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2.1 图形的轴对称
题型一：轴对称图形的识别
1．（河南省2025 年招考模拟九年级数学试卷）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·海南海口·二模）下列图案中不是
．．轴对称图形的是（ ）
A．
B．
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2 /
C．
D．
3．（2025·河北邯郸·二模）下列交通标志中，不属于轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东潍坊·三模）2025 年世界运动会将于8 月7 日至8 月17 日在四川省成都市举行，是中国第二
次举办世界运动会．下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 九年级下·云南·学业考试）“国士无双”是人民对隐姓埋名30 年，一身忠骨铸丰碑的“中国核潜艇之
父”黄旭华院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·山西运城·模拟预测）博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络、提升历史认知
的重要场所．以下四个博物馆标识，其文字上方的图案不是轴对称图形的是（ ）
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3 /
A．
B．
C．
D．
7．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：根据成轴对称图形的特征进行判断
1．（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）如图，
ABC
和
1
1
1
A BC
△
关于直线m 对称，则下列结论：①直线m 是
线段
1
AA 的垂直平分线；②直线m 被线段
1
BB 垂直平分；③
1
1
AB
A B
=
.其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
2．（24-25 八年级上·河北保定·期中）如图，若
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，BB交MN 于点O，则
下列说法不一定正确的是（ ）
A．BC
B C
=
B．CO
C O
=
C．AA
MN
⊥
D．AB
B C
=
3．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于BD所在的直线对称（四边形ABCD，
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4 /
AB
AD
），AC 与BD相交于点O，BD
AC
⊥
，且AO
OC
=
，则下列推断不正确的是（ ）
A．AD
CD
=
B．
ABD
CBD
≌
△
△
C．
ABD
CBD
=
D．
ABC
是等边三角形
4．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形ABED ）关于AE 所在
的直线对称，下列判断不正确的是（ ）
A．AB
AD
=
B．BC
CD
=
C．BE
DE
=
D．BC
AC
=
5．（24-25 八年级上·江苏·课后作业）如图，
AOD
△
关于直线l 进行轴对称变换后得到BOC
，下列结论中
不正确的是（ ）
A．1
2
=
B．
3=
4
C．l 垂直平分
,
AB CD
D．
,
OA
OC OB
OD
=
=
6．（24-25 九年级下·甘肃陇南·开学考试）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线
平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做“滑动对称变换”．如图，
2
2
2
A B C
△
是由
ABC
沿着直线l 滑动
对称变换得到的，下列不一定正确的是（ ）
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A．
1
1
2
AA
C C
⊥
B．
2
2
2
ABC
A B C
≌
C．
ABC
与
2
2
2
A B C
△
关于某点中心对称
D．直线l 垂直平分
1
BB
7．（24-25 八年级上·全国·期中）如图，
ABC
和A B C
关于直线l 对称，下列结论中不正确的（ ）
（1）
A
ABC
B C
≌
△
△
．
（2）
BAC
B AC
=
．
（3）直线l 垂直平分CC．
（4）直线BC 和B C
的交点不一定在直线l 上．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
8．
（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，ABC
与A B C
关于直线l 对称，连接AA
BB
CC
，
，
，其中BB
分别交AC
A C
，
于点D
D
，
，下列结论：①AA∥BB；②
ADB
A D B
=
；③直线l 垂直平分AA；④直
线AB 与A B
的交点不一定在直线l 上．其中正确的个数有（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型三：根据成轴对称图形的性质求角度
1．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在
ABC
中，
B
C
=
，
75
C
=
，
AB C
△
与
ABC
关
于直线EF 对称，
10
CAF
=
，则
CAB
的度数为 ．
2．（2025·山东济南·三模）如图，ABC
与
ADC
△
关于AC 所在直线对称，若
80
B
=
，
140
BAD
=
，则
ACB
的度数为 ．
3．（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，在
