，CG
AH
=
∴DF
HE
=
，
∵
F
PHE
=
，
又
DPF
EPH
=
∴DPF
EPH
(
)
AAS
∴DP
PE
=
，PH
FH
=
∴P 点在直线AG 上，
∵
3,
4,
6
AC
AB
BC
=
=
=
，
设PH
FH
a
=
=
，BG
AF
x
=
=
，则
6
AH
CG
BC
BG
x
=
=
−
=
−
∴
2
AF
AH
PH
BG
=
+
=
，即
6
2
x
x
a
=
−+
∴
3
a
x
=
−
∴
6
3
3
AP
AH
PH
x
x
=
+
=
−+ −= ，
故选：B．
11．（24-25 七年级下·广东佛山·期中）等腰三角形一边长是9cm，另一边长是5cm，则第三边的长是 ．
【答案】5cm或9cm
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握等腰三角形的定义以及
三角形三边关系．
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82 /
分两种情况，当腰长分别为5cm或9cm时，结合三角形三边关系，求解即可．
【详解】解：当腰长为5cm时，则三角形三边分别为5cm、5cm、9cm，
∵5 5
9
+
∴满足三角形三边关系，能构成三角形，
当腰长为9cm，则三角形三边分别为5cm、9cm、9cm，
∵5 9
9
+
，
∴满足三角形三边关系，符合题意．
故答案为：5cm或9cm．
12．（23-24 七年级下·陕西西安·期中）已知a 、b 为等腰
ABC
的边长，且满足
(
)
2
5
11
0
a
b
−
+
−
=
，则
ABC
的底边长是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分
类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定
5,
11
a
b
=
=
，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边
关系，分情况讨论，即可获得答案．
【详解】解：∵
(
)
2
5
11
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
5
0,
11
0
a
b
−
=
−
=
，解得
5,
11
a
b
=
=
，
当等腰
ABC
的底边为5 时，该三角形的三边长分别为5，11，11，
能构成三角形；
当等腰
ABC
的底边为11 时，该三角形的三边长分别为11，5，5，
∵5 5 10 11
+ =
，故不能构成三角形．
综上所述，
ABC
的底边长是5．
故答案为：5．
13．（24-25 七年级下·全国·课后作业）在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为12 和6 两
部分，则该等腰三角形的腰长为 ，底边长为 ．
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83 /
【答案】 8 2
【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分
之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三
角形，即可解题．
【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成12 和6 两部分．
又
12 6
6
−
=
，
等腰三角形的腰与底边相差6，
下面分两类讨论：
①腰比底边大，
设腰长为x ，则底边长为(
)
6
x −
．
由题意得2
6
12
6
x
x
+ −=
+ ，解得
8
x = ，
当
8
x = 时，等腰三角形腰长8，底边长为8 6
2
−
=
，三角形三边分别为8、8、2，满足三角形三边关系，可
以构成三角形．
②底边比腰大，
若腰长为x ，则底边长为(
)
6
x +
．
由题意得2
6
12 6
x
x
+ +
=
+
，解得
4
x = ，
当
4
x = 时，等腰三角形腰长4，底边长为4
6
10
+
=
，三角形三边分别为4、4、10 不满足三角形三边关系，
不能构成三角形．
综上所述，这个三角形腰和底分别为8 和2．
故答案为：8，2．
14．（24-25 八年级上·上海·期中）如图，等腰Rt
ABC
△
的直角顶点C 在直线l 上，AD ⊥直线l 于点D ，若
2 2
CD =
，则
BCD
△
的面积为 ．
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84 /
【答案】4
【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．过点B 作BE
CD
⊥
于点E，
则
90
BEC
=
，证明
(
)
AAS
BCE
CAD
≌
，则
2 2
BE
CD
=
=
，利用三角形面积公式即可求出
BCD
△
的面
积．
【详解】解：过点B 作BE
CD
⊥
于点E，则
90
BEC
=
，
∵等腰Rt
ABC
△
的直角顶点C 在直线l 上，
∴
90
ACB
AC
BC
=
=
，
，
