文档文本内容
1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 2.1 图形的轴对称 课标要点 1.理解轴对称图形的概念，掌握对称轴定义，能够判断常见平面图形是否为轴对称图形， 分清轴对称图形与两图对称的不同。 2.掌握轴对称的基本性质，明确对称轴垂直平分对应点连线，对应边相等、对应角相等， 折叠前后图形大小形状不变。 3.学会轴对称图形的作图方法，通过找点、作对称点、顺次连线完成画图，能利用轴对称 性质进行简单计算与解题。 学习重难点 重点： 1.掌握轴对称图形和对称轴的概念，能准确识别生活与几何中的轴对称图形。 2.熟练运用轴对称性质，求解线段长度、角度大小等基础几何计算问题。 3.掌握作轴对称图形的步骤，规范、准确画出图形的轴对称图形。 难点： 1.准确区分轴对称图形与两个图形关于直线对称的概念。 2.灵活结合轴对称性质，解决折叠类几何综合题型。 3 在复杂图形中准确找出对应点，正确完成轴对称作图。 第二章 特殊三角形 2 / 75 学科网（北京）股份有限公司 知识点一 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 3 / 75 学科网（北京）股份有限公司 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过 来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 即学即练 ．．．． 1．（2026·浙江金华·二模）下列新能源汽车图标中，属于轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2．（25-26 八年级上·江西南昌·期中）图中阴影部分是由4 个完全相同的正方形拼接而成的，若要在 ①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴 对称图形，则这个正方形可添加的区域有__________个． 4 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】2 【分析】直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形叫做轴对称图形，分析得出答案． 【详解】解：如图所示，在①处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形； 在⑤处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形. 所以符合题意的有2 个. 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了作轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题关键． 知识点二 轴对称与轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 ① 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L 成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大 小完全相同） ② 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L 的对称点。 ③ 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 5 / 75 学科网（北京）股份有限公司 即学即练 ．．．． 3．（25-26 七年级下·山东青岛·阶段检测）如图：点P 为 内一点，分别作出P 点关于 的 对称点 ， ，连接 交 于M，交 于N， ，则 的周长为_________． 【答案】27 【分析】本题考查轴对称的性质，学会用转化的思想思考问题．证明 的周长 ，可得结论． 【详解】解：如图：连接 ∵P 点关于 的对称点 ， ，连接 交 于M，交 于N， ， ， 的周长 ， 故答案为：27． 4．（24-25 七年级下·江苏常州·期中）如图， 和 关于直线 对称， 和 的交点 在 直线 上． (1)若 ， ，求 的长； 6 / 75 学科网（北京）股份有限公司 (2)连接 ，则 和直线 的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得 ． 【详解】（1）解：∵ 和 关于直线 对称， ∴点 与点 关于直线 对称， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ 和 关于直线 对称， ∴点 与点 关于直线 对称， ∴ ，即 ． 题型01 轴对称图形的识别 典｜例｜精｜析 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称 图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B、C、D 均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全 重合，所以不是轴对称图形， 选项A 能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图 解题贴士 判断轴对称图形，关键寻找一条直线，使直线两侧部分折叠后完全重合。先观察图形轮廓，尝试水平、 竖直、斜线方向验证。牢记常见轴对称图形特征，避免仅凭视觉对称主观判断。做题时可想象折叠效果， 快速排除不符合的图形，准确找出所有对称轴。 7 / 75 学科网（北京）股份有限公司 形． 变｜式｜巩｜固 2．有下列图形：①线段；②角；③两条平行线；④圆；⑤直角三角形；⑥平行四边形．其中不一定是轴 对称图形的是_________（填序号）． 【答案】⑤⑥/⑥⑤ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义及识别，掌握其定义，找出对称轴是解题的关键．在平面内，如果 一个图形能够沿一条直线折叠，使得折叠后的两边完全重合，这样的图形被称为轴对称图形，这条直线叫 做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：①线段，对称轴是过线段中点的垂线，故线段是轴对称图形； ②角，对称轴是角的平分线所在的直线，故角是轴对称图形； ③两条平行线，对称轴有无数条，故平行线是轴对称图形； ④圆，对称轴是直径所在的直线，有无数条，故圆是轴对称图形； ⑤直角三角形，不一定是轴对称图形，故符合题意； ⑥平行四边形，不一定是轴对称图形，故符合题意； 故答案为：⑤⑥ ． 3．如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新 图形是轴对称图形，那么该小正方形的序号可以是______（填一个即可）． 【答案】②（③或④或⑤） 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：把标号②或③或④或⑤涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形． 故答案为：②（③或④或⑤）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图 形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 4．如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴． 8 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 图①②④⑤⑥是轴对称图形，对称轴如图所示： 【分析】本题考查了轴对称图形； 根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条 直线叫对称轴”，进行判断并画图即可． 【详解】略 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 典｜例｜精｜析 5．将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后 的图形是（ ） 解题贴士 利用成轴对称的特征判断，先抓住核心：对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等。解题 时先找准对称轴，标记对应点，检验上述关系是否成立。区分 “一个轴对称图形” 与 “两个图形成轴 对称”，结合折叠重合思路验证，快速完成正误判定。 9 / 75 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】解：把③向上展开，再向左展开后如下图： 变｜式｜巩｜固 6．如图，将一正方形纸片沿图1 中的对角线对折一次得图2，再沿图2 中的斜边上的中线对折一次得图 3，然后用剪刀沿图3 中的虚线剪去一个角得图4，将图4 展开铺平后的平面图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，图3 中剪去的切口是斜向的，且没有经过折叠的顶点（即正方形的中心）．由 于剪裁的斜线不是垂直或平行于折痕的，展开后的四边形是菱形，不会是正方形，将图4 展开铺平后的平 面图形是一个正方形中间有一个倾斜的菱形空洞．而且剪下的菱形的对角线与正方形的对角线共线，只有 选项C 符合． 7．