ABC
中，
38
A
=
，点D 是边AB 上一点，点B 关于直线CD
的对称点为B，当B D
AC
∥
时，则
CDB
的度数为 ．
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4．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）在
ABC
中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于D，点B 关于CD的对称点B
在AD上，若
18
ACB
=
，则
B
= ．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，
50
80
B
C
=
=
，
，D 是BC 上任意一点，M 和
N 分别是点D 关于AB 和AC 的对称点．连接AM 和AN ，则
MAN
的度数为 ．
6．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，AOC
△
和
AOB
关于直线AO 对称，DOB
和
AOB
关于直线BO
对称，AC 与BD相交于点E ．若
20
C
=
，
30
D
=
，则
BEA
的度数为 ．
7．（24-25 八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，
ABC
中，
60
B
=
，
47
C
=
，点D 为BC 边上一动点，
分别作点D关于AB ，AC 的对称点E ，F ，连接AE ，AF ，则
EAF
的度数等于 ．
8．
（24-25 八年级上·安徽芜湖·期末）如图，ABC
和ABE
关于直线AB 对称，ABC
和
ADC
△
关于直线AC
对称，AD与BE 相交于点F，若
32
ABC
=
，
18
ACB
=
，则
BFD
= ．
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9．（24-25 七年级上·山东威海·期末）如图，
MON
内有一点P ，点P 关于OM 的轴对称点是G ，点P 关于
ON 的轴对称点是H ，GH 分别交OM 、ON 于A 、B 点，若
35
MON
=
，则
APB
= ．
题型四：根据成轴对称图形的性质求线段长度
1．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图，MON
内有一点P，P 点关于OM 的轴对称点是G，P 点关于ON
的轴对称点是H，GH 分别交OM 、ON 于A、B 点．若GH 的长为16，则PAB
的周长为 ．
2．（24-25 九年级上·新疆喀什·期中）如图，
ABC
和DEF
关于直线L 对称，
10
AB =
，
7
EF =
，
ABC
的周长为25，则AC =
3．（23-24 七年级上·上海·单元测试）如图，点P 是
AOB
外的一点，点M ，N 分别是
AOB
两边上的点，
点P 关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，若
3
PM =
，
4
PN =
，
5
MN =
，则线段QR 的长为 ．
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4．（23-24 七年级下·江西吉安·期末）如图，在
ABC
中，
8cm
AB =
，
4cm
AC =
，
5cm
=
BC
，点D ，E 分
别在AC ，AB 上，且
BCD
△
与BED
关于BD对称，则
ADE
的周长为 cm．
5．（23-24 七年级下·河北保定·期末）如图，点P 是
AOB
外的一点，点M，N 分别是
AOB
两边上的点，
点P 关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，若
2.5
PM =
，
3.5
PN =
，
3
MN = ，则线段QR 的长为 ．
题型五：台球桌面上的轴对称问题
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角
落以45角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1 中回弹次数为1 次，图2
中回弹次数为2 次，图3 中回弹次数为3 次，图4 中回弹次数为5 次．若某台球桌长宽之比为5:4，按同样
的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次．
A．6
B．7
C．8
D．9
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2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向
击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，
则球最后落入的球袋是（ ）
A．1 号袋
B．2 号袋
C．3 号袋
D．4 号袋
3．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如
图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
4．（2023 八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四
个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1 号袋
B．2 号袋
C．3 号袋
D．4 号袋
5．（23-24 八年级上·辽宁铁岭·期中）中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得
了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表
示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋
是 号袋．