∴
90
BCE
ACD
BCE
CBE
+
=
+
=
，
∴
ACD
CBE
=
，
∵AD ⊥直线l 于点D，
∴
90
ADC
CEB
=
=
，
∴
(
)
AAS
BCE
CAD
≌
，
∴
2 2
BE
CD
=
=
，
∴
BCD
△
的面积为
1
1
2 2
2 2
4
2
2
BE CD
=
=
= ，
故答案为：4
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85 /
15．（24-25 七年级下·四川雅安·期中）若代数式(
)(
)
2
2
3
3
m
x
n
x
nx
−
−
+
+
的值与x 无关，且等腰三角形的两
边长为m 、n ．
(1)求m 、n 的值；
(2)求该等腰三角形的周长．
【答案】(1)
2
3
m
n
=
=
(2)7 或8
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，正确求得m、n 是
解答的关键．
（1）化简这个多项式，因为代数式的值与y 无关，所以含y 的项的系数等于0，列出方程组求出m 、n 的
值；
（2）根据m 、n ，分两种情况求出该等腰三角形的周长．
【详解】（1）解：(
)(
)
2
2m
3
3
x
n
x
nx
−
−
+
+
2
2
2
6m
3
3
9
mn
x
nx
x
n
x
nx
=
+
−
−
−
−
+
(
)
(
)
2
3
6m
9
2
3
n
x
n
x
mn
n
=
−
+
−
−
+
−
，
∵代数式的值与x 无关，
∴
3
0
6
9
0
n
m
n
−
=
−
−
=
，
解得：
2
3
m
n
=
=
；
（2）解：当3 是等腰三角形的腰时，三边为3，3，2，此时周长
3 3
2
8
= + +
= ；
当2 是等腰三角形的腰时，三边为2，2，3，周长
2
2 3
7
=
+ + =
．
∴该等腰三角形的周长为7 或8．
16．（24-25 八年级上·吉林·期末）【阅读理解】例题：若
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
−
+
=
，求m 和n 的值．
解：
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
−
+
=
，2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
n
+
+
+
−
+
=
，即
2
2
(
)
(
3)
0
m
n
n
+
+
−
=
，
0
m
n
+
=
，
3
0
n−=
，
∴
3
n = ，
3
m = −．
【方法运用】若
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
+
−
+
+
=
，求x 的值．
【拓展提升】已知a
b
c
、，是等腰
ABC
的三边长，若a
b
，满足
2
2
4
8
20
a
b
a
b
+
=
+
−
，求
ABC
的周长．
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86 /
【答案】（1）2
−；（2 ）10
【分析】（1）仿照题例方法解答即可；
（2 ）把右式移到左边，再仿照题例方法求出a
b
、的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答
即可求解；
本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义，看懂题意是解题的关键．
【详解】解：方法运用：∵
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
+
−
+
+
=
∴
2
2
2
2
4
4
0
x
xy
y
y
y
−
+
+
+
+
=
，
即(
)
(
)
2
2
2
0
x
y
y
−
+
+
=
，
∴
0
x
y
−
=
，
2
0
y +
=
，
∴
2
y = −，
2
x = −，
∴x 的值为2
−；
拓展提升：∵
2
2
4
8
20
a
b
a
b
+
=
+
−
，
∴
2
2
4
8
20
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
∴
2
2
4
4
8
16
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
即(
)
(
)
2
2
2
4
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
2
0
a −
=
，
4
0
b−
=
，
∴
2
a =
，
4
b =
，
∵
ABC
是等腰三角形，
当
2
a
c
=
=
时，
∵
4
a
c
b
+ =
=
，
∴a
b
c
、、构成不了三角形，该种情况不符合；
当
4
b
c
=
=
时，
ABC
的周长
2
4
4
10
=
+ +
=
；
∴
ABC
的周长为10．
17．（24-25 八年级上·广西防城港·期中）课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间，
如图所示，AD
DE