已知点 与点 ，点 与点 都关于直线成轴对称，并且点 、 所在的直线与点 、 所在的直 线相交于点 ，连接 ，判断下列结论：① ；②点 在直线上；③直线 ；④ ，其中正确的结论有______（只填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是熟记对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线以及 轴对称的对应线段或对应线段的延长线相交，交点在对称轴上． 【详解】解：由题意可知， 与 关于直线成轴对称， 10 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ，点 在直线上，直线 ， ， 即正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 8．在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点． 【答案】轴对称图形是（1）（2）（3）（5）；（1）中两组对应点为 与 ；（2）中两组对应点为 与 ；（3）中两组对应点为 与 ；（5）中两组对应点为 与 . 【详解】解：轴对称图形是（1）（2）（3）（5）； 如图， （1）中两组对应点为 与 ； （2）中两组对应点为 与 ； （3）中两组对应点为 与 ； （5）中两组对应点为 与 . 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 典｜例｜精｜析 9．如图， 与 关于直线l 对称，且 ， ，则 （ ） 解题贴士 求解成轴对称相关问题，依托性质：对应角、对应线段相等，对应点连线被对称轴垂直平分。解题先定 位对应元素，转化线段与角度条件。遇到折叠题型可还原对称关系，把未知量转化为已知量，结合几何 等量关系列式计算。 11 / 75 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称图形的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵ 与 关于直线l 对称，且 ， ∴ ， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 10．如图， 内一点P， 、 分别是P 关于 、 的对称点， 交 于M，交 于N，若 ，则 的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到 ，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵ 、 分别是P 关于 、 的对称点， ∴ ， ∵ 的周长 ， ∴ 的周长 ． 11．如图，在 中，点 、 分别在 、 边上，连接 ， ， 与 关于 所在直线对称．若 ，则 的度数为________ ． 12 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 45 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 与 关于 所在直线对称， ∴ . 12．如图，已知 与 关于直线 对称，直线 分别与 、 交于点 ， ， ， ， ， ． (1)求 的长． (2)求 的面积． (3)求 的面积． 【答案】(1)5 (2)12 (3)18 【分析】（1）先得出 ，再求出 的长，由此即可得； （2）先得出 ，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）先求出 ，再根据 的 边上的高与 的 边上的高相等可得 的面积与 的面积之间的关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵ 与 关于直线 对称，且 ， ∴ ， ∵ ， 13 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ 与 关于直线 对称， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ 的面积为 ． （3）解：由（1）已得： ， ， 的面积为12， ∴ ， 又∵ 的 边上的高与 的 边上的高相等， ∴ 的面积为 ． 题型04 对称轴 典｜例｜精｜析 13．请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴 对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【答案】如图： 【分析】利用轴对称图形性质从左右对称，上下对称出发可画出题目所要求的图形． 【详解】略． 变｜式｜巩｜固 14．如图，在正方形网格中，点 ， ， 均在格点上．用无刻度直尺按要求画图（不写画法，保留画图 痕迹）． 14 / 75 学科网（北京）股份有限公司 (1)在图1 中，画出 关于直线 对称的 ； (2)在图2 中，已知 与 成轴对称，在图中画出对称轴； (3)如图3，方格纸上有两条线段，请在图3 中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形（在网格中画出所 有符合条件的线段）． 【答案】(1) ， 即为所求 (2) ，直线 即为所求 (3) ，线段 、 、 即为所求 【分析】（1）根据轴对称的定义，结合网格的特点确定点 、 、 的位置，连接 、 、 ，则 即为所求； （2）连接 ，结合网格的特点画出 的垂直平分线 ，则直线 即为所求； （3）根据轴对称的定义，结合网格的特点即可求解． 【详解】（1）略 15 / 75 学科网（北京）股份有限公司 （2）略 （3）解：作法： 以竖直线段为轴对称，在竖直线段的左侧画出线段 ，使线段 与斜线段关于竖直线段对称； 以竖直线段的垂直平分线为轴对称，在斜线段的上方画出线段 ，使线段 与斜线段关于竖直线段的垂 直平分线对称； 以斜线段为轴对称，在竖直线段的上方画出线段 ，使线段 与竖直线段关于斜线段对称． 15．如图1，棋盘上已经摆放好了3 个棋子，如图2 所示，再添加一个棋子后，这4 个棋子恰好构成一个 轴对称图形，直线m 为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3 的棋盘格点上添加1 个棋子，使4 个棋子构成一个轴对称图形，并画出对 称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2 方法）． 【答案】(1) 作图如下： (2)4 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键； （1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置； （2）直接利用轴对称图形的性质求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：这样的添加方法共有4 种，如下图： 16 / 75 学科网（北京）股份有限公司 16．认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 【答案】(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4 条对称轴；②4 (2)见解析 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力． （1）观察图形即可得出答案． （2）根据轴对称图形的定义及特点即可设计出满足条件的图形． 【详解】（1）解：①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4 条对称轴． ②∵每个小正方形的边长都是1， ∴图甲中阴影部分的面积 ． （2）所设计图形如下所示：（答案不唯一） 题型05 设计轴对称图案 典｜例｜精｜析 17．轴对称性是一种经典的几何性质．按要求完成画图． 17 / 75 学科网（北京）股份有限公司 (1)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形关于虚线成轴对称； (2)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形成轴对称，画出两种添加方法． (3)用7 个大小完全相同的小正方格，设计一个轴对称图形（要求7 个方格均要用上）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴先找到有对称的部分，再补齐剩下没有对称的部分的对称图形即可； （2）参考（1）的思路，先确定对称轴，再补齐剩下的图形； （3）参考前面两问的图形，补齐到7 个大小完全相同的小正方格即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变｜式｜巩｜固 18．如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴 影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 18 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念作图即可． 【详解】略 19．如图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中，有如下三个由阴影部分构成的图案． (1)请写出以上三个图案都具备的3 个特征：①__________；②___________；③__________． (2)请你借助下面的网格设计出三个由阴影部分构成的图案，使它们也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)①都是轴对称图形 ②面积都为4 ③对称轴都有4 条（答案不唯一） (2) 如图所示． 