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6．（23-24 八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N 两个球，若要将M 球射向桌面的一边，
反弹一次后击中N 球，则A，B，C，D，4 个点中，可以反弹击中N 球的是 点．
7．（23-24 八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，
如图所示，1
2
= ，若
3
35
=
，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证
1
为 ．
题型六：轴对称中光线反射问题
1．（2025·山西吕梁·二模）如图，AB 为平面镜，CD为水面，AB
CD
．一束光线从点O射入，经过平面镜
AB 反射后，从光线OE 变成光线EF ，再经过水面CD折射，从光线EF 变成光线FG ．若1
45
=
，2 15
=
，
则
DFG
的度数为（ ）
A．55
B．60
C．65
D．70
2．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面AB 上放置一平面镜，从激光笔的P 点发出的光线照射到平面镜
的O处，反射光线为OQ ，且点Q 恰好落在与地面垂直的墙面AC 上．若
58
AQO
=
，则
BOP
的度数为（ ）
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A．25
B．21
C．32
D．43
3．（24-25 九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，镜面AB 与水平桌面b 的夹角
50
ABC
=
，光线PD经平面镜反
射到水平天花板a ，与反射光线DE 的夹角
30
PDE
=
，则光线PD与天花板所形成的夹角
DFE
的度数为
（ ）
A．20
B．25
C．30
D．45
4．
（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线EF 经平面镜CD反射后，反射光线FG 与水平地面AB 平行．测
得平面镜与水平地面的夹角
CDA
的度数为32，则此时的太阳光线EF 与水平地面所形成的锐角的度数是
（ ）
A．32
B．45
C．58
D．64
5．（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M 射出的光线射到直线a 上的A 点，
入射角为15，然后反射光线射到直线b 上的B 点，当这束光线继续从B 点反射出去后，反射光线与直线b
所夹锐角的度数为（ ）
A．30
B．25
C．20
D．15
6．（23-24 七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，
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1
2
50
= =
，则
3
的度数为（ ）．
A．80
B．90
C．100
D．120
7．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平
面镜1l ，2l ，两个平面镜所成的夹角为1
，位于点 D 处的甲同学在平面镜2l 中看到位于点A 处的乙同学
的像，其中光的路径为入射光线AB 经过平面镜1l 反射后，又沿BC 射向平面镜2l ，在点 C 处再次反射，
反射光线为CD，已知入射光线
2
AB
l
∥，反射光线
1
CD
l
∥ ，则1
等于（ ）
A．40
B．50
C．60
D．70
8．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一
平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角( 入射角) 等于反射光线与法
线的夹角( 反射角) ，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜CD以
改变光的路线，当太阳光线EF 与水平线AB 的夹角
30
AFE
=
时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井
底( 即FG
AB
⊥
) ，则调整后平面镜CD与水平线AB 的夹角
AFC
为（ ）
A．30
B．60
C．70
D．80
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题型七：折叠问题
1．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，将一张长方形纸片进行折叠，若
2
1
20
−=
，则
EFB
的度数为
（ ）
A．45
B．50
C．65
D．55
2．（24-25 七年级下·浙江丽水·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，使点A ，点B 重合
于点E ，折痕分别为
,
,
CG DF CE
DF
∥
，且
3
GCD
ECD
=
，则
CED
的度数是（ ）
A．30
B．36
C．45
D．72
3．（24-25 七年级下·广东广州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点H 和点G 分别在边AD和BC 上的
动点，点E 和点F 分别是边AD和BC 上的点，现将点A ，B ，C ，D 分别沿EF ，GH 折叠至点N ，M ，
P ，K ，若MN
PK
∥
，且
86
KHD
=
，则
EFC
的度数为（ ）
A．34或94
B．43或133
C．34或113
D．43或47
4．（24-25 七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形纸条折叠得1
和
2
，则1
与
2
满足的数量关系为
（ ）
A．1
2
90
+=
B．1
2 2
=
C．2 1
2
90
−
=
D．2 1
2 180
?
?
?