⊥
，BE
DE
⊥
，
90
ACB
=
，AC
CB
=
．
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87 /
(1)求证：
ADC
CEB
△
≌△
．
(2)若
42cm
DE =
，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（假设每块砖的厚度相等）．
【答案】(1)见解析
(2)6cm
【分析】本题考查了全等三角形的应用，关键是找出证明全等三角形全等的条件．
（1）根据题意AD
DE
⊥
，BE
DE
⊥
，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，进而得到
BCE
DAC
=
，根据AAS 证明
三角形全等．
（2）利用（1）中全等三角形的性质解答．
【详解】（1）证明：
ABC
为等腰直角三角形，
AC
BC
=
，
90
ACB
=
．
又
AD
DE
⊥
，BE
DE
⊥
，
90
ADC
CEB
=
=
，
90
ACD
ECB
+
=
，
90
ACD
DAC
+
=
，
则
ECB
DAC
=
．
在
ADC
△
和CEB
中，
,
,
ADC
CEB
DAC
ECB
AC
CB
=
=
=
(
)
AAS
ADC
CEB
△
≌△
；
（2）解：一块墙砖的厚度为a ，
4
AD
a
=
，
3
BE
a
=
，
由（1）可知
ADC
CEB
△
≌△
，
3
DC
BE
a
=
=
，
4
AD
CE
a
=
=
．
7
42cm
DC
CE
BE
AD
a
+
=
+
=
=
．
6
a =
，即砌墙砖块的厚度a 为6cm．
18．（24-25 八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角
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形”．
(1)如图1，
ABC
和
ADE
互为“友好三角形”， 其中
,
,
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
， 连接
,
CE BD ，
求证：CE
BD
=
；
(2)点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合），以AD为边向右构造
ADE
，使得
ABC
和
ADE
互
为“友好三角形”，其中
,
,
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
，连接EC ， 点F 在线段EC 右上方， 且点 E， C，
F 三点共线．
①如图2， 当点 D 在线段BC 的左侧时， 求证：
ACF
ACB
=
；
②如图3，当点D 在线段BC 上时，
ACF
与
ACB
的数量关系是否发生改变，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① 见解析；②
ACF
与
ACB
的数量关系不变，
ACF
ACB
=
，理由见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识．
（1）证明
(SAS)
EAC
DAB
△
≌△
即可得到结论；
（2）①分别过点A 作AM
EC
⊥
于点M，AN
DB
⊥
于点N，由全等的性质得到
EAC
DAB
S
S
=
△
△
，CE
BD
=
，
由等积法求出AM
AN
=
，由角平分线的判定定理即可证明结论；②仿照①的证明过程解答即可．
【详解】（1）证明：∵
BAC
DAE
=
，
.
EAC
BAC
BAE
DAE
BAE
DAB
=
−
=
−
=
在EAC
与DAB
中，
,
,
,
AE
AD
EAC
DAB
AC
AB
=
=
=
(SAS)
EAC
DAB
△
≌△
CE
BD
=
；
（2）①证明：分别过点A 作AM
EC
⊥
于点M，AN
DB
⊥
于点N，
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89 /
由（1）得
EAC
DAB
≌
△
△
，CE
BD
=
，
EAC
DAB
S
S
=
△
△
，
1
1
2
2
CE AM
BD AN
=
，
AM
AN
=
，
又∵AM
EC
⊥
，AN
DB
⊥
，
ACF
ACB
=
；
②解：
ACF
与
ACB
的数量关系不变，
ACF
ACB
=
，理由如下：
∵
DAE
BAC
=
，
EAC
DAE
CAD
BAC
CAD
DAB
=
−
=
−
=
.
在EAC
与DAB
中，
AE
AD
EAC
DAB
AC
AB
=
=
=
，
(SAS)
EAC
DAB
△
≌△
，
CE
BD
=
，
EAC
DAB
S
S
=
△
△
，
分别过点A 作AM
CE
⊥
于点M，AN
BD
⊥
于点N，
1
1
2
2
CE AM
BD AN
=
，
AM
AN
=
，
又∵AM
CE
⊥
，AN
BD
⊥
，
ACF
ACB
=
，
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90 /
即
ACF
与
ACB
的数量关系不变.