【分析】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换 对称轴来得到不同的图案． （1）观察发现三个图形都是轴对称图形，对称轴的数量相等，且面积相等； （2）根据三个特征解决问题即可． 【详解】（1）解：①都是轴对称图形 ；②面积都为 ；③对称轴都有 条． （2）略 19 / 75 学科网（北京）股份有限公司 20．如图是 的正方形网格，其中的4 个正方形已被涂黑．请你再将1 个空白的小正方形涂黑，使图中 涂黑部分组成的图形为轴对称图形，画出三种不同的方案． 【答案】 由题意，画图如下： 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，作图即可． 【详解】略 题型06 台球桌面上的轴对称问题 典｜例｜精｜析 21．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且 ，若 ，则 （ ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得 ，结合 求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 20 / 75 学科网（北京）股份有限公司 变｜式｜巩｜固 22．如图，桌球的桌面上有 两个球，若要将球 射向桌面的一边，反弹一次后击中球 ，则 四个点中，可以反弹击中球 的是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线 作点N 的对称点 ，连接 ，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线 的夹角相等， 如图，过直线 作点N 的对称点 ，连接 ， 根据图形可知 经过点C，且 ， ， 符合题目要求， 反弹击中球 的是点C． 故选：C． 23．如图，在长方形 中， ，一发光电子开始置于 边上的点P 处，并设定此时为发 光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着 方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射 的反射角和入射角都等于 ，当发光电子与长方形的边碰撞2026 次后，它与 边的碰撞次数是 ______． 21 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角 与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6 次反射后，发光电子回到起始的位置，即 可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P 开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6 次为一个循环组，且每次循环发光电子与 边碰撞2 次， 因为 ， 故它与 边的碰撞次数是 （次）． 24．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射 角．如图1，法线 垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射 角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌 上有两个球 ， ．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球 撞击台球桌边 反射后，撞到球 ．在图2 中画出，并说明做法的合理 性． (2)请你设计一路径，使得球 连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球 ，在图3 中画出一种路径即可． 【答案】(1) 如图2 中，作点P 关于 的对称点 ，连接 交 于T，线路 即为所求， 原理：∵点 和点P 关于 对称， ∴ ， ∵ ， ∴ ； (2) 22 / 75 学科网（北京）股份有限公司 如图3 中， 作点P 关于 的对称点 ，作点Q 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于E，交 于F，连接 交 于点G， 即为所求． 【分析】（1）作点P 关于 的对称点 ，连接 交 于T，线路 即为所求． （2）作点P 关于 的对称点 ，作点Q 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于E，交 于F，连接 交 于点G， 即为所求． 【详解】（1）解：略． （2）略． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 题型07 轴对称中的光线反射问题 典｜例｜精｜析 25．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图， 一束光线 先后经平面镜 、 反射后，反射光线 与 平行，若 ，则 的度 数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射规律得出 ，利用平角定义求出 ，再根据平行线性质求出 ，最后利用平角定义及反射规律求出 ． 【详解】解：由题意，得 ， ∴ ， ∵ ， 23 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， 由题意，得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 26．如图①，物理学中把过入射点 并且垂直于镜面的直线 称为法线，入射光线与法线的夹角称为入 射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面 内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即 ，这就是光的反射定律．如 图②， ， 为两块平面镜，一束光线从点 射出，经过平面镜两次反射后经过点 ，两条光线 ， 相交于点 ．若两条光线的夹角 ，则两块平面镜的夹角 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点 作 垂直 ；过点 作 垂直 ，根据三角形的内角和与入射角与反射角的关系 求出 的度数，再利用余角的性质求出 的度数，最后利用三角形的内角和求 解． 【详解】解：如图所示，过点 作 垂直 垂足为点 ，过点 作 垂直 垂足为点 ，两个垂 线交于点 ， 由题意知： ， ∵在 中， ， 24 / 75 学科网（北京）股份有限公司 则 ， ∴ ， 即 ， 又 ， ∴ ， 在 中， ． 27．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知 ，光从 点平行 于 进入棱镜，在 边上点 处反射，到达 边点 处，经过再一次反射，然后沿垂直 边方向， 从点 处离开棱镜，若 ，则 的度数为________． 【答案】 /64 度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出 ，由光的反射定律得到 ，求出 ，由直角三角形的性质求出 ，即可求出 的度数． 【详解】解：如图：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由光的反射定律得到： ， ∴ ， 25 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 28．科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与 镜面的夹角．即下图中 ； (1)窗外一束光从C 处斜射到平面镜上的点E 处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点 D 处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段 表示，铅笔加黑加 粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有 ， ．设镜子 与 的夹角 ．若 ，入射光线 与反 射光线 的夹角 ．求 的度数； (3)如图③，若 ，设镜子 与 的夹角 ，入射光线 与镜面 的 夹角 ，已知入射光线 从镜面 反射到镜面 ，再反射到镜面 ，最后经镜面 反射后，当反射光线与入射光线 平行时，探索m 与γ 的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若 ，已知入射光线 与镜面 平行，经过 次反射后，反射光线按原路返 ．．． 回．，请直接写出α 满足的条件． 