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15 /
5．（24-25 七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．在图1 的基础上继续折
叠，使得图1 中的CD边与CB 边重合( 如图2) ，若继续沿CB 边折叠，CE 边恰好平分
ACB
，则此时的
度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．60
D．70
6．
（24-25 七年级下·山东菏泽·期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF 折叠后，点 D，C 分别落在点D¢，
C的位置上，ED与 BC 的交点为 G，若
2
110
=
，则
EFC
的度数是 ．
7．（24-25 七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形ABCD沿EF 翻折，再沿ED翻折，若
108
FEA
=
，
则
=
CFE
度．
题型八：轴对称中作图问题
1．（23-24 七年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形ABCD与四边形A B C D
成轴对称．
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(1)请画出它们的对称轴l；
(2)若CM
AB
⊥
，垂足为M，试画出点M 关于直线l 的对称点M．
2．（23-24 七年级下·全国·课后作业）如图，
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，A B C
与
A B C
△
关于
直线EF 对称．
(1)请用直尺和圆规作出直线EF （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)设直线MN 与EF 相交于点O，试探究直线MN ，EF 所夹锐角
MOE
与
BOB
的数量关系．
3．（23-24 七年级下·全国·单元测试）如图，用直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹）：
(1)如图①，在
ABC
中，
90
C
=
，
60
B
=
，在边AC 上作一点D ，使
BCD
△
的三个内角分别为30，
60，90；
(2)作图②的对称轴．
4．（24-25 七年级上·山东烟台·期中）在如图所示的方格纸中，
ABC
三个顶点均在格点上，这样的三角形
叫做格点三角形．请在下列方格纸中，分别画出不同的与原
ABC
成轴对称的格点三角形，并画出对称轴m ．
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17 /
5．（24-25 七年级下·全国·期末）如图，ABC
和A B C
的顶点都在边长为1 的正方形网格线的交点上，且
ABC
和A B C
关于直线m 成轴对称．
(1)
ABC
的面积为________；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴m ；
(3)请在线段BC 的上方找一点D （不与点A 重合），画出
DCB
△
，使DCB
ABC
≌
．
6．（24-25 八年级上·江苏南京·期中）如图，网格中的
ABC
与DEF
为轴对称图形．
(1)
ABC
的面积为_______；
(2)利用网格线作出
ABC
与DEF
的对称轴l；
(3)结合所画图形，在直线l 上画出点P，使PA
PC
+
最小．
7．（24-25 八年级上·河北承德·期末）如图，
ABC
和A B C
的顶点都在边长为1 的正方形网格的格点上，
且
ABC
和A B C
关于直线m 成轴对称．
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(1)直接写出
ABC
的面积为 ；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴m；
(3)请在线段AC 的右侧找一点D，画出
DCB
△
，使
ABC
DCB
△
≌△
．
题型九：钟表中镜面对称问题
1．（23-24 八年级上·广西河池·期中）小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（ ）
A．2110
∶
B．10 21
∶
C．10 51
∶
D．12 01
∶
2．（24-25 八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8:00的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 八年级上·甘肃平凉·期中）如图，图中显示的是从镜子中看到背的电子钟读数，由此你推断这时
的实际时间是（ ）
A．20:05
B．21:02
C．20:15
D．21 05
4．（24-25 七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：
，实际
时间是 ．
5．（24-25 八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是80:25:41，则实际时间是 ．
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6．（24-25 八年级上·江苏泰州·阶段练习）从镜中看到的一串数字是80080，这串数字应为 ．
7．
（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）从镜子里看黑板上写着
，那么实际上黑板写的是 ．
题型十：设计轴对称图形
1．（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）如图所示在3×3 的正方形网格中，已经有3 个小正方形涂了阴影，请
你在余下的空白小方格中涂上1 个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来．
2．（24-25 七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，16 个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小
方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形．
3．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段练习）把一个大正方形分成9 个相同的小方格，给图中的1 个白色小方
格涂上阴影，使整个图形成为一个轴对称图形，请用4 种不同的画法表示．
4．（24-25 八年级上·吉林·期中）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家
柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，
轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的
图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
5．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，方格纸上画有AB 和CD两条线段，请仅用无刻度的直尺在图中
添上一条线段，使图中的3 条线段组成一个轴对称图形（画出4 种，不写作法）．
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20 /
6．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在“4 4
”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请
你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点
．．．．．．的三角形，将所画三角形涂上阴影
．．．．．（注：所画
的四幅图不能重复）
7．（24-25 八年级上·四川广安·期中）如图甲，正方形被划分成16 个全等的三角形，将其中若干个三角形涂
黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
图乙与图丙是一种涂法，请在图1~ 3中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，
则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）
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21 /
8．（24-25 八年级上·四川广安·阶段练习）如图所示，在4 4
的方格内，已将其中的2 个小正方形涂成黑色，
请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4 个黑色小正方形组成一个
轴对称图形，画出与示意图不同的4 种方案．（每个4 4
的方格内限画一种）
要求：
（1）4 个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能
够重合，均视为一种方案）
题型一：轴对称中最值问题
1．
（23-24 八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形ABCD中，
130
90
BAD
B
D
=
=
=
，
，在BC
CD
、
上分别找一点M、N，使AMN
周长最小时，则
AMN
ANM
+
的度数为（ ）
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A．130
B．120
C．110
D．100
2．（23-24 七年级下·广东深圳·期末）如图，将线段BC 沿着射线CA 折叠得到CD，延长CD到E，连接BE ，
点F 是射线CA 上的一个动点，连接FE，FD ，若
20
BC =
，
28
EC =
，DEF
的周长的最小值为22，则BE
长为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
3．（23-24 八年级上·北京西城·期中）ABC
中，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，
8
AB =
，BD是
ABC
的角平
分线，点E、F 分别是线段BD、线段AB 上的动点，则AE
EF
+
的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．8
D．16
4．（2024 八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在长方形ABCD中，
3
AB = ，
4
BC =
，点E 在四边形ABCD内
部，且点E 到BC 边的距离为2，当BE
EC
的值最小时，
ECB
的度数为（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
5．（24-25 八年级上·四川内江·阶段练习）如图，在锐角三角形ABC 中
5
AB =
，
ABC
的面积15，BD平分
ABC
交AC 于点D，若M
N
、分别是BD
BC
、
上的动点，则CM
MN
+
的最小值为（ ）
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23 /
A．3
B．4
C．5
D．6
6．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，
ABC
中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，
4
AB =
，点E 在BC 上，
且
2
BE = ，点P 在
ABC
的平分线BD上运动，则PE
PC
+
的长度最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（24-25 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，点E ，M ，N 分别是各边上的动
点，若
10
AB =
，
8
AC =
，
6
BC =
，则EM
EN
MN
+
+
的最小值是 ．