【答案】(1)如图所示，线段 即为所求； 26 / 75 学科网（北京）股份有限公司 (2) (3) ，理由如下： 延长 和 ，交点为 ，如图所示： 由（2）的思路可得， ， ， ∵ ， ∴ ，即 ， 整理得， ， ， 即 ． (4) （ 为正整数， ） 【分析】（1）延长 ，作出 邻补角的平分线即可，根据角平分线以及对顶角相等即可得到 ； （2）根据三角形内角和 ，利用对顶角相等得 ， ，再利用三角形内角 和结合等量代换即可求解； （3）延长 和 ，交点为 ，由（2）得 ，根据平行线的性质即可求解； （4）分别求出 时 的度数，然后总结出一般规律即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （3）略 27 / 75 学科网（北京）股份有限公司 （4）解：当 时，如图， 时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ，即 ； 当 时，如图， 时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ，解得 ，即 当 时，如图，当 时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴ ， ∴在 中， ，解得 ，即 ； 当 时，如图，当 时，反射光线按原路返回， 28 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在 中， ，解得 ，即 ， 依次类推，经过 次反射后，反射光线按原路返回，α 满足的条件为 （ 为正整数， ）． 题型08 镜面对称问题 典｜例｜精｜析 29．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是 （ ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 解题贴士 镜面对称属于轴对称，镜面充当对称轴，图像左右相反。解题可利用翻折思想，或将试卷反向观察得到 真实图案。牢记镜中时刻读数技巧，分清上下不变、左右颠倒规律，依托轴对称性质转化条件，快速求 出真实数字、时间等答案。 29 / 75 学科网（北京）股份有限公司 30．在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位 置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜 面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D 选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 31．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代 码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形； 注意 的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为： ． 32．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对 称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2 所示，则电子钟的实际时间应该 是______． 30 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意 2，5 的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解： 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是 ， 故答案为： ． 题型09 折叠问题 典｜例｜精｜析 33．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 、 ．若 ，且 ，则 的度数为_________． 【答案】 /45 度 【详解】解： ， ， 折叠， ， ， 解题贴士 折叠问题本质是轴对称变换，折叠前后两个图形关于折痕成轴对称。对应线段相等、对应角相等，对应 点连线被折痕垂直平分。解题首先锁定相等的边与角，标出等量关系。常结合直角三角形、平行线性质 设未知数，利用勾股定理或角度关系建立方程求解。注意挖掘隐藏相等条件，区分重叠线段，厘清图形 位置变化，避免遗漏多解情况，准确完成计算与证明。 31 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 34．如图，已知长方形纸片 ， ，点 和点 分别在边 和 上，且 ，点 和点 分别是边 和 上的动点，现将点 分别沿 ， 折叠至点 ， ， ， ，若 ，则 的度数为___________． 【答案】 或 【分析】分两种情况讨论：当 在 上方时，延长 、 交于点 ，证明 ，则 ；当 在 下方时，延长 ， 交于点 ，证明 ，则 ． 【详解】解：当 在 上方时，延长 、 交于点 ， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， 32 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， ； 当 在 下方时，延长 ， 交于点 ， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述： 或 ． 35．把一长方形（四个角为 ）纸片 的一角折起来，折痕为 ，使 ，如图1． (1)求 ； (2)再沿 对折长方形 ，使 点落在 点上，如图2．若 ，求 ． 【答案】(1) (2) 33 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查轴对称的性质，角的和差，厘清各角之间的关系是解题的关键． （1）由折叠可得 ，进而得到 ，根据 即可求出 ，再由角的和差即可求解； （2）根据角的和差求出 ， ，由折叠得到 ，再由角的和差即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可得 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ （2）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵由折叠得到 ， 又 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 36．已知 ， 分别是长方形纸条 边 ， 上两点（其中 且 ），如图所示沿 ， 所在直线进行第一次折叠，点 ， 的对应点分别为点 ， ， 交 于点 ． (1)若 ，则 的度数为 ． (2)如图 ，继续沿 进行第二次折叠，点 ， 的对应点分别为点 ， ． ①若 ，则 的度数为 ． 34 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ②若 ，请求出 的度数． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补 角和为 以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数 建立方程等方法来求解角度． （1）本题涉及平行线的性质以及折叠的性质．利用 得到角的关系，再结合折叠前后角相等的性质 来求解 的度数． （2）①根据折叠性质和邻补角的定义求出相关角的度数，再利用平角的度数为 来计算 的度 数．②设未知数，依据折叠性质、平行线性质以及平角定义建立方程，从而求解 的度数． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． ∴折叠可知 ． 又∵ ， ∴ ． （2）解：①∴折叠可知 ， ∴ ． 又∵ ，且 ， ∴ ． ②设 ，则 ． ∵ ， ∴ ． ∴折叠可知 ， ． ∵ ， ， ，且 ， ∴ ， ． ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得 ． ∴ ． 35 / 75 学科网（北京）股份有限公司 题型10 最短路径问题 典｜例｜精｜析 37．如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： (1)画直线 ； (2)画射线 ； (3)在平面内找一点E，使点E 到A，B，C，D 四点距离之和最短． 【答案】(1)解：如图，直线 即为所求； (2)解：如图，射线 即为所求； (3) 解：如图，点E 即为所求． 【分析】（1）根据直线的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）连接 ， 交于点E，点E 即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变｜式｜巩｜固 解题贴士 最短路径问题依托轴对称变换解题。作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，连线和直线 的交点即为所求动点位置。依据两点之间线段最短，将折线段转化为直线段。解题规范作出对称点，理 清转化思路，直接确定最短路径，无需借助勾股定理计算长度。 36 / 75 学科网（北京）股份有限公司 38．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一 系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线 是一条输气管道， ， 是管道同侧的两个村庄，现计划在直线 上修建一个供气站 ， 向 两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ） A. B. C. D. (2)如图，草地边缘 与小河河岸 在点 处形成夹角，牧马人从 地出发，先让马到草地吃草，然后 再去河边饮水，最后回到 地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：最短路径如图： 根据对称的性质可得直线 和 分别是 和 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为 ． 