8．（2025·广东·模拟预测）如图，在
ABC
中，
8
AB
AC
=
=
，
60
BAC
=
，点E 为高AD上的一动点，以BE
为边作等边
BEF
△
，连接DF ，CF ，则
BCF
= ，FB
FD
+
的最小值为 ．
题型二：解答题中的折叠问题
1．（24-25 七年级下·四川南充·期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF 折叠，点D，C 分别落在点D¢，
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24 /
C的位置，ED的延长线与BC 相交于点G．
(1)如图1，1:
2
2:3
=
，求
EGB
的度数；
(2)如图2，延长EG AB
,
交于点M，若
20
M
=
，求
EFC
的度数．
2．（24-25 七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知M ，N 分别是长方形纸条ABCD边AB ，CD上两点（其中
AB
CD
∥
且AM
DN
），如图1所示沿M ，N 所在直线进行第一次折叠，点A ，D 的对应点分别为点E ，F ，
EM 交CD于点P ．
(1)若
30
NMA
=
，则
FNP
的度数为 ．
(2)如图2 ，继续沿PM 进行第二次折叠，点B ，C 的对应点分别为点G ，H ．
①若
70
CPM
=
，则
AMG
的度数为 ．
②若
4
AMG
CNM
=
，请求出
CPM
的度数．
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25 /
3．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，E
F
、分别是边AD
BC
、
上一点，
(
)
0
90 ,
60
DEF
=
，将纸带ABCD沿EF 折叠成图1，再沿GF 折叠成图2．
(1)当
25
=
时，则
FGD
=______，
GFC
=______；
(2)两次折叠后，求
NFE
的大小（用含的代数式表示）；
(3)当
NFE
和
DEF
的度数之和为100时，求的值．
4．（24-25 七年级下·湖北武汉·期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着MN 折叠，
,
C D 翻折后的对应点
分别为
,
C D
．
(1)如图（1），若点C恰好落在AD上，且NC平分
BNM
，求
D C M
的度数；
(2)如图（2），将长方形纸片沿PQ 折叠，点
,
A B 翻折后的对应点分别为
,
A B
，使得QB和MD'在同一条直
线上，求证PQ
MN
∥
；
(3)若直线D C
与直线AD相交于点E ，
(
)
0
90
MNC
=
，直接写出
DEM
的度数（用含的式子
表示）．
5．（24-25 七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片ABCD沿MN 和PQ 折叠得到一个轴对称的帽子，
折痕角
=
AMN
DPQ ，点A ，D 的对应点分别为点G ，H ，折叠后点B ，C 的对应点恰好都在点E．
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26 /
(1)若折痕角
105
AMN
=
，求帽子顶角
NEQ
的度数；
(2)设
=
GMD
x度，
=
NEQ
y 度．
①请用含x 的代数式表示y ，则y =________；
②当
2
=
MNE
GMD 时，帽子比较美观，求此时y 的值．
6．（24-25 七年级下·全国·期末）如图1，将一条长方形纸带沿EF 折叠，设
AED
x
= 度．
(1)若
130
x =
，则
EFB
= 度；
(2)将图1 纸带继续沿BF 折叠成图2，则
EFC
= 度．（用含x 的代数式表示）
7．
（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）已知M ，N 分别是长方形纸条ABCD边AB ，CD上两点（其中AB
CD
∥
且AM
DN
），如图1所示沿M ，N 所在直线进行第一次折叠，点A ，D 的对应点分别为点E ，F ，EM 交
CD于点P ．
(1)若
35
NMA
=
，则
FNP
的度数= __________．
(2)如图2，继续沿PM 进行第二次折叠，点B ，C 的对应点分别为点G ，H ．
①若
72
CPM
=
，则
2
的度数= __________．
②若
2
2 1
= ，请求出
CPM
的度数．
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27 /
题型三：轴对称图形中的探究问题
1．（24-25 七年级下·河南驻马店·期中）综合与实践．
【知识初探】
（1）如图①，长方形纸条ABCD中，AB
CD
∥
，AD
BC
∥
，
90
A
B
C
D
= =
=
=
，将纸条按如图①
所示方式折叠，点A 落在A处，点D 落在D¢处，得到折痕EF ，A E
交CD于点G ．
①若
41
AEF
=
，则
AGC
= ______度
②若
AEF
=
，则
A GC
=______（用含的式子表示）
【类比再探】
（2）如图②，在图①的基础上将
CGE
对折，点C 落在直线CE 上的C处点B 落在B处．得到折痕GH ．则
折痕EF 与GH 有怎样的位置关系？说明理由．
2．（2025 七年级下·河南·专题练习）【提出问题】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题
——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A 出发，到达河岸饮马后再回到点B 宿营，他时常想，怎么走才
能使每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B 关于直线l 的对称点B，连接AB与直线l 交于点C，点C 就是饮马的地方，此时所走的路程之
和就是最短的（如图2）．
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小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l 上另取任意一点C，连接AC，BC，B C