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点 关于直线 和 的对称点 和 ，连接 和 ，连接 ，分别交直线 和 于点 和 ，连接 和 ，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，故直线 是 的垂直平分线， 37 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴铺设管道最短的是选项 ， 故选： ． （2）略 39．如图1，点A、B 两点在直线的同侧，点 与A 关于直线对称，连接 交于点 ，设 ． (1)求 ； (2)若点 是直线上异于点 的任意一点．求证： ； (3)如图2，在上求作一点 ，使 最小．作法： 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称性质得到边长关系即可求出； （2）利用轴对称换边，再使用三角形三边大小关系证明即可； （3）利用最短路径写出作法即可． 【详解】（1） 点 与A 关于直线对称， ， ， ， ； （2）连接 ， 38 / 75 学科网（北京）股份有限公司 点 与A 关于直线对称， ， ， ， ， 中 ， ； （3）作点A 关于直线对称点 ，连接 交直线于点 ，如下图所示． 【点睛】本题考查最短路径的画法和证明，轴对称的性质为对称轴上的点到关于对称轴对称的两个对应点 的距离相等．求解在直线上找一点使该点到直线同侧的两点的距离和最小，作法为作其中一点关于直线的 对称点，连接另一点与直线的交点． 40．在立方体纸盒的顶点A 处有一只蚂蚁，在另一顶点E 处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路 线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案： (1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ． (2)请根据数学知识说明理由： ． 39 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)③；①； (2)三角形的两边之和大于第三边 【分析】（1）根据三种爬行方案，即可求解； （2）根据题意，分别求出三种方案爬行的路程，再根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①； 故答案为：③；①； （2）解：根据题意得：方案①爬行的路程为AB+BC+CE， 方案②爬行的路程为AC+CE， 方案③爬行的路程为AE， 如图， 在△ABC 中，AB+BC＞AC（三角形的两边之和大于第三边）， ∴AB+BC+CE＞AC+CE， 在△ACE 中，AC+CE＞AE（三角形的两边之和大于第三边）， ∴AB+BC+CE＞AC+CE＞AE， 故答案为：三角形的两边之和大于第三边 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 题型11 线段问题综合 典｜例｜精｜析 41．如图，在四边形 中， ，M，N 分别是边 上的动点，当 的周长最小时， 的大小是（ ） 40 / 75 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C 关于 的对称点 ，作点C 关于 的对称点 ，连接 ，分别交 于点N，交 于点M，连接 ；先根据四边形的内角和求出 ，再根据三角形的性质求出 ，最后根据轴对称的性质求出 ，即可进行解答． 【详解】解：作点C 关于 的对称点 ，作点C 关于 的对称点 ，连接 ，分别交 于点N， 交 于点M，连接 ； ∵在四边形 中， ∴ ， ∴在 中， ， ∵点C 和点 关于 的对称，点C 和点 关于 的对称， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和，四边形的内角和，解题的关键是根据轴对称的 性质确定点M 和点N 的位置． 变｜式｜巩｜固 41 / 75 学科网（北京）股份有限公司 42．如图，在 中， ， 是 的平分线．若 分别是 和 上的动点，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可以把 关于 对称到 的 点，如此 的最小值问题即变为 与线段 上某 一点 的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作 关于 的对称点 ，则 ，连接 ，过点 作 于点 ，所以 、 、 三点共线时， ，此时 有可能取得最小值， 当 垂直于 即 移到 位置时， 的长度最小， 的最小值即为 的长度， ， ，即 的最小值为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一 点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 43．如图，四边形 中， ， ，在 ， 上分别找一点 ， ，使 的周长最小时，则 的度数为（ ） 42 / 75 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，连 接 、 、此时 的周长有最小值，由对称性求出 ，则有 ，即 可求 ． 【详解】 解：如图，作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，连接 、 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 的周长 ，此时 的周长有最小值， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 43 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关 键． 44．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB＝48°，点M 和点N 分别是射线OB 和射线OA 上的动点， 当△PMN 的周长为最小时，∠MPN 的度数为____度． 【答案】84 【分析】作 点关于 的对称点 ，连接 ， ， ，得 ， ；作 点关 于 的对称点 ，连接 ， ， ，得 ， ；根据 ； ， ， ， 共线时， 周长最短，再根据对称性质，即 可求出 的角度． 【详解】作 点关于 的对称点 ，连接 ， ， ； ∴ ， ， 作 点关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ∴ ， ， ∴ 当 ， ， ， 共线时， 周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在 中， ∴ ∵ ， ∴ ∵ 故答案为： ． 44 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性 质，对角等量代换． 题型12 面积综合 典｜例｜精｜析 45．如图， 和 关于 所在的直线成轴对称，点 ， 是中线 上的两点， 的面积是 ，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称， 面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， 45 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ， ． 故答案为： ． 变｜式｜巩｜固 46．如图，在 中， ， ，点A 关于 的对称点为 ，点B 关于 的对称点为 ，点C 关于 的对称点为 ． (1)在图中画出 ； (2)若 的面积为 ，则 的面积是______． 【答案】(1) 即为所求． (2) 【分析】本题考查作图 轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A 关于 的对称点为 ，即过点A 向 引垂线并倍长得到对称点 ，其他 点同理作图即可． （2）设 交 于点 ，延长 交 于点 ，根据轴对称的性质可得 ， ， ， ，则 与 关于点 成中心对称，可得 ， ， ， ，进而可得 ．根据三角形的面积公式可得 ，则可得 的 面积． 【详解】（1）略 46 / 75 学科网（北京）股份有限公司 （2）设 交 于点 ，延长 交 于点 ， 点 关于 的对称点为 ， ， ． 点 关于 的对称点为 ， ， 点 关于 的对称点为 ， ， 与 关于点 成中心对称， ， ， ， ， ． 的面积为 ， ， 的面积是 ． 故答案为： ． 47．如图1，已知长方形 中， ，连结 ，动点P 从点A 出发，以 的速度沿 的方向运动向终点C 运动，连结 ．设P 点运动的时间为t（秒） (1)当 时， _____ ；当 时， ______ ． (2)在点P 的运动过程中，当 平分 或 的面积时，求t 的值． (3)如图2，当点P 不与点B 重合时，作点P 关于 的对称点 ，分别连结 ①当 最短时，直接写出此时四边形 的面积； ②当四边形 的面积是长方形 的面积 时，直接写出t 的值． 【答案】(1)2 (2) 或 47 / 75 学科网（北京）股份有限公司 (3)① ；② 或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是 解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出 ，再结合 ，进行线段的和差运算， 即可作答． （2）先算出长方形的面积为 ，则 或 的面积为 ，结合 平分 或 的 面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出 最短，即点 与点 重合，根据轴对称的性质，得出 ，结合边形 的面积是长方形 的面积 ，即可作答． ②由得出 ，然后进行分类讨论，即当点P 在 上时和点P 在 上时，再根据三角形的面积 等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P 从点A 出发，以 的速度沿 的方向运动向终点C 运动， ∴当 时，则 ∵ ∴ ∴当 时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形 中， ∴ 等于 的面积， 即 ， ∵ 平分 的面积， ∴ ， 即 ， 48 / 75 学科网（北京）股份有限公司 解得 ． ∵ 平分 的面积， ∴ ， 即 ， 解得 ． ∴ 或 （3）解：①∵当点P 不与点B 重合时，作点P 关于 的对称点 ，分别连结 ∴ 最短时，即 最短 此时 （垂线段最短），即点 与点 重合 ∴ ②∵边形 的面积是长方形 的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P 在 上时 ∴ 解出 ； 当点P 在 上时 49 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 解出 ； 综上： 或 ． 48．如图， ，点 、 分别在射线 、 上， ， 的面积为 ， 是直线 上的动点，点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称点为 ，当点 在直线 上运动时， 的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，先利用三角形的面积公式求出 ，再根据 轴对称的性质可得 ， ， ，从而可得 ，然后利用 三角形的面积公式可得 的面积为 ，根据垂线段最短可得当点 与点 重合时， 取得最小 值， 的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ， ，且 ， ， 点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点为 ， 50 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， 的面积为 ， 由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ， 的面积的最小值为 ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 题型13 角度问题综合 典｜例｜精｜析 49．如图，在菱形 中， ，P 为AD 边上一点，连接 ，作 关于 对称的 ，点F 与点E 关于 对称．设 ，若点F 在 内（不包括边界），则x 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F 在 上时，点E，F 重合， 此时 即 ； 当点F 在 上时， ∴ 51 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， 解得 ． 所以x 的取值范围是 ． 故选B． 变｜式｜巩｜固 50．矩形 ，若按如图（1）翻折，点 的对应点 恰好落在 上，折痕分别为 ， ，则 的度数为 ；若按如图（2）翻折，点 的对应点 落在 的内部（不含角的两边），已知 ， ，则 的度数为______． 【答案】 /12 度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得 ， ，结合 进而得出 ，再求出 即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 51．如图，在四边形 中， ， ，点M，N 分别是 ， 上两个动点， 当 的周长最小时， 的度数为________ ． 52 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连 接 与 的交点即为所求的点 、 ，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行 求解即可． 【详解】解：作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，则： ． ∵ 的周长 ， ∴当 四点共线时， 的周长最短， 连接 与 的交点即为所求的点 、 ，如图： ∵ ， ∴ 三点共线， 三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为： ． 52．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸 片 中， ， 分别是边 ， 上一点，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处；再将 沿 折叠，使点 落在点 处，且 ， ， 三点在同一条直线上． (1)求 的大小； (2)图2 是由图1 得到的四边形纸片 ， ， 分别是边 ， 上一点，将纸片 沿 折 53 / 75 学科网（北京）股份有限公司 叠，使点 的对应点 恰好落在边 上， ， ，求 的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出 ， ，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知： ，根据折叠的性质设 ， ， 根据平角的定义可得 ， ，解方程求出 ， ，结合四边形的内 角和是 ，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得： ， ， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知： ， 设 ， ， 则 ， ， ∵ ， ， 故 ， ， 解得 ， ， 在四边形 中， ， 在四边形 中， ． 54 / 75 学科网（北京）股份有限公司 基础通关 1．（25-26 七年级下·浙江宁波·期中）下列图案中，可以看作是由图案自身的一部分经平移后得到的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.叶片轮廓大小不一致，平移不会改变图形大小与朝向，不满足平移特征，不符合题意； B.图中平行四边形斜边倾斜角度、朝向完全一致，仅水平错开位置，完全契合平移特点，符合题意； C.心形左右两半沿竖直中线对折能完全重合，依靠轴对称翻折形成，不符合题意； D.两个圆形眼睛是轴对称，整体图形依靠对称绘制，不符合题意． 2．（25-26 七年级下·江苏镇江·期中）如图，在 中， ，点F、G 是边 上的两点， 分别以线段 、 为折痕进行折叠，点B、点C 的对应点分别为点 、点 ，若线段 、 在同 一条直线上，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ， ， ． 3．（25-26 七年级下·江苏镇江·期中）如图，直线l 是长方形 的对称轴，点E 是直线l 上的点，若 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ） 55 / 75 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由轴对称的性质可知， ， ， ． 4．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在 中，直线 交 于点 ，点 关于直线 对称的点 恰好在线段 上，连接 ，若 ， ， ，则 的周长是（ ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得出 ， ，再得出 的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A 关于直线 对称的点E 恰好在线段 上， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ 的周长 ． 5．（25-26 八年级上·全国·单元测试）小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针 的位置如图所示，此时的时间是________． 56 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质．解题的关键是掌握镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中 的事物恰好左右对换，且关于镜面对称．据此解答． 【详解】解：小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时 时间是 ． 故答案为： ． 6．（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）如图，点D、E 分别在 的边 上，将 沿直线 折叠后，点C 与点A 重合．若 的周长为 ，则线段 的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的周长，解题关键是利用折叠的性质说明相关线段相等 先由翻折可得 ，进而求得 ，即可求解． 【详解】解：∵点D，E 分别在 的边 ， 上，将 沿直线 折叠后，点C 与点A 重合， ∴ ， ∵ 的周长为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 7．