，我只要说明AC
CB
AC
C B
+
+
即可．因
为直线l 是点B，B的对称轴，点C，C在l 上，所以CB =______，C B= ______，所以AC
CB
AC
CB
+
=
+
=
______．
在
AC B
△
中，因为AB
AC
C B
+
，所以______
AC
C B
+
，即
+
AC
CB最小．
请完善小亮的说明过程．
本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B 转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形
两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，B两点的线中，线段AB最短）．
【解决问题】
如图4，牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B 处，请画出最短路径．
3．（24-25 七年级下·辽宁铁岭·期中）【综合与实践▪操作探究】
在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相
关问题．
操作步骤：
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29 /
1．如图，准备锐角三角形纸片ABC ；
2．第一次折叠，将
B
折叠，使点B 落在AB 边上的点B处，折痕为DE （D 在BC 上，E 在AB 上）；
3．第二次折叠：将
C
折叠，使点C 落在B D
边上点C处，折痕为DF （F 在AC 上）．
问题：
(1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕DE 与AB 的位置关系，并说明理由；
(2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明DF
AB
；
(3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：
180
A
B
C
++
=
．
4．（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知
45
AOB
＝
．
【初步认识】
（1）尺规作图：求作直线l ，使OA和OB 关于直线l 对称；（不写作法，保留痕迹）
【理解应用】
（2）如图2 ，若OP 在
AOB
内部，OP 和
1
OP 关于OB 对称，OP 和
2
OP 关于OA对称，求
1
2
POP
的度数；
（3）如图3，若OP 在
AOB
外部，且0
45
AOP
，OP 和
1
OP 关于OB 对称，OP 和
2
OP 关于OA对称，
求
1
2
POP
的度数；
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30 /
【拓展提升】
（4）若OP 和
1
OP 关于
AOB
的边OB 对称，且
1
1
4
AOP
BOP
=
，则
AOP
的度数是_____．
5．（24-25 七年级下·山东济宁·期中）如图，
ABC
．
某同学进行了下面操作：
第一步，将边AB 沿过点A 的一条直线折叠，使AB 与AC 所在直线重合，折痕与BC 交于点D，折叠后展开；
第二步，将边AD沿过点D 的一条直线折叠，使AD与DC 所在直线重合，折痕与AC 交于点E，折叠后展
开；
第三步，对折线段AD（即把线段AD沿某一直线折叠，使点A 与点D 重合），折痕与AB ，AD分别交于点
F，G，折叠后展开；
第四步，对折线段FG （即把线段FG 沿某一直线折叠，使点F 与点G 重合），折痕与AB
BD
FG
，
，
分别交
于点H，K，P，折叠后展开．
根据上面的操作，解答下面问题：
(1)猜想HK 与AD的位置关系，并证明你的猜想；
(2)若
ADE
DAE
=
，
39
B
=
，求
HKC
的度数．
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1．（2025·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4 个汉字中，可以看作是轴对称
图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）如图1 是长方形纸带，
25
DEF
=
，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF
折叠成图3，则图3 中的
CFE
的度数是（ ）
A．105
B．110
C．115
D．135
3．（24-25 七年级下·江苏南京·阶段练习）如图的3×3 的正方形网格中，ABC
的顶点都在小正方形的格点
上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC
成轴对称的格点三角形一共有（ ）个
A．5
B．6
C．7
D．8
4．
（24-25 六年级下·黑龙江大庆·期中）若
和均为大于0小于180的角，且
60
−
=
，则称
和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着EP对折（点P 在线段BC 上，点E 在线段
AB 上）使点B 落在点B，若1
与
2
互为“伙伴角”，
3
的度数（ ）
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A．40
B．80或40
C．80或60
D．40或60
5．
（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，ABC
和DEF
关于直线l 对称，G 是直线l 上一点，连接AG ，DG ，
CG ，FG ，下列说法错误
．．的是（ ）
A．
ACB
DFE
=
B．线段AD，BE，CF 被直线l 垂直平分
C．AGC
DGF
≌
D．AB
DF
∥
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，
ABC
和
AB C
△
关于直线l 对称，直线l 与CC相交于点O，
若
5
AB =
，
2
B C
=
，
1
CO = ，则五边形ABCC B
的周长为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
7．（2025·江西景德镇·一模）如图，在正十边形中已有3 个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上
阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（ ）
A．1 种
B．3 种
C．5 种
D．7 种
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8．
（24-25 七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，将
BFE
沿着EF 折叠，点B 刚好落在AD上的点B处；再将
CFD
沿着DF 折叠，点C 刚好落在EF 上的点C处，
已知
30
AB E
=
，则
B FD
的度数为（ ）
A．60
B．45
C．30
D．15
9．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，在
ABC
中，D、E 分别是AC
BC
、
上的点，把四边形ABED 沿
直线DE 折叠得到四边形GFED ，GF
AC
∥
，若
,
DEF
C
=
=
，则
G
= ．（用含
、
的式子表
示）
10．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在
ABC
中，AD
BC
⊥
于点D ，点C 关于AD的对称点为点E ，
连接AE ，若
50
ABC
=
，
30
CAD
=
，则
BAE
的度数为 ．
11．
（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
3,
4,
5,
ACB
AC
BC
AB
B
=
=
=
=
=
，
．点
P 是边AB 上一点，连接CP ，将BCP
沿CP 对折，点B 落在点B处，CB与AB 交于点M ．当B P
AC
∥
时，
PCB
= （用含的代数式表示）．此时若BPC
的面积是2.4 ，则重叠部分MPC
的面积为 ．
12．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点
, ,
A B C
均在小正方形的顶点上．
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(1)在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的A B C
．
(2)直接写出A B C
的面积为___________．
13．（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点P 是
AOB
外的一点，点E 与点P 关于OA对称，点F
与点P 关于OB 对称，连接FE并延长分别交OA、OB 于C、D 两点，连接PC 、PD、PE、PF ．若
20
OCP
F
=
=
，求
CPD
的度数．
14．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现
象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，PQ 是将正
方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中点P
Q
，
分别在边AD
CD
，
上．
(1)折叠正方形纸片ABCD，使得PA，CQ 依次落在直线PQ 上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分
别作出折痕PE，QF （不写作法，保留作图痕迹），其中点E ，F 分别在边BC
AB
，
上．
(2)设PE，QF 的交点为O，请求出
POQ
的度数．
(3)折叠正方形纸片ABCD，使得BC 落在直线PQ 上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕MN
（不写作法，保留作图痕迹），其中点M ，N 分别在边AB ，CD上．
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15．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）图1、图2、图3 均是4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为
格点，△ABC 的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1）
(1)在图1 中，将
ABC
平移到DEF
，使点A 与点D 对应；
(2)在图2 中，作出一个与
ABC
关于直线BC 成轴对称的格点三角形BCG
；
(3)在图3 中，作出四边形ABCH ，使四边形ABCH 为轴对称图形．
16．（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）长方形纸片ABCD的一角任意折向长方形内，使点B 落在点B的
位置，折痕为EF ，G 为边CD上一点，再把CEG
折叠，使点C 落在点C的位置，折痕为GE ．
(1)如图1，当折叠得到的B EF
与C EG
没有重叠部分时．
①若
35 ,
20
BEF
CEG
=
=
，则
B EC
= _______；
②若
64
B EC
=
，求
FEG
的度数．
(2)如图2，当折叠得到的B EF
与C EG
有重叠部分时，试猜想
B EC
与
FEG
的数量关系，并说明理由．
17．（24-25 七年级下·辽宁葫芦岛·期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，AF 平分
DAC
交BC 的延长线
于点F ，
CAF
CFA
=
．
求证：AD
BC
∥
．
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（2）在四边形ABCD中，点E 为CD边上的一点，连接AE ，沿AE 折叠三角形ADE ，得到三角形AEF ．
①如图2，当点F 落在BC 的延长线上时，且AD
BC
∥
，EF
BF
⊥
，若
50
D
=
，求
DAE
的度数；
②如图3，当点F 落在射线BC 的下方时，求证：(
)
2
180
D
DAE
CEF
+
+
=
．