（24-25 七年级下·福建福州·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次 反弹最终落入2 号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是____次． 【答案】3 【分析】本题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．利用轴对称画出图形即可求解． 57 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：球的运动路线如图所示： ∴一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2 号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行 的次数是次； 故答案为： 8．（24-25 七年级下·全国·课前预习）下列说法正确的有___________个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线 的距离相等的两个点关于直线 对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线 段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此对各说法依次分析即可． 【详解】解：（1）线段的对称轴有两条，故原说法正确； （2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，故原说法错误； （3）对应点的连线与直线 的位置关系是互相垂直，且到直线 距离相等的两个点关于直线 对 称，故原说法错误； （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故原说法错误； ∴说法正确的只有1 个． 故答案为：1． 9．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，小河 边有两个村庄 ， ，现要在河边建一个自来 水厂 为 村与 村供水，自来水厂建在什么地方到 村、 村的距离和最小？请在下图中找出点 的位 置，并标出 点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出 点关于直线 的对称点 ，对于直线 上任一点 ，有 58 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ，则 ，当 、 、 共线时取最小值，则连接 交CD 于点 即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作点 关于直线 的对称点 ，再连接 交 于点 ，点 即为所求． 10．（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，若 与 关于直线 对称， 交 于点 ． (1)点 的对称点是点_______，点 的对称点是点______； (2)若 ，则 _______； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1) ， (2) (3) ， （答案不唯一） 【分析】本题考查了图形成轴对称的定义及性质： （1）（2）（3）观察图形，根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵ 与 关于直线 对称， ∴点 的对称点是点 ，点 的对称点是点 故答案为： ， ； （2）解：∵ 与 关于直线 对称， ∴ ，则 ， 故答案为： ； （3）解：∵ 与 关于直线 对称， ∴ ， ．（答案不唯一）． 素养提升 59 / 75 学科网（北京）股份有限公司 11．（25-26 七年级下·浙江宁波·阶段检测）小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的 纸片进行了折叠： 若图3 中， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将纸片展开，得到长方形 ．根据三角形的内角和定理求出 ，根据折叠求出 ，从而根据角的和差得到 ，因此 ，再由三角形的内 角和求出 ，根据折叠的特点与角的和差即可求解． 【详解】解：如图，将纸片展开，得到长方形 ． 则 ， ， ∵ ， ∴ ， 由折叠可得 ， ∴ ， 即 ∴由折叠可得 ， ∴ ， ∴由折叠可得 ， ∴ ． 12．（2026·陕西西安·三模）如图，一束光线从 上的点 发出，经过平面镜 上的点 反射后，其 反射光线 与 平行，若测得 ，则 的度数为（ ） 60 / 75 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得出 ，结合反射性质 ，再利用三角形外角性质建立方程求解即 可． 【详解】解： ， （两直线平行，同位角相等）， 由光的反射性质可知 ， ， 是 的外角， ， ， ， ． 13．（25-26 九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图， 与 交于点 ， 与 关于直线 对 称，点 ， 的对称点分别是 ， ， 交 于点 ．下列说法中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由轴对称的性质可得 ， ， ， ， ∴ ， 故说法中不一定正确的是 ． 14．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的动点，当 的周长最小时， 的度数是（ ） 61 / 75 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A 关于 的对称点E、F，连接 分别交 于点H、G，连接 ，则当点M 与点H 重合，点N 与点G 重合时， 的周长最小，可得 的大 小． 【详解】解：如图，作点A 关于 的对称点E、F，连接 分别交 于点H、G，连接 ， 由对称性知： ， ∴ ， ∴当点M 与点H 重合，点N 与点G 重合时， 的周长最小； ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 此时 ． 15．（25-26 七年级下·浙江舟山·期末）如图，在一次数学实践活动课中，某同学将一条对边互相平行的 62 / 75 学科网（北京）股份有限公司 纸带进行两次折叠．第一次沿 折叠， ， 落在 ， 处， 交 于点 ，第二次沿 折叠， ， 落在 ， 处，若 ，则 的度数为_________． 【答案】 / 度 【分析】依据纸带对边平行的条件，利用平行线的内错角相等性质，得到相关角的等量关系，根据折叠前 后对应角相等的性质，分别整理两次折叠后相等的角，建立角之间的数量关系，结合已知 的条 件，将所有相关角用同一个未知角表示，再利用直线上的邻补角和为 或平行线同旁内角和为 的性 质列方程求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴ ， 又∵纸带对边平行，即 ， ∴ ， 且 ， ∴ ， ∴ ， 在第二次折叠中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ． 16．（25-26 七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的 电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 63 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是 ． 17．（25-26 七年级下·浙江金华·期末）如图，已知在 中， ，点 为边 上一点．点 为射线 上的一点，连接 ，将 向上翻折得到 ，使点 的对应点为点 ，连接 ．记 ， ，若 ，则 与 的数量关系为________． 【答案】 或 ． 【分析】分两种情况讨论：①当点 在 上时；②当点 在射线 上时，利用折叠和平行线的性质分 别求解即可． 【详解】解：①当点 在 上时， 由折叠的性质可知， ， ， ， ， ， ， ； ②当点 在射线 上时， ， ， 由折叠的性质可知， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上可知， 与 的数量关系为 或 ． 18．（25-26 七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张足够长的长方形纸条的左侧进行折叠，折痕为 64 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ，点A，B 的对应点分别为 ， ， ，边 ， 上分别有动点M，N，再将纸条右侧 沿着 折叠，折叠后点C，D 的对应点为 ， ，若 ，则 的度数为__________． 【答案】 或 【分析】由折叠性质可知， ，根据角的和差求出 ，可知 ，根据平行线的性质得到 ，由折叠性质可知 ，得到 ， ，分两种情况根据折叠的性质及平行线的性质作答即可． 【详解】解：由折叠性质可知， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由折叠性质可知 ， ∴ ， ∴ ， 如图，当点M 在点N 左侧时，延长 交 于点G， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 65 / 75 学科网（北京）股份有限公司 由折叠性质可知 ， ∵ ， ∴ ； 如图，当点M 在点N 右侧时， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 由折叠性质可知 ， 综上所述， 的度数为 或 ． 19．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1 个单位长 度， 的三个顶点都在格点上． (1)画出 关于直线 成轴对称的 ； (2)在直线 上找一点 ，使 的周长最小，请用画图的方法确定点 的位置，并直接写出 周 长的最小值为_________． 【答案】(1) 解： 即为所求； 小学 初中 66 / 75 学科网（北京）股份有限公司 (2) 【分析】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值作对称图形根据关于轴对称的线段相等的 性质解题即可． （1）对称的意义找到对称轴作图即可； （2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 与 交于点P，此时可取得 周长的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：作点 关于直线 的对称点 ，连接 与 交于点P，此时 的长即为 的最小 值． 周长 ， 周长的最小值为 ． 20．（25-26 七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 67 / 75 学科网（北京）股份有限公司 素材 光线照射到平面镜上会发生光的 反射现象．根据光学规律：反射 光线与镜面所成的锐角，和入射 光线与镜面所成的锐角大小相 等，例如：在图中，有 ． 完成项目： (1)项目1：如图 ，已知有两个平面镜镜面 与镜面 ，入射光线 先后经镜面 ， 形成反射， 记反射光线分别为 ， ． ①若 ，求 的度数． ②若 ， ， ，求 ， 之间的数量关系． (2)项目2：如图3，现有三个平面镜 ， ， ，入射光线 先后经镜面 ， ， 反射，反射 光线依次为 ， ， ，且满足 ． ①若 ， ，求 的度数． ②求 ， ， 的数量关系． 【答案】(1)① ；② (2)① ；② 【分析】（1）①根据光的反射规律得 ，结合平角的定义即可解答； ②由反射规律得 ， ， 结合平行线的性质即可解答； 68 / 75 学科网（北京）股份有限公司 （2）①由反射规律得 ， ， 结合平角的定义即可求出 ， ， 过点 作 ，根据 和平行线的性质得出 即可求解； ②设 ， ，由反射规律得 ， ， 则 ， ，同①可得 ，再表示出 ， 即可解答； 【详解】（1）解：①根据光的反射规律得： ， ∵ ， ∴ ； ②由反射规律得： ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 整理得 ； （2）解：①由反射规律得： ， ， ∴ ， ， 过点 作 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ； ②设 ， ， 69 / 75 学科网（北京）股份有限公司 由反射规律得： ， ， ∴ ， ， 过点 作 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； ∵ ， ， ∴ （或等价形式 等也正确）． 迁移创新 21．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）把长方形纸片 沿 折叠后再次沿 折叠成如图所示， 且 的对应线段 恰好落在 上，设 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到 、 ， ，再利用长方形的性质 求出 ，进而求出 的度数，利用 求解即可． 70 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：根据折叠的性质得： 、 ， ， 在长方形 中， ， ， ， ， ， ． 22．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）如图①，已知长方形纸带 （ ）， 为 上一 点．先将纸带沿 折叠，使得点 落在 处， 与 交于 点．如图②，再将纸带沿线段 折叠 一次，使得点 ， 分别落在 ， 位置．若 ，则 ________（用含 的式子表示） 【答案】 【分析】根据长方形纸带得到 ，则有 和 ，根据折叠得 ，则 ，再次根据折叠得 ，即可得 ，则有 ，得到 ，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵长方形纸带 ， ∴ ， ∴ ， ， ∵纸带沿 折叠，使得点 落在 处， ∴ ， ∴ ， ∵纸带沿线段 折叠一次，使得点 ， 分别落在 ， 位置， ∴ ， ∴ ， 则 ， ，解得 ， ∵ ， 71 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ，解得 ． 23．（25-26 七年级下·浙江绍兴·期末）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，将 沿 折叠，使点 落在点 处，将线段 沿着 向右平移若干单位长度后恰好能与边 重合，连结 ．若 ，则阴影部分的周长为______． 【答案】 24 【分析】根据折叠的性质得到 ，由平移的性质得到 ， ，对阴影部分的周长进行 等量代换即可得到结论． 【详解】解： 将 沿直线 折叠，使点 落在点 处， ， ， 线段 沿着 向右平移若干单位长度后恰好能与边 重合， 点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ， ， ， 阴影部分的周长为 ． 24．（25-26 七年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，三角形 中， ，点D 是 边 上的定点，点E 在 边上运动，沿 折叠三角形 ，点C 落在点G 处．（温馨提示：三角形内角和 为180 度） (1)求 的度数． (2)当点G 落在线段 上时，请判断 和 的位置关系，并说明理由． (3)当三角形 的三边与三角形 的三边有一组边平行时，直接写出所有情况下 的度数 72 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图， 由折叠可得， ， 当点G 落在线段 上时， ∴ ∵ ∴ ∴ ； (3) 或 或 或 或 或 【分析】（1）由三角形内角和定理求解即可； （2）由折叠可得 ，此时 ，则可得 ，即可证明 ； （3）分类讨论，画出对应的图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ； （2）略 （3）解：由折叠可得， ， ①如图所示， ， ∴ ； 如图所示， ， 73 / 75 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ； ②如图所示， ， ∴ ； ③如图所示， ， ∴ ； ④如图所示， ，则 ， ∵ ， ∴ ； 如图所示， ， ∴ ， 74 / 75 学科网（北京）股份有限公司 根据折叠可知， ， ∴ ， ∴ ； ⑤如图所示， ，则 ， 由折叠可得， ∴ 综上所述， 的度数为 或 或 或 或 或 ． 25．（25-26 八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A 出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料， 最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B 关于能源站直线l 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为最优燃料点 ，此时路径 最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点 ，连接 ， ， ，只要说明 即可． 证明： 直线是点 ， 的对称轴，点 ， 在上， ， ， ． 在 中， ， ，即 最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B 转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线 段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1 中画出最短路径； (3)如图4，在 中， ， ．若点 在 上移动，点 在 上移动，如何确定 的最小值？ 75 / 75 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) ， ， ， ； (2) 解：如图， 即为最短路径； (3) 解：过点 作 的垂线，垂足为点 ，交 于点 ，此时 的最小值为 的长． 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点 之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将 转化为 ，再结合三角形三边 关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最 短”确定最短路径即可； （3）过点 作 的垂线，垂足为点 ，交 于点 ，此时 的最小值为 的长． 【详解】（1）证明： 直线是点 ， 的对称轴，点 ， 在上， ， ， ． 在 中， ， ，即 最小． （2）略 （3）略
